均值不等式的实际应用
均值不等式及其应用详解
解：设ＤＱ长为y（m）,则
x 4 xy 200
2
A
M
N
B
故：
200 x y 4x
2
E
F
（２）解： x 0
s 4200x 210 4xy 80 2 y 400000 2 38000 4000 x x2
2
2
400000 S 38000 4000 x x2
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
3
2
x 4000 当且仅当 ２００吨时，每吨的平均成本最低
不等式定理及其重要变形：
（定理） a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab （推论） 2
( a, b R )
ab
ab 2 ( ) 2
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取
均值不等式在生活中的应用
均值不等式在生活中的应用
平均值不等式是一种重要的数学不等式，它的应用非常广泛，在生活中也有着重要的作用。
首先，平均值不等式可以用来分析一组数据的分布情况，它可以用来确定一组数据的中位数、众数、最大值和最小值等。
例如，在一组数据中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来确定这组数据的中位数、众数、最大值和最小值。
其次，平均值不等式可以用来分析一个系统的稳定性。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的稳定性，从而判断这个系统是否稳定。
此外，平均值不等式还可以用来分析一个系统的可靠性。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的可靠性，从而判断这个系统是否可靠。
最后，平均值不等式还可以用来分析一个系统的效率。
例如，在一个系统中，如果我们知道其中的平均值和方差，那么我们就可以用平均值不等式来分析这个系统的效率，从而判断这个系统的效率是否达到预期的要求。
总之，平均值不等式在生活中有着重要的作用，它可以用来分析一组数据的分布情况，也可以用来分析一个系统的稳定性、可靠性和效率等。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
均值不等式及其应用
利用均值不等式求最值
1.若a,b∈R+且ab=s（s为常数）则
（当且仅当a=b时取等号）
2.若a+b=p，a,b∈R+,则
（当且仅当a=b时取等号）
求最值要注意三点： ⑴正数 ⑵定值 ⑶检验等号是否成立
总结：利用均值不等式求最值需注意的问题 ①各数(或式)均为正; ②和或积为定值; ③等号能否成立. 即“一正、二定、三相等” 这三个条件缺一不可.
a b a,b是正数, 2 ≥ ab
（当且仅当a=b时取“=”)
这里，
a + 2 b
称为两个正数的算数平均数
a b 称为两个正数的几何平均数
3.均值不等式的变形:
ì ï a + b ? 2 ab (a 0,b > 0) 当积为定值时，和有最小值 ï ï ï 2 í 骣 a + b ï ÷ ç 当和为定值时，积有最大值 ab Ｎ (a,b R) ÷ ï ç ÷ ç ï 桫 2 ï î
考试说明
均值不等式是每年高考的热点， 但严格限制在两个上，对于文科主 要考察命题的判断，以及求最值等 问题。
1.理解并掌握均值不等式及其变形. 2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题.
知识梳理ห้องสมุดไป่ตู้
1.重要不等式:
a,b∈R,a2 +b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”)
2.均值不等式:
均值不等式的总结与应用
均值不等式总结及应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a ba +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）【解题技巧】技巧一：凑项 例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式推广的应用举例
均值不等式推广的应用举例以均值不等式推广的应用举例：1. 优化生产过程：假设某公司有多个工厂，每个工厂的产量不同。
为了提高整体产量，可以将生产任务分配给产量较低的工厂，以提高整体平均产量。
2. 管理团队的绩效评估：假设一个公司有多个部门，每个部门的绩效不同。
为了提高整体绩效，可以将资源和项目分配给绩效较低的部门，以提高整体平均绩效。
3. 资源分配：假设一个国家有多个地区，每个地区的发展水平不同。
为了促进整体发展，可以将资源和投资分配给相对较落后的地区，以提高整体平均水平。
4. 教育资源的分配：假设一个城市有多所学校，每所学校的教育质量不同。
为了提高整体教育水平，可以将更多的教育资源分配给教育质量较差的学校，以提高整体平均水平。
5. 投资组合优化：在投资组合中，不同的资产具有不同的收益和风险水平。
为了降低整体风险，可以将资金分配给风险较低的资产，以提高整体平均风险水平。
6. 健康管理：假设一个社区中有多个家庭，每个家庭的健康状况不同。
为了改善整体健康水平，可以将医疗资源和健康服务优先提供给健康状况较差的家庭，以提高整体平均健康水平。
7. 环境保护：假设一个地区有多个工业企业，每个企业的环境影响不同。
为了改善整体环境质量，可以加强对环境影响较大的企业的监管和管理，以提高整体平均环境质量。
8. 城市规划：在城市规划中，不同的地区具有不同的功能和发展潜力。
为了实现整体均衡发展，可以将资源和投资分配给发展潜力较大的地区，以提高整体平均发展水平。
9. 食品安全：假设一个国家有多个农田，每个农田的农产品质量不同。
为了保障整体食品安全，可以加强对农产品质量较低的农田的监管和管理，以提高整体平均食品质量。
10. 社会福利分配：假设一个社会有多个群体，每个群体的福利水平不同。
为了实现整体社会公平，可以将福利资源分配给福利水平较低的群体，以提高整体平均福利水平。
以上是以均值不等式推广的应用举例，通过合理的资源分配和管理，可以提高整体水平，实现更好的平衡和发展。
均值不等式的正确使用及例题
均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <B. Q P <R <C. P Q <R <D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
高中数学专题均值不等式的应用,求最小值问题,利用好条件更简便
高中数学专题均值不等式的应用，求最小值问题，利用
好条件更简便
均值不等式在求最小值问题中是非常常用的一种方法。
具体应用时，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的均值不等式进行推导。
例如，若要求函数 $f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}}$ 的最小值，我们可以根据函数的形式，将其化为 $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}$ 的形式，然后应用均值不等式得出：
$$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\geqslant2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\s qrt{\frac{1}{x}}}=2$$。
因此，$f(x)$ 的最小值为 $2$，当且仅当
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{x}}$，即 $x=1$ 时取得。
在应用均值不等式求最小值时，我们需要注意条件的限制，利用条件可以更加简便地解决问题。
例如，若要求$a^2+b^2+c^2$的最小值，且已知$a+b+c=1$，我们可以直接利用均值不等式得出：
$$a^2+b^2+c^2\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$$。
因此，$a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$，当且仅当
$a=b=c=\frac{1}{3}$ 时取得。
通过合理选择均值不等式及利用条件，我们可以更加简便地解决求最小值问题。
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数地积为定植时，可以求它们地和地最小值，当两个正数地和为定植时，可以求它们地积地最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．b5E2R 。
(2)求最值地条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量地取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛地应用』应用一：求最值例1：求下列函数地值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x<，求函数14245y x x =-+-地最大值.解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调整项地符号，又要配凑项地系数，使其积为定值.技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-地最大值.解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积地形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-地最大值为8.评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值. 变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=地最大值. 解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+地值域. 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）地项，再将其分离.当,即时,59y ≥=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值.22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,59y ≥=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负地形式，然后运用均值不等式来求最值.例：求函数2y =地值域.(2)t t =≥，则2y 1(2)t t t ==+≥因10,1tt t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数地值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 练习．求下列函数地最小值，并求取得最小值时，x 地值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+ba ，则b a 33+地最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小地过程，而且b a33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+地最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+地最小值.并求x,y 地值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号地条件地一致性，否则就会出错.. 2：已知0,0x y>>，且191x y+=，求x y +地最小值.错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号地条件地不一致，产生错误.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题地必要步骤，而且是检验转换是否有误地一种方法.正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+地最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +地最小值技巧七已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 地最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y 2 中y 2前面地系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22＝2 x ·12＋y 22下面将x ，12＋y 22分别看成两个因式：x ·12＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22)22＝x 2＋y 22 ＋122＝34即x1＋y 2 ＝ 2 ·x12＋y 22≤342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab地最小值.分析：这是一个二元函数地最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行地；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和地形式，又有积地形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式地途径进行.法一：a ＝30－2bb ＋1 ， ab ＝30－2bb ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,地应用、不等式地解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 地范围，关键是寻找到ab b a 与+之间地关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 地不等式，进而解得ab 地范围.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 地最小值.2.若直角三角形周长为1，求它地面积最大值.技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 地最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间地不等关系，a ＋b2≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和地形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积地形式，再向“和为定值”条件靠拢.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式:求函数15()22y x <<地最大值.解析：注意到21x -与52x -地和为定值.2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x=时取等号.故max y =. 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式.应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等地实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y>>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立地实数m 地取值范围.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中地应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a+=+=⋅=>>，则R Q P ,,地大小关系是. 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P .版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.HbmVN 。
均值不等式的实际应用
作答.
答 当该楼房建造 15 层时， 可使楼房每平方米的平均综 合费用最少，最少值为 2 000 元.
例2 (2000全国）如图,为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱 体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中,设杂质的质量分数与 a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问a,b各为多少时,经沉淀后 流出的水中,该杂质的质量分数最小.
3.4均值不等式的
实际应用
回顾与复习：
ab 如果 a , b R , 那么 ab 2 (当且仅当 a b 时 , 取 " " 号)
均值不等式及其使用注意事项：
1.利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；
和一定， 积有最大值。
2. 利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。
因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造是 297600元.
变式训练 某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空 地上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房.经测 算，如果将楼房建为 x (x≥10)层，则每平方米的平均建 筑费用为 560＋48x (单位：元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系 式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综 合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平 购地总费用 均购地费用＝ ) 建筑总面积
例 1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为 3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 4800 解：设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m. 3x
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式是一种数学定理，它是一种统计学中用来计算、衡量和分析数据的有用工具。
它主要用于描述数据之间的变化和相关性，从而有助于我们更好地理解数据。
因此，均值不等式在实际生活中也有多种应用。
例如，在投资业务中，投资人可以利用均值不等式来估算投资风险。
他们可以计算投资项
目的收益率，然后用均值不等式分析投资的可能收益情况，从而决定投资的安全性和可行性。
均值不等式还可以用于消费者心理分析。
研究发现，不同消费者对价格和服务质量之间的
平衡程度不尽相同，但通常会采用“更好的价格，更好的服务”的原则。
在此基础上，市场营销专家可以利用均值不等式对消费者的满意程度作出估计，从而帮助商家更好地把握顾客的需求，以便更好地进行营销活动。
另外，均值不等式还可用于保险行业。
投保人在采用保险前，必须先仔细评估投保风险，
以确定最佳的投保方案。
保险行业专家可以使用均值不等式来计算投保人支付保险费用和最终获得赔偿金额之间的关系，从而帮助投保人做出投保决定。
此外，均值不等式还可以用于贷款业务。
银行和金融机构在发放贷款时，有时需要考虑贷款利息与本金之间的关系，以确定最优的贷款金额。
这时，就可以使用均值不等式来计算贷款利息，从而为贷款发放者提供有用的参考。
总之，均值不等式在实际生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们分析数据，估算投资风险，理解消费者心理，进行保险行业分析，以及计算贷款利息等。
均值不等式的应用_数学教育
均值不等式的应用_数学教育
均值不等式是数学中常用的一种不等式关系，通常用于证明其
他数学问题或优化问题的解。
以下是一些常见的均值不等式的应用：
1. 在证明两个数不等式关系时，可以使用均值不等式。
例如，
证明$ (a + b)^2 \\geq 4ab$，可以应用均值不等式得到
$\\frac{(a+b)}{2} \\geq \\sqrt{ab}$，然后平方得到结果。
2. 在优化问题中，可以使用均值不等式来求解最优解。
例如，
求点到平面距离最小值时，可以使用均值不等式得到最优解。
3. 在概率论中，均值不等式是刻画随机变量几何平均值和数学
期望之间的不等关系的工具。
4. 在矩阵理论中，依据谁的均方根较小来确定矩阵的谱半径时，可以使用均值不等式。
总体上讲，均值不等式可以应用于各种数学问题，特别是那些
涉及到优化和不等式的问题。
均值不等式的具体应用
均值不等式的具体应用例1【2014年江苏卷（理14）】若三角形ABC 的内角满足CB A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ．【答案】426-【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得cb a 22=+，再由余弦定理，用b a ,去表示c ，并结合基本不等式去解决，化简22b a +为ab ，消去ab 就得出答案。
422214322221432)22(2cos 2222222222-+=-+=+-+=-+=ab b a ab ab b a ab b a b a abcb a C4264222143222-=-≥ab ba例2【2014年陕西卷（理16）】ABC ∆的内角CB A ，，所对的边分别为c b a ，，. （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 解：(II) a,b,c 成等比例，∴ b 2=2c.由余弦定理得 cosB=acacc a ac b c a 2222222-+=++≥2122=-ac ac ac ， 当且仅当a=c 时等号成立. ∴ cosB 的最小值为21. 例3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，三角形3cos cos 2C cB a b=-， 则1919b a +++的最大值为 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 3cos 0b Cc B -=。
（1）求tan B ；（2）若7b =，求ABC ∆的周长的最大值。
【知识点】解三角形C8【答案】【解析】3；(2)21 解析: （1） 因为sin 3cos 0,sin sin 3cos 0b C c B B C C B -=∴-=…………2分sin 0C ≠因为 ,cos 0B ≠∴3tan =B ………………………………………………………4分 （2）由（1）知，3B π= 由22272cos a c ac B=+-,得2249a c ac=+-，……………7分所以223()349()494a c ac a c +=+≤++所以14==7a c a c +≤（当且仅当时取等号），所以ABC∆周长的最大值为21……………………………………10分.【思路点拨】在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答.【题文】4设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件. F3 A2【答案】【解析】B 解析：因为0<⋅b a 时，,a b 夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅b a 成立，所以“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】：因为0<⋅b a 时，,a b 夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅b a 成立，所以“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件. 14. 已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y-=，则14x y+的最小值为 ；【知识点】基本不等式法求最值. E6【答案】【解析】3 解析：由312()2x y-=得x+y=3,所以14x y +()1143x y x y⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()141554333xy yx ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3142x y x x y y y x +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩(,(0,)x y ∈+∞)时等号成立.18. (本小题满分12分)已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值;(2) 在ABC ∆中, A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值. 【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；sin()yA x的性质；解三角形.C6 C5 C4 C8【答案】【解析】(1) 最小正周期为π ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0；（2）6. 解析：(1)31cos 2331()2sin 2cos2x-1=sin(2)1222226x f x x x x π+=+-=++-()sin(2)16f x x π∴=+-， ………2分∴最小正周期为π ………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0. (6)分 (2)1()2f A =-,3A π∴= ………8分 由余弦定理得,2222222223()()2cos ()3()44b c b c a b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=即244b c a +≤=,当且仅当2b c ==时取等号.ABC∆∴的周长的最大值是6. ……………12分法二：由1()2f A =-，得3A π∠=，由正弦定理可得， sin sin sin 33b c a B C A ====………8分,,33b B c C ∴==22sin )2sin())333L B C B B π=++=+-224sin()(0)63B B ππ=++<<所以，当3B π=时，L 取最大值，且最大值为6 ………12分【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数将函数化为()sin(2)16f x x π=+-，从而)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值；（2）由（1）及已知求得3A π∠=，再利用余弦定理及基本不等式求出L 取最大值；或利用正弦定理转化为角利用三角函数求L 取最大值. 21. (本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 过点A )23,22(-，离心率为22，点21,F F 分别为其左右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程; （2）若xy42=上存在两个点N M ,，椭圆上有两个点QP ,满足，2,,F N M 三点共线，2,,F Q P 三点共线，且MNPQ ⊥.求四边形PMQN 面积的最小值.【知识点】椭圆的标准方程及其几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系. H5 H8 【答案】【解析】(1)1222=+y x ;(2) 24.解析：（1）由题意得：22=ac ，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a b a ，得1=c ，所以22=a，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分（1） 当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S .当直线MN斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与xy42=联立得)42(2222=++-k x k x k ；令),(),,(2211y x N y x M ，24221+=+kxx ，121=xx .442+=k MN ，……………6分MNPQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky 将直线与椭圆联立得，0224)2(222=-+-+k x x k令),(),,(4433y x Q y x P ,24243+=+k x x，2222243+-=k k x x ；2)1(2222++=k k PQ ，……………8分∴四边形PMQN 面积S=)2()1(242222++k k k ，令)1(,12>=+t t k， 上式 242(1)(1)t S t t =-+=)111(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>所以42S ≥最小值为24 ……………12分 【思路点拨】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S ；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k ，与xy 42=联立，得442+=k MN .MNPQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky ，将此直线与椭圆联立得，2)1(2222++=k k PQ .所以四边形PMQN面积S=1||||2MN PQ =)2()1(242222++k k k ,因为211k ，可求得，此时S>24,综上，42S ≥最小值为24.。
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A
B a
b
P
H
解 : 设学生P距黑板x米,黑板上,下边缘与学生的
水平视线PH的夹角分别为APH , BPH ,
其中 ,则学生看黑板的视角为
A
由tan a , tan b ,由此可得,
B
x
x
a b
tan
tan tan Biblioteka ab x Pxab
H
1 tan tan
1
ab x2
用均值不等式解决本章引例中此类问题时，应按 如下步骤进行： (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值 或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数 的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案
二、讲解范例：
例1.甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以 相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两 次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片 芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片， 哪家公司平均成本低？请给出证明过程。
10000 10000 1 1
a
b ab
a b ab由于a,b不相等,故等号不成立,
2
又 1 1 2 1 1 a b ab
2 ab
1
2
1
ab
答：乙 公司平均成本较低。 a b
例4.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、 下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问 学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
例1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为
4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，
池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总
造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造
价为l元，根据题意，得
l 240000 720( x 1600) 240000 720 2 x
例四. 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到 乙地，速度不得超过C千米/时，已知汽车每小时的运 输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数 为 b；固定部分为a元，
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时） 的函数，并指出这个函数的定义；
x ab x
因为x ab 2 x ab 2 ab,当且仅当 x ab时, tan 最大,
x
x
由于 为锐角,此时 最大,
即学生距墙壁 ab时看黑板的视角最大.
例三:一批救灾物资随26辆汽车从某市以 vkm/h的速度运往灾区,已知两地的公路 长为400km,为了安全起见两辆汽车的间 距不得小于(v/20)2km/h,那么这批物质 全部云到灾区至少需要多少小时?
分析：
设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b 元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不 等式知识论证。
解：设第一、二次购芯片的价格分别为每片a元和b元，
那么甲公司两次购芯片的平均价格为 10000a b a b 元 \ 片 ,
20000
2
乙公司两次购芯片的平均价格为 20000 2 元 \ 片,
x 1600 x
240000 720 240 297600
当x 1600 ,即x 40时, l有最小值2976000. x
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的
总造价最低，最低总造价是297600元.
评述:此题既是不等式性质在实际中的应用，应注 意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不 等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质 的适用条件.
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行 驶？