一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”(1)

一类动点轨迹问题的探求

专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,

2PA PA PB a PA PB a a PB

-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为

，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）

探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M

背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：

x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点

M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是

P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.

——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.

——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则

——5分 ()222221y x y x +-=-+λ

整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分

当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 454

5当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222

-λλ()

222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222

-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程

PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2|

|||=PN PM ，整理得

2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，

N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(3

3+±=x y 将代入整理得 )1(3

3+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，

32+=x 32-=x 则点坐标为或

P )31,32(++)31,32(+--

或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________

类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=