一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”(1)
阿波罗尼斯问题详细解答
――――――阿波罗尼斯问题详细解答1目序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录 内 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 什么是阿波罗尼斯问题？ 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 怎样作一条线段的垂直平分线？ 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 怎样作两个圆的公切线？ 什么叫反演变换？ 怎样作反演圆内一点的反演点？ 怎样作反演圆外一点的反演点？ 怎样作一条直线的反演图形？ 怎样作一个圆的反演图形？ 容录页码 03 03 03 03 04 04 05 06 06 06 07 08 10 10 10 11 11 13 13 14 16 17 17 18 19 22 26 31 35 41 47 55 69怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？ 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？ 什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？ 什么叫两圆周的共同幂？ 什么叫相似轴？怎样作出相似轴？ 阿波罗尼斯问题之一：点点点 阿波罗尼斯问题之二：线线线 阿波罗尼斯问题之三：点线线 阿波罗尼斯问题之四：点点线 阿波罗尼斯问题之五：点点圆 阿波罗尼斯问题之六：点圆圆 阿波罗尼斯问题之七：点线圆 阿波罗尼斯问题之八：线圆圆 阿波罗尼斯问题之九：线线圆 阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆 米勒问题和米勒定理2第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯” ，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》 。
【轨迹方程】--Apollonius圆 (阿波罗尼斯 圆,简称 “阿氏圆”)
1 Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足
2PA PB
=,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意
2= 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a
b +=()0a b >>
的离心率为2，且过点(P ，设椭圆E 的右准线l 与x
轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长（1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意
一点N ，有
MN NQ 为定值；且当
M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。
(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ证 （以1>λ为例）设λ===QBAQ PB AP a AB ,，则 1,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222-=+=-=⋅=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC aBC .λ=BCAC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。
性质2.因AQ AP AC ⋅=2，过AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.122⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。
性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =（1）求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.。
阿波罗尼斯圆的轨迹与周期性
阿波罗尼斯圆的轨迹与周期性阿波罗尼斯圆是一种特殊的曲线，其轨迹和周期性引起了众多数学家和物理学家的关注。
它有着许多有趣的性质和应用，本文将对阿波罗尼斯圆的轨迹与周期性进行探讨和阐述。
一、阿波罗尼斯圆的定义及性质阿波罗尼斯圆是以两个定点F1和F2以及一个固定长度d为条件而定义的。
在平面上，对于任意一点P到两个定点F1和F2的距离之差等于d。
换句话说，它满足PF2 - PF1 = d的条件。
阿波罗尼斯圆的轨迹是所有满足这个条件的点P的集合。
通过分析可以得出，当d的取值不同时，阿波罗尼斯圆会呈现出不同的形状。
具体而言，当d大于两个定点之间的距离时，阿波罗尼斯圆是一个封闭的椭圆。
当d等于这一距离时，阿波罗尼斯圆会变成一个抛物线。
当d小于这一距离时，阿波罗尼斯圆则是一个开放的双曲线。
二、阿波罗尼斯圆的周期性除了其特殊的轨迹，阿波罗尼斯圆还具有周期性的性质。
对于任意一点P处的角度θ，通过F1P和F2P可以确定一个界定角度ω。
当点P 绕阿波罗尼斯圆进行旋转时，角度θ和界定角度ω之间的关系始终保持不变。
这种周期性的性质可以通过数学的分析来证明。
首先，我们可以得出F1P + F2P = 2a，其中a表示椭圆的长轴长度。
然后，可以得出F1P - F2P = d。
通过将这两个等式相除，我们可以得到tan(θ/2) = d / 2a。
由此可见，角度θ和点P相对于阿波罗尼斯圆的位置有着确定的关系，从而证明了其周期性。
三、阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆作为一种特殊的曲线，具有广泛的应用价值。
首先，它在天文学领域中有着重要的地位。
阿波罗尼斯圆可以描述行星和卫星的轨道运动，帮助人们理解和预测天体的运动规律。
此外，阿波罗尼斯圆还可以应用于电磁波的研究。
在无线通信中，信号的传播路径可以通过阿波罗尼斯圆来模拟，从而可以优化信号传输的效果，提高通信质量。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着一定的应用价值。
例如，在建筑设计中，可以通过阿波罗尼斯圆的轨迹来确定建筑物中的自然采光方案，实现光线的最佳分布。
关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究
!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
阿波罗尼斯圆的应用及探究
阿波罗尼斯圆的应用及探究教学目标：(1)回忆求轨迹方程的一般步骤，能根据已知条件，求满足条件动点的轨迹方程及轨迹；(2)能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理、能够运用此定理来解决一些简单问题；(3)在已有经验的基础上，对阿波罗尼斯定理进一步探究得出一些特殊结论，体会探究的经历，渗透数形结合、归纳类比的数学思想.问题 在同一平面内，已知两定点()()2,0,4,0A B -，若动点P 满足12PA PB =,则点P 的轨迹方程是________.其轨迹为_________.变式 如果将题目中“12PA PB =”改为“()01PA PB λλλ=>≠且”呢？练习（2008年江苏高考题）在ABC ∆中，已知2,AB CA =,则ABC ∆面积的最大值是_______例1、已知点()2,0,A P -是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在平面上是否存在B ，使得12PA PB =？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.变式 已知点P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，问在x 轴上是否存在两定点,A B ，使得12PA PB =？若存在，求出两定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由.例2、已知()()2,0,4,0A B -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，问是否存在这样的常数λ，使得PA PBλ=？若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由对以上问题的反思：对于圆222r y x =+上任意一点P ，和定点)0,(0x A ，是否在x 轴上存在不同于A 点的点B ，使得||||PA PB 为常数λ？ 变式一 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点)0,(0x A ),0(00r x x ±≠≠，在x 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且)0,(02x r B ，||0x r =λ变式二 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P ，在x 轴上存在不同的两点)0,(),0,(21x B x A )0,0(21≠≠x x ，使得||||PA PB 为常数λ)1(≠λ，且1221,x x r x λλ=±=变式三 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点),0(0y A ),0(00r y y ±≠≠，在y 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且),0(02y r B ，||0y r =λ 注 1. 可以由变式二类似地到什么结论，请你把它写下来，并加以证明2. 你还能得到更一般的结论吗？。
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
R150 47
R40
L
A
R100
C
B
R57.14285714
120
R60
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
C
B
R57.14285714
D
120
图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
Y
kL
P(x,y)
图 8 题目 1 题解
TA
RA
O OA
RB TB C OB OQ
X RD
a Xo
图 9 圆圆阿氏圆方程
3
根据已知条件列方程：
x2 y2 R A2 k 2L2
， x a2 y2 RB2 L2
x2 2ax a2 y2 RB2 L2
k 2 x2 2ak 2 x a2k 2 k 2 y2 k 2RB2 k 2L2
k2 1
x2 y2
心圆。见图 15。
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k2
1
x2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
x
2
1 k2 1
2ak 2
2ak 2
2 4 k2 1
a2k 2
R
2 A
k
2
R
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。
在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。 阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA）、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P 的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
阿波罗尼斯圆的证明
阿波罗尼斯圆的证明阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
这个定理的证明方法很多。
下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB＝m∶n ，M 是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD＝BM∶MC∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM 平分∠BA C。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN＝AB∶AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN ＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC 有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点，PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆本文为头条号作者发布，不代表今日头条立场。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。
简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足｜PA|／｜PB| ＝定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。
这个圆有着一些有趣的性质。
比如说，圆心在线段AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。
在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。
比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。
在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。
例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。
在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。
在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。
在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。
很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。
接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。
假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。
首先，设点 P 的坐标为（x, y)。
则｜PA| ＝√（x²＋ y²)，｜PB| ＝√（x 4)²＋ y²。
因为｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，所以√（x²＋ y²) ／√（x 4)²＋ y²＝1/2。
完整版阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆〔阿波罗尼斯圆〕为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .阿氏圆定理〔全称：阿波罗尼斯圆定理〕,具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比n〔丰1〕,那么P点的轨迹,是以定比n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB 〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆根本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴分别有点C〔m, 0〕 , D〔0, n〕.点P是平面内一动点,且OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹〔圆〕,以点.为圆心、r为半径画圆；〔假设圆已经画出那么可省略这一步〕第二步：连接动点至圆心0〔将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接〕,即连接OR OD第三步：计算出所连接的这两条线段OR OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆.交点即为点P.此时CMgP所求的最小值.一…,括号外边,将其中一条线段的系数化成；,再构造△相似进行计算】习题【旋转隐圆】如图,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),假设AC=4, BC=3那么在旋转过程中,线段C咔度的取值范围是.1.Rt △ ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点.为^ ABC内一动点,满足CD=2 贝U AD+2 BD3 的最小值为.2.如图,菱形ABCD勺边长为2,锐角大小为60° , O A与BC相切于点E,在O A上任取一-3……点P,贝U PB+业3 PD的最小值为2【旅转隐圆】第1鞭第2题3.如图,菱形ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点,贝U PD+11 PC的最小值为.24.如图,点A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10.动.,, …1…点P在③.上,贝U PC+— PD的最小值为.25.如图,等边△ ABC的边长为6,内切圆记为.O P是圆上动点,求2PB+PC勺最小值.第3题第4题第5题6.如图,边长为4的正方形,内切圆记为③ O, P是圆上的动点,求J2PA+PB勺最小值.7.如图,边长为4的正方形,点P 是正方形内部任意一点,且BP=2那么PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8.在平面直角坐标系xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第象限内一动点,且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是.10.如图,在 Rt△ ABC 中,/ A=30° , AC=8,以 C 为圆心,⑴试判断O C 与AB 的位置关系,并说明理由；⑵点F 是③C 上一动点,点 D 在AC 上且CD=2试说明△ FCL^A ACF 1 ……EF+— FA 的最小值.211.(1)如图1,正方形 ABCD 勺边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个动点,求PD+1 PC 的最小值和PD-1PC 的最大值；22⑵如图2,正方形 ABCD 勺边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的一个动点,那 ,2,, 一…2…,…么PD+—PC 的最小值为 , PD-—PC 的最大值为 .3 3⑶如图3,菱形 ABCD 勺边长为4, Z B=60° ,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个 动点,那么PD+1PC 的最小值为 , PD-1PC 的最大值为 .22ZABC=60 , O A 的半径为6, P 是O A 上的动点, 连接PB PC,4为半径作O C.9,在^ ABC 中,AB=& BC=8那么3PC+2PB 勺最小值为⑶ 点E 是AB 上任意一点,在(2)的情况下,试求出B•••PD=1BP, ••• AP+1 BP=AP+PD221……,请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+—BP 的最小值为 .2⑵自主探索：在“问题提出〞的条件不变的情况下,-AP+BP 的最小值为 .3⑶ 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3 OB=5,点P 是弧CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x 轴交于点 A (4, 0),与y 轴交于点B,在 x 轴上有一动点E (m 0) ( 0v rnK 4),过点E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点N,交抛物线 于点P,过点P 作P 机AB 于点M⑴求a 的值和直线AB 的函数表达式；⑵设△ PMN!勺周长为 C1, △ AEN 的周长为 C2, 假设C6,求m 的值； C25⑶如图2,在(2)条件下,将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va V90° ),连接E' A 、E' B,求 E' A+2E' B 的最小值.3问题背景：如图1,在^ ABC中,BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CADW B,交BC的延长线于点问题解决：求△ ABC的面积的最大值.,AC=D,求CD的长.1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：⑴如图1,A、B C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点D,连接DA DC 使四边形ABCC^邻等四边形；r_r T-r -i r ~r~r ~r _r _i尝试体验：⑵如图2,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边形ABCD勺面积.解决应用：⑶如图3,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形, 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗如果能,请求出此时四边形ABCE®积的最小值；如果不能,请说明理由.2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形〞.(1)如图1,在四边形ABC/,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形〞.请写出你添加的一个条件.⑵如图2,等邻边四边形ABCg, AB=AD Z BAD% BCD=90 , AG BD为对角线,AC^2AR试探究BC, BD的数量关系.(3)如图3,等邻边四边形ABC" AB=AD AC=2, / BAD=^ BCD=60 ,求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.S'。
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆
1.一个轨迹问题
已知,，若动点满足，求动点的轨迹。
解：由题可知，设，则
化简整理可得
∴动点的轨迹为以为圆心，为半径
的圆，该圆与直线的两交点分别为。
2.阿波罗尼斯圆
早在两千多年前古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中已经发现了一个规律：一般地，平面上到两个定点距离之比为一个不
等于1的常数的动点的轨迹是一个圆。
这种圆因而被称为阿波罗尼斯
．．．．．圆．。
一般地，已知,，若动点满足，则动点的轨迹方程为
其圆心为，半径。
3.阿波罗尼斯的一个性质
设,为平面上两定点，动点满足
，则动点的轨迹为圆。
设圆与直线的两交点为，则
即分别为分线段的定比绝对值为的内外分点。
高考数学阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用(含答案)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯(Apollonius 约公元前262~192)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2a λ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．性质2：因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．性质4：过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．性质6：过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图④，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE =12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．【典例刨析】1.(2022·河北盐山中学高二期中)已知两定点A -2,1 ，B 2,-1 ，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.2.(2022四川涪陵月考)若ΔABC 满足条件AB =4,AC =2BC ，则ΔABC 面积的最大值为__________．3.已知圆O ：x 2+y 2=9，点B -5,0 ，在直线OB 上存在定点A (不同于点B )，满足对于圆O 上任意一点P ，都有PAPB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4.在平面直角坐标xOy 中，已知点A 1,0 ,B 4,0 ，若直线x -y +m =0上存在点P 使得PA =12PB ，则实数m 的取值范围是_______．5.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PAPB =3，则PA 2+PB 2的最大值为( )A.16+83B.8+43C.7+43D.3+36.(2022四川·成都外国语学校高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A -1,0 ，B 2,0 ，圆C :x -2 2+y -m 2=14m >0 ，在圆上存在点P 满足PA =2PB ，则实数m 的取值范围是( )A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212【针对训练】7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，O 1:x -4 2+y 2=4，动点P 在直线x +3y -b =0上，过P 点分别作圆O ,O 1的切线，切点分别为A ,B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8.已知A ,B 是平面上两个定点，平面上的动点C ,D 满足|CA |CB=|DA|DB =m ，若对于任意的m ≥3，不等式CD≤k AB 恒成立，则实数k 的最小值为______．9.已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t ,0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD |≤2|BD|恒成立，则最小正整数t =__________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：(x +4)2+y 2=4，动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11.在平面直角坐标系xOy 中，M ,N 是两定点，点P 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，满足：PM =2PN ，则MN 的长为.12.(2022辽宁·高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.参考答案1.【答案】40π【分析】设P (x ,y )，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设P (x ,y )，由题设得：(x +2)2+(y -1)2=2[(x -2)2+(y +1)2]，∴(x -6)2+(y +3)2=40，故P 的轨迹是半径为40的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π2.【答案】163【分析】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理可得cos B =16+x 2-(2x )22×4×x =16-3x 28x由三角形任意两边之和大于第三边得x +2x >4x +4>2x ，解得43<x <4，即169<x 2<16∴S ΔABC =12⋅4⋅x ⋅sin B =2x 1-cos 2B =2x 1-16-3x 2 264x 2=2569-916x 2-809 2当x 2=809时，ΔABC 面积取最大值163故答案为：163【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3.【答案】A -95,0 ，PA PB=35【分析】根据两点距离的坐标运算可得10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，进而得10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，即可求解.【详解】设P (x ,y ),A (a ,0),a ≠-5，设PA PB=λ>0故PA PB=x -a 2+y 2x +52+y2=λ，且x 2+y 2=9，化简得：10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，该式对任意的x ∈-3,3 恒成立，故10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，解得a =-95λ=35或a =-5λ=1 (舍去)，故PA PB=35，A -95,0 4.【答案】-22,22【分析】根据PA =12PB 得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线x -y +m =0上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设P (x ,y )则PA =(x -1)2+(y -0)2,PB =(x -4)2+(y -0)2，因为PA =12PB ，所以有(x -1)2+(y -0)2=12(x -4)2+(y -0)2，同时平方，化简得x 2+y 2=4，故点P 的轨迹为圆心在(0,0)，半径2为的圆，又点P 在直线x -y +m =0上，故圆x 2+y 2=4与直线x -y +m =0必须有公共点，所以|m |1+1≤2，解得-22≤m ≤2 2.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5.【答案】A【分析】设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，由PA PB=3，可得点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，又PA 2+PB 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，因为PA PB=3，所以x +1 2+y 2x -12+y2=3，即x -2 2+y 2=3，所以点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，因为PA 2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，所以x 2+y 2 max =2+3 2=7+43，所以2x 2+y 2+1 max =16+83，即PA 2+PB 2的最大值为16+83，故选：A .6.【答案】D【分析】设P x ,y ，根据PA =2PB 求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设P x ,y ，因为点A -1,0 ，B 2,0 ，PA =2PB ，所以x +12+y 2=2x -2 2+y 2即x 2+y 2-6x +5=0，所以x -3 2+y 2=4，可得圆心3,0 ，半径R =2，由圆C :x -2 2+y -m 2=14可得圆心C 2,m ，半径r =12，因为在圆C 上存在点P 满足PA =2PB ，所以圆x -3 2+y 2=4与圆C :x -2 2+y -m 2=14有公共点，所以2-12≤3-2 2+m 2≤2+12，整理可得：94≤1+m 2≤254，解得：52≤m ≤212，所以实数m 的取值范围是52,212，故选：D .7.【答案】-203,4.【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2PA ，∴x -42+y 2-4=2x 2+y 2-1，∴(x -4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+83x -163=0，圆心坐标为-43,0 ,半径为83，∵动点P 在直线x +3y -b =0上，满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+83x -163=0相交，∴圆心到直线的距离d =-43-b 1+3<83，∴-43-163<b <-43+163，即实数b 的取值范围是-203,4 .【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【答案】34【分析】建立坐标系，得点C ,D 的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设AB =1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A 0,0 ,B 1,0 ，设C x ,y ,∴x 2+y 2x -1 2+y2=m ⇒x -m 2m 2-1 2+y 2=m 2m 2-1 2故动点C ,D 的轨迹为圆，由CD≤k AB 恒成立，则k ≥CD max =2m m 2-1=2m -1m≥34故答案为34【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题9.【答案】4【解析】设点D x ,y ,根据|AD |≤2|BD|列出关于D x ,y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点D x ,y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故y -1x =-1t⇒x +ty -t =0.由|AD |≤2|BD |得x 2+y -1 2≤4x -1 2+y 2 ,化简得x -43 2+y +13 2≥89.依题意可知,直线AC 与圆x -43 2+y +13 2=89至多有一个公共点,所以43-43t 1+t 2≥89,解得t ≥2+3或t ≤2- 3.所以最小正整数t =4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题.10.【答案】-283.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到PO 1 =2PO ，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．【详解】由题意得：O (0,0)，O 1(-4,0)，设P (x ,y )，如下图所示∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO =90°，又∵PB =2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴PO 1 =2PO ，∴PO 1 2=4PO 2，∴(x +4)2+y 2=4(x 2+y 2)，整理得x -43 2+y 2=649，∴点P (x ，y )的轨迹是以43,0 为圆心、半径等于83的圆，∵动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，∴该直线l 与圆x -43 2+y 2=649相切，∴圆心43,0 到直线l 的距离d 满足d =r ，即43+b 12+(22)2=83，解得b =203或-283，又因为b <0，所以b =-283．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.【答案】32【分析】不妨就假设M ,N 在x 轴上，设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，由PM =2PN 可得x 2+y 2+2m -8n3x +4n 2-m 23=0，然后和方程x 2+y 2=1对比，就可以求出m ,n 【详解】由于M ,N 是两定点，不妨就假设M ,N 在x 轴上如图所示：设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，PM =2PN ，∴PM 2=4PN 2，∴(x -m )2+y 2=4(m -n )2+y 2 ，即x 2-2mx +m 2+y 2=4x 2-8nx +4n 2+4y 2，3x 2+(2m -8n )x +3y 2+4n 2-m 2=0，x 2+y 2+2m -8n 3x +4n 2-m 23=0与x 2+y 2=1表示同一个圆.∴2m -8n =0m 2-4n 23=1∴{m =2n =12或m =-2n =-12∴MN =32.故答案为：32.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.12.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)。
阿波罗尼斯圆的轨迹及其几何解释
阿波罗尼斯圆的轨迹及其几何解释阿波罗尼斯圆是一种特殊的数学曲线，其轨迹可以通过一系列几何解释来理解。
本文将介绍阿波罗尼斯圆的数学定义、轨迹特征以及几何解释。
一、阿波罗尼斯圆的数学定义阿波罗尼斯圆，又称为阿波罗尼斯曲线，是在平面上给定两个不相交的焦点F1和F2以及一个正实数a时的一个点P的轨迹。
具体而言，该点P到焦点F1和F2的距离之比等于常数e的值，即PF1 / PF2 = e。
二、阿波罗尼斯圆的轨迹特征1. 长轴和短轴：阿波罗尼斯圆的轨迹是一个闭合的曲线，它具有两个主要特征——长轴和短轴。
长轴是通过焦点F1和F2的直线段，并且它的长度等于2a。
短轴则是在长轴上垂直且通过焦点F1和F2中点的线段。
2. 弦：阿波罗尼斯圆上的任意两个焦点F1和F2之间的线段被称为弦。
该弦的长度与焦点到曲线的距离之比始终等于e。
3. 对称性：阿波罗尼斯圆具有对称性。
即圆上的任意一点P关于焦点F1和焦点F2的连线的中点都在曲线上。
即焦点到曲线的距离等于中点到曲线的距离。
三、几何解释阿波罗尼斯圆具有许多精妙的几何解释，下面我们将介绍其中两个重要的几何解释。
1. 离心率为1的椭圆切割阿波罗尼斯圆可以通过一个离心率为1的椭圆进行切割的方式得到。
具体而言，在一个离心率为1的椭圆上选择两个焦点F1和F2，并规定一个特定的长度2a作为切割线段的长度。
然后，将这个长度沿着椭圆的长轴移动，得到一系列与椭圆相切的曲线，即阿波罗尼斯圆的轨迹。
2. 螺旋线生成另一个几何解释是通过螺旋线的生成方式得到阿波罗尼斯圆的轨迹。
首先，选择一个固定的起始点P0和一个固定的角度θ0，然后按照一定的规则进行旋转和移动。
具体规则是每次旋转角度为θ0，然后向前移动固定距离d。
重复这个步骤直到达到一定条件，得到一系列点P1，P2，P3...，这些点组成的轨迹即为阿波罗尼斯圆。
总结：阿波罗尼斯圆是一种特殊的数学曲线，其轨迹可以通过离心率为1的椭圆切割和螺旋线的生成方式得到。
阿波罗尼斯圆
南和一中 李志红
数学的文化
克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出： 数学是一种精神，一种理性的精神，正是这种 精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得 以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试 图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活； 试图回答有关人类的自身存在提出的问题；努 力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经 获得知识的最深刻的和最完美的内涵。 因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是 一种不断进化的文化。”
问题提升
如何求三角形纳
数学知识：阿波罗尼斯定理 数学方法：数形结合，转化与化归，解析法 数学应用：探究解决有关最值定值和定点的问题
我们想做的：
数学是除了语言与音乐之外，人类心灵自由创 造力的主要表达方式之一，而且数学是经由理 论的建构成为了解宇宙万物的媒介。因此，数 学必需保持为知识，技能与文化的主要构成要 素，而知识与技能是得传授给下一代，文化则 得传承给下一代的。——HermannWeyl
引例
人教版必修二习题4.1 B组第三题。 已知点M与两个定点O（0,0），A（3,0）的距离 比为1/2,求点M的轨迹方程。
自我挑战
阿波罗尼斯圆
人物介绍
阿波罗尼斯 古希腊数学家。与欧几里得、 阿基米德齐名。《圆锥曲线论》是一部经典 巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水 平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进 步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有 新的突破 。此书集前人之大成，且提出很 多新的性质。他推广了梅内克缪斯（公元前 4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学 家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同 一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、 双曲线、正焦弦等名称。书中已有坐标制思 想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶 点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的 建立以很大的启发。
阿波罗尼斯圆(1)
阿波罗尼斯圆
设点P 到两定点AB 的距离满足：
(01PA PB
λλλ=≠≠且）,则点P 的轨迹为圆.证明：在直线AB 上必存在一点O （OB 为定值）使得P AB POB ∠=∠如图所示，则
POB ∆~AOP ∆，⇒λ==BP P A OB OP ⇒OP 为定值.故点P 的为圆，且O 为圆心，也即圆心一定在AB 的连线上.逆定理也同样成立.
从上可以知道圆心在AB 的连线上，记圆的半径为r ，12,OA d OB d ==，则111222
(d r d r d PA PA r PB r d r d PB r d λλ-+===⇒===-+等比性质）例题1.等边ABC ∆边长为6，内切圆记为O Θ，P 是圆上动点.①求
12PA PB +；②2PA PB +的最小值.
解：如图1，点P 在圆O 上运动，即点1A 在OA 的连线上，且满足1
2211====d r r d P A P A λ，12P A P A =，所以2
1292111=≥+=+B A PB P A PB P A 同理：如图2，1
2211====d r r d PB PB λ，212922211=≥+=+B A PB P A PB P A 解法二：连接OA ，在OA 上截取OA OA 211=
，易得1POA ∆~AOP ∆⇒211=P A P A ⇒2
1292111=≥+=+B A PB P A PB P A ，同理一样可得到第②问.习题：已知圆心在坐标原点，1r =的圆O ，(2,0),(2,2)A B ，P 是圆上动点
①求PB +最小值.②2PA PB +的最小值.。
道是无圆却有圆（阿波罗尼斯圆）概念篇
道是无圆却有圆（阿波罗尼斯圆）概念篇
道是无圆却有圆
阿波罗尼斯圆（概念篇）
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：
建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一类动点轨迹问题的探求
专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,
2PA PA PB a PA PB a a PB
-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为
，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）
探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M
背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一
类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：
x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点
M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是
P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.
——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.
——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则
——5分 ()222221y x y x +-=-+λ
整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分
当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 454
5当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222
-λλ()
222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222
-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程
PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2|
|||=PN PM ，整理得
2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，
N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(3
3+±=x y 将代入整理得 )1(3
3+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，
32+=x 32-=x 则点坐标为或
P )31,32(++)31,32(+--
或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________
类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。