电磁场 计算机辅助分析 有限差分.
第4章 电磁场数值模拟-有限差分法
C
E dl
B ds t S
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E y
1 H x H z Ey z 1 Iy t z x H xn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 2 n 1 2 H x (i, k ) H x (i, k ) z z 2 2 H zn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 n 1 2 H ( i , k ) H ( i , k ) z z x x 2 2 k
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
边界反射
L=10
L=2
波场的等时间剖面（snap shot）
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
H x H z t z x E y H x E y H z ， t z t x
n 1 2 x
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
1 1 n1 2 n 1 2 E (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H x (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2 求解步骤： （1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场； （2） 用电场的更新式求 ( n 1) t 时刻的电场。 如此循环直至最大时刻。
有限差分法在电磁场理论教学中的应用研究
分布 ，而 电磁场与 电磁波又都具 有不可 见和 不可触摸
的特性 ，只能进行抽象 的想象或通过仪器进行 数据测
量 ；三是 电磁波是动态 的 ，电磁波是 电磁场相 互激 发 的结果 ，它在空间 的传播每时每刻 它的位置和状 态都 在发生变化。
传 统 的 电磁 场 与 电磁 波 课 堂 理 论 教 学 方式 ，一是
１静 态 场 模 拟
在 均 匀 介质 内 ，静 电势 （满 足泊 松 方程 ｐ
Ｖ ＝
如 各种复 杂的边 界条件 等 ，这种枯燥 的教学方法无法 引起学生 的学 习兴趣 ，找到一种方便 快捷的方法计算
和 模 拟 电磁 场 ， 并 以形 象 化 的 图形 演 示 电磁 场 是 一 种
行 之有效 的教学手段…。二是偏重理论教学 ，而忽视
为求解 由偏微 分方程定解 问题所构 造的数学模型 ，有
限差分法是将 定解区域 （ 区 ）离散化为 网格离散 节 场 点的集合 。并 以各离散点上 函数的差商来近似该 点的 偏导数 ，使待 求的偏 微分 方程定解 问题转化 为一组 相 应 的差 分方程 。根据 差分 方程组解 出各离散点 处的待
解不仅耗 时费力 ，容易出差错 ，并且求解 的电磁场和
程 中，学生就会思考 ：为什 么可以这么求解 ；如何 求
解 ；解决一 些什 么问题？ 带着 这些 问题学 习，学 习效
果 明 显 提 高。
电磁 波问题均 为设计 的理想化模型 ，只对一些特殊对
称 的边界 才能求解 ，而实际工程中的问题是变化 的，
电磁场 与 电磁 波理论作 为电子信 息类专业 的一门
的电位 分布问题 ，利用时域有 限差分法数值计 算波导
中的 电磁 波传 播问题 ，实现 电磁场和 电磁波可视化教 学简 化 了繁 琐的数学推 导 ，能够形象而直观地输 出可
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
有限差分法在静态电磁场数值计算中的应用
（18）
而为加速迭代解的收敛，构成超松弛迭代公式的原则是；并不将由上式所算得的结果作为 的第 次近似值，而仅把它视为一中间结果 ，然后作加权平均处理，即令
式中， 称为加速收敛的松弛因子。超松弛迭代法的 取值范围是 ，当 时，式(19)即归结为高斯一赛德尔迭代法的迭代公式18)；当 时，迭代过程将不收敛而发散。最佳收敛因子的取值随问题和离散化的情况而异。对于第一类边值问题，若一正方形场域由正方形网格剖分(每边节点数为 )，则最佳收敛因子 可按下式计算
3.2.1偏微分方程的离散化—五点差分格式
对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。 原则上，可以采用任意的网络刻分方式，但这将直接影响所得差分方程的具体内容，进面影响解题的经济性与计算精度。为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形网格的剖分方式。现即以这种正方形网络剖分场域 ，也就是说，用分别与 、 两坐标轴平行的两簇等距(步距为 )网络线来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
（20）
若一矩形场域由边长为 的正方形网格副分(设两边分别为 和 ，且 、 通常要大于15)，则相应的最佳收敛因子为
（21）
应当注意，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初值(即所谓零次近似值)，也是加速收敛速度的一个有效途径。
(2)，偏导数也可近似地用相应的差商来表达。若没定函数 ，当其独立变量 得到一个很小的增量 时，则 方向的一阶偏导数可以近似表达为
（9）
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
（10）
3.2差分格式的构造
电磁场与电磁波实验有限差分法
电磁场与电磁波实验有限差分法作者: 日期:电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法小(°)先对场域内的节点赋予初始值㈡，这里上标(0)表示第°次近似值，即初始值。
然后再按照：VUi]进行反复迭代。
若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
MAX①:N)- ①:N‘)W初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值; 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤复习理论知识；编写matlab程序；六、结果分析与问题讨论1、程序:clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4(i ,Pptx(1 ；j2,=(X(!-.1)j)+xe k1)+X3+1)2X0+1))4'Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));'''Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1) Pot(2)=0;for i=2:4for j=2:4声PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=nu m+1endsurf([0:4],[0:4],X);shadi ng in terpcolorbar('horiz')title(' 有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 10C 1 100%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =0.3815 0.7629%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.14400 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 num =283、波形图matlab 软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效 并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分方法电磁波时域有限差分方法是一种在计算电磁波传播过程中广泛使用的数值模拟方法。
它通过将电磁场的时域偏导数转化为差分形式进行离散计算，从而得到电磁场的时域响应。
这种方法在电磁波仿真、电磁辐射、雷达散射以及通信系统设计等领域具有重要的应用价值。
时域有限差分方法的理论基础是电磁波的麦克斯韦方程组。
通过将麦克斯韦方程组进行离散化，将时域偏导数转化为差分形式，并使用合适的差分格式来近似电场和磁场的时域分布。
通过迭代计算离散化后的麦克斯韦方程组，可以得到电磁场在时域上的演化过程。
具体来说，时域有限差分方法的基本步骤如下：1. 网格划分：首先对仿真区域进行网格划分，将空间离散为有限的小单元。
典型的网格划分包括一维、二维和三维的情况。
2. 差分格式选择：根据实际问题选择合适的差分格式，如中心差分格式、向前差分格式或向后差分格式等。
差分格式的选择会直接影响计算结果的准确性和稳定性。
3. 时间步长确定：为了保证计算结果的稳定性，需要根据空间离散步长和电磁波传播速度来确定合适的时间步长。
时间步长的选择需要满足稳定性条件。
4. 初始条件和边界条件设定：在仿真开始前，需要设定初始条件和边界条件。
初始条件指定电磁场在仿真区域内的初始分布，而边界条件则决定了电磁场与仿真区域边界的相互作用关系。
5. 迭代求解：通过迭代计算离散化的麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场在时域上的演化过程。
每一次迭代都涉及更新电场和磁场的数值。
时域有限差分方法相比其他电磁波计算方法具有一定的优势。
首先，它能够模拟电磁场的时域响应，对于短脉冲信号或非稳态过程的仿真非常有用。
其次，它在空域和频域上的计算误差相对较小，并且可以处理各种不规则形状的仿真区域。
此外，时域有限差分方法还可以结合其他方法，如有限元方法和边界元方法，进行更精确的仿真计算。
虽然时域有限差分方法在电磁波仿真中取得了显著的成果，但它也存在一些局限性。
首先，它的计算速度相对较慢，特别是在三维仿真中。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法电磁场理论是电磁学的重要组成部分，研究电磁场的分布和变化规律对于解决实际问题具有重要意义。
在计算电磁场中，有限差分法和有限元法是两种常用的数值计算方法。
本文将从理论原理、应用范围和优缺点等方面对这两种方法进行探讨。
有限差分法是一种将连续问题离散化的方法，通过将连续的电磁场分割成网格，然后在每个网格上进行离散计算。
这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用差分方程进行求解。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，适用于各种电磁场问题的求解。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，所以在计算精度上存在一定的限制。
与有限差分法相比，有限元法是一种更加精确的数值计算方法。
有限元法将电磁场问题的求解区域划分为有限个小单元，然后在每个小单元上建立适当的插值函数，通过求解代数方程组得到电磁场的近似解。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题。
然而，有限元法的计算过程相对较为复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题，计算量也较大。
在实际应用中，根据具体问题的特点和求解要求，选择合适的数值计算方法是十分重要的。
对于简单的电磁场问题，如一维导线的电流分布，可以选择有限差分法进行求解。
而对于复杂的电磁场问题，如三维空间中的电磁波传播，有限元法更适合。
此外，有限差分法和有限元法还可以结合使用，通过将两种方法的优点相结合，提高计算精度和效率。
除了理论原理和应用范围，有限差分法和有限元法的优缺点也值得关注。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，而且对于一些简单问题可以得到较为准确的结果。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，对于复杂问题的求解精度有限。
相比之下，有限元法可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题，计算精度较高。
然而，有限元法的计算过程相对复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题计算量较大。
有限差分法分析电磁场边值问题(定稿)
西南科技大学本科生毕业论文第 1 章绪论1.1电磁场理论产生的背景及其意义电磁场理论是人类探索自然活动的结晶和宝贵财富。
人类认识电磁场运动规律的道路是漫长而曲折的。
早在两千多年前，人类就有了关于磁石和摩擦起电的知识，我们祖先发明的指南针，为人类文明作出了不朽的贡献。
但是，将电磁场现象系统地上升为理论的研究并加以应用则是18世纪中叶，特别是19世纪中叶以后的事情。
1771——1773年，卡文迪许（Henry Cavendish;1731_1810）进行了著名的静电实验，库伦（Chareles-Augustinde Coulomb，1736——1806）于1785年建立了关于静电和静磁的平方反比定律，这标志着电学和磁学定量研究的开始。
此后，人们对电和磁现象进行了大量的观察和实验研究，其中，最著名的是伽伐尼（L.Calvani，1737——1798）在解剖青蛙是注意到青蛙腿的痉挛现象，从而发现电流；伏特（Alessandro Volt，1745——1827）用电化学方法产生了稳定的电流（即伏特电池）。
随后，欧姆（georg Simon Ohm，1789——1854）和基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824——1887）分别建立了后来用他们名字命名的电路定律。
在很长的时期内，人们把电和磁看成是相互独立的现象，并不知道他们之间有什么联系。
直到1820年奥斯特（Hans Christian Oersted，1777——1851）发现电流可使磁针偏转，级电流可产生磁力，才开始了将点与磁联系起来的研究。
1825年，安培（Andrc Maric Ampere，1775——1836）提出了确定两电流之间相互作用及载流导体能受到磁力作用的定律，即安培定律，毕奥（Biot）和萨法尔（Savart）确定了磁场和电流之间的定量关系，即毕奥-萨法尔定律。
到此为止，人们一直都还是在静止的或恒定的状态下研究电磁现象。
计算电磁场第7讲_频域有限差分法2
Research Institute of RF & Wireless Techniques School of Electronic and Information EngineeringSouth China University of Technology褚庆昕华南理工大学电子与信息学院计算电磁场第7讲频域有限差分法(2)-分界面的差分网格Research Institute of RF & Wireless Techniques 分界面与网格线重合 分界面与网格线呈对角线 三角形分界面微带问题第7讲内容7分界面与网格线重合Research Institute of RF & Wireless Techniques先假设为Research Institute of RF & Wireless Techniques7-2 分界面对网格呈对角线Research Institute of RF & Wireless Techniques7Research Institute of RF & Wireless Techniques7Research Institute of RF & Wireless TechniquesResearch Institute of RF & Wireless TechniquesResearch Institute of RF & Wireless TechniquesResearch Institute of RF & Wireless TechniquesResearch Institute of RF & Wireless Techniques 在差分法中难度最大的就是边界（包括分界）的差分处理。
如果有边界条件依据，则可得到令人信服的格式。
有些情况下，边界条件不清楚（例如角域中尖点处的边界条件），便有较大的随意性。
电磁场实验——用有限差分法解静电场边值问题
实验一 用有限差分法解静电场边值问题一、目的1．掌握有限差分法的原理与计算步骤； 2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子α的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。
二、方法原理有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。
应用有限差分法通常所采取的步骤是：⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。
⑵ 进行差分离散化处理。
用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。
⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。
现在，以静电场边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂)2()()1(02222s f D y x Lϕϕϕ中在为例，说明有限差分法的应用。
f (s )为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于图5.1-1中。
x图5.1-1 有限差分的网格分割1． 离散化场域应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。
通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。
如图5.1-1所示，现采用分别与x ，y 轴平行的等距（步距为h ）网格线把场域D 分割成足够多的正方形网格。
各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。
这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。
2．差分格式造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。
设结点0上的电位值为ϕ0。
结点1、2、3和4上的电位值相应为ϕ1、ϕ2、ϕ3和ϕ4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4-4ϕ1=0 （3）这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。
电磁场计算方法与技术的研究
电磁场计算方法与技术的研究电磁场是物质界中的一个现象，在物理学的研究中占有极为重要的地位。
随着科技的不断发展，电磁场计算方法和技术也得到了越来越广泛的应用。
本文将探讨电磁场计算的方法和技术。
一、电磁场的基本性质电磁场是一种能量和动量的传递媒介，它是由电荷和电流产生的。
它包括电场和磁场，它们之间的关系描述了电磁场本身的性质。
电场和磁场的产生和变化都受到麦克斯韦方程组的描述。
在实际研究中，我们需要根据麦克斯韦方程组建立数学模型，通过数值计算的方法来得到电磁场的分布规律。
二、电磁场计算的方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的电磁场计算方法，它基于离散化的思想，将空间和时间离散化为等间距的点，通过有限差分近似代替微分运算。
这种方法可以用于求解各种边值问题，包括静电场、静磁场和电磁波等。
有限差分法具有高效、简单、精度较高等特点，但是其精确度受到空间剖分的影响，如果空间间距过大，会导致精度不足。
2. 有限元法有限元法也是一种常用的电磁场计算方法，它是一种离散化方法，将连续的物理场离散为有限个离散元素。
通过有限元法可以得到各个单元内部的电磁场，从而推导出连续介质内部电磁场的分布规律。
3. 边界元法边界元法是一种将边界上的物理量加以积分来求解内部物理场的方法。
它将物理场分为积分区域内、积分区域外两部分，利用格林公式和边界条件将积分区域外的物理量转化为边界上的物理量，从而求解内部物理场。
边界元法具有高效、高精度、适应性强等优点。
三、电磁场计算的技术1. 计算机辅助设计软件计算机辅助设计软件可以用来模拟、计算电磁场分布规律，可以方便地建立模型，进行计算和分析，从而进行电磁场的优化设计。
2. 多物理场仿真软件多物理场仿真软件可以模拟多种物理场之间的耦合和相互作用，包括电场、磁场、温度场等。
它们不仅可以对各种物理场进行计算和分析，还可以对各种现象进行多方位的仿真，提高了计算精度和准确性。
3. 电磁场测量和检测仪器电磁场测量和检测仪器可以用来检测和测量电磁场的分布规律。
用有限差分方法求解微波电磁场问题--波导、微带、同轴电容
用有限差分方法求解微波电磁场问题本章主要内容是说明用差分法求解在微波器件和微波技术中常常遇见的一些偏微分方程的边值问题。
我们知道，很多给定边界条件的偏微分方程的求解相当复杂。
除少数情况外，要求它的精确解是颇为困难的，一般采用近似方法。
有限差分法就是经常采用的一种近似方法，它是用离散的、含有有限个未知数的差分方程去替代连续变量的微分方程，并把相应的差分方程的解作为该边值问题数值形式的近似解。
1 用差分方程解拉普拉斯方程在微波系统中很多问题，例如同轴线的台阶电容、谐振腔隙缝处的漏散电容、微带线的特性阻抗等，要求出它们的值，首先就要找出这些线或谐振腔内静电电位分布，这些电位分布是满足拉普拉斯方程的。
用差分方法解拉普拉斯方程是很方便的，所以我们开始就讨论它。
将拉普拉斯方程化成差分方程的方法在很多书上都可找到[6, 7]，下面将列出公式而不作推导，仅对差分方程的求解过程作一些简单介绍。
一、基本差分公式我们要求的电位函数u ，它在区域D 内满足下面的拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yux u (1-1) 在边界上S ，它服从以下条件：()p f u S = (1-2)式中()p f 为边界点p 的函数。
这类问题一般称为第一类边值问题或称狄里赫利问题。
为了用差分方法求解电位分布，先在y x -平面分别作两族平行于x 轴和y 轴的直线,线间的距离为h ，于是各直线的x 和y 坐标分别为：jh y ih x j i == ;式中j i ,为正整数，取值1、2、……。
这样区域D 就被许多边长为h 的正方形所覆盖，在图1-1中示出了这种情况。
各正方形的顶点被称为网格的节点，从图可以看到，各节点所处位置有所不同。
一些节点（例如a 节点）恰落在边界上S ，我们把它叫做边界节点。
有些节点到边界的距离不足h （例如节点b ）,这些节点叫做不规则节点。
但是大部分节点到边界的距离大于h ，例如图上的0点，它们属于规则节点。
差分法就是求这些离散节点处u 的近似值。
电磁场的数值计算方法与应用
电磁场的数值计算方法与应用引言：电磁场是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到电磁波、电磁感应等多个方面。
为了更好地理解和应用电磁场，科学家们开发了各种数值计算方法。
本文将介绍电磁场的数值计算方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法，它将连续的电磁场问题离散化为离散的网格点问题。
通过在网格点上近似计算电场和磁场的导数，可以得到电场和磁场在空间中的分布情况。
有限差分法的优点是简单易懂，适用于各种电磁场问题的求解。
例如，可以利用有限差分法计算电磁波在介质中的传播，或者计算导体中的电磁感应现象。
二、有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它可以用于求解各种复杂的电磁场问题。
有限元法将电磁场问题离散化为一系列的小区域，称为有限元。
通过在每个有限元上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
有限元法的优点是适用于各种不规则形状的区域，可以处理复杂的边界条件和材料特性。
例如，可以利用有限元法分析电磁场在电机中的分布，或者计算电磁屏蔽结构的性能。
三、边界元法边界元法是一种特殊的数值计算方法，它将电磁场问题转化为在边界上求解的问题。
边界元法通过在边界上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
边界元法的优点是可以减少计算的自由度，提高计算效率。
例如，可以利用边界元法计算电磁波在散射体上的散射现象，或者计算导体表面的电磁场分布。
四、数值计算方法在电磁场问题中的应用数值计算方法在电磁场问题中有着广泛的应用。
例如，在通信领域中，可以利用数值计算方法分析电磁波在天线和传输线中的传播特性，以及在无线通信系统中的传播损耗和干扰现象。
在电力系统中，可以利用数值计算方法分析电磁场对输电线路和变压器的影响，以及计算电力设备的电磁兼容性。
在电子设备设计中，可以利用数值计算方法分析电磁场对电路元件的耦合和干扰，以及计算电磁屏蔽结构的性能。
总之，数值计算方法在电磁场问题的研究和应用中发挥着重要的作用。
计算电磁学---有限差分法
第一章 有限差分法一元函数泰勒公式：设函数()f x 在0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-+其中，(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ 二元函数的泰勒公式：设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到1n +阶连续偏导数，00(,)x h y k ++为此邻域内任意点，则有00000020000100(,)(,)()(,)1()(,)2!1()(,)!1()(,)(1)!n n f x h y k f x y h k f x y x yh k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x yθθ+∂∂++=++∂∂∂∂+++⋅⋅⋅∂∂∂∂++∂∂∂∂+++++∂∂式中01θ<<；0000(,)0(,)mm m p p m p m x y p m p p f h k f x y c h kxy x y --=⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑1.利用泰勒展开求不等间距的差分格式。
（1）2x y ϕ∂∂∂ （2）33xϕ∂∂解：(1)2600104001040101040010400010041()()2!11()()(,)!(1)!n n h h h h x y x yh h h h x h y h n x y n x yϕϕϕϕϕϕθθ+∂∂∂∂=+-++-++⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂+-++-+-+∂∂+∂∂（1.1）250020120020120102012002012000200121()()2!11()()(,)!(1)!n n h h h h x y x yh h h h x h y h n x y n x y ϕϕϕϕϕϕθθ+∂∂∂∂=+++++⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂+∂∂（1.2）280090110090110109011009011000900111()()2!11()()(,)!(1)!n n h h h h x y x yh h h h x h y h n x y n x y ϕϕϕϕϕϕθθ+∂∂∂∂=+--+--+⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂+--+----∂∂+∂∂（1.3）270010030010030101003001003000100031()()2!11()()(,)!(1)!n n h h h h x y x yh h h h x h y h n x y n x yϕϕϕϕϕϕθθ+∂∂∂∂=+-+-+⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂+-+-+-∂∂+∂∂（1.4）()()()()605080702010400104020201200201202090110090110010*********()()2!1()()2!1()()2!1()(2!A B C D A h h A h h x y x y B h h B h h x y x y C h h C h h x y x y D h h D h h x y x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-+-+-+-∂∂∂∂=-++-+∂∂∂∂∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂+--+--∂∂∂∂∂∂∂∂+-+-∂∂∂∂20)y ϕ （1.5）0102090100412011032222010209010222204012011030000Ah Bh Ch Dh Ah Bh Ch Dh Ah Bh Ch Dh Ah Bh Ch Dh -+-+=⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ （1.6） 有线性代数知识可知，有多种差分格式。
计算电磁学中的时域有限差分法的数值特性分析及应用
计算电磁学中的时域有限差分法的数值特性分析及应用摘要时域有限差分法(Finite Difference Time Domain，FDTD)是解决电磁问题非常有效的一种数值方法。
本文先介绍了FDTD的基本原理，分析了FDTD解的稳定性和数值色散分析，然后用FDTD求解电磁散射问题，吸收边界条件的设置起着关键性作用。
通过时间和空间上的递推算法对FDTD中的两种吸收边界条件：Mur吸收边界条件和完全匹配层（PML）的吸收效果进行了比较和分析。
同时，引入参数对PML 的差分方程进行了优化，避免了将电磁场分裂为两个分量进行计算，进而降低了计算内存开销。
实验结果证明PML具有更优越的吸收性能。
关键词：计算电磁学；时域有限差分法（FDTD）；吸收边界条件1.绪论1.1 电磁场数值计算方法概述自1873年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁理论和应用的发展已经有一百多年的历史，Maxwell方程组的提出对于科学技术的发展具有重要的推动作用。
解析法、近似法、数值法共同构成求解Maxwell方程组的主要手段[1]。
在现代电磁场工程中，由于问题的复杂性，要求得到封闭形式的解已不可能，就是半解析的近似方法也只能在个别问题中得到有限的应用，能够较广泛发挥作用的，只有各种数值方法。
随着计算机技术的发展，诞生了一门解决复杂电磁理论和工程问题的应用科学——计算电磁学[2,3]。
最近几十年，各具优势和特色的新颖算法层出不穷相继提出。
在经历了理论和实践两方面检验的基础上，一些有生命力的数值计算方法取得长足进步，应用范围不断拓展。
关于电磁场数值计算方法如图1所示：图1 电磁场数值计算方法分类1.2 FDTD研究背景FDTD是电磁场数值计算中一种有效的方法。
在1966年K.S.Yee发表的著名论文“Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equation in isotropic Media”中，用后来被称为Yee氏网格的空间离散方式，把带有时间变量Maxwell方程转化为差分方程，诞生了后来被称作FDTD的一种新的电磁场数值解法[4]。
有限差分法求解电磁场问题
Φ 11 = Φ 12 = Φ 13 = Φ 14 = Φ 15 = 100V
Φ 51 = Φ 52 = Φ 53 = Φ 54 = Φ 55 = 0V
Φ 21 = Φ 31 = Φ 41 = Φ 25 = Φ 35 = Φ 45 = 0V
n 设Φ ij 为第i行第j列节点上的第n次迭代的电位，则 1 n n +1 Φ ij = (Φ i −1, j + Φ in, j −1 + Φ in+1, j + Φ in, j +1 ) (3.14) 4 对于每一个未知电位节点，我们可以列出一个这样的迭代 方程，于是得到9个未知电位节点的迭代方程组。若对9个 未知电位赋予初值（在计算机程序求解迭代方程时，9个 未知电位的初值通常赋予0值），则可通过在计算机上运 行一个简单的程序完成解迭代方程组。若将各未知节点电 位的初值赋予0值，当n=10时 Φ22 = 322523 Φ23 = 455555 Φ24 = 666666 Φ32 = 666666 , , ,
(3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎛ ρs ⎞ ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ⎜ 2 + 2 ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎜ε ⎟ ∂y ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
⎛ ρs ⎞ 2 ⎤ 1⎡ (3.11) Φ 0 = ⎢Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + ⎜ ⎟ h ⎥ ⎜ε ⎟ 4⎢ ⎝ 0 ⎠0 ⎥ ⎣ ⎦ 这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式， 它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度 之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变 为 1 (3.12) Φ 0 = (Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 )
计算机辅助分析实验教学法在工程电磁场实验中的应用
计算机辅助分析实验教学法在工程电磁场实验中的应用作者：苏利捷来源：《中国教育技术装备》2015年第24期摘要在电气工程专业工程电磁场课程学习中，学生普遍感到抽象、难以理解。
借助于计算机仿真模拟电磁场在不同媒质中的分布、变化及与电流的交链情况，便可得到清晰、直观的电磁场的表现形式，与试验相结合，更有助于对电磁场分布特性的掌握。
在电气工程案例背景下，计算机辅助分析实验教学法在工程电磁场课程教学中取得良好效果。
关键词工程电磁场；实验教学法；计算机辅助分析中图分类号：G642.423 文献标识码：B文章编号：1671-489X（2015）24-0146-031 引言在高校工科学生的学习中，实验教学对专业理论课的基本知识的掌握有着不可取代的作用，是培养学生动手能力的一个重要组成部分。
电气工程理论课程中工程电磁场的学习，对于电气工程及其自动化专业的学生来说普遍感到抽象、难以理解。
虽然实验可以提高学生的分析、动手能力，也是帮助学生掌握相关理论知识的有效手段，但电磁场的分布是实际存在但又感觉有若无、实若虚，在实验中很难得到直观的表现形式，仅凭理论描述和想象要求学生去深入理解确实有一定的困难。
如果借助于计算机仿真模拟电磁场在不同媒质中的分布、变化及与电流的交链情况，便可得到清晰、逼真、直观的电磁场的表现形式，与实验相结合更有助于对电磁场分布特性的掌握，加强电磁场理论的学习。
为提高工程电磁场课程的教学质量，在实验教学环节利用计算机辅助分析实验教学法化抽象为形象，进行一系列探讨。
对兰州交通大学2013级电气工程三个班的学生实施计算机辅助设计实验的应用，取得良好的效果。
2 传统实验教学中的问题实验中的问题在实验中很难得到直观的表现形式，仅凭理论描述和想象要求学生去深入理解确实有一定的困难。
如静电场模拟实验中，由于静电场问题，直接进行实验就有一定的难度，因此工程上常用恒定电流场来模拟静电场。
再如磁场的测量实验中，虽然可以用特斯拉计测出通电螺线管中的磁场，但都是一些枯燥的数据，绘出来的磁场依然是平面的，学生对磁场还是没有直观的感受。
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5. 二维场域的有限差分法
数值计算的两种重要方法
有限差分法(Finite Difference Method, FDM)
以差分原理为基础的一种数值方法；
首先，将求解场域剖分为很多网格和节点， 并用差商代替微商； 然后，将场域中的偏微分方程转化成以各节 点的电位或磁矢为未知量的差分方程组； 最后，解该方程组可得到各离散点待求的电 位或磁矢的数值解。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系 相互依赖
电磁场工程 电磁场理论
计算电磁场为电磁场理论提供研究提供复杂 的数值及解析运算的方法、手段和计算结果； 电磁场理论为计算电磁场问题提供了电磁规 律、数学方程，进而验证其计算结果。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
计算工具 革命性的变化
主要内容
f ( x) 1 f ( x h) f ( x) 2 x h h h
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
电磁场计算方法分类
镜像法 解析法 分离变量法 保角映射法 …… 有限差分法
数值法
有限元法 ……
电磁场计算方法分类
解析法优缺点
优点：可将解答表示为已知函数的显式，从 而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和 数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显 示中可以观察到问题的内在联系和各个参数对 数值结果所起的作用； 缺点：仅能解决很少量的问题，如简单边界 条件和规则几何形状问题。
dE
dq dy dE 2 40 r 40 (a 2 y 2 ) dEx
l
O
a
P
dy
40 (a y )
2 2
dE
cos
dq dy
E Ex
l 2 l 2
4 0 (a y )
2 2
a a y
2 2
y 1 2 l a n y 2 2
2
l 1 yn n y 2 2
3/2
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
核磁共振成像系统磁体、磁电磁物体发射以及电磁对人体影 响的计算分析等等。
数值计算的两种重要方法
有限差分法和有限元法之所以不同，是因为 它们的数学建模方式不同，即它们对泊松方程 或拉普拉斯方程的数学离散方式不同； 一旦建立起数学模型以后，可以采用任何一 种计算机语言进行编程计算。
主要内容
N
x
ba N
a x1
xn b
x
1 xn a n x 2
b
a
1 f ( x)dx x f a n x 2 n 1
N
分布型数值问题的数值积分法
y
例1. 求均匀的有限差分法
二维场域的有限差分法
差分运算的基本概念
拉普拉斯方程的有限差分形式
简单迭代法 超松弛法
差分运算的基本概念
一阶差分
f ( x) f ( x h) f ( x)
f ( x) f ( x h) f ( x) x h
一阶差商
二阶差分
2
2 f ( x) f ( x h) f ( x)
电磁场数值计算法
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系
相互依赖
电磁场工程 电磁场理论
计算电磁场解决实际电磁场工程中越来越复 杂的建模与仿真、优化设计等问题； 电磁场工程为计算电磁场提供实验结果，以 验证其计算结果的正确性。
dy
分布型数值问题的数值积分法
y
dq dy
例1. 求均匀带电直导线的电场强度。
dE
r
l
O
a
P
dE
E
l 2 l 2
4 0 (a y )
2 2
a a y
2 2
dy
dq dy
0 E l a(4a 2 l 2 )1/2 0
数值计算的两种重要方法
有限元法(Finite - Element Method, FEM)
以变分原理和剖分插值为基础的一种数值方法；
电机的电磁分布、电磁力、变形、转自运动、动态变化过 程以及电力电子装置相结合等的分析和特性预测及计算等；
转动调节器的计算；变压器以及其它电力系统元件，如高压 绝缘、高压线圈、输电线电缆、接地系统、输电线和配电线 的外部磁场分析等； 感应加热、电磁搅拌、冶炼过程的电磁分离选料，具有分布 式参数的天线的计算等；
(当a=0时) (当a>0时)
分布型数值问题的数值积分法
y
dq dy
例1. 求均匀带电直导线的电场强度。
dE
r
l
O
a
P
E
l 2 l 2
4 0 (a y )
2 2
a a y
2 2
dy
dE
dq dy
l y N
E
a
40
n 1
N
电磁场计算方法分类
数值法优缺点
优点：原则上可以求解具有任何复杂几何形 状、复杂材料的电磁场工程问题；普适性强； 用户不必具备高度专业化的电磁场理论、数学 及数值技术方面的知识就能用提供的程序解决 实际问题； 缺点：数据输入量大、计算量大、受硬件条 件的限制。
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
分布型数值问题的数值积分法
f ( x)
f ( xn ) f ( x1 )
……
O
f ( x)
b
a
f ( x)dx lim f ( xn )xn
N n 1