因式分解分类练习提公因式法公式法十字相乘法
最新因式分解分类练习(提公因式法、公式法、十字相乘法)
因式分解：提公因式法专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
分解因式及在实数范围内分解因式
分解因式及在实数范围内分解因式因式分解的常用方法一、提公因式法。
二、运用公式法。
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 （二）分组后能直接运用公式四、十字相乘法。
（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
(二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2（三）二次项系数为1的齐次多项式（四）二次项系数不为1的齐次多项式五、换元法。
六、添项、拆项、配方法。
七、待定系数法。
八、在实数范围内分解因式因式分解巩固提高一．填空题1．如果二次三项式x 2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为（只填写一个你认为正确的答案即可) _________ ．2．把x 2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k 可以取的整数是 _________ ．(写出符合要求的三个整数）．3．分解因式：（x+2）（x+4）+x 2﹣4= _________ ．4．因式分解（x+1）4+(x+3）4﹣272= _________ ．5．分解因式:（1﹣7t ﹣7t 2﹣3t 3)（1﹣2t ﹣2t 2﹣t 3）﹣（t+1）6= _________ ．6．分解因式：18ax 2﹣21axy+5ay 2= _________ ．7．若对于一切实数x ，等式x 2﹣px+q=（x+1）（x ﹣2）均成立,则p 2﹣4q 的值是 _________ ．8．在实数范围内分解因式：2x 2﹣8x+5=2（x ﹣)（x ﹣)．此结论是： __ 的． 二．解答题9．分解因式（1）8a 3b 2﹣12ab 3c （2）﹣3ma 3+6ma 2﹣12ma（3）2（x ﹣y ）2﹣x （x ﹣y ） (4）3ax 2﹣6axy+3ay 2 （5）p 2﹣5p ﹣36(6)x 5﹣x 3 （7）（x ﹣1）（x ﹣2)﹣6 （8）a 2﹣2ab+b 2﹣c 210．已知x 2﹣7xy+12y 2=0（y≠0)，求x ：y 的值．11．（1）因式分解 （2x+y ）2﹣（x+2y)2 （2）在实数范围内分解因式x 4﹣9．12．把a 4﹣6a 2+9在实数范围内分解因式．13．把多项式9mx 4﹣6mx 2+m 在实数范围内因式分解．14．已知x 2﹣x ﹣1=0，求﹣x 3+2x 2+2007的值．15．已知四个实数a,b ，c ，d ，且a≠b,c≠d ．若四个关系式：a 2+ac=4，b 2+bc=4，c 2+ac=8，d 2+ad=8同时成立，试求a ，c 的值．16．已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．17．试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．18．计算:．19．计算：．20．已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．21．证明：58﹣1能被20至30之间的两个整数整除．22．用因式分解进行计算（1)（2）2.5×19.7+3。
因式分解法(十字相乘法)
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8
2x
3
1x
4
2x×4+1x×3=11x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12
2x
3
1x
-4
2x×（-4）+1x×3=-5x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
4x2- 7xy + 3y2
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
因式分解的八种方法
因式分解的八种方法一、提公因式法。
这就好比是从一群小伙伴里找出那个大家都有的东西。
比如说多项式3x + 6，3就是公因式呀，提出来就变成3(x + 2)啦。
有时候公因式可能不太好找，像是4x²y - 8xy²，这里的公因式就是4xy，提出来就成了4xy(x - 2y)。
提公因式法是最基础的方法，就像盖房子的地基一样重要。
二、公式法。
这里面有好几个小公式呢。
像平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，超级好用。
比如说9x² - 25，9x²就是(3x)²，25就是5²，那按照公式就可以分解成(3x + 5)(3x - 5)啦。
还有完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。
像x² + 6x + 9，这里的x相当于公式里的a，3相当于b，因为2ab = 2×x×3 = 6x，所以就可以分解成(x + 3)²。
三、分组分解法。
这个方法就像是给多项式里的项分组，让每一组都能找到分解的办法。
比如说ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两项ax + ay看成一组，提出公因式a就得到a(x + y)，后面两项bx + by看成一组，提出公因式b就得到b(x + y)，这样整个式子就变成了(a + b)(x + y)。
有时候分组可能要试几次才能找到最合适的分组方法，不过没关系呀，就当是玩拼图游戏啦。
四、十字相乘法。
这个方法很神奇呢。
对于二次三项式ax²+bx + c（a≠0），咱们要把a分解成两个因数，把c也分解成两个因数，然后交叉相乘再相加等于b。
就像x²+5x + 6，把1分解成1×1，6分解成2×3，1×3+1×2 = 5，那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。
《因式分解500题》(含答案)
服务内核部-初数教研
\ 3 /
25. 因式分解：−4 3 2 + 6 2 3 − 12 2 2
26. 分解因式：−6 − 142 3 + 123
27. 分解因式：−26 3 2 + 13 2 2 + 52 5 2 4
28. 因式分解：
\ 5 /
43. 分解因式：( − )5 + ( − )5
44. 分解因式：(1 − + 2 ) − 1 + − 2
45. 将下列各式因式分解：
①53 ( − )3 − 104 3 ( − )2 ；
②( − )2 + ( − ) + ( − )；
6. 分解因式：32 + 6 2
7. 因式分解：2 2 −
8. 分解因式：32 − 6
9. 分解因式：12 − 3 2
10. 用提公因式法因式分解：22 3 + 6 2
11. 因式分解：2( − ) − ( − )
12. 分解因式：( − ) − ( − )
29. 分解因式：( − 3)2 − (2 − 6)；
30. 分解因式：18( − )2 − 12( − )3
31. 因式分解：10( − )2 + 5( − )
32. 计算：( + )2 − ( + )( − )
33. 分解因式：( + 1)( − 1) + ( − 1)
19. 因式分解：−43 + 162 − 26
20. 分解因式：6 2 − 9 + 3
21. 分解因式：−82 − 2 + 6 2
22. 因式分解：−14 − 7 + 49 2
因式分解培优题超全面、详细分类
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法.一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2 - b 2=( a+b)(a—b)；(2)a2±2 ab+b2=( a ±b )2；(3)a3+b3=( a+b)(a 2 - ab+b2)；(4)a3- b3=( a一b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=( a+b+c )2；(6)a 3+b 3+c 3 一3 abc=( a+b+c)(a 2+b 2+c 2 - ab一bc一ca)；⑺a n—b n=(a—b)(a〃_i+a n-2b+a n-3b2+…+ ab n-2+b〃.i),其中n为正整数;(8)a n—b n=(a+b)(a〃-i—a n-2b+a n-3b2 -------------- +ab n-2 —b n-i),其中n为偶数;(9)a n+b n=(a+b)(a〃-i—a n-2b+a n-3b2 ------------------- ab n-2+b〃-i),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例题1分解因式：(1)—2X5n-i y n+4X 3 n-i %+2 - 2X n-i % +4；(2)X 3 —8 y 3—z 3 —6 xyz；(3)a2+b2+c2—2 bc+2 ca—2 ab；(4)a7—a5b2+a2b5—b7.第1页共16页例题2分解因式：a3+b3+c3 —3abc.例题3分解因式：X15+X14+X13+…+X 2+X +1.对应练习题分解因式:(1片2n + X n—(2) X10+X5 —23 3 x⑶x 4- 2 X 2 y 2- 4 xy 3+4 x 3 y+y 2(4 x 2+ 4 y 2)(4)(X5+X4+X3+X2+X +1)2—X5(5)9( a - b)2+12( a 2- b 2)+4( a+b )2(6)(a - b )2- 4( a - b - 1)(7)(X+y)3+2XJ(1—X—y) — 1第2页共16页二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提例题2分解因式：2 ax - 10 ay + 5 by一bx对应练习题分解因式：1、a 2 —ab + ac - bc2、xy一x - y +1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x 2 - y 2 + ax + ay例题4 分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2对应练习题分解因式：3、x 2 - x - 9 y 2 - 3 y4、x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz第3页共16页综合练习题分解因式:(11) a 2( b + c ) + b 2( a + c ) + c 2( a + b ) + 2 abc (12) a 4 + 2 a 3 b + 3a 2 b 2 + 2 ab 3 + b 4.(14) xyz (x 3 + y 3 + z 3) - y 3z 3 - z 3x 3 - x 3y 3(1) X 3 + X 2 y -町 2 - y 3 (2) ax 2 一 bx 2 + bx 一 ax + a 一 b(3) x 2 + 6xy + 9y 2 -16a 2 + 8a -1 (4) a 2 - 6ab +12b + 9b 2 - 4a(5) a 4 -2a 3 + a 2 -9 (6) 4a 2x - 4a 2y - b 2x + b 2y(7) x 2 - 2xy - xz + yz + y 2 (8) a 2 - 2a + b 2 - 2b + 2ab +1(9) y (y -2) - (m-1)(m +1)(10) (a + c )(a - c ) + b (b - 2a )(13) (ax + by )2 + (ay - bx )2 (15) x 4 - 2ax 2 + x + a 2 - a (16) x 3 — 3x 2 + (a + 2)x — 2a (17) (x +1)3 + (x + 3)3 -4(3x + 5)第4页共16页三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 ----- X 2 + (p + q )x + pq = (x + p )(x + q )进行分解.特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 2 + 5 x + 6例题2分解因式：x 2 - 7x + 6对应练习题分解因式:第5页共16页(1) x 2 +14 x + 24 (2) a 2 -15a + 36 (3) x 2 + 4 x - 5(4) x 2 + x - 2 (5) y 2 - 2y -15 (6) x 2 -10 x - 24(二)二次项系数不为1的二次三项式一-ax 2 + bx + c 条件：(1) a = a 1a 2 (2)(3) 分解结果: a ca 1 > <c 1 ------- 2 --------------- 2-b = ac + a c ax 2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例题3 分解因式：3x 2 -11 x +10 对应练习题分解因式: (1) 5 x 2 + 7 x - 6 (2) 3x 2 - 7x + 2(3) 10x 2 -17x + 3(4) — 6 y 2 +11 y +10（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：a2 - 8ab - 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.1 m 8b1 —16 b8 b+（—16 b）= -8 b对应练习题分解因式：（1）x2一3xy + 2y 2 （2）m 2一6mn + 8n 2（3）a 2一ab一6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x2 - 7xy + 6y2 例题6分解因式：x2y2 - 3xy + 2对应练习题分解因式:(1)15 x 2 + 7 xy - 4 y 2(2)a2x2 一6ax + 8综合练习题分解因式：(1) 8x6 一7x3 -1 (2) 12x2 -11 xy -15y2(3)(x + y)2-3(x + y) - 10(4)(a + b)2 - 4a - 4b + 3(5)x2y2 -5x2y-6x2(6)m2 - 4mn + 4n2 - 3m + 6n + 2第6页共16页3 xy - 2 xy = xy ,4 y + 9 y = 13 y , - 2 x + 3 x = x・•・原式=(x - 2y + 3)(x + 3y - 2)对应练习题分解因式:(2) 6x 2 - 7xy - 3y 2 - xz + 7yz - 2z 2第7页共16页(7) x 2 + 4xy + 4y 2 — 2x - 4y 一 3 (8) 5(a + b )2 + 23(a 2 一 b 2) -10(a 一 b )2(9) 4x 2 -4xy - 6x + 3y + y 2 -10 (10) 12(x + y )2 +11(x 2 - y 2) + 2(x - y )2 思考：分解因式：abcx 2 + (a 2b 2 + c 2)x + abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F 型多项式的分解因条件：（1） A = a 1a 2， (2) a c + a c = B 即： a1 ，a 1f2 + a 2 f t = D f 1 则 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = (a x + c y + f)(a x + c y + f ) 应用双十字相乘法：x (1) x 2 + xy - 2 y 2 - x + 7 y - 6 1 ，c 1f2 + 0 2 f 1 = E c 1 例题7分解因式： (1) x 2 -3 xy -10 y 2 + x + 9 y -2(2) x 2 + xy -6y 2 + x +13y -6x - 3 xy -10 y + x + 9 y - 22xy - 5xy = -3xy , 5 y + 4 y = 9 y , - x +2x = x・•・原式=(x - 5y + 2)(x + 2y -1)-2 y3y3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：y(y +1)(x2 +1) + x(2产 + 2y + 1)例题9 分解因式：ab(x2一y2) 一(a2一b2)(xy + 1) 一(a2 + b2)(x + y)四、主元法例题分解因式：x 2 — 3 xy一10 y 2 + x + 9 y - 2对应练习题分解因式:(1)x 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6(2)x 2 + xy - 2 y 2 - x + 7 y - 6 (3)6x2 - 7xy - 3 y2 + x一7 y一2(4)a 2 + ab - 6b 2 + 5a + 35b - 36第8页共16页五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例题 1 分解因式：(%2+% +1)(%2+% +2)—12.例题 2 分解因式：(％2 + 4% + 8)2 + 3%(%2 + 4% + 8) + 2%2例题3 分解因式：(% -1)(% +1)(% + 3)(% + 5) - 9分析：型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(%2—7% + 6)(%2—%—6) + 56 .例题 5 分解因式：(%2+3%+2)(4%2+8%+3)—90.例J题 6 分解因式：4(3%2 —%—1)(%2 + 2%—3) —(4%2 + %—4)2提示:可设3%2 —%—1 = A, %2 + 2%—3 = B，贝4%2 + %—4 = A + B.例题7分解因式：%6 —28%3 + 27例题8 分解因式：(a—b)4 + (a + b)4 + (a2 —b2)2第9页共16页例题9 分解因式：(y + 1)4 + (y + 3)4 —272例题9对应练习分解因式：a4 + 44 + (a - 4)4例题10分解因式：(% 2+%y+y 2)2 —4xy (% 2+y 2).分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=%+y，v=xy，用换元法分解因式.例题11 分解因式：2%4 - %3 - 6%2 - % + 2分析：此多项式的特点——是关于%的降赛排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6%4+7 % 3—36% 2—7%+6.例题11对应练习分解因式：%4 - 4%3 + %2 + 4% + 1第10页共16页对应练习题分解因式:(1)%4+7%3+14%2+7% +1(2)% 4 + 2 % 3 + % 2 + 1 + 2( % + % 2)(3)2005%2 - (20052 -1)%—2005(4)(% +1)(% + 2)(% + 3)(% + 6) + %2(5)(% +1)(% + 3)( % + 5)( % + 7) +15(6)(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4) - 24(7)(2a + 5)(a2 -9)(2a -7) -91(8)(%+3)(%2-1)(%+5)—20(9)(a2 +1)2 + (a2 + 5)2 -4(a2 + 3)2(10)(2% 2—3 % +1)2—22% 2+33 %—1(11)(a + 2b + c)3- (a + b)3- (b + c)3(12)%y(%y +1) + (%y + 3)-2(% + y + ；)-(% + y-1)2 乙(13)(a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1-ab)2第11页共16页六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合 并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要 恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解.说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强 的一种. 例题1分解因式：％ 3—9% +8.例题2分解因式：(1)X 9+X 6+X 3 — 3 ；(2)( m 2—1)( n 2—1)+4 mn ；(3)(X +1)4+(X 2—1)2+(X —1)4；(4) a 3 b —ab 3+a 2+b 2+1.对应练习题分解因式:(2) X 2 + 2(a + b )X - 3a 2 + 10ab - 3b 2(4) X 4 + X 2 + 2ax +1 - a 2(6) 2a 2b 2 + 2a 2c 2 + 2b 2c 2 一 a 4 一b 4 一c 4 (8) X 4—11 X 2y 2+y 2(10) X 4—12X +323(14) X 2 - y 2 + 4 X + 6 y - 5(15)(1 一 a 2)(1 一 b 2) - 4ab第12页共16页 (1) X 3 - 3 X 2 + 4 (3) X 4 - 7X 2 +1 (5) X 4 + y 4 + (X + y )4 (7) X 3+3X 2—4 (9) X 3+9X 2+26X +24(11 ) X 4+X 2+1; (12) X 3 — 11X +20；(13) a 5+a +1七、待定系数法例题1 分解因式：x2 +町一6y2 + x +13y - 6分析：原式的前3项x2 + xy一6y2可以分为(x + 3y)(x-2y)，则原多项式必定可分为(x + 3 y + m)(x一2 y + n)对应练习题分解因式:(1) 6 x 2 一7 xy一 3 y 2 + x一7 y一2(2)2x2+3xy—9y2+14x一3y+20(3)x2 一3xy - 10y2 + x + 9y -2(4)x2 + 3xy + 2y2 + 5x + 7y + 6例题2 (1)当m为何值时，多项式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多项式.(2)如果x3+ax2+ bx + 8有两个因式为x +1和x + 2，求a + b的值.(3)已知：x2 - 2xy - 3y2 + 6x-14y + p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.(4) k为何值时，x2 - 2xy + ky2 + 3x-5y + 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.第13页共16页八、余式定理(试根法)1、f Q)的意义：已知多项式f Q)，若把x用c带入所得到的值，即称为f Q)在x=c的)表示.多项式值，用f (c2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式f (x)除以g(x)所得的商式为q(x),余式为O,则：f (x)= g(x)X q(x)+ r(x)3、余式定理：多项式f (x)除以x - b之余式为f (b)；多项式f (x)除以ax - b之余式f (-). a例如：当f(x)=x2+x+2 除以(x- 1)时，则余数=41)=12+1+2=4.当f (x) = 9x2 + 6x-7 除以(3x +1)时，则余数= f (-，= 9x(—3)2 + 6x(—；) —7 = -8.4、因式定理：设a, b e R , a丰0, f (x)为关于x的多项式，则x-b为f (x)的因式o f (b) = 0 ；ax - b为f (x)的因式o f (—) = 0.a整系数一次因式检验法：设f(x)= c x n + c1x n-1+ + c j + c0为整系数多项式，若ax-b为f(x)之因式(其中a , b为整数，a丰0 ,且a , b互质)，则(1) a\c n, BC0 (2) ( a-b )|f(1), (a + b)|f(-1)例题1设f (x) = 3x3 + 2x2 -19x + 6，试问下列何者是f(x)的因式?(1)2x-1 , (2) x-2, (3) 3x-1, (4) 4x +1, (5) x-1, (6) 3x-4例题2把下列多项式分解因式：(1)x 3 - 5 x + 4(2)x 3 - 4x 2 + x + 6(3)3x3 + 5x2 + 4x - 2(4)x4 + 9x3 + 25x2 + 27x +105 111(5)x4+ —x3+ —x2—— x _ —6 2 2 3第14页共16页课后作业分解因式：(1)% 4 + 4(2)4%3 —31% +15(3)3%3—7% +10(4)%3—41 %+30(5)%3+4%2—9(6)%3+5%2—18(7)%3+6%2+11 %+6(8)%3—3%2+3%+7(9)%3 —11 %2+31 %—21(10)%4+1987%2+1986% +1987(11)%4 -1998%2 +1999% -1998(12)%4 +1996%2 +1995% +1996(13)%3 + 3%2y+3%y2+2j3(1412)%3—9a%2+27a2%—26a3(1413)4(% + 5)(% + 6)(% + 10)(% + 12) - 3%2 (1414)(%2 + 6% + 8)(%2 +14% + 48) +12(1415)(%2 + % + 4)2 + 8%(%2 + % + 4) +15%2(1416)2(%2 + 6% +1)2 + 5(%2 + 6% +1)(%2 +1) + 2(%2 +1)2 (1417)%4+%2y2+y4(1418)%4 —23%2y2+y4(1419)a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2(1420)a3 + b3 +12ab - 64(1421)a 3b - ab 3 + a 2 + b 2 +1.(1422)( a + b)2(ab一1) + 1(1423)%4 -2(a2 + b2)%2 + (a2 -b2)2(1424)(ay + b%)3 + (a% + by)3 - (a3 + b3)(%3 + y3) (1425)% 6 -19 % 3 y 3 - 216 y 6(1426)%2y—y2z+z2%—%2z+y2%+z2y—2%yz(1427)3%5 -10%4 -8%3 -3%2 +10% + 8第15页共16页因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n-1和2n +1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除.3、已知248-1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证:817 - 279 - 913能被45整除.6、求证:146+1能被197整除.7、设4%-y为3的倍数，求证：4%2+7%y-2y 2能被9整除.8、已知%2+ xy - 2y2=7,求整数x、y的值.9、求方程6xy + 4% - 9y - 7 = 0的整数解.10、求方程%y—%—y +1=3的整数解.11、求方程4x2—4xy—3y2=5的整数解.12、两个小朋友的年龄分别为a和b,已知a2+ab=99,则a=, b=.13、计算下列各题：(1)23x3.14+5.9x31.4+180x0.314；19953 —2 x 19952 —1993(2)19953 +19952 —1996 114、求积(1+ —)(1+ ^—)(1+ —)(1+ ^―)…(1+ —1—) (1+ 一1一)的1x 3 2 x 4 3 x 5 4 x 6 98 x 100 99 x 101 整数部分？15、解方程：(% 2+4% )2—2(%2+4%) —15=016、已知ac+bd=0,则ab(c2+d2)+cd(a2+b2)的值等于.17、已知a—b=3, a—c =3 26 ,求(c—b)[(a—b)2+(a—c)(a—b)+(a—c)2]的值.18、已知%2+ % +1 = 0,求%8+ %4+1 的值.19、若%满足%5 + %4 + % = -1 ,计算% 1998 + % 1999 H F %2004 .20、已知三角形的三边a、b、c满足等式a3 + b3 + c3 = 3abc，证明这个三角形是等边三角形.第16页共16页。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解(高级篇)十字相乘
(ax+b)(cx+d)= ( ac ) x ( ad+bc ) x bd
2
6
2 3
x2
+7x+2
1
a c
b
d
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2) 4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
1 3 2 +6 5 15==11 17 5 2 2 5
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+2x+2)(x2–2x+2) 拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
完全平方公式
平方差公式
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项 法，将多项式配成完全平方式，再 用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。 解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。
初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。
一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法等分解因式题型大全
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形1、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 、103)2)(5(2-+=-+x x x xC 、22)4(168-=+-x x xD 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、2)1(3222++=++x x xB 、22))((y x y x y x -=-+C 、222)(y x y xy x -=+-D 、)(222y x y x -=-3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A 、1)1(21222+-=+-a a a aB 、22))((y x y x y x -=+-C 、22)13(169-=+-x x xD 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、15123-=-+x y xB 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22x x x x +=+D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、ab a b a a -=-2)(B 、1)2(122+-=+-a a a aC 、)1(2-=-x x x xD 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、23)2)(1(2+-=--x x x xB 、)2)(1(232--=+-x x x xC 、4)4(442+-=++x x x xD 、))((22y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ）A 、mn 5B 、225n mC 、n m 25D 、25mn2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ）A 、3+a C 、3-aB 、1+a D 、1-a4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x yx 31128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、14-n m yx 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx -C 、mxD 、mx 5-6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）A 、)(5b a m -与a b -B 、2)(b a +与b a --C 、y mx +与y x +D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
完整版)因式分解的常用方法及练习题
完整版)因式分解的常用方法及练习题因式分解是初等数学中常用的代数式恒等变形方法之一，它在解决数学问题时发挥着重要作用。
因式分解方法灵活多样，技巧性强，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能和思维能力也有独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在此基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。
一、提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，使其成为一个因式乘以一个多项式。
例如，ma+mb+mc可以提取公因式m得到m(a+b+c)。
二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，反向使用这些公式可以得到因式分解中常用的公式，例如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式等。
还有两个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2和a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。
三、分组分解法：将多项式按照一定规律分成若干组，然后分别进行因式分解。
分组后能直接提取公因式的例子有am+an+bm+bn，可以将前两项分为一组，后两项分为一组，然后分别提取公因式得到(m+n)(a+b)。
分组后能直接运用公式的例子有2ax-10ay+5by-bx，可以将第一、二项为一组，第三、四项为一组，然后运用平方差公式得到(2a-b)(x-5y)。
因式分解方法的灵活性和技巧性需要通过大量的练才能掌握，只有掌握了这些方法和技巧，才能在解决数学问题时游刃有余。
例3、分解因式：x^2-y^2+ax+ay分析：将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，不能直接提公因式，需要另外分组。
改写：将x^2和ax分为一组，将-y^2和ay分为一组。
不能直接提公因式，需要另外分组。
例4、分解因式：a^2-2ab+b^2-c^2解：原式可以化为(a-b)^2-c^2，再用差平方公式得到(a-b+c)(a-b-c)。
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。
初中数学因式分解公式法十字相乘法知识点的讲解和练习
由此可见， 5、中考点拨： 例 1：因式分解： 解：
一定是 8 的倍数。
________。
说明 ： 因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。 例 2：分解因式： 解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示： 例 1. 已 知 ： 的值。 解： ， 求 _________。
将它与原式的各项系数进行对比，得：
7
解得： 此时，原式 （2）设原式分解为 ，其中 c、d 为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 ，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：
或 又
解得：
或
∴长方形的面积为 15cm2 或 3、在代数证明题中的应用
8
例. 证明：若 数。
是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则
是 49 的倍
分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。 证明一：
∵ ∴
是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数） 是 7 的倍数 是 7 的倍数，所以 （m 是整数） 是 49 的倍数。
是三角 形三边
且
即
5
4. 解 ，即 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知
故需考虑
值的情况，
（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1） 又
而 不全相等
（2） 原式 而 ，即
原式
说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。 5、用十字相乘法把二次三项式分解因式 【知识精读】 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。 掌握这种方法的关键是确定适合条件的
因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)
将下面的多项式分解因式 1) m²- 16 2) 4x² - 9y² m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b ) 4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
.
所以, 2n+4-2n能被30整除。
2. 若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的
值。 解: 因为a=-2，a+b+c=-2.8,
所以-2+b+c=-2.8, 解得 b+c=-2.8+2=-0.8
原式=-a(b+c)(a+3.2)=2×(-0.8)×1.2=-1.92
整式乘法 a² - b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
（1） x2 y 2
（2）x2 y2
（3） x2 y2
（4） x2 y2
（5）x2 2
我优秀
分解因式
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + z 4).²原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)4解(：a + b)²- 25(a - c)²=2 x ( 2 y + 2 z) 3解)：41.a原³式-=(=4x[+(axy++z2)z+)((yx+-yz))][(x+z)-(=y4+zx)(] y + z ) 42解.)原(：x式+=[2y(a++bz)])²²-[-5((ax-c)–]²y – z )² 53).原—12 式==a[(72²=a(a-4++a22bb()a-+5²-c51)((a)-=3-c4a)+]a[2(2ab(a+++51bc)))(-a5-1(a)-c)]
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因式分解：提公因式法专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
1、()()x a b y a b +-+2、5()2()x x y y x y -+-3、6()4()q p q p p q +-+4、()()()()m n P q m n p q ++-+-5、2()()a a b a b -+-6、2()()x x y y x y ---7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+-11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a -----17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+-19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数专项训练六、利用因式分解计算。
1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8⨯+⨯-⨯2、2.186 1.237 1.237 1.186⨯-⨯3、212019(3)(3)63-+-+⨯4、198420032003200319841984⨯-⨯专项训练七：利用因式分解证明下列各题。
1、求证：当n 为整数时，2n n +必能被2整除。
2、证明：2002200120003431037-⨯+⨯能被整除。
3、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除。
专项训练八：利用因式分解解答列各题。
1、22已知a+b=13，ab=40， 求2a b+2ab 的值。
2、32232132a b ab +==已知，，求a b+2a b +ab 的值。
因式分解：公式法专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式1、24x -2、29y -3、21a -4、224x y -5、2125b -6、222x y z -7、2240.019m b - 8、2219a x -9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q -13、2422a x b y - 14、41x - 15、44411681a b m -题型(二)：把下列各式分解因式1、22()()x p x q +-+2、 22(32)()m n m n +--3、2216()9()a b a b --+4、229()4()x y x y --+5、22()()a b c a b c ++-+-6、224()a b c -+题型(三)：把下列各式分解因式1、53x x -2、224ax ay -3、322ab ab -4、316x x -5、2433ax ay -6、2(25)4(52)x x x -+-7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb -10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+题型(四)：利用因式分解解答下列各题1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
2、计算⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54⨯-⨯ ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910---⋅⋅⋅--专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式1、221x x ++2、2441a a ++3、 2169y y -+4、214m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+10、214y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++13、2242025p pq q -+ 14、224x xy y ++ 15、2244x y xy +-题型(二)：把下列各式分解因式1、2()6()9x y x y ++++2、222()()a a b c b c -+++3、2412()9()x y x y --+-4、22()4()4m n m m n m ++++5、()4(1)x y x y +-+-6、22(1)4(1)4a a a a ++++题型(三)：把下列各式分解因式1、222xy x y --2、22344xy x y y --3、232a a a -+-题型(四)：把下列各式分解因式1、221222x xy y ++ 2、42232510x x y x y ++3、2232ax a x a ++4、22222()4x y x y +-5、2222()(34)a ab ab b +-+6、42()18()81x y x y +-++7、2222(1)4(1)4a a a a +-++ 8、42242()()a a b c b c -+++9、4224816x x y y -+ 10、2222()8()16()a b a b a b +--+-题型(五)：利用因式分解解答下列各题1、已知：2211128,22x y x xy y ==++，求代数式的值。
2、3322322a b ab +==已知，，求代数式a b+ab -2a b 的值。
3、已知：2220a b c ABC a b c ab bc ac ++---=、、为△的三边，且， 判断三角形的形状，并说明理由。
因式分解：十字相乘法题型(一)：把下列各式分解因式⑴256x x ++ ⑵ 256x x -+⑶256x x +- ⑷256x x --⑸2710a a -+ ⑹2820b b +-⑺22215a b ab -- ⑻422318a b a b --题型(二)：把下列各式分解因式⑴2243a ab b -+ ⑵22310x xy y --⑶22710a ab b -+ ⑷22820x xy y +-⑸22215x xy y -- ⑹2256x xy y +-⑺22421x xy y +- ⑻22712x xy y ++题型(三)：把下列各式分解因式⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-⑶2()8()20x y x y +++- ⑷2()3()28x y x y +-+-⑸2()9()14x y x y +-++ ⑹2()5()4x y x y ++++⑺2()6()16x y x y +++- ⑻2()7()30x y x y +++-题型(四)：把下列各式分解因式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+⑺ 223310x y xy y -- ⑻2234710a b ab b -+。