常微分方程教学设计
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程一、引言在数学学科中，微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
本教案旨在通过引导学生理解数学中的常微分方程，培养学生解决实际问题的能力，提高数学思维和计算能力。
二、教学目标1. 了解常微分方程的基本概念和分类；2. 掌握一阶常微分方程的解法；3. 能够应用常微分方程解决实际问题。
三、教学内容1. 常微分方程的概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述未知函数和它的导数关系的方程。
它涉及到未知函数、自变量和导数三个变量。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
2. 一阶常微分方程的解法（这里省略数学公式和推导过程，侧重介绍解法方法）（1）可分离变量法（2）齐次方程法（3）线性方程法（4）常系数线性方程法（5）恰当方程法四、教学过程1. 概念解释与例题讲解介绍常微分方程的定义和性质，并通过实例讲解一阶常微分方程的解法。
2. 练习与讨论让学生通过练习题巩固所学的解法方法，并进行讨论分析，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 拓展运用引导学生通过实际问题的分析和变量建模，将问题转化为常微分方程，并运用所学的解法方法得出结果。
五、教学评价1. 课堂表现评价通过学生在课堂上的主动参与、解题能力的表现以及对常微分方程理解的深度进行评价。
2. 作业评价布置与课堂内容相关的作业题目，评价学生对解法方法的理解和运用能力。
3. 实际问题解决评价评价学生能否将实际问题转化为常微分方程，并正确运用解法方法得出准确结果。
六、教学反思通过本教案的实施，学生在数学中的常微分方程问题方面的理解将有所提升。
但教学中还需注重培养学生的实际问题解决能力，加强综合运用能力的训练，进一步提高教学质量。
七、结语在现代科学和技术的发展中，常微分方程扮演着重要的角色。
通过本教案的学习和实践，相信学生能够更好地理解数学中的常微分方程，并能够在实际问题中运用所学的知识解决现实难题。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
常微分方程(王高雄)第三版1学习教案
' ' ex 4e4x
c1 c2
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故y c1ex c2e-4x是方程y" 5y' 4 y 0的通解. 由初始条件 y(0) 2, y' (0) 1有 c1 c2 2 c1 4c2 1 解以上(yǐshàng)方程c1 组 3得, c2 1 故方程y" 5y' 4 y 0满足初始条件 y(0) 2, y'(0) 1的特解为 y 3ex e-4x
(c1ex c2ex 2c3e2x ) 2(c1ex c2ex c3e2x 3) (c1 2c1 c1 2c1)ex (-c2 2c2 c2 2c2 )ex
(8c3 8c3 2c3 2c3)e2x 6 6
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故y c1ex c2ex c3e2x 3是 微分方程y'" 2 y" y' 2 y 6的解.
又由于(yóuyú)
c1
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ex e x
ex e x
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c1 c3 c3 故y c1ex c2ex c3e2x 3是微分方程 y'" 2 y" y' 2 y 6的通解.
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(2) 对x I有 : F (x,(x), '(x), n (x)) 0,
则称y (x) 为方程
在I上的一个解 .
常微分方程教案
常微分方程教案一、引言常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案旨在介绍常微分方程的基本概念、解法以及应用，帮助学生掌握解常微分方程的方法，并了解其在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 常微分方程的定义常微分方程是指只依赖于一个独立变量的函数的导数与该函数本身构成的方程。
常微分方程通常以形如 dy/dx = f(x,y) 的形式表示，其中 f(x,y) 是已知函数。
2. 常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
一阶方程仅涉及一阶导数，二阶方程涉及到一阶和二阶导数，依此类推。
3. 常微分方程的解常微分方程的解是指满足方程的函数或函数组。
解可以由解析法得到，也可以通过数值方法进行近似求解。
三、解常微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于能够将方程表示为 dy/dx = g(x)h(y) 的情况。
通过分离变量并积分得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx = f(y/x) 的情况。
通过变量代换和分离变量的方法求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的情况。
通过使用积分因子和积分求解。
4. 恰当方程法恰当方程法适用于能够将方程表示为 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的情况。
通过使用判别式和积分求解。
5. 变量替换法变量替换法适用于通过变量替换将高阶微分方程转化为一阶方程的情况。
通过适当选择替换变量，将高阶方程转化为一阶常微分方程。
四、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，运动学中的运动方程、电路中的电流方程、振动系统中的运动方程等都可以用常微分方程进行建模和求解。
2. 工程学中的应用常微分方程在工程学中也有着重要的应用。
例如，电力系统中的电压和电流的变化、控制系统中的系统稳定性分析等都可以通过常微分方程进行建模和分析。
常微分方程课程设计
常微分方程课程设计1. 背景介绍常微分方程是数学中的一门重要的分支，其应用广泛，尤其在工程、物理、经济等学科中有着重要的地位。
常微分方程的研究对象是描述性能或物理现象的数学关系，其解法方法多种多样，如常系数线性微分方程、变系数线性微分方程、常系数非线性微分方程等。
针对这些不同类型的微分方程，研究者们提出了丰富的解法，如变量分离法、常数变易法、欧拉公式等。
2. 目的和意义常微分方程的解法非常实用，是解决多种实际问题的有效工具。
因此，本次课程设计旨在探究不同类型的常微分方程，并结合实例进行分析和解决问题，加深学生对常微分方程的理解和应用。
通过本次课程设计，学生可以很好地掌握常微分方程的基本概念及其解法方法，增强其在实际问题中应用数学知识解决实际问题的能力，提高其数学思维能力，帮助学生打牢数学基础。
3. 设计内容3.1 基本概念常微分方程的基本概念是本课程设计的基础。
在教学过程中，需要向学生简要介绍基本概念，包括常微分方程的定义、解、常微分方程的分类等。
3.2 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程是常微分方程的重要类型之一，解决实际问题时常常需要采用非齐次线性微分方程的解法。
因此，在本次课程设计中，需要详细介绍常系数非齐次线性微分方程的定义、特点、解法等，并在此基础上，结合实例进行分析和应用。
3.3 高阶常微分方程高阶常微分方程是常微分方程的重要类型之一，也是常微分方程的拓展，其解决了微分方程中仅含一自变量的情况，具有广泛的应用场景。
因此，在本次课程设计中，需要向学生详细介绍高阶常微分方程的定义、特点、解法等，并结合实例进行分析和应用。
3.4 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组是常微分方程的一种特殊情况，也是一种常见的微分方程类型，其解法多样，具有一定的难度。
因此，在本次课程设计中，需要向学生详细介绍常系数线性微分方程组的定义、特点、解法等，并结合实例进行分析和应用。
4. 总结本次课程设计中，我们主要介绍了常微分方程的各种类型和解法方法，可以帮助学生更好地理解和掌握常微分方程的基本概念和解法方法。
常微分方程及其应用第二版教学设计
常微分方程及其应用第二版教学设计一、教学目标1.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的重要作用。
2.理解常微分方程的概念、基本性质、基本解法和应用。
3.掌握一阶常微分方程解法中的分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程、常数变易法及应用。
4.掌握高阶线性常微分方程和泛函方程的解法及应用。
5.了解矩阵微分方程及其应用。
二、教学内容1. 常微分方程概述1.1 常微分方程定义 1.2 常微分方程的阶数 1.3 常微分方程的一般形式 1.4 常微分方程的初值问题 1.5 常微分方程的重要性2. 一阶常微分方程解法2.1 分离变量法 2.2 齐次方程法 2.3 一阶线性方程 2.4 常数变易法 2.5 应用：生物学问题、物理问题、化学问题、经济问题、工程问题等实际问题。
3. 高阶线性常微分方程解法3.1 齐次线性方程的通解 3.2 非齐次线性方程的通解 3.3 懒汉必备：常数变易法 3.4 应用：振动问题、热传导问题、杂质物扩散问题。
4. 泛函方程的解法4.1 常微分方程的基本理论：皮卡-极大原理、存在唯一性定理、连续依赖原理等。
4.2 变分法解微分方程 4.3 应用：微分方程的振动性质、最大值问题、最小值问题。
5. 矩阵微分方程及其应用5.1 线性矩阵微分方程的一般形式 5.2 常数系数的线性矩阵微分方程 5.3 非齐次线性矩阵微分方程的通解 5.4 应用：电路问题、控制问题、自动化问题。
三、教学方法3.1 前置听课法：先讲多元函数、极值、微分、积分等相关基础知识，使学生有良好的数学功底。
再介绍和讲解本课程的基本内容。
3.2 理论与实践相结合：在讲解理论内容的同时，重点培养学生的实际运用能力，引导学生做大量的例题、计算和求解。
3.3 多媒体教学法：运用各种多媒体工具进行教学，如视频讲解、课件、PPT 演示、动画演示等，提高学生的学习效果和兴趣。
四、教学评估课程结束后，学生需要完成一份期末考试并提交一个课程小项目，内容为任选一题，完成题目的分析、求解和推导，并给出相关的实际应用案例。
常微分方程及其应用理论与模型教学设计
常微分方程及其应用理论与模型教学设计前言常微分方程是数学中一门重要的理论，同时也是应用非常广泛的数学工具。
常微分方程相关的知识和技能在数学、统计、工程、物理、生物、经济等领域中都有非常广泛的应用。
因此，对于从事相关研究或工作的人士来说，熟练掌握常微分方程的相关知识和技能是非常必要的。
基于此，本文将从理论与模型的角度出发，针对常微分方程及其应用进行教学设计，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。
一、理论教学1.1 基础理论作为常微分方程教学的入门课程，要求学生掌握如下内容：•常微分方程的定义和基本概念；•常微分方程的解法及其分类；•高阶线性常微分方程和欧拉方程的解法。
以上内容可以通过结合数学公式、图像和实例等方式进行讲解和演示。
在讲解解法时，可以通过例题和练习题进行巩固和测试。
1.2 进阶理论学生学习基础理论后，可以进一步了解更高级的常微分方程相关知识，比如常微分方程的解的连续性和唯一性、常微分方程的初边值问题、变系数和变阶微分方程的解法等。
这些内容对于学生的理解和掌握程度有更高的要求，需要通过更深入的讲解和实例来加深学生的印象。
二、应用教学2.1 模型建立常微分方程的应用非常广泛，可以用来描述各种自然现象和社会现象。
在教学中，可以通过讲解实际问题的建模过程，来引导学生理解和掌握常微分方程的应用。
比如，在物理中，可以通过讲解质点运动、简单谐振动、受阻运动等问题来引导学生建立常微分方程模型。
在生物学中，可以通过讲解人口增长问题、化学反应过程等问题来引导学生建立常微分方程模型。
2.2 模型求解在建立模型后，学生需要掌握相应的求解方法，比如直接法、分离变量法、变形法等。
同时，还需要学会运用常微分方程的初边值问题解法和数值解法对模型进行求解。
在教学中，可以通过提供实际问题的例子和实例，让学生进行模型求解，并进行讨论和思考。
2.3 模型评价在模型求解完成后，需要对模型进行评价。
学生可以分析并评价模型的优缺点、稳定性、收敛速度等。
高等数学武大社教案08第八章常微分方程
第八章常微分方程一、教学目标1.熟悉微分方程的基本概念及其求解方程的基本思路；2.掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、常系数齐次线性微分方程的求解方法；3.了解高阶线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程的解法.二、课时分配本章节4共个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.可分离变量的微分方程；2.一阶线性微分方程的解法；3.可降阶的二阶微分方程；4.二阶常系数齐次线性微分方程.四、教学难点1.伯努利方程；2.齐次方程；3.二阶常系数非齐次线性微分方程.五、教学内容第一节微分方程的基本概念一、微分方程的引例【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程.【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y′=x2.两边积分，得y=1/3x3+C.式中，C为任意常数.由于所求曲线过原点，即将y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲线方程为y=1/3x3.二、微分方程的基本概念1. 微分方程和微分方程的阶定义1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程.定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))=02.微分方程的解与通解定义3 某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解.若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解. 当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解. 用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件.一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.【例3】验证函数y=C1e−x+C2xe−x是微分方程y″+2y′+y=0的通解，并求出满足初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2的特解.【解】容易求得y=C1e−x+C2xe−x的一阶导数和二阶导数为y′=(C2−C1)e−x−C2xe−xy′′=(C1−2C2)e−x+C2xe−x代入方程中，得(C1−2C2)e−x+C2xe−x+2[(C2−C1)e−x−C2xe−x]+C1e−x+C2xe−x=[(C1−2C2)+2(C2−C1)+C1]e−x+(C2−2C2+C2)xe−x≡0因此，y=C1e−x+C2xe−x是原微分方程的解.又因为其中含有两个独立的任意常数，因而是方程的通解.将初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2代入，可得C1=4，C2-C1=-2从而解出C1=4，C2=2因此，满足初始条件的特解为y=4e−x+2xe−x第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程在一阶微分方程中，形如dy=f(x)∙g(y)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式两边分别积分，得∫1dy=∫f(x)dx+C若设G(y)及F(x)依次为1/g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C可以证明，G(y)=F(x)+C就是两个方程的通解.值得说明的是，对方程求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0，则可由方程求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.综上所述，求解可分离变量的微分方程的步骤如下：(1) 分离变量；(2) 两边积分.【例1】求方程dydx =−xy的通解.【解】分离变量，得ydy=-xdx两边积分，得∫ydy=∫(−x)dx+C11 2y2=−12x2+C1所以通解为x2+y2=C(2C1=C)其中,C为任意常数.二、一阶线性微分方程如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(8-11)的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程.【例4】求方程(1+x2)y′−2xy=(1+x2)2的通解.【解】原方程可化为y′−2x1+x2y=1+x2所以原方程是线性非齐次的，即P(x)=−2x1+x2,Q(x)=1+x2对应齐次方程y′−2x1+x2y=0，分离变量，得dy dx =2x1+x2dx两边积分，得ln y=ln(1+x2)+ln C 所以齐次方程通解为y=C(1+x2)设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得C′(x)(1+x2)+2xC(x)−2x1+x2C(x)(1+x2)=1+x2整理得C′(x)(1+x2)=(1+x2)C′(x)=1C(x)=x+C由此得到原方程的通解为y=(x+C)(1+x2).第三节可降阶的高阶微分方程一、y″=f(x)类型的方程这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数，而右端不含y，两边积分得y′=∫f(x)dx+C1再积分，得方程通解y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2其中，C1,C2为任意常数.【例1】求方程y″=x+sinx满足初始条件y|x=0=1，y′|x=0=2的解.【解】对方程两端积分，得y′=12x2−cos x+C1将初始条件y′|x=0=2代入，得C1=3,即y′=12x2−cos x+3再次对方程两端积分，可得y=16x3−sin x+3x+C2将初始条件y|x=0=1代入，得C2=1.所以原方程解为y=16x3−sin x+3x+1二、y″=f(x,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含未知函数y，则可以通过变量代换，降为一阶微分方程求解.将y′看作未知函数p(x)，即令y′=p(x)，则y″=dp/dx，代入原方程得到关于x 和未知函数p(x)的一阶微分方程dpdx=f(x,p)设其通解为p=φ(x，C1)或y′=φ(x，C1),积分得原方程通解y=∫φ(x,C1)dx+C2三、y″=f(y,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含自变量x，此时可将y′看作未知函数p(y)，即令y′=p(y)，两边对x求导得y′′=dpdy∙dydx=pdpdy代入原方程得到关于y和未知函数p(y)的一阶微分方程p dpdy=f(y,p)设其通解为p=φ(y,C1)或dy=φ(y,C1)这是关于x和未知函数y(x)的可分离变量的一阶微分方程，若φ(y，C1)≠0，分离变量dyφ(y,C1)=dx 积分得原方程的通解∫dyφ(y,C1)=x+C2其中，C1,C2是任意常数.第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程通解的结构y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.定理1 (齐次线性方程解的叠加性)若函数y1，y2是齐次线性方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)也是方程的解.定理2 (齐次线性方程通解的结构)若函数y1,y2是方程的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)是方程的通解.由此可见,求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 (非齐次线性方程通解的结构)设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,Y是对应的齐次方程的通解,则y=Y+y∗是非齐次方程的通解.定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法设二阶常系数齐次线性微分方程为y′′+py′+qy=0由于方程左端是未知函数y及y′，y″的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零.因此，我们猜测y=e rx可能是方程的解，其中常数r需要待定，它表示了该解的特征.将y=e rx，y′=re rx，y″=r2e rx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)e rx=0.由于e rx≠0，所以r2+pr+q=0.若函数y=e rx是方程的解，则r必须满足方程，称方程为微分方程.【例1】求微分方程y′′−y′−2y=0的通解.【解】微分方程的特征方程为r2−r−2=0即(r+1)(r-2)=0其根为r1=-1，r2=2，故通解为y=C1e−x+C2e2x三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1. f(x)=P m(x)eλx型其中，P m(x)为m次多项式P m(x)=a0x m+a1x m-1+…+a m-1x+a m，λ为常数.这时，微分方程为y″+py′+qy=P m(x)eλx.根据方程两端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)eλx的特解，其中Q(x)是需待定的多项式.将y*的一阶、二阶导数y*′，y*″及y*代入方程中，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).式的左端应是m次多项式.2. f(x)=eλx p m(x)cosωx或f(x)=eλx p m(x)sinωx型设方程y″+py′+qy=eλxpm(x)cosωx，或y″+py′+qy=eλx p m(x)sinωx.其中，p，q，λ，ω＞0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程具有形如y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］.的特解，其中Q m(x)，R m(x)为待定m次多项式，而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0.【例4】求微分方程y″+5y′+4y=3-2x的特解.【解】与所给方程对应的齐次方程为y″+5y′+4y=0它的特征方程为r2+5r+4=0即(r+1)(r+4)=0它的根为r 1=-1，r 2=-4.因为所给方程中λ=0不是特征方程的根，而且P m (x)=3-2x 是一次多项式，所以它的特解应为y*=b 0x+b 1(也是一次多项式).将y*=b 0x+b 1，y*′=b 0，y*″=0代入原方程中，得5b 0+4b 1+4b 0x=3-2x比较两端同次项的系数，得{5b 0+4b 1=34b 0=−2解得b 0=−12,b 1=118，于是，所求特解为y ∗=−12x +118。
常微分方程课程设计
常微分方程 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握常微分方程的基本概念、分类和性质，理解微分方程在数学建模和科学研究中的重要性。
2. 使学生掌握一阶微分方程的解法，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程以及伯努利方程等。
3. 帮助学生理解高阶微分方程的求解方法，包括常数变易法和待定系数法。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）解决常微分方程问题的能力。
2. 培养学生分析实际问题时，能够建立数学模型，转化为微分方程，并求解的能力。
3. 提高学生通过合作学习、讨论交流等方式，解决复杂微分方程问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对常微分方程的兴趣和热情，激发学生探索数学奥秘的精神。
2. 培养学生严谨的科学态度，养成独立思考、分析问题和解决问题的习惯。
3. 增强学生的团队协作意识，学会尊重他人，提高沟通表达能力。
本课程针对高年级学生，课程性质为专业基础课。
在分析课程性质、学生特点和教学要求的基础上，将课程目标分解为具体的学习成果，以便后续的教学设计和评估。
通过本课程的学习，使学生不仅掌握常微分方程的基本知识，还能将其应用于实际问题中，提高学生的综合素质和能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 常微分方程的基本概念与性质：介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性微分方程，分析微分方程的解及其存在唯一性定理。
2. 一阶微分方程的解法：涵盖可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等，通过实例解析各类方程的求解方法。
3. 高阶微分方程的求解：介绍常数变易法、待定系数法等求解方法，并对具体方程进行分析。
4. 微分方程组：讲解微分方程组的求解方法，包括解的存在唯一性定理、线性微分方程组的解法等。
5. 微分方程应用：结合实际案例，教授如何将微分方程应用于物理、生物、经济等领域。
教学内容安排如下：第1周：常微分方程基本概念与性质；第2周：一阶微分方程解法（可分离变量、齐次方程）；第3周：一阶微分方程解法（一阶线性方程、伯努利方程）；第4周：高阶微分方程求解方法（常数变易法、待定系数法）；第5周：微分方程组及其解法；第6周：微分方程在实际问题中的应用。
(完整word版)常微分方程教案2
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c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
《常微分方程》教学计划
《常微分方程》教学计划一、教学目标1.了解常微分方程的基本概念和基本方法；2.掌握常微分方程的基本解法和应用；3.培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.基本概念（1）常微分方程的定义和分类；（2）初等函数和特殊函数的定义和性质。
2.一阶常微分方程（1）可分离变量的一阶常微分方程；（2）齐次方程；（3）一阶线性方程；（4）恰当方程；（5）可降阶的高阶微分方程。
3.二阶常微分方程（1）二阶齐次线性方程；（2）二阶非齐次线性方程；（3）常系数齐次线性方程的特征方程；（4）常系数非齐次线性方程的特解；（5）欧拉方程和狄利克雷方程。
4.高阶常微分方程（1）n阶齐次线性方程的基本性质；（2）n阶齐次线性方程的解法；（3）n阶非齐次线性方程的解法。
5.应用（1）常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用；（2）常微分方程在工程问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与演示相结合的教学方法，通过具体的例子来说明概念和解法；2.引导学生进行问题分析和解决策略的讨论；3.利用练习题和例题进行巩固和拓展知识。
四、教学计划1.第一周：基本概念和一阶常微分方程（1）讲解常微分方程的定义和分类；（2）介绍初等函数和特殊函数的性质；（3）讲解可分离变量的一阶常微分方程的解法。
2.第二周：一阶常微分方程的其他解法和应用（1）讲解齐次方程、一阶线性方程和恰当方程的解法；（2）介绍可降阶的高阶微分方程；（3）讲解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。
3.第三周：二阶常微分方程（1）讲解二阶齐次线性方程的解法；（2）介绍二阶非齐次线性方程的解法；（3）讲解常系数齐次线性方程的特征方程；（4）介绍常系数非齐次线性方程的特解；（5）讲解欧拉方程和狄利克雷方程。
4.第四周：高阶常微分方程（1）讲解n阶齐次线性方程的基本性质和解法；（2）介绍n阶非齐次线性方程的解法。
5.第五周：应用（1）讲解常微分方程在工程问题中的应用；（2）布置练习题和例题，巩固和拓展知识。
常微分方程数值解法课程设计
常微分方程数值解法课程设计常微分方程数值解法课程设计一、背景与意义常微分方程在自然科学、工程技术、社会科学等各个领域都有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程、生物学中的种群增长模型等都涉及到常微分方程。
然而，很多常微分方程的解析解很难求得或者不存在，因此数值解法就显得尤为重要。
本次课程设计的目的是使学生掌握常微分方程的数值解法，包括欧拉法、龙格-库塔法等，并能够利用这些方法进行实际问题的建模和计算。
通过本次课程设计，学生将了解数值解法的基本思想、误差分析、稳定性等方面的知识，提高解决实际问题的能力。
二、主要内容1.常微分方程的基本概念：介绍常微分方程的定义、分类、解的存在性和唯一性等基础知识。
2.数值解法的基本思想：介绍数值解法的基本思想，包括离散化、逼近、迭代等，以及数值解法的误差来源和误差估计。
3.欧拉法：介绍欧拉法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识，并通过实例演示欧拉法的应用。
4.龙格-库塔法：介绍龙格-库塔法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识，并通过实例演示龙格-库塔法的应用。
5.实际问题建模与计算：选取实际问题，如物理学中的弹簧振子问题、生物学中的种群增长问题等，利用常微分方程的数值解法进行建模和计算，并对结果进行分析和解释。
三、实施步骤1.理论学习：通过课堂讲解、阅读教材等方式，使学生掌握常微分方程的基本概念、数值解法的基本思想和常用方法。
2.上机实践：安排学生在计算机上利用编程语言实现欧拉法、龙格-库塔法等数值解法，并对简单的常微分方程进行数值计算。
3.实际问题建模与计算：选取实际问题，指导学生利用常微分方程的数值解法进行建模和计算，并对结果进行分析和解释。
4.课程设计报告：要求学生撰写课程设计报告，内容包括问题描述、数学模型、数值解法、计算结果与分析等，以培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。
四、预期成果通过本次课程设计，学生将能够：1.掌握常微分方程的基本概念和数值解法的基本思想；2.熟练使用欧拉法、龙格-库塔法等常用数值解法；3.能够利用常微分方程的数值解法进行实际问题的建模和计算；4.撰写规范的课程设计报告，具备综合运用所学知识解决实际问题的能力。
课程思政教学设计-《常微分方程》
课程思政教学设计-《常微分方程》一、引言本文档是针对《常微分方程》课程的思政教学设计，旨在通过课程教学，培养学生的思想道德素质和创新能力，促进他们全面发展。
二、教学目标1. 使学生掌握《常微分方程》的基本概念、解法和应用；2. 培养学生对数学科学的兴趣和思辨能力；3. 引导学生关注社会热点问题，加强学生的社会责任感和社会意识。
三、教学内容及方法1. 基础内容- 常微分方程的定义和分类；- 常微分方程的解法和解的存在唯一性定理；- 常微分方程在物理、经济等领域的应用。
2. 教学方法- 理论授课：通过讲解和示范演示，向学生介绍常微分方程的基本概念和解法；- 实例分析：选取具体的实例，引导学生运用已学知识解决实际问题；- 讨论与交流: 设计小组讨论和整体交流环节，激发学生对数学科学的兴趣和创新能力。
四、教学评价1. 评价方式- 平时作业：布置相关题，检验学生对概念和解法的掌握程度；- 课堂表现：关注学生的参与情况、思维活跃程度和对问题的分析能力；- 期末考试：考察学生对应用题的解答能力和综合应用能力。
2. 评价标准- 结果准确性：学生的解答是否准确无误；- 方法合理性：学生的解题过程是否清晰合理；- 思维独立性：学生是否具备独立思考和创新解题的能力。
五、教学反思与改进本课程虽然在培养学生的数学思维和解题能力方面取得了较好的效果，但仍存在一些不足之处。
今后的教学中，可进一步加强理论与实践的结合，提供更多的应用案例，激发学生的研究热情和创新思维。
同时，注重培养学生的团队合作能力，加强小组讨论和合作实践的环节，以提升教学效果。
常微分方程及其应用教学设计
常微分方程及其应用教学设计一、教学目标本课程旨在使学生掌握常微分方程的基本概念和解法，并能够在各种实际问题的分析中应用微分方程的解法。
具体地，本课程的教学目标为：•理解微分方程的基本概念和分类•掌握一阶和二阶常微分方程的解法•了解微分方程在物理、工程、生命科学等领域中的应用•能够独立分析实际问题，建立微分方程模型，并求解方程得到结论二、教学内容与方法1. 教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：•微分方程的基本概念•一阶常微分方程的解法–可分离变量法–齐次法–一阶线性微分方程–变量分离法•二阶常微分方程的解法–齐次线性微分方程–非齐次线性微分方程–带常数系数和变系数的齐次线性微分方程•微分方程的应用–物理问题中的微分方程模型–生命科学问题中的微分方程模型–工程问题中的微分方程模型2. 教学方法本课程采用多种教学方法，包括：•讲授理论知识，并通过图形、示例详细说明•案例分析，让学生研究已有的微分方程模型，掌握如何将实际问题转化为微分方程模型•实践操作，运用软件工具（如MATLAB、Mathematica）来求解微分方程及应用方程模型三、教学安排1. 教学进度本课程共15周，每周2个课时，教学进度安排如下：课时教学内容教学方法1-2 微分方程的基本概念讲授、图示课时教学内容教学方法3-4 一阶常微分方程的解法（一）讲授、图示、具体例题5-6 一阶常微分方程的解法（二）讲授、图示、具体例题7-8 一阶常微分方程的解法（三）讲授、图示、具体例题9-10 二阶常微分方程的解法（一）讲授、图示、具体例题11-12 二阶常微分方程的解法（二）讲授、图示、具体例题13-14 微分方程的应用案例分析15 复习与总结讲授、图示、总结2. 实践操作在第13周或第14周，安排一次实践操作课，让学生用MATLAB或Mathematica编程求解微分方程及应用方程模型，并介绍实践操作过程和理解。
四、教学评价本课程的教学重点在于帮助学生掌握基本概念和解法，并能应用于实际问题中。
常微分方程第四版教学设计
常微分方程第四版教学设计课程简介常微分方程是数学的一个重要分支，许多工程和科学问题都可以归结为常微分方程。
本课程旨在让学生掌握常微分方程的基本概念、解法、应用以及与其他数学分支的关系，为今后从事数学、科学、工程等方面的工作打下坚实的数学基础。
教学目标1.掌握常微分方程及其基础理论。
2.熟练掌握常微分方程的常数变易法、齐次方程与非齐次方程、一阶与二阶方程的解法。
3.理解和掌握常微分方程的通解与特解的概念，并能够结合实际问题进行应用。
4.了解微分方程在物理、工程、生物、经济等领域的应用。
教学内容第一章常微分方程的基础概念1.常微分方程的定义及其分类2.常微分方程的初值问题3.常微分方程解的存在唯一性定理第二章一阶常微分方程及其应用1.可分离变量的一阶常微分方程2.齐次方程和非齐次方程的解法3.变量可分离变量与齐次方程组合的解法4.一阶线性方程的解法及其应用5.常微分方程在生物和经济模型中的应用第三章二阶常微分方程及其应用1.二阶常微分方程的基础概念及分类2.二阶常微分方程特征方程法解法3.带有常数项的二阶常微分方程的解法4.二阶常微分方程在物理模型中的应用第四章多元常微分方程及其应用1.多元常微分方程的定义及其分类2.二阶线性常微分方程组的解法3.多元常微分方程在物理和生物模型中的应用第五章常微分方程的数值解法1.常微分方程数值解法的概述2.欧拉方法、改进欧拉方法和隐式欧拉方法3.二阶龙格-库塔方法4.常微分方程数值解法在物理模型中的应用教学方法1.采用理论讲授与案例分析相结合的教学方式。
2.利用黑板进行公式演示和推导。
3.鼓励学生通过课堂练习和作业巩固所学内容。
教材与参考书目教材：《常微分方程》(第四版) 作者：丁同仁、吕同富、陈玉兰参考书目：1.《微积分》(第七版)，作者：霍华德·安东尼,艾柯尔·伯纳德2.《常微分方程教程》，作者：濮存昕3.《微积分及其应用》(第九版)，作者：约翰·戴维·诺瓦克，马克·伊涅斯课程评估评估方式：期末考试、平时成绩和课堂表现。
高中数学备课教案常微分方程
高中数学备课教案常微分方程高中数学备课教案：常微分方程第一部分：引言高中数学备课教案是教师备课的重要组成部分，其中备课教案的编写与准备对于一堂成功的课堂教学至关重要。
本文将为您介绍如何编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分。
第二部分：教学目标1.了解常微分方程的基本概念和表达方式；2.能够解决一阶常微分方程并应用到实际问题中；3.培养学生对常微分方程的兴趣和探索精神。
第三部分：教学内容1.常微分方程的基本概念及分类；2.一阶常微分方程的解法；3.应用题：如何将常微分方程应用到实际问题中。
第四部分：教学过程1.导入环节：通过引入一个实际问题，激发学生对常微分方程的兴趣；2.知识讲解：简明扼要地介绍常微分方程的基本概念、分类及解法；3.示范演示：以具体例题为例，详细讲解一阶常微分方程的解法；4.学生训练：提供一系列练习题，让学生独立思考和解答；5.拓展应用：通过实际问题的应用，巩固学生的解题能力；6.课堂总结：梳理本节课的重点知识点和思考问题。
第五部分：教学评价为了及时了解学生的掌握情况和教学效果，可以采用以下几种教学评价方式：1.课堂练习：在课堂上布置一些问题，让学生积极参与解答；2.小组讨论：分成小组让学生讨论解题思路并撰写解题报告；3.个人作业：布置一些练习题作为课后作业，检验学生对常微分方程的理解和掌握程度；4.抽查问题：随机抽查部分学生回答问题，了解学生的掌握情况。
第六部分：教学反思教师应根据学生的实际情况和教学反馈，及时进行教学反思和调整。
在备课教案中，应注明教学过程中需要特别关注的问题，以及可能出现的困难和解决方法。
结语:通过编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分，可以更好地梳理教学内容和思路，提高教学效果。
备课教案的编写需要综合考虑教学目标、内容、过程和评价等各个方面，帮助教师准备充分并提高教学质量。
希望本文能对您的备课工作有所帮助。
常微分方程思政教学设计
常微分方程思政教学设计
常微分方程是一门综合性的数学学科，是理解自然界及其运行规律的重要手段，在研究现代物理学、生物学、计算机科学等各个学科的发展过程中都发挥了重要作用。
本文将介绍常微分方程的教学设计，旨在帮助教师们更好地组织学习、扩展思维、提高学习效果。
常微分方程在数学教学中被认为是一门有深度和普适性的学科，无论是理论上方面还是实践上都充满了挑战。
因此，教学设计是关键。
以下是思政教学设计的主要内容：
1. 对学生的基础知识需求熟悉：首先，了解学生的基础知识，包括初等函数、复数、几何代数等；
2. 教学策略制定：其次，根据学生的基础知识，根据情况选择合适的教学策略，比如案例法、演示法等；
3. 理解题目和解答题的实现：然后，学生应该掌握如何正确理解题目以及如何解答题目；
4. 作业定期复习：同时，建议布置定期复习作业，以便学生能够深入理解常微分方程；
5.考核方式：最后，根据情况选择合适的考核方式，比如开放考试、论文或项目等，便于检验学生的学习成果。
总之，常微分方程的教学设计应该科学、完善，在此基础上，不断完善、升华教学设计，以达到最好的教学效果。
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常微分方程教学设计第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：3常微分方程组之例:记vector)，是自变量t 的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义6若微分方程其导数中的函数关于未知函数及是一次有理整式，则称方程是线性的(linear)，称它是n阶线性(微分)方程．一般形式为：，，则称它是n阶线性齐次(homogeneous)方程；否则称为线性为线性方程的非齐次项.(提示)若其中非齐次(inhomogeneous)方程．这时称常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)4，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义7不是线性的微分方程称为非线性(nonlinear)方程．(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：第1讲第2第3第4第5第6第7第8讲讲讲讲讲讲讲微分方程与解变量可分离方程齐次微分方程一阶线性微分方程全微分方程与积分因子一阶隐式微分方程几种可降阶的高阶方程应用举例第二章基本定理解的存在性与唯一性定理解的延展奇解与包络解对初值的连续依赖性第10讲第11讲第12讲第三章线性微分方程组第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念第14讲线性齐次微分方程组的一般理论第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论常系数线性微分方程组的解法(单实根）第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章线性微分方程第17讲第18讲第19讲第20讲n阶线性微分方程的一般理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(·=）()()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(·=)(′=)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为如果在()中能将y′解出，则得到方程或()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为()在方程()中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程()是一阶线性方程；方程()是一阶非线性方程；方程()是二阶线性方程；方程()是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程()，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程()在区间I上的一个解.1.函数y=x2＋Ｃ是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程()在区间上的解，其中C是任意常数.又方程()有两个明显的常数解y=±１，这两个解不包含在上述解中.3.函数立的任意常数.4.函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在上有从而该函数是方程()的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程()的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数y=±１是方程()的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数()显然是方程()的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程()有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a图b而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程()所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解()所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为()它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称()是初值问题的解.对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是其中是自变量的某个取定值，而()是相应的未知函数及导数的给定值.方程()的初值问题常记为()，只要把初值条件。