数学建模__中国城市房价分析__模拟

中国城市房价分析摘要随着近年来中国经济的快速发展，房地产业也得以迅猛地发展，其势头受到世人的瞩目，它作为国民经济的支柱产业不仅对国家宏观经济运行产生巨大的影响，而且与广大百姓的自身利益休戚相关。

本论文从实际出发，选取具有代表性的几个城市，结合其城镇居民的人均可支配收入，并参考国际房价合理性标准，从而研究我国房价的合理性。

然后根据数据预测未来几年各个城市的房价走势，并结合现阶段国家政策下的实际房价提出合理的措施。

最后根据搜集的数据，结合20世纪下半叶日本房地产与GDP的关系，预测房地产行业未来将会对中国经济产生的影响。

关键词：城市房价；合理性；GDP；国民经济1.问题重述房价问题关系到一个社会人民生活的切身利益，也对国家的经济发展与社会稳定有重要影响。

1998年6月，国务院决定，党政机关停止实行40多年的实物分配福利房的做法，推行住房分配货币化，让房地产业成为了中国经济新的增长点。

但是在居民收入持续上升的同时，房价也不断飙升。

尤其是近几年来，房价不断大幅度增加的问题引起了社会各界的广泛关注。

但是房价的合理性，以及房价未来的走势，至今也没有统一的认识。

因此，判断当今房价是否合理，预测未来房价走势，以及提出使房价合理化的措施，分析房价对经济发展产生的影响成为亟待解决的问题。

考虑到用楼房建造成本、土地成本等数据的搜集难度，我们不采用“结合楼房建造成本、土地成本、开发商利润”这个方法分析房价的合理性。

基于以上问题，我们下面分成四个问题进行讨论：问题1.首先选取我国几个具有代表性的城市，搜集其历年房价、历年城镇居民的人均可支配收入，分析判断各个城市房价的合理性；问题2.根据数据来预测未来几年所选取的各个城市的房价走势；问题3.根据所搜集的数据，结合近年国家所采取的调控政策，对房价问题提出合理的措施；问题4.根据所搜集的数据，选取日本上世纪的例子作比较，粗略预测房地产行业对中国经济发展的影响。

2.问题分析2.1 对问题1的分析房价的合理性不仅影响到经济发展，而且关系到社会稳定。

然而目前房价是否合理却没有一个统一的标准，这直接影响到老百姓对房价的正确认识。

为解决这一问题，我们选取一线的北京、上海，二线的东部城市杭州及西部城市西安四座城市作为研究对象，然后再查询四城2000至2010年的真实房价，及各年各市城镇居民的人均可支配收入。

由于房价的影响因素很多，我们通过网上的查找了解到影响房价的主要因素包括建筑成本，土地成本，各种税费以及当地居民人均收入等。

我们从相关资料查到了大量的数据，利用人均可支配收入与房价的数据，可拟合出人均收入与房价的关系式，另外根据房价与地价的关系得出理论房价。

通过比较理论房价与实际房价得出各城市房价的合理性。

2.2对问题2的分析本问是对房价的走势进行估计和预测。

房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，也是百姓生活中关注比较多、比较重要的问题之一。

较为准的预测未来房地产的销售价格，对社会经济发展和人民生活极为重要可以为经济决策提供参考，故其研究意义极为重大。

根据题目的提示，我们决定选取北京市为例，根据灰色模型来预测以后几年的房价，我们一定要具备的资料就是北京市近几年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算下一阶段这几个城市的房价走势。

经分析可知本问要用到邓聚龙教授提出的的灰色模型。

该模型的算法可以提高预测精确度。

邓聚龙提出的灰色模型：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。

具有灰色性的系统称为灰色系统。

在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。

2.3 对问题3的分析我们根据搜集到的近两年各个月的房价数据，结合这期间国家采取的一系列调控政策，选取其中三个不同时间点出台的调控政策来加以说明，通过比较政策出台前后的曲线变化来判断调控政策对于不断攀高的房价是否能够有效控制。

即判断其知否长期有效，能否达到目的。

2.4对问题4的分析我们根据在中国统计局网站和日本统计局网站上查得历年GDP值的数据，绘制出“2000—2010年中国GDP走势图”和“1955—1970年日本GDP走势图”。

并参考在网络上搜的的“2000—2010年中国房地产占GDP比例图”、“1955—1970日本房地产占GDP 比例图”，将其对应比较可以得出随着GDP的增加，中国房地产所占比例与日本房地产所占比例的相同发展趋势。

从而据此猜测房价的不断攀升将对中国经济产生的影响。

3.模型假设1.由房屋自身因素和环境因素组成的非市场因素对房价的影响中比较复杂，忽略不计。

2.市场因素中，土地成本和人们的收入水平是主导因素。

3.按国家的规定营业税为房价的5%，土地交易契税税率为3%，设定土地贷款年利率为5.4%相应贷款年限设为两年。

4.每一个周期的地价、建筑造价和税率费都维持不变。

5.容积率在每个周期维持不变。

6.所得数据均可靠真实；7.所有数据均为城市普通居民住宅，不包括别墅、高级住宅； 8.北京房价的其它影响房价的因素均不予考虑； 9. 数据的波动属于合理的范围内；4.符号说明a 为地价指数（%），A 为地价（元/平方米）， 0P 为实际房价（元/平方米建筑面积），v P 为理论房价（元/平方米建筑面积），p 房价指数，R 营业税（%）， C 综合成本（元/平方米）， S 利润（元）， W 容积率（%）， Y 土地交易契税税率， M 土地贷款年利率，t 贷款年限（年）， λ人均可支配收入（元）。

5.模型的建立与求解5.1问题1的模型5.1.1模型建立由问题1的分析知对房价的影响产生主要作用的因素有：建筑成本，土地成本，各种税费以及当地居民人均收入等。

在建立模型中，通过地价指数的算法和由搜集到的数据的拟合，模拟出房价与地价、人均收入以及税率和综合成本之间的一个数学关系。

5.1.2模型求解1、 求解地价指数与房价的关系 地价指数为[][]t M Y W S C R P a v *++**---=1/1β式中，β=666.67/100000；可得R C S W a B P v +++*=/1 （βtM Y B *++=1）2、求解人均收入与房价的关系表一 2000—2010年北京城镇居民人均可支配收入（元）作图拟合得出图形如下图一 北京人均收入与房价的关系图x 1040.40.60.811.21.41.61.822.24人均可支配收入房价表四 2000—2010年上海房价（元/平方米）图二上海人均收入与房价的关系图图三杭州人均收入与房价的关系图图四西安人均收入与房价的关系图由软件分析拟合得出之间满足如图中关系式 由公式21v V v P P P +=得出v P比较比较各市的实际房价与理论房价从而得出房价是否合理：二线城市中西部城市西安的房价比较合理，而东部城市杭州的房价较不合理。

由此可知，经济发达地区的房价较经济欠发达地区更为不合理。

5.2 问题2的模型5.2.1 所用符号说明：a 是待估参数向量，0X 是原始数据序列， 1X 是0X 的生成数据序列， 1Z 是1X 的紧邻均值生成，1ˆX是1X 的模拟值序列， 0ˆX是0X 的模拟值序列， S 是X 的灰色关联度，Sˆ是X ˆ的灰色关联度， ε是小误差概率。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=)10()9()8()7()6()5()4()3()2(111111111z z z z z z z z z B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)10()9()8()7()6()5()4()3()2(000000000x x x x x x x x x Y5.2.2 模型的建立与求解首先，我们选用2000—2009年北京市的房价数据，建立)11(，GM 模型。

我们可以记原始数据序列X 0为:X 0={x 0(1)， x 0（2），x 0（3），…，x 0（10）}=（4536,4838,4084,5575,5642,6725,7954,11454,10117.512067.3） 其相应的数据生成序列为：X 1={x 1 (1)，x 1（2），x 1（3），…，x 1（10）}=(4536,9374,13458,19033,24675,31400,39354,50808,60925.5,72992.8)Z 1为X 1的紧邻均值生成序列：Z 1={z 1 (1)， z 1（2），z 1（3），…，z 1（n ）}其中：Z 1（k ）=0.5 x 1(k)+ 0.5 x 1(k-1),k=1,2,…nZ 1=(4536,6955,11416,16245.5,21854,28037.5,35377,45081,55866.75,66959.15) 于是有-6955 1 -11416 1 -16245.5 1 -21854 1 B= -28037.5 1 -35377 1 -45081 1 -55866.75 1 -66959.15 14838 4084 5575 5642 Y= 6725 7954 11454 10117.5 1206712594726687.785 -287791.9B T B= -287791.9 92.94804726232809e -010 9.42693469905578e -006[B T B]= 9.42693469905578e -006 0.412555049801974α= (B TB)1- B TY=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0065660789.3226658731369816207.0接下来，我们可以确定模型：∂x 1/∂t-0.137 x 1=3226.1 以及时间响应式：)1(ˆ1+k x= (x 0(1)-b/a)e ak -+ b/a=28084.1751824818e k 137.0--23548.1751824818 那么可以求出x 1的模拟值：1ˆx=(4536,8659.54744476631,13388.5477261837,18811.898363274,25031.5495331852,32164.4205688172,40344.5978522459,49725.8554207689,60484.5456688712,72822.9144866069)还原0X 的模拟值，由)1(ˆ0+k x=)1(ˆ1+k x -)(ˆ1k x 得：ε=（1+S +s ˆ）/（1+S +s ˆ+s S -ˆ）=（4536，4123.54744476631，4729.00028141736，5423.35063709033，6219.65116991122，7132.87103563202，8180.177********，9381.25756852307，10758.6902481023，12338.3688177356）下面我们就可以计算X 和x ˆ的灰色关联度了： S =23565.15 s =23561.7300777391s S -ˆ=3.41992226094953ε=（1+S +s ˆ）/（1+S +s ˆ+s S -ˆ）=0.99992743840588>0.90精度为一级，可以用：)1(ˆ1+k x=28084.175182481k e 137.0--23548.1751824818 进行预测。