泛函分析第七章 习题解答

第七章 习题解答

1．设（X ，d ）为一度量空间，令

}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U

问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？

解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2. 设 ],[b a C ∞

是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞

按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则)

()(1)()(max

)()()()(t g t f t g t f r r r r b

t a -+-≤≤=0，即f=g

（2）)()(1)()(max 2

1

),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞

=∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）

因此],[b a C ∞

按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞

=1。

证明 令n n n o n n

B x d Bo o .2,1},1

),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使

n x x d 1),(10<

。设,0),(1

10>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1

),(1<，因此

)(∞−→−−→−n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞

=1。

4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)

,(1)

,(),(___

y x d y x d y x d +=

是X 上的距离。

证明 （1）若0),(___

=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而

t

t

+1在),[∞o 上是单增函数，于是)

,(),(1)

,(),(),(),(1),(),(___

___

z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

=

)

,(),(1)

,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++

)

,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___

__z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞

∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。

证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞

∈，即 )()(1)

()(max 21

),()

()()()

(0

t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤

≤≤∞

=∑——>0 )(∞−→−n 因此对每个r ，

)

()(1)()(max

2

1

)

()

()()

(0

t f

t f t f t f r r n r r n b

t a r r -+-≤≤∞

=∑——>0 )(∞−→−

n ，这样 b

t a ≤≤max )()()()

(t f t f r r n -——>0 )(∞−→−n ，即)()(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()

(t f r 。 反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使

2211ε<∑∞

+=o r r r

；存在r N ，使当r N n >时，max )()()

()(t f t f r r n - 00

,2,1,0,2r r r Λ=<ε，取N=max{ N N N K 1}，当n>N 时，)()(1)

()(max 21

),()

()()()

(0

t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤

≤≤∞

=∑ 即),(n f f d ——>0 )(∞−→−

n 。 6. 设],[b a B ⊂，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。 证明 记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞

>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证

明了E 为闭集

充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B

t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ⊂),(δ。设

),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是