数学模型饮料厂的生产与检修

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数学模型实验

数学模型实验实验一一：商人过河1、问题提出：三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从人数比商人多，就商人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们中。

商人们怎样安全渡河呢？2、模型构成记第k 次渡河前此案的商人数为k x ，随从数.3,2,1,0,,,2,1,==k k k y x k y 将二维向量),(k k k y x s =定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S .}2,1;3,2,1,0,3;,2,1,0,0|),{(=======y x y x y x y x S (1)不难验证，S 对此岸和彼岸都是安全的.记第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v .将二维向量),(k k k v u d =定义为决策，允许决策集合记作，由小船的容量可知}2,1,0,.21|),{(=≤+≤=v u v u v u D （2）因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=+ （3）（3）式称为状态转移律.制定安全渡河方案归结为多步决策模型：求决策),,2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移规律（3），由初始状态)3,3(1=s 经有限步n 到达状态)0,0(1=+n s3、程序设计：function jueche=guohen=input('输入商人数目: ');nn=input('输入仆人数目: ');nnn=input('输入船的最大容量: ');if nn>nn=input('输入商人数目:');nn=input('输入仆人数目:');nnn=input('输入船的最大容量:');end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 决策生成jc=1; %决策向量放在矩阵d 中，jc 为插入新元素的行标初始为1；for i=0:nnnfor j=0:nnnif (i+j<=nnn)&(i+j>0) % 满足条D={(u,v)|1<=u+v<=nnn,u,v=0,1,2} d(jc,1:3)=[i,j,1];%生成一个决策向量立刻扩充为三维；d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1]; % 同时生成他的负向量；jc=jc+2; % 由于生成两个决策向量，则jc要向下移动两个；endendj=0;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 状态数组生成kx=1; % 状态向量放在A矩阵中，生成方法同矩阵生成；for i=n:-1:0for j=nn:-1:0if ((i>=j)&((n-i)>=(nn-j)))|((i==0)|(i==n))% (i>=j)&((n-i)>=(nn-j)))|((i==0)|(i==n))为可以存在的状态的约束条件A(kx,1:3)=[i,j,1]; %生成状态数组集合D `A(kx+1,1:3)=[i,j,0];kx=kx+2;endendj=nn;end;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 将状态向量生成抽象矩阵k=(1/2)*size(A,1);CX=zeros(2*k,2*k);a=size(d,1);for i=1:2*kfor j=1:ac=A(i,:)+d(j,:) ;x=find((A(:,1)==c(1))&(A(:,2)==c(2))&(A(:,3)==c(3))) ;v(i,x)=1; %x为空不会改变v值endend%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% dijstra算法x=1; y=size(A,1);m=size(v,1);T=zeros(m,1);T=T.^-1;lmd=T;P=T;S=zeros(m,1);S(x)=1;P(x)=0; lmd(x)=0;k=x;while(1)a=find(S==0);aa=find(S==1);if size(aa,1)==mbreak;endfor j=1:size(a,1)pp=a(j,1);if v(k,pp)~=0if T(pp)>(P(k)+v(k,pp))T(pp)=(P(k)+v(k,pp));lmd(pp)=k;endendendmi=min(T(a));if mi==infbreak;elsed=find(T==mi);d=d(1);P(d)=mi;T(d)=inf;k=d;S(d)=1;endendif lmd(y)==infjueche='can not reach';return;endjueche(1)=y;g=2; h=y;while(1)if h==xbreak;endjueche(g)=lmd(h);g=g+1;h=lmd(h);endjueche=A(jueche,:);jueche(:,3)=[];在matlab窗口输入商人数目：3随从数目：3船的最大容量：2二、施救药物中毒1、问题提出：一个孩子两个小时前一次性吞了11片治疗哮喘病的、剂量为没片100mg 的氨茶碱片，已经出现呕吐、头晕等不良症状.氨茶碱的每次用量成人是100-200mg/kg ，儿童是3-5mg/kg ，如果用量过高，会使血液浓度过高。

高中数学建模的实践与思考——以“饮料罐的优化设计”为例

心率为（）．ABC．2 解如图1所示，l 为直线by x a=，由题意可知直线l 为该双曲线的右支渐近线，由对称性可知2MF l ⊥，点2(0)F c ，到渐近线by x a=，即0bx ay −=的距离为d b =，2||2MF b =，在2t OF N ∆R 中：||ON a ，1||2||2MF ON a ==，根据双曲线的定义有：21||||222MF MF b a a −=−=，故2b a =，e B ．这道统测题源自于2019年高考全国Ⅰ卷理·16的拓展．原题如下：已知双曲线2222:x yC a b +1(00)a b =>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点．若1F AAB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为．解如图2所示，由1F A AB =，得点A 为1F B 的中点．再由120F B F B ⋅=，得12F B BF ⊥．根据双曲线焦点的对称性得1OA F B ⊥，即点1F B ，关于渐近线OA 对称，这与统测题已知条件类似，得1||F A b =，||OA a =．由对称性及双曲线的渐近线图象得： 1260F OA AOB BOF ∠=∠=∠= ，1tan b F OA a∠=，故2e =．而这道2019年的高考题又可以看成是这道下面这道练习题的升级：已知双曲线2222:1(x y C a a b+=00)b >>，，y 轴上存在一点M 与与双曲线的右焦点关于渐近线by x a=对称，求双曲线的离心率．解如图3所示，由题意知点M 与点2F 关于渐近线对称，根据对称性知直线by x a=平分2MOF ∠，故tan 451b a==，e图1 图2 其实上面三道题本质上考查的知识点类似，只是在难度上表现出差异，高考题、测试题以及练习题之间都可能存在着联系，需要我们用心去发现．（本文系2016年湖北师范大学教学研究改革项目、2017年湖北师范大学研究生教育教学改革项目研究成果，谢涛为本文通讯作者）高中数学建模的实践与思考——以“饮料罐的优化设计”为例何荣发蒲锦泉福建省莆田第一中学（351100）数学建模是数学的核心素养之一，怎样提升数学建模素养便成为了高中数学面临的一个重要课题．本文以“饮料罐的优化设计”为例，对如何进行数学建模的教学作一些思考． 1 教学设计1.1 创设情境，提出问题问题1 （用PPT 展示可乐、雪碧、啤酒等罐装饮料图片）许多同学都有过喝饮料的经历，市面上的饮料种类和品牌层出不穷，但是销量很大的饮料（例如容量为355ml 的可口可乐、啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的．这绝非偶然，那易拉罐为什么设计成这种样子呢？教师追问：如果你是某个饮料生产公司的经理，要研发这种易拉罐装的产品，你认为需要考虑哪些因素，要怎样设计？设计意图：让学生知道，数学来源于生活，是为了解决生活中的需求而产生的，使学生在解决实际生活问题中体会到数学是有用的，从而激发他们“学数学，用数学”的热情．1.2 数学建模，解决问题 1.2.1 数学模型1 问题2 经统计，一般人一次饮用量的平均值是355ml ，这与一般易拉罐容量吻合．假定某品牌饮料要设计一种饮料罐，要求每罐容量V ml ，外包装设计类似于圆柱体，如果你是这个饮料品牌的生产商，应该怎样设计这个圆柱体的尺寸才能使所耗原材料最省？第1步分析：观察、分析，作出合理的假设为方便研究，我们将饮料罐的形状近似看成一个圆柱体，暂时将从顶盖到瓶身的一点微小差距、以及罐盖的厚度与罐身的厚度差忽略不计．简化模型就是：体积给定的正圆柱体饮料罐，应如何选择尺寸（直径和高），才能使其表面积最小，即所耗材料最少？第2步设：明确变量和参数，并用符号表示．设正圆柱体饮料罐底半径为r ，高为h ，体积为V ，表面积为S ．第3步列：建立变量和参数间确定的数学关系，即数学模型．正圆柱体饮料罐2πV r h =，得2πVh r=．表面积222()2π2π2πV S r r rh r r =+=+(0)r >．于是，我们建立的模型是0min ()r S r >，其中()S r 称为目标函数．第4步解：模型的求解．这是属于无条件极值问题．求导：32222(2π)()4πV r V S r r r r −′=−=．找临界点：令()0S r ′=，得驻点r =，则22πVhr r ==．因为0r <<()0S r ′<，r >时，()0S r ′>，所以r =是唯一的临界点，因而是全局极小值点．即当直径等于高时，饮料罐所耗的材料最少．第5步答：验证结果是否合理．问题3 展示事先准备的可口可乐饮料罐，让学生判断：它的直径等于高吗？然后拿出测量工具和学生一起测量这个可口可乐饮料罐的直径和高，判断与我们研究结果是否一致？预设答案：显然可口可乐的饮料罐的直径不等于高．经测量，可口可乐饮料罐罐高约12.4cm ，罐柱（胖的部分）内径约为6.1cm ．设计意图：建立数学模型最大的三个难点是：作出合理的假设；求解模型中出现的数学问题；验证模型可行性．这里略微分析直接给出假设，一方面降低问题的难度，以便跟学生固有知识（求函数最值）无缝衔接，使得建模过程易于被学生接受，另一方面集中火力解决优化问题的模型求解和验证模型这两个难点，为下一步改进模型做铺垫．1.2.2 数学模型2问题4 由问题3的测量知，可口可乐饮料罐高度和直径比的实际情况和我们的研究结果相比有较大的出入．回顾数学模型1的建立过程，我们做了两个近似：一是将饮料罐近似看作一个圆柱体，二是把罐盖的厚度与罐身的厚度差忽略不计．由于这两个近似，导致了模型一的结论与现实出入较大．我们应该将罐盖的厚度与罐身的厚度差异考虑进去，进一步优化模型．请大家重新梳理研究中的已知、所求，重新确定变量、参量，建立数学模型．教师追问：考虑了罐盖的厚度与罐身的厚度差异，还能是研究表面积的最小值吗？引导学生按照数学模型一的建模步骤来改进数学模型1．第1步分析：观察、分析，作出合理的假设．请同学摸一下空罐的罐壁和罐盖，容易发现，罐壁材料很薄，而罐盖很厚．引导学生对可口可乐饮料罐进行数学建模时，必须考虑罐盖的厚度与罐身的厚度差异（即考虑材料的体积或者罐盖和罐壁材料的不同价格）．同时，我们认为对正圆柱形饮料罐进行建模是合理的．因此，改进模型：饮料罐内部体积一定，罐盖厚度为其余部分厚度的λ倍时，设计饮料罐内部的尺寸（直径和高）使饮料罐材料的体积最小．第2步设：明确变量和参数，并用符号表示．设正圆柱体饮料罐内半径为r ，直径为d ，高为h ，罐盖以外材料的厚度为b ，罐盖的厚度为b λ，饮料罐容积为V ，饮料罐所用材料的总体积为SV ．第3步列：建立变量和参数间确定的数学关系，即数学模型．饮料罐容积为：2πV r h =，得2πVh r=．饮料罐罐壁所用的材料的体积为： 22(π()π)π(2)r b r h b r b h +−=+．饮料罐罐底所用材料的体积：2π()b r b +．饮料罐罐盖所用材料的体积：2π()b r b λ+．饮料罐所用材料的总体积为： 2()π[(2)(1)()]SV r b r b h r b λ=++++ 22π[(2)(1)()]πV b r b r b r λ+⋅+++．于是，我们建立的模型是0min ()r SV r >，其中()SV r 称为目标函数．第4步解：模型的求解．这是属于无条件极值问题．求导：()SV r ′2322(2)π[2(1)()]ππV r b V b r b r r λ+−+++ 32π()(1)Vb r b r λπ++−．找临界点：令()0SV r ′=，得驻点r =，则21(1)2πV h r d rλλ+==+=．因为0r <<时，()0SV r ′<，r >时，()0SV r ′>．所以r =是唯一的临界点，因而是全局极小值点．即当饮料罐的高等于直径的1λ+倍时，它所耗的材料最少．第5步验证结果是否合理．据测量，罐盖的厚度是大约其他材料厚度的3倍，即3λ=，于是2h d =．因此，当我们把饮料罐近似看成正圆柱体时，饮料罐的高等于2倍直径时，制作饮料罐时所耗的材料最少，这与我们前面测量的可口可乐饮料罐罐高约12.4cm ，罐柱（胖的部分）内径约为6.1cm 等数据吻合．设计意图：虽然这个环节看似是前者的“重复”，但它实际上是个螺旋上升的过程．让学生明白建模过程一般是从简单到精细，就是反复验证、逐步优化的过程，同时也锻炼学生在科学研究中的锲而不舍、严谨治学、求真务实的精神．1.2.3 拓展延伸问题5 再次展示可口可乐饮料罐，提醒学生：可口可乐饮料罐不是正圆柱体，而是近似看成由圆台和圆柱体拼成，而且底部有向上的圆拱形状．能否把饮料罐的形状加进去考虑再进一步优化模型呢？请有兴趣的同学，课后可以重新梳理研究中的已知、所求，重新确定变量、参数，优化我们的数学模型．1.3 总结归纳，反思提升问题6 根据易拉罐设计问题，请同学们归纳下利用数学建模的思想解决实际问题的一般步骤．预设答案：数学建模的全过程大致可归纳：分析、设、列、解、答这五个步骤的重复．如果第5步答的结果是肯定的，那么说明模型建立的比较成功；如果是否定的，那就要再次进行仔细分析，重复上述建模过程去改进我们的模型．设计意图：经历两轮的建模之后，让学生总结归纳数学建模的一般步骤，梳理研究思路，能提高学生对数学建模的认识，同时让学生明白实际问题有时候比较复杂，研究时可以通过分析将其适当地近似、简化，然后再逐步优化进而最终解决实际问题，这也是科学研究的一般过程．2 几点思考2.1 重视挖掘教材，创设恰当情境培养学生的数学建模能力，需要努力创设与学生日常生活密切相关并能体现通过数学建模解决实际问题意义的生活化问题情境．问题情境要符合学生的“最近发展区”，具有开放性、启发性、指向性、创造性和延展性．深层次领会教材编写者的意图，充分重视挖掘教材的内涵与本质，活用教材，创造性地提出符合学生已有的生活经验和认知水平的恰当问题情境，有利于激发学生的学习兴趣和探究欲望，从而创造数学建模素养发展的机会．人教版《生活中的优化问题举例》中“饮料瓶大小对饮料公司利润的影响”所举例2中的饮料瓶是“球形”的，而现实生活中大多是方形（纸盒）和圆柱形的（易拉罐），这不够符合学生生活实际与已有认知；此外本例及课后习题“圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高和直径应该怎样选择，才能使得所用材料最省？”所呈现的条件、变量、参数和模型均已确定，学生已不需做选择，不需探究思路，只需解纯粹的数学问题，这并不能充分调动学生探究问题的兴趣和主动性，也难以真正培养学生的数学建模能力．因此本教学设计不失科学地将问题进行恰当改编，提出如下问题情境：“易拉罐为什么设计成这种样子呢？”、“要研发这种易拉罐装的产品，你认为需要考虑哪些因素，要怎样设计？”2.2 注重建模策略，化解建模困境面对复杂度高、综合度大、应用性强的数学建模对象，该如何有效开展数学建模活动呢?如果创设简单近似理想的情境模型则与实际生活脱节，达不到提升建模能力的效果；如果直接面对复杂综合的模型，学生必将束手无策．因此要注重建模策略，先简后繁，循序渐近，逐步优化，螺线上升，合理设计问题提高并保持学生的研究兴趣，将复杂的实际问题通过合理的假设将其转化为数学问题，从而化解建模困境．本节课通过“易拉罐为什么设计成这种样子”引入，引导学生观察、分析，逐步提炼出其中的数学问题，经过先近似简化为单一参数模型的第一轮建模解模后，发现结论与易拉罐的实际测量数据不吻合，再到加以考虑罐盖的厚度与罐身的厚度差异的基础上的第二轮优化模型，并保留结合形状继续优化模型的空间．整个建模过程由浅入深，逐步递进，体现了从特殊到一般的数学思想方法．体会到数学建模过程就是由简单到精细，逐步优化的过程，从而培养了学生勇于探索新知、严谨治学、求真务实的科学态度．2.3 依托信息技术，突破时空限制数学建模对象往往是较复杂的实际应用问题，但由于受到课时、课堂时间和不同领域学科知识等条件限制，在传统高中数学课堂上较难实现完整有效的数学建模过程．走马观花，流于形式，将降低学生的数学实践体验，难以实现有效提升数学建模素养．本节课可让学生在课前通过互联网查阅了解饮料罐相关信息，收集品牌饮料罐的数据，课上开展自主探究、分组讨论、展示交流等活动环节，并利用教学软件展示图片、建模成果等，课后可以进一步交流探讨“把饮料罐的形状改进去考虑再进一步优化模型”等问题或提供关于饮料罐设计等视频相关材料，从而将建模活动延展到课后，突破时空限制，达到巩固和提升数学建模素养．参考文献[1]康兴良．基于数学建模核心素养下“函数模型及其应用”的教学设计与思考[J]．数学学习与研究，2019（11）：123-124[2]叶明昕．基于数学建模素养的“导数及其应用”的教学设计研究[D]．重庆师范大学，2018[3]叶其孝．最优化—"导数的应用"教学单元[J]．高等数学研究，2006，9（3）：8-14（本文系莆田市教育科学2018年度名师专项课题《基于核心素养的高中数学单元整体教学设计的实践研究》（课题编号：PTMS18036）和教育部福建师大基础教育课程研究中心2019年度开放课题《素养导向的高中数学单元整体教学设计的实践研究》（课题编号：kcz2019056）的研究成果）核心素养视角下的中学数学建模课堂教学初探——以研究性学习为例刘鸿英福建省福州市华侨中学（350000）1 核心素养视角下的中学数学建模课程设置与要求数学建模核心素养以相关数学知识为载体，以应用意识（应用能力）为依托，在知识学习中形成。

数学建模课程性质目的与任务数学建模课程是数学与应用

数学建模》一、课程性质、目的与任务数学建模课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课程，且属于能力课程模块。

是一门应用非常广泛的学科，数学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是高等学校教学计划中的一门方法实验课。

通过本课程的学习，使学生掌握数学建模的基本步骤,了解常用的建模方法, 学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。

着重学生分析问题能力的培养，强调利用计算机及各种资料解决实际问题动手能力的培养，增加受益面。

为学生所学专业服务，给课程设计、毕业论文提供强有力的方法论指导。

其先修课程为数学分析、高等代数、常微分方程、线性规划和概率论与数理统计等。

本课程主要介绍数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、离散模型、线性规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。

以及介绍Matlab、Lindo、Lingo 和SPSS 等数学软件在数学建模中的基本使用方法和技巧。

数学建模是进一步提高运用数学知识解决实际问题的基本技能，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。

通过具体实例的引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型，学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。

通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力, 综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。

二、课程教学内容和基本要求第一章建立数学模型1. 教学内容：(1) 稳定的椅子问题(2) 商人过河问题(3) 人口增长问题(4) 公平的席位问题2. 教学要求：使学生正确了解数学描述和数学建模不同于常规数学理论的思维特征，了解数学模型的意义及分类，掌握建立数学模型的一般方法及步骤。

第二章初等模型1. 教学内容：(1) 双层玻璃窗的功效问题(2) 划艇比赛的成绩(3) 动物身长和体重(4) 核军备竞赛2. 教学要求：掌握比例方法、类比方法、图解法、定性分析方法及量纲分析方法建模的基本特点。

《数学建模》课程教学大纲

《数学建模（公选）》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12130541课程英文名称: Mathematical Modelling课程面向专业：理工类专业课程类型：选修课先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计学分：2.5总学时：48 (其中理论学时：48 ；实验学时：0)二、课程性质与目的本课程主要介绍用数学知识解决实际问题的手段——建立数学模型。

通过教学,使学生掌握数学模型的基本知识；培养学生认识问题，用数学模型和计算机分析解决实际问题的初步能力；增强学生学习数学的兴趣和自学的能力，了解数学的一些应用分支的理论，会建立相应的简单模型，并能对模型进行分析。

三、课程教学内容与要求第一章建立数学模型1、教学内容与要求主要内容：学习数学建模课程的意义；数学模型的定义及分类；建立数学模型的方法及步骤；数学建模示例。

基本要求：了解数学模型的意义及分类，理解建立数学模型的方法及步骤。

2、教学重点：数学建模的基本方法和步骤。

3、教学难点：数学建模初步能力的培养。

第二章初等模型1、教学内容与要求主要内容：比例方法建模；类比方法建模；定性分析方法建模；量纲分析方法建模；初等模型举例。

基本要求：掌握比例方法，类比方法，定性分析方法及量纲分析方法建模的基本特点。

能运用所学知识建立数学模型，并对模型进行综合分析。

2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模。

3、教学难点：量纲分析法建模第三章简单的优化模型1、教学内容与要求主要内容：存贮模型；生猪的出售时机；森林救火；冰山运输；量纲分析法基本要求：理解优化模型的一般意义，能运用高等数学的知识解决简单的优化模型。

掌握较简单的优化模型的建立和解法。

2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模3、教学难点：量纲分析法建模第四章数学规划模型1、教学内容与要求主要内容：奶制品的生产与销售；自来水输送与货机装运；汽车生产与原油采购；接力队的选拔与选课策略；饮料厂的生产与检修；钢管和易拉罐下料基本要求：理解线性规划、整数规划模型和非线性规划模型的基本特点，能熟练利用数学软件进行数学规划模型的求解与灵敏度分析。

生产与设备检修模型

生产与设备检修模型摘要企业是一个有机的整体，生产、库存与设备检修的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义.本文从该问题出发，在时间、库存及市场最大需求约束下，得到模型一76761111Z ij i ij i j i j Max c p S b =====-∑∑∑∑.用Lingo11.0求解，得到不改变检修计划条件下的最大利润：937115元，并且得到了最优的生产、库存、销售计划.本文还从设备的角度分析了提高利润的方案.在改变约束的条件下，针对对设备检修建立了模型二，并用Lingo11.0求解，得到了最优的设备检修计划(下表中括号内为模型二的改进的检修计划):最后我们进行了灵敏度分析[1]，结合影子价格的实际意义，对两个模型做出了合理的解释.关键词：生产；销售；库存；检修计划；灵敏度分析目录第一部分问题重述 (2)第二部分问题分析 (3)第三部分模型假设 (3)第四部分定义与符号说明 (4)第五部分模型建立与求解 (4)1．问题1的模型 (4)模型一的建立 (4)模型一的求解 (5)2．问题2的模型 (8)模型二的建立 (8)模型二的求解 (9)第六部分模型结果分析 (11)1.灵敏度分析 (11)2.结果分析 (12)第七部分模型评价与推广 (13)第八部分参考文献 (14)第九部分附录 (15)1 问题重述企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成.在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产.对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义.已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产.每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件.1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件.若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，要求（1）该厂如何安排生产，使总利润最大；（2）若对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排.重新为该厂确定一个最优的设备维修计划.2 问题分析对于问题一，要求制定出六个月的生产计划并求出最大总利润.由于总利润=总收益-产品总成本-库存费用，而此题目中没有给出产品的成本价，我们不予考虑.因此，我们可以认为总利润是直接用产品的总收益（销售总价）减去产品的库存费用.由于假定工厂每天开两班，每班8小时，每月工作24天，即每台机器每月可以工作24⨯2⨯8=384小时.结合检修计划表，由此可以算出每种机器设备每月的使用时间（下文用矩阵()ij E e =表示），建立一个机器生产设备使用的时间约束条件.又因为每种产品每个月的库存量要小于等于100,并要求在第六个月底，每种产品都有50件库存，所以我们可以建立两个库存约束条件.产品在销售时，每月的产品销售量（当月的产量+上月的库存量-本月的库存量）要小于市场对产品的最大需求量.由于第一月没有上月的库存量，故一月的产品生产量与本月存储量之差应小于市场对产品的最大需求量, 所以我们可以建立两个销售的约束条件.通过此分析，在合理的假设下，我们可以建立线性整数规划模型[2]，并运用软件进行求解，得出最优的生产、库存、销售方案及该厂获得的最大利润.由于设备要定时的检修，在检修当月此设备无法安排生产，所以生产销售量与设备的检修时间与台数有直接的关系.而该关系可以体现在设备使用时间的约束上，在改变检修计划的情况下可以提高利润. 本题对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排.我们可以引入mj t （第m 台设备在第j 个月可以使用的台数）这个变量，建立新的约束条件，在相同目标函数下,运用软件进行求解得到最优检修计划和最大利润.当然我们可以结合灵敏度分析，进行合理的调整.3.模型假设(1)假设工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时；(2)假设不考虑产品在各种设备上的加工顺序；(3)假设被维修的设备在当月内不能安排生产；(4)假设成本不会随着检修方案的改变而改变；(5)假设产品的生产不会随检修方案的改变而受影响；(6)假设产品的生产、库存及销售量必须是整数.4.符号说明表一5.模型建立与求解5.1模型一5.1.1模型一的建立由于总利润=单件产品利润⨯销售量—产品的库存费用.结合题目建立总利润Z 的目标函数，即模型一：76761111Z ij i ij i j i j Max c p S b =====-∑∑∑∑由于工厂每天开两班，每班8小时，假定每月工作24天，结合检修计划表，由此可以算出每种机器设备每月的使用时间，建立设备使用时间的约束条件： 71mi ij mj i da e =<=∑ （1）其中1,2,,6,1,2,,5.j m ==每种产品每个月的库存量小于等于100件,并要求在第六个月底，每种产品都有50件库存，可以建立两个库存约束条件：100ij b <= （2）其中1,2,,7,1,2,,6i j ==. 650i b >= （3）其中1,2,,7,1,2,,6i j ==.产品在销售时，每月的产品销售量为当月的产量加上月的库存量要小于销售上限.由于第一月无上月的库存量，故直接是产品生产产量小于销售上限，建立销售的约束条件：111i i i a b f -<= （4）,1c ij i j ij ija b f -+-<= （5）其中1,2,7,2,3,,6.i j == 为此建立了总利润的线性整数规划模型.5.1.2模型一的求解把,1,2,,7i p i =代入目标函数中得 66661162263364461111()*100()*60()*80()*40j j j j j j j j Max Z a b a b a b a b =====-+-+-+-+∑∑∑∑ 6667655666677611111()*110()*90()*300.5*j j j ij j j j i j ab a b a b b =====-+-+--∑∑∑∑∑ （6）为了便于理解，我们将约束条件矩阵化[4]由设备时间约束，即（1）式可得111213a a a a 0.50 0.70 0.00 0.00 0.30 0.20 0.500.10 0.20 0.00 0.30 0.00 0.60 0.000.20 0.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.600.05 0.03 0.00 0.07 0.10 0.00 0.08 0.00 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 0.05⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦14 151621222324 252631323334 3536414243 44454651525354 555661626364 656671727374 7576 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦153615361536153611523841152115115211527687687683843847687680211523843843843843843843843843840384⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1'）由库存约束，即（2），（3）式得111213141516212213141516313233343536414243444546515253131356616263646566717273747576 100 100 100100 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦00 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100100 100 100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2'） [][]16263646566676 50505050505050b b b b b b b ≥(3') 由销售约束，即（4）、（5）式有1111212131314141515161617171a 500a 1000a 300a 300800a 200a 100a b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4')121314 15161112131415222324 25262122131415323334 35363132334243 444546525354 5556626364 6566727374 7576a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦121314 1516222324 25263435323334 353641424344454243 4445465152531313525354 555661626364657172737475c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦626364 6566727374 7576c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦6003002000500500600300100500200040050010000500100300400500200100011003004000300500150100100060⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5') 运用Lingo11.0求解得到结果：目标函数的最大值（即六个月的最大利润）为937115元，并制定六个月的生产、库存、销售计划（单位为件）为：从上表可以看出：1、三月份和六月份各种产品生产销售量普遍较低，尤其三月份生产销售停滞更为严重，在三月份除产品6外，其他产品生产量均为0，进而影响产品销量普遍下降甚至为0，从这些情况中可以推测，如果这两个月份各产品生产销售正常，则该企业利润还能够继续增加，也就是说，三月份和六月份产品的生产能力及其销售状况是该企业利润增长的一个瓶颈.2、从产品1、产品5和产品6中企业可以获得较高的利润，而产品6 的销售均较好，每月储存量相对于其他产品也较少，但是这两产品每月的生产量都较少；产品5具有较高利润，但是，生产量和销售量并不乐观.因而，提高产品1、产品5及产品6的生产量和销售量可以影响企业的利润.由于生产销售量与设备的检修时间与台数有直接的关系，在改变检修计划的情况下可以提高利润，下面建立模型二.5.2.1模型二的建立构造一个最优设备检修计划模型,使在这半年中各设备的检修台数满足案例中的要求且使利润为最大，增加变量,1,2,,5,1,2,,6mj t m j ==，表示第m 种设备在第j 个月可以使用的台数[4]，其中设备题目顺序来排序.与模型一类似，构造最优设备检修计划模型：总利润的目标函数 76761111Z ij i ij i j i j Max c p S b =====-∑∑∑∑.由于每种机器在每个月使用的台数应该小于等于该厂能够提供的台数，而且在这六个月中，每种机器使用的总次数应该小于该厂能够提供的总次数与维修次数之差，于是我们建立如下的机器使用台数的约束：mj mj t y <= （7）61mj m j tz =<=∑ （8）其中，1,2,,5,1,2,7,2,3,,6,mj m i j y ===为第m 种机器在第j 个月使用台数的上限，m z 为第m 种机器在六个月可以提供的最大台数.由每种机器在每月生产七种产品的总时间应该小于该机器在该月能够提供的总时间，于是我们建立设备的约束如下：710mi ij mj i da Nt =-<=∑ （9）其中1,2,,61,2,,5.j m ==，同模型一有销售约束，即（4）、（5）式111i i i a b f -<= （4）,1c ij i j ij ij a b f -+-<= （5）其中1,2,7,2,3,,6.i j ==为此建立了最优设备检修计划模型，即模型二.5.2.2模型二求解把i p ，1,2,7i =，代入目标函数中，即得（6）式.为了便于理解，我们同样将约束条件用矩阵表示（矩阵大小关系由其所有元素体现）：由机器使用台数的约束，即（7）、（8）式有111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556444444222222333333111111111111t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （7'）611621126331464516512210_1555j j j j j j j j j j t t z z t z z t z t =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑ （8'）由设备时间约束，即（9）式有111213a a a a 0.50 0.70 0.00 0.00 0.30 0.20 0.500.10 0.20 0.00 0.30 0.00 0.60 0.000.20 0.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.600.05 0.03 0.00 0.07 0.10 0.00 0.08 0.00 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 0.05⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦14 151621222324 252631323334 3536414243 44454651525354 555661626364 656671727374 7576 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556384t t t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（9'）对于库存约束有（2'）、（3'）式；由销售约束有（4'）、（5'）式.根据此模型，用Lingo11.0求解得目标函数最大值（即六个月最大利润）为1088550元，并制定出检修计划如下表：与其对应的生产、库存、销售计划为：表四注：括号内为最大需求量.6 模型结果分析与检验6.1灵敏度分析求解模型一时，去除整数约束限制，由附录程序我们可得下表，即1~6月各机床生产能力（按影子价格[3]从大到小排列）：表五结合Lingo11.0的程序作出如下分析：1、由上表各月份各种机床生产能力的影子价格可知，除了一月份磨床、二月份水平钻、三月份镗床、六月份刨床生产能力（影子价格大于零）紧缺外，其他各月份各种机床的生产能力（影子价格等于零）均有冗余，即这些设备还未被充分利用.将生产能力紧缺的项目按影子价格降序排序，得以上表格.设备能力的优先顺序依次为六月份刨床、三月份镗床、一月份磨床、二月份水平钻钻.2、根据这7个项目影子价格的高低，它们的紧缺程度由高到低排列如上表.如果生产线要安排检修，应该从影子价格最低的设备和所在月份开始安排，这样对利润损失最小.由上表得，当增加六月份刨床生产1小时时，收益增加8000.00；三月份镗床生产1小时时，收益增加2000.00；一月份磨床生产1小时时，收益增加85.71；二月份水平钻生产1小时时，收益增加6.25.3.原设备维修计划不合理：①六月份的刨床属于紧缺状态而又安排一台刨床维修是不合理的；②三月份镗床处于紧缺状态而又安排一台镗床维修是不合理的；③一月份磨床处于紧缺状态而又安排一台磨床维修是不合理的；④四月份立钻处于紧缺状态而又安排一台立钻维修是不合理的.从以上分析可以看出，模型一的检修计划是不合理的.结合灵敏度分析，改造的检修计划：二月-1台立钻，四月-2台磨床1台立钻3台水平钻1台镗床1台刨床是合理的.6.2结果分析从表四可知：除四月之外，检修后的生产计划完全达到了市场的最大需求量，并且四月所缺产品的利润相对较低，所以该生产计划是比较合理的.我们假定不检修任何设备，在满足各约束条件下，可以得到各产品的生产量和销售量上限，对比模型一和模型二我们做出六个月总生产量的统计表如下：图一由上图可以看出，对于模型一第2种产品和第5种产品的销售量非常低，经过检修计划的改进（模型二），即(下表中括号内为模型二改进的检修计划):在此改进后，第2种产品和第5种产品的生产量得到有效的提高，并且产品5的利润较高，从而总利润也得到大幅度的提高.7 模型的评价与推广7.1模型优缺点（1）对于模型一，利用的题目中所给出的数据，结合实际情况，引进了销售量这一概念，考虑了生产量、库存量以及建立了最大利润的比较一般化的模型.（2）运用Lingo11.0对模型一进行求解，分析所得数据发现优化方案，引出模型二，并进行灵敏度分析，利用影子价格验证优化方案.（3）改进模型后，建立了更一般化的模型二，重新优化数据，得到的更大利润. （4）企业的实际生产时，利润不仅和销售及库存有关，牵涉许多其它因素但是该模型没有给出解答.7.2模型的推广通过对题目的解读我们不难发现这是一类规划问题。

《数学建模(一)》课程教学大纲-公选课

《数学建模（一）》课程教学大纲【课程基本情况】一、课程代码：000373二、课程类别及性质：公共选修课三、课程学时学分：54学时（教学：24 实践：30）2学分四、教学对象：12、13级学生五、课程教材：《数学模型》、姜启源谢金星叶俊等、高等教育出版社六、开设系（部）：信科系七、先修课：高等数学、线性代数【教学目的】通过本课程的学习，使学生能够较好地理解数学模型、数学建模的含义，了解数学建模的重要性。

通过示例的学习使同学们基本掌握建立数学模型的方法和步骤，并能通过数学方法、数学软件求解模型，而且能够对模型的精准性进行分析。

通过学习，培养了同学们的把实际问题表述成数学问题的能力，从而提高了他们的抽象思维能力。

并且通过MATLAB、LINGO 数学软件的应用，提高了他们的计算机应用水平。

【教学内容、基本要求及学时分配】第一章建立数学模型教学时数：2学时第一节从现实对象到数学模型基本要求：掌握数学模型、数学建模的含义。

第二节数学建模的重要意义基本要求：了解数学建模的重要性。

第三节数学建模的示例（不讲授）基本要求：掌握三个示例的建模过程；重点：模型的建立、模型的求解。

第四节数学建模的基本方法和步骤基本要求：掌握数学建模的基本方法和步骤；重点：建模的基本方法和步骤。

第五节数学模型的特点和分类基本要求：了解数学模型的特点和分类。

第六节数学建模能力的培养（不讲授）基本要求：了解建立数学模型所需要的能力。

第二章初等模型教学时数：4学时第一节公平的席位分配基本要求：掌握公平席位的建模方法；重点：建立数量指标。

第二节录像机计数器的用途基本要求：掌握录像机计数器的建模方法；重点：模型的假设及模型的构成。

难点：建立模型的过程。

第三节双层玻璃的功效基本要求：掌握双层玻璃的功效的建模方法及模型应用；重点：模型的构成。

第四节汽车刹车距离基本要求：掌握t秒准则的建立方法；重点：模型建立的过程。

第五节划艇比赛的成绩（不讲授）第六节动物的身长和体重（不讲授）第七节实物交换（不讲授）第八节核军备竞赛（不讲授）第九节扬帆远航（不讲授）第十节量纲分析与无量纲化（不讲授）第三章简单的优化模型教学时数：4学时第一节存贮模型基本要求:掌握存贮模型在两种情况下的建模方法；重点：模型假设。

【数学建模】饮料厂生产问题

例 1 饮料厂的生产与检修计划某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需求. 该厂销售科根据市场预测, 已经确定了未来四周该饮料的需求量. 计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本, 如表中所示. 每周当饮料满足需求后有剩余时, 要支出存贮费, 为每周每千箱饮料0.2 千元. 问应如何安排生产计划, 在满足每周市场需求的条件下, 使四周的总费用(生产成本与存贮费之和)最小如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修, 检修将占用当周15 千箱的生产能力, 但会使检修以后每周的生产能力提高5 千箱, 则检修应该安排在哪一周. 周次需求量(千箱) 生产能力(千箱) 成本(千元/千箱)方法一问题分析除第4 周外每周的生产能力超过每周的需求; 生产成本逐周上升; 前几周应多生产一些.模型假设饮料厂在第 1 周开始时没有库存; 从费用最小考虑, 第 4 周末不能有库存; 周末有库存时需支出一周的存贮费; 每周末的库存量等于下周初的库存量.模型建立决策变量x1 ~x4: 第1~4 周的生产量.y1 ~ y3: 第1~3 周末库存量.存贮费: 0.2 (千元/周千箱).目标函数min z=5x1+5.1x2+5.4x3+5.5x4+0.2(y1+y2+y3)约束条件x1-y1=15x2+ y1 -y2=25x3+ y2 –y3=35x4+ y3=25x1≤30,x2≤40，x3≤45,x4≤20x1, x2, x3 , x4, y1, y2, y3≥0三、结果或结论模型求解LINDO 求解, 最优解: x1 ~x4: 15, 40, 25, 20; y1 ~ y3: 0, 15, 5 .方法二1.某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需要。

该厂销售科根据市场预测，已经确定了未来四周该饮料的需求量。

计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本，如下图。

每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出存贮费，为每周每千箱饮料0.2千元。

奶制品的生产与销售数学模型

奶制品的生产与销售数学模型
奶制品的生产与销售关系到企业的利润与市场占有率，因此建立数学模型帮助企业进行科学管理非常必要。

首先，我们假设企业每一批生产的奶制品量为x（单位：吨），销售价格为p（单位：元/吨），成本为c（单位：元/吨），则企业的利润为：
利润=（p-c）×x
其次，考虑到销售量的影响因素较多，我们可建立一元函数，将销售量y与各因素之间的关系反映出来，这里以多元线性函数举例：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b
其中，x1、x2、x3等为各个因素，如广告投入、市场营销、产品质量等，对应的系数a1、a2、a3等为其对销售量y的贡献度，b为常数项。

我们可以通过统计分析、回归分析等手段来确定各项因素的影响程度和系数。

最后，考虑到奶制品行业的季节性和地域性，我们可以建立区域销量模型，将销售量与产品销售区域、季节等因素联系起来，进一步分析和预测销售量。

以上是奶制品生产与销售的数学模型，企业可以根据实际情况进行调整，以达到科学管理、优化运营的目的。

数学建模与数学实验复习范围

数学建模与数学实验复习范围: 题型为:简答题、建模计算题和编写程序。

1. 数学建模的步骤和模型按照表现特性的分类。

（1）数学建模步骤：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用、（2）模型按照表现特性分类：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型2. 人口模型：要求（1）指数增长模型的建立及求解（2）阻滞增长模型的建立.（1）指数增长模型的建立及求解：设t 时刻的人口为)(t x ，经过一段短的时间t ∆后，在t t ∆+时刻，人口数量变化为)(t t x ∆+。

由基本假设，在这段短的时间t ∆内，人口数量的增加量应与当时的人口)(t x 成比例，不妨设比例系数为0r ，即t ∆内人口的增量可写为t t x r t x t t x ∆=-∆+)()()(0等式两边同除以t ∆，当0→∆t 时)()()(lim00t x r t t x t t x t =∆-∆+→∆ 等号的左边即是导数t x d d ，已知初始时刻人口数量为0x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==00)0()(d d x x t x r t x (2.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微分方程。

用分离变量法求解，得t r x t x 0e )(0=（2）阻滞增长模型的建立：由于自然资源的约束，人口存在一个最大容量m x 。

增长率不是常数，随人口增加而减少。

它具有以下性质：当人口数量)(t x 很小且远小于m x 时，人口以固定增长率0r 增加；当)(t x 接近m x 时，增长率为零。

0r 和m x 可由统计数据确定。

满足上述性质的增长率可以写作)1()(0mx x r x r -= (2.4)这样Malthus 模型公式(2.2)变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=00)0()1(d d x x x x x r t x m (2.5) 称为阻滞增长模型或Logistic 模型。

数学模型-饮料厂的生产与检修

实时监控生产进度，确保按时完成生产任务，并及时调整生产计划。
生产成本控制
01
02
03
直接成本
原材料成本、人工成本、设备折旧等直接与生产相关的成本。
间接成本
管理费用、销售费用等间接成本。
成本控制方法
采用成本分析、预算控制等方法，降低生产成本，提高经济效益。
02
CATALOGUE
饮料厂设备检修模型
正常运行。
案例挑战
如何确定最佳的检修周期和检修力度，以最大化生产效益并最小化检修成本。
基于数学模型的优化效果评估
数学模型建立
建立生产与检修的数学模型，通过概率论和统计学方法分析生产线各环节的故障分布和维修效果。
模型参数
模型参数包括各环节的故障率、维修成功率、维修成本等。
优化效果评估
通过对比不同检修策略下的生产效益和总成本，评估数学模型优化效果的优越性。
间接成本
包括因设备故障或检修停机造成的生产损失、产品质量问题等费用。
机会成本
由于设备检修而错过的市场机会和收益。
03
CATALOGUE
生产与检修的数学模型
生产与检修的动态规划模型
动态规划模型用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。在饮料厂的生产与检修中，动态规划模型可以用来确定最优的生产计划和检修策略，以最小化生产成本和设备故障率。
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动态规划模型
将问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解，逐步推导出原问题的最优解，以实现生产与检修过程的优化。
概率统计模型
利用概率统计方法，对生产与检修过程中的不确定因素进行分析和预测，为决策提供依据。
基于机器学习的优化策略

饮料生产计划模型的建立与分析

饮料生产计划模型的建立与分析摘要对于任何一个企业，利润最大化是企业不断追求的目标。

如何追求利润最大化？这个关系着企业的生产成本和销售收益，企业的利润=总收入—成本—其他支出。

针对与企业饮料的生产，若使饮料生产利润最大化，主要考虑的是企业的生产生产能力和如何合理的安排生产计划，使得有限的资源得到最大的利用，从而创造出最大的效益和利润。

本题根据具体的实例来运用数学建模的知识来解决饮料生产的具体计划安排，有已知的条件约束，建立可行域和目标函数，利用线性回归，求出目标函数。

对本题的饮料生产计划安排，具体分为一下三个方面：1、对问题进行分析理解，找出已知条件和约束条件；2、建立目标函数，制定出该公司完成要求的生产计划的订单，并使得生产成本最小，利用Lingo求解线性规划中目标函数的解；3、根据约束条件的限制，重新修改约束条件，调整生产计划，建立调整后的目标函数，利用Lingo求解线性规划中目标函数的解。

关键词：最大效益约束条件可行域目标函数线性规划 Lingo1、问题的背景随着商品全球化，各个企业之间的竞争也愈加的激励，强者生存，这不仅是大自然的选择，更是市场经济的必然结果。

而针对企业饮料生产计划的问题来说，生产计划是的受多种因素的影响，合理安排生产计划，使得企业在有限的资源得到最大的效益，从而达到节约资料，提高利润，提高企业的市场竞争能力，使得企业得到良性的发展。

同时根据对饮料计划的安排，让企业生产有一个可靠的生产依据。

2、问题的重述某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。

甲饮料厂生产A饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。

甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A 饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。

现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料2000吨，B饮料3200吨。

数学建模优化建模实例【精选】

x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 8
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1} M为大的正数，
x2 My2, x2 80 y2, y2 {0,1} 可取1000
4
25
20
合计
100
135
成本(千元/千箱)
5.0 5.1 5.4 5.5
• 剩余产品需要支付贮存费，每周0.2千元/千箱；
应如何安排计划，在满足每周市场需求的条件下，使四周的总费用最小？
11
问题分析
周次 1 2 3 4
合计
需求 15 25 35 25 100
能力 30 40 45 20 135
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作如何改变。
6
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
成本 5.0 5.1 5.4 5.5
• 除第4周外每周的生产能力超过每周的需求； • 生产成本逐周上升； •前几周应多生产一些。
模 • 饮料厂在第1周开始时没有库存；
型 • 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存；
假设
• 周末有库存时需支出一周的存贮费；
3500
2850
如何装运，使本次飞行获利最大？

数学模型饮料厂的生产与检修

数学模型饮料厂的生产与检修饮料工厂是以矿泉水、果汁、茶和汽水等饮料为主要原料制成的加工工厂，它们以的生产规模较大，要求生产的饮品质量高，所以在生产和维护上都需要科学、精细的管理。

下面，我们将结合数学模型来探讨饮料厂的生产与检修。

首先，我们来介绍一下，饮料工厂的生产管理数学模型。

生产管理数学模型是通过建立数学模型对生产过程中的各种数据进行分析，从而实现对生产环节的优化，提高生产效率，减少浪费。

其中，最关键的一个参数是生产效率，这个参数与饮品质量、成本以及员工工资等众多因素相关。

要想提高生产效率，可以采用一些措施：1. 提高生产线的稳定性和可靠性，降低故障率，保证生产过程的正常运行。

2. 提高饮品的质量，让消费者更喜欢饮料，提高销售。

3. 采用自动化生产线，降低人工成本。

下面我们来具体解释一下生产效率的几个变量如何影响饮料工厂的生产管理数学模型。

1. 生产线的稳定性。

稳定性好的生产线可以减少生产停滞的时间，使得生产效率更高，有利于降低企业的生产成本和提高企业的盈利率。

2. 饮品的质量。

良好的饮品质量可以降低企业的售后成本和退货成本，并且可以提高消费者的忠诚度，从而保持企业的市场份额和提高企业的市场竞争力。

3. 自动化生产线。

自动化生产线可以自动完成不同的生产工序，不需要工人进行手工操作，降低了人力成本，并且大幅提高生产效率。

4. 生产成本。

生产成本包含原材料成本、能源成本、人工成本、生产设备成本等因素。

企业可以通过减少资源的浪费、提高生产效率、降低原材料成本、降低能源消耗、提高人工效率等方式达到控制生产成本的目的。

饮料工厂的维护管理数学模型接着，我们来介绍饮料工厂的维护管理数学模型。

维护管理数学模型是通过建立数学模型对设备、仪器等设施的维护情况进行分析，从而实现对设施的最佳修复和维护时间。

这也是保证生产线顺畅可靠、提高设备使用率的一个重要环节。

饮料工厂通过将设备、仪器等设施的维护情况进行量化，并将它们作为数学模型的输入参数，从而实现对各设施维护的最佳安排。

数学建模优化类型题

题目1产销量的最佳安排某厂生产的某种产品有甲、乙两个型号，假设该工厂的产品都能售出，并等于市场上的销量。

工厂的利润既取决于销量和（单件）价格，也依赖于产量和（单件）成本，按照市场经济规律，甲的价格会随其销量的增长而降低，同时乙的销量的增长也会使甲的价格有一定的下降；乙的价格遵循同样的规律。

而甲、乙的成本都随其各自产量的增长而降低，且各有一渐进值。

请你为该工厂设计一个最佳的产销量安排计划，即确定两个型号各自的产量，使总的利润最大。

解答提示1．无约束优化模型建立与求解记甲、乙两个型号的产（销）量分别为x1和x2，价格分别为p1和p2，成本分别为q1和q2。

简单地假设每个型号的价格与两个型号的销量成线性关系，即，，，并且合理地设（为什么？）。

简单地假设每个型号的成本与本型号的产量服从负指数关系，且有渐进值，即，，。

于是总利润为问题化为求解。

设定如下一组数据：，，输入MatLab求解，得到结果为：甲的产量为23.9025，乙的产量为62.4977，最大利润为6413.5。

查看程序代码function y=fun(x)y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);y=-y1-y2;x0=[50,70];[x,y]=fminunc(@fun,x0),z=-y题目2饮料厂的生产计划某饮料厂只生产一种饮料用以满足市场需求。

该厂销售科根据市场预测，已经确定了下一个月（未来四周）该饮料的需求量。

该厂生产计划科根据本厂实际列出了一个生产计划数据表（如下表所示）。

根据此表第二栏（生产能力）的数据，该厂能够提前完成生产任务，但如果周末有产品库存，每千箱饮料的库存费为则应如何安排生产, 可以保证按时满足市场需求, 且使总费用最小?1. 线性规划模型建立与求解（注意：此提示的数据是参考默认输入的数据值,请注意比较）本题目主要考察线性规划模型建立与求解。

饮料厂的生产与检验数学建模

饮料厂的生产与检验数学建模饮料在现代人的生活中扮演着重要的角色，因此饮料厂的生产与质量检验显得尤为重要。

为了提高饮料生产的效率和质量，许多饮料厂开始采用数学建模的方法来优化生产过程和检验方法。

饮料厂的生产过程可以通过数学模型来描述和优化。

在生产线上，饮料的生产需要经过多个环节，如原料投料、混合、搅拌、过滤、灌装等。

每个环节都有一定的时间和资源消耗，如何在保证产品质量的前提下提高生产效率成为饮料厂关注的焦点。

通过数学建模，可以对每个环节的时间、资源消耗进行优化，从而实现生产过程的高效运行。

饮料的质量检验也可以通过数学模型来实现。

传统的质量检验方法通常是通过人工抽检的方式进行，这种方法不仅费时费力，而且容易出现漏检和误检的情况。

通过数学建模，可以建立起饮料质量检验的数学模型，根据饮料的特性和质量指标，利用数学方法对饮料进行快速准确的检测。

例如，可以通过红外光谱技术对饮料中的成分进行分析，或者利用计算机视觉技术对饮料的外观和颜色进行检测，从而实现饮料质量的自动化检验。

数学建模还可以用于预测饮料的销量和市场需求。

通过对历史销售数据和市场趋势进行数学分析和建模，可以预测未来一段时间内饮料的销售情况，以便饮料厂调整生产计划和市场推广策略。

这样可以避免因生产过剩或供不应求而带来的经济损失。

在饮料厂的生产与检验中，数学建模还可以用于优化原料配比和生产工艺，以及控制生产过程中的变量。

通过对原料配比和生产工艺参数进行数学建模和分析，可以找到最佳的配比和参数组合，以实现产品的最佳质量和经济效益。

同时，利用数学方法对生产过程中的变量进行实时监测和调整，可以有效提高生产过程的稳定性和一致性。

总结起来，饮料厂的生产与检验数学建模是一种有效的方法，可以优化生产过程和质量检验，提高生产效率和产品质量。

通过数学建模，可以实现饮料生产的自动化和智能化，为饮料厂的可持续发展提供有力支持。

饮料厂可以充分利用数学建模的优势，将其应用到实际生产中，不断提升竞争力和市场份额。

数学模型姜启源-第四章(第五版)

8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24kgA1全部加工成B1
除加工能力外均为紧约束
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1h时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？
结果解释
Global optimal solution found. Objective value:
2) x1 x5 x2 x6 50
z=2400
数
z=c (常数) ~等值线
z=0
在B(20,30)点得到最优解.
目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某个顶点取得.
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
x4 0.75 x6 x1, , x6 0
模型求解
Global optimal solution found.
Objective value:
软件实现 LINGO
2) x1 x5 x2 x6 50
3
4
3460.800
Total solver iterations:
Variable
Value
增加1h时间使利润增长
X3 0.000000
19.20000
3.26
X4 0.000000
x1 x2 50 12 x1 8x2 480 3x1 100
x1 , x2 0
线性规划模型 (LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函的“贡献”与例 xi取值成正比

流程工业生产和维修计划数学模型

邮局订阅号：８２－９４６３６０元／年技术创新控制管理《ＰＬＣ技术应用２００例》您的论文得到两院院士关注流程工业生产和维修计划数学模型Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｆｏｒｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｐｌａｎｎｉｎｇｉｎｐｒｏｃｅｓｓｉｎｄｕｓｔｒｉｅｓ（１．沈阳化工学；２．锦化化工集团）张国光１李鹏辉１陈琼２ＺＨＡＮＧＧＵＯＧＵＡＮＧＬＩＰＥＮＧＨＵＩＣＨＥＮＱＩＯＮＧ摘要：在流程工业生产中维修计划是极其重要的。

在同时考虑生产和定期维修计划的情况下，开发了流程工业混合整数线性规划模型。

该模型可安排生产和定期维修计划，实现生产、延期交货、故障维修和定期维修的综合成本最小化。

模型考虑到前期维修期间的设备故障的可能性。

模型表达式具有通用性，因此适合多种生产环境。

关键词：线性规划；整数规划；流程工业；维修计划中图分类号：ＴＰ３０１文献标识码：ＢＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｐｌａｎｎｉｎｇｉｓｅｘｔｒｅｍｅｌｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｄｕｓｔｒｙ．Ａｍｉｘｅｄ－ｉｎｔｅｇｅｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｍｏｄｅｌｉｓｄｅ－ｖｅｌｏｐｅｄｔｏｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙｐｌａｎｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｉｎａｐｒｏｃｅｓｓｉｎｄｕｓｔｒｙｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌｓｃｈｅｄｕｌｅｓｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｊｏｂｓａｎｄｐｒｅｖｅｎｔｉｖｅｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｊｏｂｓ，ｗｈｉｌｅｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｃｏｓｔｓａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ｂａｃｋｏｒｄｅｒｓ，ｃｏｒｒｅｃｔｉｖｅｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅａｎｄｐｒｅｖｅｎｔｉｖｅｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌｔａｋｅｓｉｎａｃｃｏｕｎｔｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆａｂｒｅａｋｄｏｗｎｇｉｖｅｎｔｈｅｌａｓｔｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｐｅｒｉｏｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｆｌｅｘｉｂｌｅ，ｓｏｔｈａｔｉｔｃａｎｂｅａｄａｐｔｅｄｔｏｓｅｖｅｒａｌｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｉｎｔｅｇｅｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｄｕｓｔｒｙ，ｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｐｌａｎｎｉｎｇ文章编号：１００８－０５７０（２００８）０２－３－００５９－０３１引言对大多数企业来说，在生产的整个过程中，维修具有非常重要的作用。

饮料生产计划

课程设计报告课程设计题目：饮料生产计划学校：华东交通大学学院：基础科学学院内容提要：本文探讨在在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了数学模型的一个重要分支---------数学规划。

在本文中通过线性规划的方法初步解决了饮料生产计划使总成本最低的问题。

先给出目标函数，在通过分析得出约束条件得到可行域，在可行域中寻找最优解得问题。

本文还进一步讨论了限制乙厂的设备，再对生产计划进行调整。

可见，线性规划模型是解决资源最优配置的很重要的一种方法，通过建立这种模型可以解决企业人员分配问题，产品的生产与销售问题，工业原料采购的问题，学生选课策略等等实际性的问题。

这在日常生活及生产中是不可缺少的。

通过根据实际限制，对区间进行划分，在可行域中找最优解，即最好的解决方案。

关键词：目标函数，可行域，约束条件一．问题重述题目：饮料生产计划某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。

甲饮料厂生产A 饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。

甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。

现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料2000吨，B饮料3200吨。

假设甲饮料厂的可用生产能力为400小时，乙饮料厂的生产能力为240小时。

（1）请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。

（2）由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。

此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？首先，这是一个简单的线性规划问题。

建立基本模型：线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：每一个问题都用一组未知数（x1,x2,…xn)表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。

数学模型饮料厂的生产与检修

数学模型实验

高中数学建模的实践与思考——以“饮料罐的优化设计”为例

数学建模课程性质目的与任务数学建模课程是数学与应用

《数学建模》课程教学大纲

生产与设备检修模型

《数学建模(一)》课程教学大纲-公选课

【数学建模】饮料厂生产问题

奶制品的生产与销售 数学模型

数学建模与数学实验 复习范围

数学模型-饮料厂的生产与检修

饮料生产计划模型的建立与分析

数学建模优化建模实例【精选】

数学模型 饮料厂的生产与检修

数学建模优化类型题

饮料厂的生产与检验数学建模

数学模型姜启源-第四章(第五版)

流程工业生产和维修计划数学模型

饮料生产计划

奶制品的生产与销售数学模型

数学建模与数学实验复习范围

数学模型饮料厂的生产与检修