一元一次方程的概念与解法

合集下载

第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(解析版)

第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(解析版)

第08讲(4大考点7种解题方法)一、方程和一元一次方程的概念1)方程:含有未知数的等式。

如何判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数.例:3x=5y+2;100x=200;3x 2+2y=3等2)一元一次方程:只含有一个未知数(元,隐含未知数系数不为0),未知数的次数是1(次),等号两边都是整式(整式:未知数的积,而非商)的方程。

如何判断一元一次方程:①整式方程;②只含一个未知数,且未知数的系数不为0;③未知数的次数为1. 例:3112=+x ;3112=+x ;3m-2n=5;3m=5;6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解:使方程两边相等的未知数的值解方程:求方程的解的过程三、等式的性质1)等式两边同加或同减一个数(或式子),等式仍然成立。

即:c b c a ±=±=,则若b a (注:此处字母可表示一个数字,也可表示一个式子)2)等式两边同乘一个数(或式子),或同除一个不为零的数(式子),等式仍然成立。

即:⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ,,则若(此处字母可表示数字,也可表示式子) 例:3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13)其他性质:①对称性:若a=b ,则b=a ;②传递性:若a=b ,b=c ,则a=c 。

四、合并同类项解一元一次方程(1)合并同类项:将同类项合并在一起的过程方法:1)合并同类项;2)系数化为1五、移项解一元一次方程(1)移项例:2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3(利用等式的性质) (左边的﹣3变到右边变成了+3)2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x (利用等式的性质) (右边的4x 变到左边变成了-4x )-2x=-4 x=24−− x=2①我们发现,利用等式两边同加或同减一个数(式子),等式不变的性质,可以将方程化为同类项在同一边的情形(即未知数在一边,数值在另一边)。

一元一次方程组的概念与解法

一元一次方程组的概念与解法

一元一次方程组的概念与解法一、概念在数学中,一元一次方程是指只含有一个未知数,并且该未知数的最高次幂为1的方程。

而一元一次方程组则是由若干个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程组的一般形式如下:a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中,a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数,x和y为未知数。

二、求解方法为了求解一元一次方程组,我们可以使用以下两种方法:1. 等价变换法通过等价变换,即对方程组进行加减乘除等运算,将一元一次方程组转化为更简单的形式,从而得到解。

(例1)考虑如下一元一次方程组:2x + 3y = 74x - y = 1首先,我们可以通过倍乘第二个方程,得到其系数与第一个方程相等的结果:2x + 3y = 78x - 2y = 2然后,我们可以将第二个方程加到第一个方程上,消去y的项: 2x + 3y + 8x - 2y = 7 + 210x + y = 9接着,我们通过等式变换将y的系数变为1,然后解得x的值: y = 9 - 10x10x + (9 - 10x) = 99 = 9最后,将x的值代入一元一次方程中,求解得到y的值:2x + 3y = 72(1) + 3y = 73y = 5y = 5/3因此,该一元一次方程组的解为 x = 1,y = 5/3。

2. 代入法通过将一个方程的解代入另一个方程,逐步消去未知数,最终求得解的方法。

(例2)考虑如下一元一次方程组:x - 2y = 13x + 4y = 14首先,可以通过第一个方程解得x的值:x = 1 + 2y (式1)接着,将式1代入第二个方程,得到:3(1 + 2y) + 4y = 143 + 6y + 4y = 1410y = 11y = 11/10最后,将y的值代入一元一次方程中,求解得到x的值:x = 1 + 2(11/10)x = 32/10因此,该一元一次方程组的解为 x = 16/5,y = 11/10。

一元一次方程式的解法

一元一次方程式的解法

一)知识要点:1.一元一次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为0的方程叫做一元一次方程.一元一次方程的标准形式是:ax+b=0 (其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0),它的解是x=- .我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0).例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成8x-5=0是一元一次方程;而方程4x-7=3x-7+x 表面上看有一个未知数x,且x的次数是一次,但化简后为0x=0,不是一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤:(1)方程含有分母时要先去分母,使过程简便,具体做法为:在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.要注意不要漏掉不含分母的项,如方程x+ =3,去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以6,造成错误.(2)去括号:按照去括号法则先去小括号,再去中括号,最后去大括号.特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要变号.括号前有数字因数时要注意使用分配律.(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边.注意移项要变号.(4)合并项:把方程化成最简形式ax=b (a≠0).(5)把未知数的系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x= .解方程时上述步骤有些可能用不到,并且也不一定按照上述顺序,要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤.(二)例题:例1.解方程(x-5)=3- (x-5)分析:按常规此方程应先去分母,去括号,但发现方程左右两边都含有x-5项,所以可以把它们看作一个整体,移项,合并,使运算简便.移项得:(x-5)+ (x-5)=3合并得:x-5=3∴ x=8.例2.解方程2x- = -因为方程含有分母,应先去分母.去分母:12x-3(x+1)=8-2(x+2)(注意每一项都要乘以6)去括号:12x-3x-3=8-2x-4(注意分配律及去括号法则)移项:12x-3x+2x=8-4+3合并:11x=7系数化成1:x= .例3.{ [ ( +4)+6]+8}=1解法1:从外向里逐渐去括号,展开求去大括号得:[ ( +4)+6]+8=9去中括号得:( +4)+6+56=63整理得:( +4)=1去小括号得:+4=5去分母得:x+2+12=15移项,合并得:x=1.解法2:从内向外逐渐去括号,展开求去小括号得:{ [ ( + +6]+8}=1去中括号得:{ + + +8}=1去大括号得:+ + + =1去分母得:x+2+3×4+2×45+8×105=945即:x+2+12+90+840=945移项合并得:∴x=1.注意:从上面的两种解法可以看到,解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来,可以按照具体的题目灵活运用方法.例4.解方程[ ( -1)-2]-2x=3分析:此方程含括号,因为× =1,所以先去中括号简便.去中括号:( -1)- -2x=3去小括号:-1- -2x=3去分母:5x-20-24-40x=60移项:5x-40x=60+44合并项:-35x=104系数化成1得:x=- .例5.解方程- - =0分析:本方程分子、分母中都含有小数,如果直接去分母,会使运算繁琐.但如果利用分数的性质,即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质,使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数,就能使运算简便.利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以10,第二项分子、分母同乘以100),原方程可化为:- - =0去分母:6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0去括号:24x+54-30+20x-15x+75=0移项得:24x+20x-15x=-54+30-75合并得:29x=-99系数化成1:x=- .例6.在公式S= (a+b)h中,已知:a=5, S=44, h=8,求b的值.分析:这是梯形面积公式,四个量S,a, b, h中知道任意3个量的值,都可以求出第四个量的值.解法1:把a=5, S=44, h=8代入公式得44= (5+b)×8这是关于b的一元一次方程化简得:b+5=11移项,合并得:b=6.解法2:先把b看作未知数,把其它量都看作已知数,将公式变形,用其它三个量来表示b,然后再代入已知数的值求出b.S= (a+b)h去分母:2S=(a+b)h去括号:2S=ah+bh移项:2S-ah=bh即bh=2S-ah系数化成1:∵ h≠0,∴ b= -a (一定不要忘记条件h≠0)当a=5, S=44,h=8时,b= -5=11-5=6∴ b=6.例7.当x=2时,式子x2+bx+4的值为0,求当x=3时,x2+bx+4的值.分析:这仍是一元一次方程的应用的例子,要求x2+bx+4的值,先求出b的值,最后求当x=3时,x2+bx+4的值.∵当x=2时,x2+bx+4的值为0,∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)解这个方程得2b=-8,∴ b=-4,∴ x2+bx+4为x2-4x+4,当x=3时,x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,∴当x=3时,这个式子值为1.例8.解绝对值方程:(1) |2x-1|=8(2) =4(3) =4(4) |3x-1|+9=5(5) |1-|x||=2说明:解绝对值方程也是一元一次方程的应用,它的解法主要是:①先把|ax+b|看作一个整体,把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程,变形成|ax+b|=c的形式;②对|ax+b|=c进行讨论,当c>0时,正确去掉绝对值,得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程,从而求出x的值;当c=0时,得到ax+b=0一个一元一次方程,从而求出x;当c。

一元一次方程的概念及解法

一元一次方程的概念及解法

一、方程方程:含有未知数的等式叫方程,如,它有两层含义:①方程必须是等式;②等式中必须含有未知数 二、方程的解方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值;只含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根。

三、一元一次方程一元一次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程,这里的“元”是指未知数,“次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的形式:最简形式:方程(,,为已知数)叫一元一次方程的最简形式.标准形式:方程(其中,,是已知数)叫一元一次方程的标准形式. 注意:⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形(必须为恒等变换)为最简形式或标准形式来验证.如方程是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误.⑵方程与方程是不同的,方程的解需要分类讨论完成 四、一元一次方程的解法(一)等式的性质等式的性质:等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.若,则;等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式,所得结果仍是等式.若,则,注意:⑴在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行.即:同时加或同时减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边⑵等式变形过程中,两边同加或同减,同乘或同除以的数或整式必须相同.⑶在等式变形中,以下两个性质也经常用到:对称性,即:如果,那么.传递性,即:如果,,那么.又称为等量代换易错点:等号左右互换的时候忘记变符号(二)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤:21x +=ax b =0a ≠a b 0ax b +=0a ≠a b 22216x x x ++=-ax b =()0ax b a =≠ax b =a b =a m b m ±=±a b =am bm =a b m m=(0)m ≠a b =b a =a b =b c =a c =一元一次方程的概念及解法知识讲解温馨提示:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号. 2.去括号:一般地,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.温馨提示:不要漏乘括号里的项,不要弄错符号.3.移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边. 温馨提示:⑴移项要变号;⑵不要丢项.4.合并同类项:把方程化成的形式.温馨提示:字母和其指数不变.5.系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数(),得到方程的解. 温馨提示:不要把分子、分母搞颠倒.【例1】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ,则m 的值是【例2】 已知关于x 的方程(a +1)x +(4a -1)=0的解为-2,则a 的值等于().A.-2B.0C.32D.23 【例3】 下列各式中,变形正确的是().A .若,则B .若,则C .若,则D .若,则【例4】 根据等式性质5=3x -2可变形为().A.-3x =2-5B.-3x =-2+5C.5-2=3xD.5+2=3x 【变式练习】下列变形中,不正确的是()A .若,则B .若则C .若,则D .若,则 【例5】 下列各式中:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.哪些是一元一次方程?【例6】 关于x 的方程(k +2)x 2+4kx -5k =0是一元一次方程,则k =________.【例7】 已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程,则m =____________. ax b =a 0a ≠b x a =a b =a c b c +=+(1)2a x -=21x a =-2a b =4a b =1a b =+221a b =+25x x =5x =77,x -=1x =-10.2x x -=1012x x -=x y a a =ax ay =3x +2534+=+44x x +=+12x =213x x ++=44x x -=-23x =2(2)3x x x x +=++同步练习【例8】 若是一元一次方程,那么【变式练习】若关于的方程是一元一次方程,则【变式练习】若关于的方程是一元一次方程,则,方程的解是【变式练习】已知关于的方程是一元一次方程,则、需要满足的条件为【例9】 下列等式中变形正确的是()A.若,则 B. 若,则 C.若,则 D. 若,则 【例10】将3(x -1)-2(x -3)=5(1-x )去括号得()A.3x -1-2x -3=5-xB.3x -1-2x +3=5-xC.3x -3-2x -6=5-5xD.3x -3-2x +6=5-5x 【例11】在解方程21-x −1332=+x 时,去分母正确的是() A.()()132213=+--x x B.()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例12】方程2-342-x =-67-x 去分母得() A.2-2 (2x -4)= -(x -7) B .12-2 (2x -4)= -x -7C.12-2 (2x -4)= -(x -7) D .12-(2x -4)= -(x -7)【变式练习】解方程:⑴⑵【例13】解方程:(1)5y -9=7y -13;(2)3(x -1)-2(2x +1)=12 ;131m x -=m =x 1(2)50k k x k --+=k =x 2223x x ax a x a -=-+a =x (21)50n m x --=m n 31422x x -+=3144x x -=-31422x x -+=3182x x -+=31422x x -+=3180x -+=31422x x -+=3184x x -+=6(1)5(2)2(23)x x x ---=+12225y y y -+-=-(3)757875x x -=-;(4).逐层去括号 含有多重括号时,去括号的顺序可以从内向外,也可以从外向内。

第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(原卷版)

第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(原卷版)

第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)一、方程和一元一次方程的概念 1)方程:含有未知数的等式。

如何判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数.例:3x=5y+2;100x=200;3x 2+2y=3等2)一元一次方程:只含有一个未知数(元,隐含未知数系数不为0),未知数的次数是1(次),等号两边都是整式(整式:未知数的积,而非商)的方程。

如何判断一元一次方程:①整式方程;②只含一个未知数,且未知数的系数不为0;③未知数的次数为1. 例:3112=+x ;3112=+x ;3m-2n=5;3m=5;6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解:使方程两边相等的未知数的值 解方程:求方程的解的过程 三、等式的性质1)等式两边同加或同减一个数(或式子),等式仍然成立。

即:c b c a ±=±=,则若b a (注:此处字母可表示一个数字,也可表示一个式子)2)等式两边同乘一个数(或式子),或同除一个不为零的数(式子),等式仍然成立。

即:⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ,,则若(此处字母可表示数字,也可表示式子)例:3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13)其他性质:①对称性:若a=b ,则b=a ;②传递性:若a=b ,b=c ,则a=c 。

四、合并同类项解一元一次方程(1)合并同类项:将同类项合并在一起的过程 方法:1)合并同类项;2)系数化为1 五、移项解一元一次方程 (1)移项 例:2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3(利用等式的性质) (左边的﹣3变到右边变成了+3) 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x (利用等式的性质) (右边的4x 变到左边变成了-4x ) -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现,利用等式两边同加或同减一个数(式子),等式不变的性质,可以将方程化为同类项在同一边的情形(即未知数在一边,数值在另一边)。

一元一次方程的概念

一元一次方程的概念

一元一次方程的概念一元一次方程,也称为一次方程或一次线性方程,是数学中最基本的代数方程之一。

它的定义和性质对于学习代数学和解决实际问题都具有重要意义。

本文将介绍一元一次方程的概念、基本形式、解法以及实际应用。

一、概念一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。

一元表示方程中只有一个未知数,一次表示该未知数的最高次数为1。

一元一次方程的一般形式可以表示为ax + b = 0,其中a和b是已知实数,x为未知数。

在这个方程中,未知数x只出现一次,并且没有任何其它项与x相乘或相除。

二、基本形式一元一次方程的基本形式是ax + b = 0,其中a和b为已知实数,x为未知数。

方程中的系数a表示未知数x的系数,常数b表示方程的常数项。

在解一元一次方程时,我们的目标是找到未知数x的值,使方程两边相等。

这个值被称为方程的解。

三、解法1. 移项法解一元一次方程的最基本方法是移项法。

我们的目标是将方程中的未知数项系数系数项归集到等号的一侧,将常数项归集到等号的另一侧,使方程化简为 x = 解的形式。

以方程ax + b = 0为例,首先,我们可以将常数项b移到等号的右侧,得到ax = -b。

然后,我们除以系数a,得到x = -b/a。

这个解即为一元一次方程的解。

2. 消元法另一种解一元一次方程的方法是消元法。

当我们有多个一元一次方程时,我们可以通过消去一个未知数,将多个方程转化为一个方程的形式,再用移项法解决。

例如,考虑以下两个一元一次方程系统:方程1:a1x + b1 = 0方程2:a2x + b2 = 0首先,我们可以通过方程1的系数与方程2的系数相乘,得到新的方程:a1(a2x + b2) = a1 * 0a1a2x + a1b2 = 0接下来,我们可以通过将方程2的系数与方程1的系数相乘,得到另一个新的方程:a2(a1x + b1) = a2 * 0a1a2x + a2b1 = 0将这两个新方程相减,得到消去了未知数x的新方程:(a1b2 - a2b1) = 0解这个新方程,可以得到方程1和方程2的解。

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法一元一次方程,是指含有一个未知数的一次方程。

它的一般形式可以写作ax + b = 0,其中a、b为已知常数,x为未知数。

一元一次方程的解,就是使得该方程成立的未知数的值。

解一元一次方程的方法有很多种,下面将介绍几种常用的解法,并通过实例来加深理解。

1. 直接法直接法是最常用也是最基本的求解一元一次方程的方法。

通过逐步化简方程,将方程转化为x = c的形式,从而找到x的值。

例如,求解方程2x + 3 = 7。

解:首先,将方程化简,得到的形式为2x = 4。

接着,将方程两边同时除以2,得到x = 2。

最后,解得方程的解为x = 2。

2. 平衡法平衡法是一种通过移动式子中的项,使得方程两边平衡的解法。

例如,求解方程3x + 5 = 2x + 9。

解:首先,将方程化简,得到的形式为3x - 2x = 9 - 5。

接着,合并同类项,得到x = 4。

最后,解得方程的解为x = 4。

3. 消元法消元法是一种通过将方程中的某一项系数化为0,从而消去该项的解法。

例如,求解方程2x + 3 = 5x - 1。

解:首先,将方程移项,得到的形式为2x - 5x = -1 - 3。

接着,合并同类项,得到-3x = -4。

然后,将方程两边同时除以-3,得到x = 4/3。

最后,解得方程的解为x = 4/3。

以上是三种常用的一元一次方程解法,通过这些解法可以较为简单快速地求解一元一次方程。

在实际问题中,一元一次方程经常出现,它们的解可以帮助我们得到未知数的具体值,从而解决问题。

此外,有时方程可能无解或者有无限多个解。

当方程无解时,意味着方程左右两边无法通过任何变换相等,即方程组不成立。

当方程有无限多个解时,意味着方程左右两边可以通过变形相等,即方程组恒成立。

总结起来,一元一次方程的概念与解法是数学学习中的基础知识。

通过灵活运用直接法、平衡法和消元法等解法,我们可以解决一元一次方程相关的问题,提高数学解题的能力。

一元一次方程的解法总结

一元一次方程的解法总结

一元一次方程的解法总结一元一次方程是高中数学中最常见的一类方程,解决一元一次方程问题是学习代数的起点。

本文将总结一元一次方程的解法,帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数,并且这个未知数的最高次数为1的代数方程。

一元一次方程的一般形式是ax + b = 0,其中a和b 是已知的实数常数,x是未知数。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的基本思路是通过移项及合并同类项的方法,将方程化简为x = b/a的形式,从而得到方程的解。

1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法。

通过移动方程中的项,让包含未知数的项单独在一侧,常数项单独在另一侧,从而得到解。

示例1:2x + 4 = 10首先,将常数项4移动到等号的右侧变为负数,得到:2x = 10 - 4接下来,进行加减运算,简化方程:2x = 6最后,将系数2移到等号右侧,得到:x = 6/2解得:x = 32. 合并同类项合并同类项是简化方程的一种方法,通过合并方程中的同类项,可以简化方程并得到解。

示例2:3(x - 2) + 5 = 8首先,使用分配律展开括号,得到:3x - 6 + 5 = 8接下来,合并同类项,得到:3x - 1 = 8最后,将常数项1移动到等号右侧变为负数,得到:3x = 8 + 1解得:x = 9/3简化后结果为:x = 33. 一元一次方程的特殊情况在解一元一次方程时,可能会遇到以下几种特殊情况:a) 无解方程当方程化简后,得到一个矛盾的等式时,即0 = 1等,该一元一次方程没有解。

示例3:2x + 3 = 2x + 4通过移项化简得到:3 = 4显然,3不等于4,此方程无解。

b) 无穷多解方程当方程化简后,得到一个恒成立的等式时,即0 = 0等,该一元一次方程有无穷多个解。

示例4:2x + 4 = 2(x + 2)通过分配律展开括号后化简得到:2x + 4 = 2x + 4两边的式子完全相等,此方程有无穷多个解。

一元一次方程的定义及解法

一元一次方程的定义及解法

一元一次方程的定义及解法文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)一元一次方程的定义及解法方程定义:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)。

方程简介一元一次方程(linearequationinone)通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程。

通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a ≠0)。

一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式。

一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0。

我们将ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。

这里a是未知数的系数,b 是常数,x的次数必须是1。

即一元一次方程必须同时满足4个条件:(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0。

“方程”一词来源于我国古算术书《九章算术》。

在这本着作中,已经会列一元一次方程。

法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。

在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容。

详细内容合并同类项1.依据:乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项3.合并时次数不变,只是系数相加减。

移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。

2.依据:等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时,一定要变号。

性质性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。

等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立。

等式的性质三:等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一元一次方程的概念

一元一次方程的概念

一元一次方程的概念一元一次方程是代数学中最基础的方程类型之一。

它包含一个未知数和一个常数项,并且未知数的最高次数为1。

在数学中,一元一次方程可以用来解决各种实际问题,例如求解线性关系、计算比例关系以及解决简单的实际应用问题等。

本文将介绍一元一次方程的基本概念、解法和应用。

一、概念一元一次方程通常具有形如ax + b = 0的形式,其中a和b是已知实数,x是未知数。

在这个方程中,变量x的次数为1,系数a和b可以是任何实数。

一元一次方程的目标是找到使得方程左边等于右边的未知数x的值,即求解x的值。

二、解法1. 消元法:对于形如ax + b = 0的一元一次方程,可以使用消元法来求解。

首先,移项将方程变形为ax = -b,然后通过除以a将方程化简为x = -b/a。

这样就得到了方程的解,其表达式为x = -b/a。

2. 图解法:一元一次方程可以通过图解来求解。

画出方程左侧的线性函数y = ax + b的图像,并找到这条直线与x轴的交点。

该交点的横坐标即为方程的解。

如果直线与x轴平行,则方程无解。

3. 代入法:当我们已经知道方程中的一个解时,可以使用代入法来求解另一个解。

假设已知x1是方程的一个解,则将x1代入方程中,得到ax1 + b = 0。

通过对方程进行变形,可以得到未知数x的另一个解x2。

三、应用举例一元一次方程广泛应用于各类实际问题中。

以下是一些应用举例:1. 购买商品:假设某商品的原价为x元,现在打8折出售,求购买该商品需要支付的金额。

可以建立一元一次方程0.8x = x - 折扣,解该方程可以得到实际支付的金额。

2. 线性增长:假设某项工作每小时完成的进度是x单位,要完成总工作量为y单位的任务,求完成该任务需要的时间。

可以建立一元一次方程x * t = y,其中t为需要的时间。

3. 加油问题:假设一辆汽车的油箱容量为x升,已经加满油后行驶了y千米,求汽车的百公里油耗(升/百公里)。

可以建立一元一次方程y = x * 油耗/100,解该方程可以得到油耗指标。

九章算术中的一元一次方程问题

九章算术中的一元一次方程问题

一、引言九章算术是我国古代著名的数学经典之一,涵盖了广泛的数学内容,其中包括一元一次方程问题。

一元一次方程在数学中占有重要的地位,解决现实生活中的问题,也是数学学习中的重点内容。

本文将从九章算术中的一元一次方程问题入手,探讨其解法和应用。

二、一元一次方程的概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的方程,其中a≠0,a和b是已知数,x是未知数,且x的最高次数为1。

例如2x+3=5就是一个一元一次方程。

2. 一元一次方程的解对于一元一次方程ax+b=0,可以使用反运算的原则,将方程化简为x=-b/a,因此方程的解为x=-b/a。

三、九章算术中的一元一次方程问题1. 《九章算术》中的具体问题《九章算术》是我国古代数学经典之一,其内容包含了丰富的数学问题和方法。

在《九章算术》中,有许多关于一元一次方程的问题,如田甲申数问题、城市水井修建问题等。

这些问题都是现实生活中的数学表达,通过一元一次方程的方法可以求解。

2. 举例分析以田甲申数问题为例,题目是这样的:田积之甲、丁之申,问积之何?这是一个典型的一元一次方程问题,通过变量的设定和方程的建立,可以得到方程的解,从而求得问题的答案。

3. 解法探讨《九章算术》中的一元一次方程问题,通常都可以通过设立变量、建立方程、解方程等步骤来求解。

这些问题在古代的《九章算术》中被提出,不仅具有数学意义,还对古代生产生活有着实际的指导作用。

四、一元一次方程在现实生活中的应用1. 求职择业在现实生活中,一元一次方程常常被用于求职择业过程中的问题。

关于工资的问题、工作时间的问题等,都可以建立成一元一次方程进行求解。

2. 购物计算在日常的购物消费中,一元一次方程也有着广泛的应用。

折扣问题、商品打折后的价格计算等都可以用一元一次方程进行求解。

3. 金融投资在金融投资领域,一元一次方程也有着重要的作用。

计算利息、投资收益率等问题都可以转化为一元一次方程进行求解。

五、一元一次方程问题的解法和技巧1. 设立方程的关键在解一元一次方程问题时,最关键的是能够正确地设立方程,将现实生活中的问题转化为数学表达式。

一元一次方程和它的解法

一元一次方程和它的解法

一元一次方程和它的解法(一)知识要点:1.一元一次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为0的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是:ax+b=0 (其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0),它的解是x=-。

我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。

例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成8x-5=0是一元一次方程;而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x,且x的次数是一次,但化简后为0x=0,不是一元一次方程。

2.解一元一次方程的一般步骤:(1)方程含有分母时要先去分母,使过程简便,具体做法为:在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

要注意不要漏掉不含分母的项,如方程x+=3,去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以6,造成错误。

(2)去括号:按照去括号法则先去小括号,再去中括号,最后去大括号。

特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要变号。

括号前有数字因数时要注意使用分配律。

(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边。

注意移项要变号。

(4)合并同类项:把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。

(5)把未知数的系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=。

解方程时上述步骤有些可能用不到,并且也不一定按照上述顺序,要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

(二)例题:例1.解方程(x-5)=3-(x-5)分析:按常规此方程应先去分母,去括号,但发现方程左右两边都含有x-5项,所以可以把它们看作一个整体,移项,合并同类项,使运算简便。

解:移项得:(x-5)+(x-5)=3合并同类项得:x-5=3∴ x=8。

例2.解方程2x-=-解:因为方程含有分母,应先去分母。

去分母:12x-3(x+1)=8-2(x+2) (注意每一项都要乘以6)去括号:12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)移项:12x-3x+2x=8-4+3合并同类项:11x=7系数化成1:x=。

一元一次方程的解法及应用拓展

一元一次方程的解法及应用拓展

一元一次方程的解法及应用拓展一、一元一次方程的概念1.1 定义:含有一个未知数,未知数的最高次数为1,且两边都为整式的等式称为一元一次方程。

1.2 形式:ax + b = 0(a, b为常数,a≠0)二、一元一次方程的解法2.1 公式法:将方程ax + b = 0两边同时除以a,得到x = -b/a。

2.2 移项法:将方程中的常数项移到等式的一边,未知数项移到等式的另一边。

2.3 因式分解法:将方程进行因式分解,使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式,然后根据零因子定律求解。

三、一元一次方程的应用3.1 实际问题:将实际问题转化为一元一次方程,求解未知数。

3.2 线性方程组:由多个一元一次方程组成的方程组,可用代入法、消元法等方法求解。

3.3 函数图像:一元一次方程的图像为直线,可通过解析式分析直线与坐标轴的交点、斜率等性质。

四、一元一次方程的拓展4.1 比例方程:含有一元一次方程的等比例关系,可通过交叉相乘、解一元一次方程求解。

4.2 分式方程:含有一元一次方程的分式,可通过去分母、解一元一次方程求解。

4.3 绝对值方程:含有一元一次方程的绝对值,可分为两种情况讨论,求解未知数。

五、一元一次方程的练习题5.1 选择题:判断下列方程是否为一元一次方程,并选择正确的解法。

5.2 填空题:根据题目给出的条件,填空求解一元一次方程。

5.3 解答题:解答实际问题,将问题转化为一元一次方程,求解未知数。

六、一元一次方程的考试重点6.1 掌握一元一次方程的定义、形式及解法。

6.2 能够将实际问题转化为一元一次方程,求解未知数。

6.3 熟练运用一元一次方程解决线性方程组、函数图像等问题。

6.4 理解一元一次方程的拓展知识,如比例方程、分式方程、绝对值方程等。

七、一元一次方程的学习建议7.1 多做练习题:通过大量的练习题,熟练掌握一元一次方程的解法及应用。

7.2 深入理解实际问题:学会将实际问题转化为一元一次方程,提高解决问题的能力。

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法【知识要点】1.一元一次方程的有关概念〔1〕一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.〔2〕一元一次方程的标准形式是:2.等式的根本性质〔1〕等式的两边都加上或减去或,所得的结果仍是等式.〔2〕等式的两边都乘以或都除以,所得的结果仍是等式. 3.解一元一次方程的根本步骤:【典型例题】例1.以下方程是一元一次方程的有哪些?x+2y=9 x 2-3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ;(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3.解以下简易方程1.5223-=+x x 2.4.7-3x=113.x x +-=-32.0 4.)3(4)12(3-=+x x例4.解方程 1.32243332=+--x x 2.1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3.21101211364x x x -++-=- 4.22314615+=+---x x x x 5.003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6.83161.20.20.55x x x +-+-=-例6.x 取何值时,代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7.方程104x x =-的解与方程522x m +=的解一样,求m 的值.例8. 1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解,求221195k k --的值.例9.当.38322倍的的值是为何值时,代数式x x x x ++-例10. 假设对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +,解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识构造二、知识要点归纳1.列方程解决实际问题的一般步骤〔1〕找——找准等量关系,找出能够表示题意的等量关系.〔2〕设——设未知数,弄清题意和找准等量系后,用字母表示题目中的一个未知数.〔3〕列——列出方程,用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量,依据找准的等量关系,列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出答复且注明单位.水速度=船速-水速2.分析应用题中等量关系的一般方法〔1〕译式法:将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.〔2〕线示法:用同一直线的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段的长度的内在联系,找出等量关系.〔3〕列表法:将条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系.〔4〕图示法:利用图表示题中的数量关系,它可以使量之间的关系更为直观,更方便找出其中的等量关系.三、考察解析一元一次方程应用问题,关键是考察同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力,大多数属于当基此题或中档题,学习中应抓住其核心问题——建模,从等量关系入手,而不是只让学生套题型,套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人,每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套〔一个螺栓要配两个螺母〕应如何分配加工螺栓、螺母的工人?分析:等量关系为螺栓数:螺母数=1︰2.设加工螺栓人数为x,那么加工螺栓的总数为18x个,加工螺母总数为24〔100-x〕个.解:设加工螺栓的人数为x人,依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x 〔人〕.∴加工螺母的人数为 100-x =100-40=60〔人〕 答:应分配40人去加工螺栓.点评:此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶,底面半径为11cm ,高25cm ,将满桶的水倒入底面长30cm ,宽20cm 的长方体容器,问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水〔π取3.14,结果准确到0.1cm 〕? 分析:从相等关系入手,即圆柱形容器积=长方体器容积. 解:设长方体容器的高为x cm ,依题意,有 30×20x =25π×112,解方程,得 ≈=24121πx 15.9cm , 答:长方体容器的高至少需要15.9cm.点评:“等积变换〞是中学数学的常用方法,要让学生理解和把握这方法,并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装,每件都以135元出售,按本钱计算,其中一件盈利25%,另一件赔本25%.〔1〕在这次买卖中,这位个体户是赔是赚还是正好保本? 〔2〕假设将题中的135元改成为任何正数a 元,情况如何? 分析:关键把握等量关系: 进价〔1+盈利率〕=售价,进价〔1-赔本率〕=售价.解:〔1〕设第一件进价为x 元,那么135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元,那么135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.〔2〕仿前一小题方法可得: a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=, a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是赔本.点评:解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系,同时理解好一些常用“词〞:如:打八折,进价,售价,盈利10%,赔本20%等.拓广:在例3中,将题中的135元改为任何正数a 元,同时又将题中的25%改为m%(0<m <100)情况如何?工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水,甲管单独翻开用20小时可注满一池水,乙管单独翻开用40小时可注满一池水.现在甲管单独翻开8小时后,乙管才开场工作,问两管一起翻开后需多少小时可注满水池?分析:利用等量关系,甲管工作量+乙管工作量=1,来解题,为了理清工作量的关系,可列表如下:〔设两管一起开后x 小时可注满全池〕解:设两管一起翻开后x 小时可注满全池,依题意,得140208=++xx . 解得 8=x 〔小时〕,答:两管一起翻开后8小时可注满水池.点评:“列表法〞在分析等量关系中,有其特点,但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上,提高“建模〞能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路,后31的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在距离丙地44千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?分析:此题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3-5-1所示,相等关系是A 车行驶时间=B 车行驶时间.距丙地44千米处,有两种可能,〔1〕相遇处在高速公路上距丙地44千米,〔2〕相遇处在普通公路上,解题时要考虑到这两种情况,再根据实际取舍.解:设甲、乙两地相距x 千米,A 车从甲地到丙地,需要15010032xx=〔小时〕,B 车从乙地到丙地,需要2107031x x=〔小时〕, ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答:甲、乙两地之间的距离是441千米.点评:“线示法〞分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况,以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元,大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行,年利率为1.98%,免收利息税,小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券,但要交纳20%的利息税,一年后两人得到的收益恰好相等,问两人的压岁钱各是多少?分析:抓住这一问题的等量关系.1.利息〔免税的〕=存入钱数×年利率,2.利息〔不免税的〕=存入钱数×年利率×〔1-税率〕,3..大宝的收益=小宝的收益.解:设大宝的工钱为x元,那么小宝的工钱为〔1000-x〕元,由题意,得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x〔元〕,1000-x=490(元).=答:大宝的工钱是510元,小宝的工钱是490元.【自我测试】一、根底测试1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,那么轿车从开场追及超越卡车,需要花费的时间约是〔〕秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回XX,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重局部每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票,该旅客现已购行李票60元,那么它的飞机票价为〔〕A.300元 B.400元 C.600元 D.800元4.某商品的进货单价为280元,按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化,决定按原定价格的八五折出售,问这时每售出一件这种商品,商店获利多少?5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后,向一个底面是边长为22毫米的正方形,高是15毫米的空长方体容器内倒水,倒满容器后试管内水面下降约多少毫米?6.一艘船在甲、乙两地之间航行,顺水要3小时,逆水要3.5小时,船在静水中航行速度是每小时26千米,求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走,一圈为400米,甲的速度为平均每分钟80米,乙的速度是甲的1.25倍,如果乙在甲的前面100米,多少分钟后两人相遇?8.某人原方案骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原方案出发的时间推迟了20min,只好以15km/h的速度前进,结果比规定时间早4min到达B地,求A、B 两地的距离?二、综合能力测试题1.某商店先在XX以每件15元的价格购进一种商品10件,后来又到XX以每件12.5元的价购进同样商品40件,如果商店销售这些商品时,要获利12%的利润,那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝,第一次用去了它的一半少1m,第二次用去了剩下的一半多1m,结果还剩下10m,这卷铁丝原长多少?3.有大中小三个正方形水池,它们的内池分别为6m、3m、2m,把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6cm和4cm,如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m,试求各铁桥的长?5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品,该贷的年利率为1.5%〔不计复利〕,每人新产品的本钱是2.3元,售价4元,应纳税是销售额的10%,如果每年生产该种产品20万个,并把所得利润用来归还贷款,问需要几年才能一次性还清?〔利润=销售额-本钱-应纳税款〕6.某班共40名学生,其中33人数学成绩不低于80分,32人英语成绩不低于80分,且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。

初一数学书一元一次方讲解

初一数学书一元一次方讲解

一元一次方程的概念
一元一次方程是指只含有一个未知数,且未知数的次数是1的方程。

通常形式为ax + b = 0 (其中a和b是常数,a≠0)。

解一元一次方程的步骤
去分母:将方程两边同时乘以分母的最小公倍数,消除分母。

去括号:根据括号前是加号还是减号,决定去括号后各项的符号。

移项:将含有未知数的项移到等号的左边,常数项移到等号的右边。

合并同类项:将等号右边的常数项移到等号左边后,将左边的未知数系数化为1,得到方程的解。

一元一次方程的解法
直接开平方法:对于形如ax^2 = b (a > 0) 的方程,可以直接开平方求解。

配方法:将方程两边同时加上一次项系数一半的平方,使左边成为一个完全平方的形式,再求解。

公式法:对于任意实数a、b,都可以通过公式ax^2 + bx + c = 0 的解为x = [-b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 来求解。

因式分解法:将方程左边分解因式,右边化为0,然后求解。

待定系数法:先假设方程左边多项式的系数为未知数,然后根据题目条件列出关于这些系数的方程组,解之得到系数值。

一元一次方程的概念及解法

一元一次方程的概念及解法

一元一次方程的概念及解法解一元一次方程的常用方法有以下几种:1.同加同减法:通过将方程两边加上(或减去)相等的实数,将未知数系数的项和常数项相消,从而求得未知数的值。

例如,对于方程2x+3=7,可以通过将方程两边减去3来消去常数项,得到2x=4、然后再将方程两边除以2,得到x=2、因此,方程的解为x=22.消去法:通过变形将方程转化为更简单的形式,再进行求解。

例如,对于方程3x-2=4-x,可以通过将方程两边加上x,得到4x-2=4、然后再将方程两边加上2,得到4x=6、最后再将方程两边除以4,得到x=1.5、因此,方程的解为x=1.53.代入法:通过将已经得到解的方程代入到原方程中,验证解的正确性。

例如,对于方程2x+1=5,我们假设解为x=2、将x=2代入原方程,得到2(2)+1=5,计算得到5=5,等式成立。

因此,x=2是方程的解。

除了上述常用的解一元一次方程的方法外,还可以使用图像法、守恒法等方法进行求解。

图像法是通过将方程转化为y = ax + b的直线方程,在坐标系中绘制出直线和y轴的交点,即为方程的解。

例如,对于方程x - 2 = 0,对应的直线方程为y = x - 2,将其绘制在坐标系中,直线与y轴相交于点(0, -2),即为方程的解x = 2守恒法是通过记录方程中变量的变化过程,找到变化量为0的时刻,从而求解方程。

例如,对于方程3x+2=2x-3,将方程两边减去2x,并且将x的整数部分和小数部分分别加减到方程两边,得到x+2=-3、然后将方程两边减去2,得到x=-5、再将x=-5代入原方程验证,计算得到左右两边相等。

因此,x=-5是方程的解。

总结来说,解一元一次方程的关键是通过合适的运算将未知数从方程中分离出来,并得到它的具体值。

各种解法都有其适用的场景,具体选择何种解法应根据方程的特点和求解的要求来确定。

通过不断练习和实践,我们能够熟练掌握解一元一次方程的能力。

(完整版)一元一次方程及其解法

(完整版)一元一次方程及其解法

3.1 一元一次方程及其解法1.一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.如:7-5x =3,3(x +2)=4-x 等都是一元一次方程.解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是:①只含有一个未知数(元);②未知数的次数都是一次;③未知数的系数不能为0;④分母中不含未知数,这四个条件缺一不可.(2)方程的解①概念:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解,也叫做方程的根. ②方法:要检验某个数值是不是方程的解,只需看两点:一看,它是不是方程中未知数的值;二看,将它分别代入方程的左边和右边,若方程左、右两边的值相等,则它是方程的解.如x =3是方程2x -4=2的解,而y =3就不是方程2x -4=2的解. (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程.方程的解和解方程是不同的概念,方程的解是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程是指求出方程的解的过程.【例1-1】 下列各式哪些是一元一次方程( ).A .S =12ab ;B.x -y =0;C.x =0;D.12x +3=1;E.3-1=2;F.4y -5=1;G .2x 2+2x +1=0;H.x +2.解析:E 中不含未知数,所以不是一元一次方程;G 中未知数的次数是2,所以不是一元一次方程;A 与B 中含有的未知数不是一个,也不是一元一次方程;H 虽然形式上字母的个数是一个,但它不是等式,所以也不是一元一次方程;D 中分母中含有未知数,不是一元一次方程;只有C ,F 符合一元一次方程的概念,所以它们是一元一次方程.答案:CF【例1-2】 x =-3是下列方程( )的解. A .-5(x -1)=-4(x -2) B .4x +2=1C .13x +5=5 D .-3x -1=0解析:对于选项A ,把x =-3代入所给方程的左右两边,左边=-5×(-3-1)=20,右边=-4×(-3-2)=20,因为左边=右边,所以x =-3是方程-5(x -1)=-4(x -2)的解;对于选项B ,把x =-3代入所给方程的左右两边,左边=4×(-3)+2=-10,右边=1,因为左边≠右边,所以x =-3不是方程4x +2=1的解,选项C ,D 按以上方法加以判断,都不能使方程左右两边相等,只有A 的左右两边相等,故应选A.答案:A2.等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. 用式子形式表示为:如果a =b ,那么a +c =b +c ,a -c =b -c .②性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式. 用式子形式表示为:如果a =b ,那么ac =bc ,a c =bc(c ≠0).③性质3:如果a =b ,那么b =a .(对称性) 如由-8=y ,得y =-8.④性质4:如果a =b ,b =c ,那么a =c .(传递性) 如:若∠1=60°,∠2=∠1,则∠2=60°. (2)等量代换在解题过程中,根据等式的传递性,一个量用与它相等的量代替,简称等量代换. 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时,一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式,才能保证所得结果仍是等式.这里特别要注意:“同时”和“同一个”,否则就会破坏相等关系.(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式,要注意与性质1的区别.(3)等式两边不能都除以0,因为0不能作除数或分母.【例2-1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中,正确的是( ).A .若4y +2=3y -1,则y =1B .若7a =5,则a =57C .若x 2=0,则x =2D .若x 6-1=1,则x -6=1解析:首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论.A 根据等式的基本性质1,等式的两边都减去3y +2,左边是y ,右边是-3,不是1;C 根据等式的基本性质2,两边都乘以2,右边应为0,不是2;D 根据等式的基本性质2,左边乘以6,而右边漏乘6,故不正确;只有B 根据等式的基本性质2,两边都除以7,得到a =57.答案:B【例2-2】 利用等式的基本性质解方程:(1)5x -8=12;(2)4x -2=2x ;(3)x +1=6;(4)3-x =7.分析:利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项,右边含有常数项,再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解:(1)方程的两边同时加上8,得5x =20. 方程的两边同时除以5,得x =4. (2)方程的两边同时减去2x ,得2x -2=0. 方程的两边同时加上2,得2x =2. 方程的两边同时除以2,得x =1. (3)方程两边都同时减去1, 得x +1-1=6-1,∴x=6-1.∴x=5.(4)方程两边都加上x,得3-x+x=7+x,3=7+x,方程两边都减去7,得3-7=7+x-7,∴-4=x,即x=-4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据:把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.因为方程是特殊的等式,所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的:把所有含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边.③移项的过程:移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程,如,-2-3x=7,把-2从方程的左边移到右边,-2在原方程中前面带有性质符号“-”,移到右边后需变成“+”,在移动的过程中同时变号,没有移动的项则不变号.所以由移项,得-3x=7+2.④要注意移项和加法交换律的区别:移项是把某一项从等式的一边移到另一边,移项要变号;而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序,符号随着移动而不改变.如,3+5x=1,把3从方程的左边移到右边要变号,得5x=1-3,是属于移项;而把5x-15x+11x=11变成5x+11x -15x=11,是利用加法交换律,不是移项而是位置的移动,所以不变号.辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”:一变性质符号,即“+”号变为“-”号,而“-”号变为“+”号;二变位置,把某项由等号的一边移到另一边.(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项;分子是多项式的去掉分母后,要加小括号去括号可由小到大,或由大到小去括号分配律;去括号的法则不要漏乘括号内的项;括号前是“-”号的,去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax=b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加,字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是:(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到,也不一定按照顺序进行,可根据方程的形式,灵活安排步骤;(2)为了避免错误,可将解出的结果代入原方程进行检验.【例3-1】 下列各选项中的变形属于移项的是( ). A .由2x =4,得x =2B .由7x +3=x +5,得7x +3=5+xC .由8-x =x -5,得-x -x =-5-8D .由x +9=3x -1,得3x -1=x +9解析:选项A 是把x 的系数化成1的变形;选项B 中x +5变成5+x 是应用加法交换律,只是把位置变换了一下;选项C 是作的移项变形;选项D 是应用等式的对称性“a =b ,则b =a ”所作的变形.所以变形属于移项的是选项C.答案:C【例3-2】 解方程2-x 3-5=x -14.分析:方程有分母,将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12,去掉分母得4(2-x )-60=3(x -1),再按照步骤求解,特别注意-5不能漏乘分母的最小公倍数12.解:去分母,方程两边都乘以12, 得4(2-x )-60=3(x -1). 去括号,得8-4x -60=3x -3. 移项,得-4x -3x =-3-8+60. 合并同类项,得-7x =49. 两边同除以-7,得x =-7.4.解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一,一元一次方程化成标准方程后,就成为未知数系数不是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用,而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础.解方程的过程,实际上就是把方程式不断化简的过程,一直把方程化为x =a (a 是一个已知数).(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同的代数式,可以把此代数式看作一个整体来运算;方程中若含有小数或百分数,就要根据分数的基本性质,把小数或百分数化为整数再去分母运算.(2)要注意把分母整数化和去分母的区别:分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数,而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.【例4】 解方程0.4x -90.5-x -52=0.03+0.02x0.03.分析:由于0.4x -90.5和0.03+0.02x 0.03的分子、分母中含有小数,可利用分数的基本性质把小数化为整数,在式子0.4x -90.5的分子、分母中都乘以10,变为4x -905,在式子0.03+0.02x0.03的分子、分母中都乘以100,变为3+2x3,然后去分母,再按解一元一次方程的步骤求解.解:分母整数化,得 4x -905-x -52=3+2x3.去分母,得6(4x -90)-15(x -5)=10(3+2x ). 去括号,得24x -540-15x +75=30+20x . 移项,得24x -15x -20x =540-75+30. 合并同类项,得 -11x =495. 两边同除以-11,得x =-45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念,也是考查方程知识时的主要命题点.解题的关键是理解方程的解的概念.(1)已知方程的解求字母系数:若已知方程的解,将方程的解代入方程,一定使其成立,则得到一个关于另一个未知数的方程,解这个方程,即可求出这个字母系数的值.(2)同解方程:因为两方程的解相同,可直接解第一个方程,求出未知数的值,再把未知数的值代入第二个方程,求出相关字母的值.【例5-1】 关于x 的方程3x +5=0与3x +3k =1的解相同,则k =( ).A .-2B .43C .2D .-43解析:解方程3x +5=0,得x =-53.将x =-53代入方程3x +3k =1,得-5+3k =1,解得k =2,故应选C. 答案:C【例5-2】 若关于x 的方程(m -6)x =m -4的解为x =2,则m =__________. 解析:把x =2代入方程(m -6)x =m -4,得(m -6)×2=m -4,解得m =8. 答案:86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道,解一元一次方程一般有五个步骤,去分母,去括号,移项,合并同类项,化未知数的系数为1,可有些一元一次方程,若能根据其结构特征,灵活运用运算性质与解题技巧,则不但可以提高解题速度与准确性,而且还可以使解题过程简捷明快,下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧.(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号,去括号的顺序一般是由小到大去,但有些题目是从外向里去括号,计算反而简单,这就要求仔细观察方程的特点,灵活运用使计算简便的方法.(2)对于一些含有分母的一元一次方程,若硬套解题的一般步骤,先去分母则复杂繁琐,若根据方程的结构特点,先移项、合并同类项,则使运算显得简捷明快.有些特殊的方程却要打破常规,灵活运用一些解题技巧,使运算快捷、简便.巧解可激活思维,使我们克服思维定式,培养创新能力,从而增强学习数学的兴趣.【例6-1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x -14-4=32x +1. 分析:注意到34×43=1,把34乘以中括号的每一项,则可先去中括号,34×43⎝⎛⎭⎫12x -14-34×4=32x +1,再去小括号为12x -14-3=32x +1,再按步骤解方程就非常简捷了. 解:去括号,得12x -14-3=32x +1.移项,合并同类项,得-x =174.两边同除以-1,得x =-174.【例6-2】 解方程x +37-x +25=x +16-x +44.分析:此题可按照解方程的一般步骤求解,但本题若直接去分母,则两边乘以最小公倍数420,运算量大容易出错,我们可两边分别通分,5(x +3)-7(x +2)35=2(x +1)-3(x +4)12,把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.解:方程两边分别通分,得5(x +3)-7(x +2)35=2(x +1)-3(x +4)12.化简,得-2x +135=-x -1012. 去分母,得12(-2x +1)=35(-x -10). 去括号,得-24x +12=-35x -350. 移项、合并同类项,得11x =-362.两边同除以11,得x =-36211.7.列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时,常常采用代入法,即将方程的解代入原方程,得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程),再求解即可.(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义,可以列方程求出相关的字母的取值,如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值.列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系.再列出方程,解方程从而求出字母的取值.谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中,由此可发掘隐含的条件,列一元一次方程解题,发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识.【例7-1】 (1)当a =__________时,式子2a +1与2-a 互为相反数. (2)若6的倒数等于x +2,则x 的值为__________.解析:(1)根据互为相反数的两数和为0,可得一元一次方程2a +1+(2-a )=0,解得a =-3;(2)由倒数的概念:乘积为1的两个数互为倒数,可得一元一次方程6(x +2)=1,解得x =-116.答案:(1)-3 (2)-116【例7-2】 已知x =-2是方程x -k 3+3k +26-x =x +k2的解,求k 的值.分析:把x =-2代入原方程,原方程就变成了以k 为未知数的新方程,解含有未知数k 的方程,可以求出k 的值.解:把x =-2代入原方程,得 -2-k 3+3k +26-(-2)=-2+k2. 去分母,得2(-2-k )+3k +2-(-2)×6=3(-2+k ). 去括号,得-4-2k +3k +2+12=-6+3k . 移项、合并同类项,得 -2k =-16.方程两边同除以-2,得k =8.【题01】下列变形中,不正确的是( ) A .若25x x =,则5x =.B .若77,x -=则1x =-.C .若10.2x x -=,则1012x x -=. D .若x ya a=,则ax ay =. 【题02】下列各式不是方程的是( ) A .24y y -=B .2m n =C .222p pq q -+D .0x =【题03】解为2x =-的方程是( ) A .240x -=B .5362x +=C .3(2)(3)5x x x ---=D .275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程,求n 的值.课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程,则m = .【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程,求m 的解.【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程,则k = .【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程,则k = .若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程,则方程的解x = .【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程,且该方程有惟一解,则x =( ) A .2140- B .2140C .5615-D .5615【题10】解方程:135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程:11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程:122233x xx-+ -=-【题13】解方程:21511 36x x+--=【题14】解方程:11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程:1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程:0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程:0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程:4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程:111[(1)6]20343x --+=。

《一元一次方程及其解法》 知识清单

《一元一次方程及其解法》 知识清单

《一元一次方程及其解法》知识清单一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。

一般形式为:$ax + b = 0$(其中$a$,$b$为常数,且$a \neq 0$)。

例如:$2x + 3 = 7$,$05x 1 = 2$等都是一元一次方程。

需要注意的是,方程必须是等式,并且等式两边都是整式。

二、一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值,叫做一元一次方程的解。

例如,对于方程$2x + 3 = 7$,当$x = 2$时,方程左边$= 2×2 +3 = 7$,方程右边$= 7$,因为左边等于右边,所以$x = 2$是方程$2x + 3 = 7$的解。

三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤如下:1、去分母如果方程中有分母,要根据等式的性质,在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数,去掉分母。

例如,方程$\frac{x}{2} +\frac{x}{3} = 1$,分母 2 和 3 的最小公倍数是 6,方程两边同时乘以 6,得到:$6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x}{3} = 6×1$$3x + 2x = 6$2、去括号如果方程中有括号,要先去括号。

去括号时,要遵循乘法分配律,用括号外的数乘以括号内的每一项。

例如,方程$2(x + 3) = 5x 1$,去括号得到:$2x + 6 = 5x 1$3、移项把含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边。

移项时要注意变号。

例如,方程$3x + 5 = 7x 9$,移项得到:$3x 7x =-9 5$$-4x =-14$4、合并同类项将方程中的同类项进行合并,化简方程。

例如,上面得到的$-4x =-14$,合并同类项得到:$-4x =-14$5、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数,得到方程的解。

例如,$-4x =-14$,两边同时除以$-4$得到:$x =\frac{7}{2}$四、实际问题中的一元一次方程一元一次方程在实际生活中有广泛的应用,例如行程问题、工程问题、销售问题等。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

一元一次方程的概念与解法
【知识要点】
1.一元一次方程的有关概念
(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.
(2)一元一次方程的标准形式是:
2.等式的基本性质
(1)等式的两边都加上或减去或,所得的结果仍是等式.
(2)等式的两边都乘以或都除以,所得的结果仍是等式. 3.解一元一次方程的基本步骤:
【典型例题】
例1.下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2
-3x=1 11=x x x 312
1
=-
2x=1 3x –5 3+7=10 x 2
+x=1
例2. 用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的.
(1)如果________;-8x 3,853==+那么x
(2)如果-1_x _________3,123=--=那么x x ;
(3)如果;__________x ,52
1
==那么x
(4)如果________.3x ,3
2==那么y
x
例3.解下列简易方程
1.5223-=+x x 2.4.7-3x=11
3.x x +-=-32.0 4.)3(4)12(3-=+x x
例4.解方程 1.
32243332=+--x x 2.142
3(1)(64)5(3)25
x x x --++=+ 3.21101211364x x x -++-=- 4.223
14615+=+---x x x x 5.003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6.8316
1.20.20.55
x x x +-+-=-
(1)22
1131+=-x x (2)1-323x x -=+ (3)1122142=--+x x (4)x-3(3
1
4615+-
-x x )=2(x+2)
例5.解方程 1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--)13(2131)2(322x x x x 2.1111(3)3302222y ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
例6.x 取何值时,代数式 63x + 与 832
x
- 的值相等.
例7.已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同,求m 的值.
例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解,求221195k k --的值.
例9.当.383
2
2倍的的值是为何值时,代数式x x x x ++-
【初试锋芒】
1.若ax +b=0为一元一次方程,则__________.
2.当=m 时,关于字母x 的方程011
2=--m x 是一元一次方程.
3.若9a x b 7 与 – 7a
3x –4
b 7
是同类项,则x= .
4.如果()01122
=+++-y x x ,则
2
1x
y -的值是 . 5.当=x ___时,代数式24+x 与93-x 的值互为相反数.
6.已知08)1()1(2
2
=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程,则m= . 7.(2003北京)已知2-=x 是方程042=-+m x 的根,则m 的值是( ) A. 8
B. -8
C. 0
D. 2
8.如果a 、b 互为相反数,(a ≠0),则ax +b =0的根为( )
A .1
B .-1
C .-1或1
D .任意数
9.下列方程变形中,正确的是( )
(A )方程1223+=-x x ,移项,得;2123+-=-x x (B )方程()1523--=-x x ,去括号,得;1523--=-x x (C )方程
23
32=t ,未知数系数化为1,得;1=x (D )方程
15
.02.01=--x
x 化成.63=x 10.方程
6
2123x
x +=-去分母后可得( ) A 3x -3 =1+2x , B 3x -9 =1+2x , C 3x -3 =2+2x , D 3x -12=2+4x ; 11.如果关于x 的方程0123
1
=+m x
是一元一次方程,则m 的值为( )
A .
3
1
B 、 3
C 、 -3
D 、不存在 12.若32,24,A x B x =-=+使A -B=8,x 的值是( ) A .6 B .2 C .14
D .18
【大展身手】
1.下列各方程中变形属于移项的是( ) A .由24,2x x ==得
B .由735,735x x x x -=++=+得
C .由,58-=-x x 得85--=--x x
D .由139-=+x x ,得913+=-x x 2.下列方程中( )是一元一次方程. A .3x-
06
5
= B.2x+y=4 C.x(x+2)=8 D.
11
=+x x
3.下列方程的解法中,正确的是( ) A .214x =,移项得142,12x x =-∴= B .155
x
=,两边都除以5,得3=x C .
2
3,32==x x 得 D .0.017x =,两边都乘以100,得x =700
4. 一个一元一次方程的解为2,请写出这个方程:_______________
5.解方程: (1)22
1131+=-x x (2)1-323x x -=+ (3)1122142=--+x x (4)x-3(3
1
4615+-
-x x )=2(x+2)
(5)y-52221+-
=-y y (6)168)251(413121=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x
(7)1-43
)
1(21
1=-+x (8)
3)12(214)12(3+=-+x x (9))1(2)141(23x x x -=+- (10)3
2
221+-=--t t t
6.在有理数范围内定义运算“*”,其规则为:a*b =2
a
-b ,试求(x*3)*2=1的解.
7. 阅读短文:利用列方程可将循环小数化为分数,如求=?方法是:设x =0.5,即x =0.555……,将方程两边同乘以10,得10x =5.55……,即10x =5+0.555……, 而x =0.55……,∴x =
9
5. 试根据上述方法:(1)比较0.91的大小;(2)将0.25化为分数.
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。

相关文档
最新文档