2016年秋重庆高三一诊数学试题(理科)

2016年秋高三（上）期末测试卷
理科数学
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

（1）已知i b i
a +=+i
2（b a ,是实数）
，其中i 是虚数单位，则ab = （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）3
(2)已知某品种的幼苗每株成活率为p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为
（A ）2
p （B ）)1(2p p - （C ）223p C （D ）)1(223p p C -
（3）已知集合A={
}4321，，，,{}A y x y x B ∈==,2/，则=B A (A) {}2 (B) {
}2,1 (C) {}4,2 (D) {}4,2,1 (4)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则)(q p ⌝∨ 表示 （A ）甲、乙两人数学成绩都低于100分 （B ）甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分
（C ）甲、乙两人数学成绩都不低于100分 （D ）甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分
（5）在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩
⎨⎧≤≤-≥-+--310)1(1
x y x y x ）（表示的平面区域的面积为
（A ） 4 (B) 8 （C ） 12 (D) 16
(6) 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四
百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣
（A ）104人 (B)108人 (C)112人 (D)120人
（7）执行如图所示的程序框图，若分别输入1,2,3， 则输出的值得集合为 （A ）{
}21， (B) {}31， (C) {}32，
(D) {}9,31，
（8）设曲线22y y x -=上的点到直线02=--y x 的距离的最大值为a ，最小值为b ，则b a -
的值为 （A ）
2
2
（B ）2 (C) 122+ (D) 2 (9)函数x
x y 1
sin -=的图像大致是
(10)已知ABC ∆的外接圆半径为2，D 为该圆上一点，且,AD AC AB =+则ABC ∆的面积的最大值为
（A ）3 （B ）4 (C)33 (D)34
(11)设定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('
x f ，且满足)()2(x f x f =-，
01
)
('<-x x f ，若221>+x x ，21x x <，则
（A ）)()(21x f x f < （B ）)()(21x f x f =
(C) )()(21x f x f > (D) )(1x f 与)(2x f 的大小不能确定 （12）设R c b a ∈,,且0≠c
若上表中的对数值恰有两个是错误的，则的值为
（A ）212lg
（B ）143lg 21 （C ）7
3
lg 21 （D ）76lg
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

（13）二项式5
)1(x
x x -的展开式中常数项为 .
(14)已知2tan =α，则α
αα
αcos sin 2cos sin ++= .
（15）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11=a ，)(1,
2*122N n a a S a n n n ∈-=+=++
，若不等式n n a S >λ恒成立，则实数λ的取值范围是 .
（16）已知双曲线C:
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且，
2PF QP =021=⋅QF QF ,则双曲线C 的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12
分）已知向量）（x x a cos ,sin =,)cos ,sin )6
(cos(x x x b ++=π
,函数
.)(b a x f ⋅=
（Ⅰ）求)(x f 得单调递增区间； （Ⅱ）若)2
,
0(π
α∈且3
1
)12
cos(=
+
π
α，求)(αf .
(18)( 本小题满分12分)心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？ （Ⅱ）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
5
4
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，先从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记抽取的两人中答对的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.
附表及公式：
（19）( 本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：21=a ，⎪⎩
⎪⎨⎧+=+为奇数，为偶数，
n a n a a n n n ,121
,
1
若 112-=-n n a b .
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 2.
))()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
(20) ( 本小题满分12分)过椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点)0,(c F 作x 轴的垂线，与椭
圆C 在第一象限内交于点A,过A 作直线c
a x 2
=的垂线，垂足为B, 22,33==AB AF , （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 为圆E:42
2
=+y x 上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线21,l l ，设21,l l 分别交圆
E 于点M 、N,证明：MN 为圆E 的直径.
(21) ( 本小题满分12分)已知函数),(ln )(R b a b ax x x f ∈+-=有两个不同的零点21,x x ， （Ⅰ）求)(x f 的最值； （Ⅱ）证明：2211a
x x <
⋅.
请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）( 本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线⎩⎨⎧+==.
25,
:t y t x l （t 为参数），以圆点O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为042cos 2
=+θρ. （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点)50(，A ,直线l 与曲线C 相交于点N M ,,求AN
AM 1
1+的值.
(23) ( 本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数).0,0()(>>++-=b a b x a x x f （Ⅰ）若2,1==b a ，解不等式5)(≤x f ；
（Ⅱ）若)(x f 的最小值为3，求a
b b a 2
2+的最小值.。