常微分方程教学设计

常微分方程教学设计

第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的

阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程

(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：3常微分方程组之例:记vector)，是自变量t 的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义6若微分方程其导数中的函数关于未知函数及是一次有理整式，则称方程是线性的(linear)，称它是n阶线性(微分)方程．一般形式为：，，则称它是n阶线性齐次(homogeneous)方程；否则称为线性为线性方程的非齐次项.(提示)若其中非齐次(inhomogeneous)方程．这时称常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)4，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，

用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义7不是线性的微分方程称为非线性(nonlinear)方程．(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：第1讲第2第3第4第5第6第7第8讲讲讲讲讲讲讲微分方程与解变量可分离方程齐次微分方程一阶线性微分方程全微分方程与积分因子一阶隐式微分方程几种可降阶的高阶方程应用举例第二章基本定理解的存在性与唯一性定理解的延展奇解与包络解对初值的连续依赖性第10讲第11讲第12讲第三章线性微分方程组第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念第14讲线性齐次微分方程组的一般理论第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论常系数线性微分方程组的解法(单实根）第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章线性微分方程第17讲第18讲第19讲第20讲n阶线性微分方程的一般

理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(·=）()()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导