四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测理科数学试题
2020年四川省成都市高考(理科)数学二诊试卷 含解析
2020年高考（理科）数学二诊试卷一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．604．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0 5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．1C．2D．46．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．1288．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（）A．B．C．D．11．已知EF为圆（x﹣1）2+（y+1）2＝1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]12．已知函数，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为（）A．e2B．e C．D．二、填空题13．（x+1）4的展开式中x2的系数为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为．16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是．三、解答题17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y（单位：29333644485259亿元）（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设，若，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，∴∁U M＝{x|x≥1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x＞2}．故选：A．3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．60【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：由分层抽样的定义得＝＝100，解得n＝50，故选：B．4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．1C．2D．4【分析】由已知利用二倍角公式可得4sinαcosα＝2sin2α，结合sinα＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．解：∵锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，∴4sinαcosα＝2sin2α，∵sinα＞0，∴2cosα＝sinα，可得tanα＝2．故选：C．6．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又，故排除A．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．128【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝4，i＝2不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝16，i＝3不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝48，i＝4此时，满足判断框内的条件i＞3，退出循环，输出S的值为48．故选：B．8．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意求出φ，再利用诱导公式，求出函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求出结果．解：∵函数＝sin（+），∴+＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，令2x＝kπ，求得x＝，k∈Z，则函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，故选：C．9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】联立⇒即B（﹣，），利用直线BF1的斜率＝．求得即可．解：联立⇒．即B（﹣，），直线BF1的斜率＝．∴．则双曲线C的离心率为e＝．故选：A．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得B1P∥平面DNK，A1Q∥平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，结合三角形的中位线定理可得所求值．解：取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，在正方形ABCD中，AC∥PT，在正方形A1B1C1D1中，A1C1∥KN，由截面ACC1A1为矩形，可得AC∥A1C1，可得PT∥NK，又PT⊄平面DNK，NK⊂平面DNK，可得PT∥平面DNK，由QT∥AB，AB∥A1B1，可得QT∥A1B1，且QT＝A1B1，可得四边形A1B1TQ为平行四边形，即有B1T∥A1Q，又ND∥A1Q，可得B1T∥ND，B1T⊄平面DNK，ND⊂平面DNK，可得B1T∥平面DNK，且B1T∩PT＝T，可得平面B1TP∥平面DNK，由B1P⊂平面B1TP，可得B1P∥平面DNK，由ND∥A1Q，A1Q⊄平面DNK，ND⊂平面DNK，可得A1Q∥平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，由NK与B1D1交于M，在正方形A1B1C1D1中，A1C1∥KN，可得＝，故选：B．11．已知EF为圆（x﹣1）2+（y+1）2＝1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]【分析】由约束条件作出可行域，由数量积的坐标运算求得表达式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：不等式组，作出可行域如图，A（﹣2，1），B（0，1），C（﹣，﹣），∵P（1，﹣2），O（0，0），M（x，y），，∴＝（）•（）＝+﹣﹣＝﹣+2＝﹣1＝（x﹣1）2+（y+1）2﹣1，所以当x＝﹣2，y＝1时，的取最大值：12，当x＝，y＝时，的取最小值为；所以则的取值范围是[，12]；故选：D．12．已知函数，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为（）A．e2B．e C．D．【分析】利用导数研究函数f（x）可得函数f（x）的单调性情况，且x∈（0，1）时，f （x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，同时注意，则，即x2＝lnx1，，，进而目标式转化为，构造函数h（k）＝k2e k，k＜0，利用导数求其最大值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，注意f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；x∈（e，+∞）时，f（x）＞0，同时注意到，所以若存在x l∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则0＜x1＜1且，所以，即x2＝lnx1，，，故，令h（k）＝k2e k，k＜0，则h′（k）＝2ke k+k2e k＝ke k（2+k），令h′（k）＜0，解得﹣2＜k＜0，令h′（k）＞0，解得k＜﹣2，∴h（k）在（﹣∞，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（x+1）4的展开式中x2的系数为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2得展开式中x2的系数．解：（x+1）4的展开式的通项为T r+1＝C4r x r令r＝2得T3＝C42x2＝6x∴展开式中x2的系数为6故答案为：6．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：由余弦定理可得，，解可得，c＝1，所以△ABC的面积S＝＝＝．故答案为：15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为36．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，即可求解．解：如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，设球的半径为r，由球O的表面积为28π，得4πr2＝28π，∴r＝，设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH＝，∴r2＝7＝（）2+（a）2，∴a＝2．则三棱柱的侧面积为S＝3a2＝36．故答案为：36．16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是0．【分析】由题意的对称性，设M的坐标由题意可得N，E的坐标，进而求出直线MN，NE的斜率，求出直线NE的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出P的坐标，再求MP的斜率可得与MN的斜率互为负倒数，所以直线MN，MP互相垂直，进而可得cos∠NMP的中为0．解：设M（m，n），由椭圆的对称性可得N（﹣m，﹣n），E（m，0），所以k MN＝，k NE＝，所以直线NE的方程为：y＝（x﹣m），联立直线NE与椭圆的方程：，整理可得：（1+）x2﹣x+﹣2＝0，所以﹣m+x P＝＝，所以x P＝+m，y P＝（x P﹣m）＝，所以k MP＝＝﹣，所以k MN•k NP＝﹣1，即MP⊥NP，所以cos∠NMP＝0，故答案为：0三、解答题：共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）{a n}的公比设为q，由a1＝l，可得q＞1，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）运用对数的运算性质可得b n＝＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．解：（Ⅰ）{a n}是递增的等比数列，设公比为q，a1＝l，且q＞1，由2a2，a3，a4成等差数列，可得3a3＝2a2+a4，即3q2＝2q+q3，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（Ⅱ）＝＝＝﹣，则前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【分析】（I）由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得：PO⊥AC．进而判断出线面面面垂直．（Ⅱ）取AB的中点O，连接OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP＝，设平面DPE的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得．同理可得平面PEB的法向量，再利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．又PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP＝＝．O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（﹣2，﹣2，0），P（0，0，），＝（2，4，0），＝（2，2，），设平面DPE 的法向量为＝（x，y，z ），则•＝•＝0，∴2x+4y＝0，2x+2y +z＝0，取＝（﹣2，，2）．同理可得平面PEB 的法向量＝（0，，2）．cos ＜，＞＝＝＝．由图可知：二面角D﹣PE﹣B的平面角为钝角．∴二面角D﹣PE﹣B 的余弦值为﹣．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y（单位：29333644485259亿元）（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：．【分析】（Ⅰ）结合表中的数据和的公式计算出回归直线方程的系数即可得解；（Ⅱ）比较8年的实际利润与相应估计值的大小，可得出这8年中被评为A级利润年的有3年，评为B级利润年的有5年，然后利用排列组合与古典概型的思想即可算出概率．解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，所以，．所以y关于x的线性回归方程为．当x＝8时，（亿元）．故预测该公司2020年的年利润为63亿元．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28，33，38，43，48，53，58，63．其中实际利润大于相应估计值的有3年，故这8年中被评为A级利润年的有3年，评为B级利润年的有5年，记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A级利润年”的概率为P，则．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．【分析】（Ⅰ）由焦点的坐标及PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|求出a的值，再有a，b，c 之间关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求圆心O到直线l的距离，由半个弦长，半径和圆心到直线的距离构成直角三角形可得弦长CD，进而求出|AB|•|CD|2的表达式，进而可得取值范围．解：（Ⅰ）因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝，|PF1|＝，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|2+|F1F2|2＝|PF1|2，又|F1F2|＝2，所以a2＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的标准方程为：+y2＝1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝，设圆x2+y2＝2的圆心O到直线l的距离为d＝，所以|CD|＝2＝2，所以|AB|•|CD|2＝4＝＝（2﹣），因为0，∴，∴4≤|AB|•|CD|2，所以|AB|•|CD|2的取值范围[4，16）．21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设，若，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．【分析】（I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系，先确定导数的正负，进而可求函数的单调区间；（II）由已知不等式恒成立，转化为求解函数的范围问题，构造函数，结合导数与函数性质进行求解．解：（I）当m＞0时，＝，x＞﹣1，令f′（x）＝0可得x＝（舍），或x＝﹣1，当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（）时，f′（x）＞0，函数单调递增，（II）由题意可得，在（0，+∞）上恒成立，（i）若m≤0，因为ln（x+1）＞0，则﹣mln（x+1）≥0，所以，令G（x）＝，x＞0，则G′（x）＝，因为x＞0，所以，，又因为＞2x+2＞2，∴G′（x）＞0在x＞0时恒成立，故G（x）在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）＞G（0）＝0，故当m≤0时，在（0，+∞）上恒成立，（ii）若m＞0，令H（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0，则H′（x）＝e x﹣1＞0，故H（x）（0，+∞）上单调递增，H（x）＞H（0）＝0，所以e x＞x+1＞0，所以，由题意知，f（x）（0，+∞）上恒成立，所以f（x）＞0（0，+∞）上恒成立，由（I）知f（x）min＝f（）且f（0）＝0，当即m＞2时，f（x）在（0，）上单调递减，f（）＜f（0）＝0，不合题意，所以≤0即0＜m≤2，此时g（x）﹣＝≥，令P（x）＝，x＞0，则P′（x）＝2x+2﹣＝＞＝＞0，∴P（x）在（0，+∞）上单调递增，P（x）＞P（0）＝0恒成立，综上可得，m的最大值为2．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．曲线C的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为y2＝4x．（Ⅱ）由于点P（2，1）在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数），将直线的参数方程代入y2＝4x的方程，整理得：．所以，t1t2＝﹣14，所以＝＝．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，【分析】（Ⅰ）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），根据根的情况，分类讨论即可求出a的取值范围．解：（Ⅰ）原不等式即|x﹣1|+|x+3|≥6，当x≥1时，化简得2x+2≥6，解得x≥2，当﹣3＜x＜1时，化简得4≥6，此时无解，当x≤﹣3时，化简得﹣2x﹣2≥6，解得x≤﹣4，综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），①当x2＞x1≥1时，方程﹣x2+2ax＝2x+2等价于2a＝x++2，y＝x++2≥2+2＝2+1，当且仅当x＝时取等号，易知当a∈（+1，]在（1，+∞）上有两个不相等的实数根，此时方程x2+2ax＝4，在（0，1）上无解，∴a∈（+1，]满足条件．②当0＜x1＜x2≤1时，x2+2ax＝4等价于2a＝x+，此时方程2a＝x+在（0，1）上显然没有两个不相等的实数根．③当0＜x1＜1≤x2，易知当a∈（，+∞），方程2a＝x+在（0，1）上有且只有一个实数根，此时方程﹣x2+2ax＝2x+2在[1，+∞）上也有一个实数根，∴a∈（，+∞）满足条件，综上所述，实数a的取值范围为（+1，+∞）．。
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）≥0}，则A∩B=()1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x−3x−2A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】C≥0}={x|x≥3或x<2}，【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|x−3x−2∴A∩B={1,2，3}∩{x|x≥3或x<2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(m+mi)(m+i)是纯虚数，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵复数(m+mi)(m+i)=(m2−m)+(m2+m)i是纯虚数，m2−m=0，即m=1．∴{m2+m≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知λ∈R，向量a⃗=(λ−1,1)，b⃗=(λ,−2)，则“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“a⃗⊥b⃗”，则a⃗⋅b⃗=0，即(λ−1)λ−2×1=0，即λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1，即“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i(i=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，(1≤k≤60)k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的ki为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=4sinC，则△ABC的外接圆面积为()A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c=4sinC，∴2R=csinC=4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R=csinC=4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.在(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为()A. 1B. 2C. 3D. 7【答案】D【解析】解：∵(1+1x )(2x+1)3=(1+1x)(8x3+12x2+6x+1)，∴(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开(2x+1)3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后关于y轴对称，则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后图象所对应解析式为：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，即f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值是( ) A. 1+√32B. 1+√3C. 2D. 2√32【答案】B【解析】解：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AF ⊥BF ， 在Rt △ABF 中，|OF|=c ， ∴|AB|=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ， 取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，∴e =ca =2√3−1=√3+1．故选：B ．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3c −c =2a ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号 1 2 3 4 5年生产利润y(单位：千万元)0.70.8 1 1.1 1.4预测第8年该国企的生产利润约为( )千万元 (参考公式及数据：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i2n i=1−nx −2；a ̂=y −−b ̂x −，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∑x i25i=1−nx −2=10A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34【答案】C【解析】解：由表格数据可得，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.7+0.8+1+1.1+1.45=1．又∑(5i=1x i −x −)2=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∴b̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=1.710=0.17，a ̂=y −−b ̂⋅x −=1−0.17×3=0.49，∴国企的生产利润y 与年份x 得回归方程为y ̂=0.17x +0.49， 取x =8，可得y ̂=0.17×8+0.49=1.85． 故选：C ．由已知数据求得b^与a ^的值，可得线性回归方程，取x =8即可求得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图)，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为( )A. 9√10πB. 12√11πC. 10√17πD. 40√3π3【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：13×π×r2×(√25−r2+5)=27π，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：12×6π×√32+92=9π√10．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知A(3,0)，若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，则|PA|2|PQ|的最小值为()A. 3B. 4√3−4C. 2√2D. 4【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=−2，焦点F(2,0)，过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆(x−2)2+y2=1的圆心为F(2,0)，半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r =|PF|+1， 由|PA|2|PQ|≥|PA|2|PF|+1，可令|PF|+1=t ，(t >1)，可得|PF|=t −1=|PB|=x P +2， 即x P =t −3，y P 2=8(t −3)， 可得|PA|2|PF|+1=(t−3−3)2+8(t−3)t=t +12t−4≥2√t ⋅12t−4=4√3−4，当且仅当t =2√3时，上式取得等号， 可得|PA|2|PQ|的最小值为4√3−4， 故选：B ．求得抛物线的焦点和准线方程，过P 作PB ⊥l ，垂足为B ，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 12.设函数f(x)满足，且在(0,+∞)上单调递增，则f(1e )的范围是(e 为自然对数的底数)( ) A. [−1,+∞) B. [1e ,+∞)C. (−∞,1e]D. (−∞,−1]【答案】B【解析】解：令g(x)=f′(x)， 由，故f′(x)=f′(x)−lnx +x[g′(x)−1x ]， 故g′(x)=lnx+1x，g′(x)<0在(0,1e )恒成立，g(x)=f′(x)在(0,1e)递减，g′(x)>0在(1e,+∞)恒成立，g(x)=f′(x)在(1e,+∞)递增，故f′(x)min=f′(1e)，∵f(x)在(0,+∞)递增，故f′(x)=f(x)x+lnx≥0在(0,+∞)恒成立，故在f(1e)1e+ln1e≥0，f(1e)≥1e，故选：B．令g(x)=f′(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′(x)min=f′(1e)，得到f′(x)=f(x) x +lnx≥0在(0,+∞)恒成立，求出f(1e)的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=45，α∈(π2,π)，则sin(α+π6)的值为______．【答案】4√3−310【解析】解：∵sinα=45，α∈(π2,π)，∴cosα=−35，则sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×√32−35×12=4√3−310，故答案为：4√3−310利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.若函数f(x)=√a−a x(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a711+log1a 1411=______．【答案】−1【解析】解：因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，所以f(0)=1，即√a−1=1，解得a=2，所以原式=log2711+log121411=log2(711×1114)=−1，故答案为：−1．因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，根据f(0)=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.若正实数x，y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为______．【答案】92【解析】解：∵x>0，y>0，x+y=1∴x+1+y=2，4 x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+2√4)=92，(当接仅当x=13，y=23时取“=”)故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式4x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.在体积为3√3的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．【答案】√19或√7【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD−A1B1C1D1体积为3√3，∴底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ)．∴{msinθ=3√3 25−m2=4mcosθ⇒m=√7或m=√17．故答案为：√19或√7．可得底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32.设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ).⇒m=√7或m=√17．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=172，a2a4=4．(1)求数列{a n}的通项公式(2)若b n=na n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(1)由{a n}是递增等比数列，a1+a5=172，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=172，(a1q2)2=4；解得：a1=12，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n−2；(2)由b n=na n(n∈N∗)，∴b n=n⋅2n−2；∴S1=12；那么S n=1×2−1+2×20+3×21+⋯…+n⋅2n−2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+⋯…+(n−1)2n−2+n⋅2n−1，②−1−2−⋯−2n−2+n⋅2n−1；将②−①得：S n=−12−2n−1+n⋅2n−1．即：S n=−(2−1+20+2+22+2n−2)+n⋅2n−1=12，a2a4=4.即可求解数列{a n}的通【解析】(1)根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=172项公式(2)由b n=na n(n∈N∗)，可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．【答案】解：(1)由频率和为1，列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+ 0.005+0.0025)×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，解得a=224，即中位数为224；(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家)，同理可求年平均销售量[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为1125+15+10+5=15，∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家)，从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家)，从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家)；即年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3、2、1家；(3)由(2)知，从[240,260)，[260,280)，[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3； 则P(ξ=0)=C 30⋅C 33C 63=120，P(ξ=1)=C 31⋅C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32⋅C 31C 63=920，P(ξ=3)=C 33⋅C 30C 63=120，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P120920920120数学期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32，方差为D(ξ)=(0−32)2×120+(1−32)2×920+(2−32)2×920+(3−32)2×120=920． 【解析】(1)由频率和为1列方程求出x 的值，再计算众数、中位数；(2)求出年平均销售量在[220,240)、[240,260)、[260,280)和[280,300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；(3)由(2)知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差． 本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题． 19.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 是长方形，A 1B 1⊥BC ，AA11=AB ，AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ．(1)证明：平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1； (2)若BC =3，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，A 1B 1⊥BC ， ∴A 1B 1⊥B 1C 1．又∵在长方形BCC 1B 1中，B 1C 1⊥BB 1，A 1B 1∩BB 1=B 1， ∴B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .∵四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形， 且AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ， ∴EF//BC ．又BC//B 1C 1，∴EF//B 1C 1，又B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，∴EF ⊥平面AA 1B 1B . 又AB 1，A 1B 均在平面AA 1B 1B 内， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥A 1B .又平面A 1BC ∩平面AB 1C 1=EF ，AB 1⊂平面AB 1C 1，A 1B ⊂平面A 1BC ．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角． 又在平行四边形A 1ABB 1中，AA 1=A 1B 1，∴平行四边形A 1ABB 1为菱形， 由菱形的性质可得，A 1B ⊥AB 1，∴∠AEA 1=π2， ∴平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)解：由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，∴在△A 1AB 中，由余弦定理可得AB =AB 1=AA 1=4．又由(1)知，EB ，EA ，EF 两两互相垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E(0,0，0)，A(2,0，0)，A 1(0,−2√3,0)，C(0,2√3,3)，B 1(−2,0，0)．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4√3,3)．设平面AA 1C 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1B 1C 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+√3y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2√3y 1+3z 1=0，取y 1=−√3，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√3,4)；由{n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 2+2√3y 2=0n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3y 2+3z 2=0，取y 2=√3，得n ⃗ =(3,√3,−4)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√7×2√7=−514．设二面角C 1−A 1C −B 1的大小为θ， 则sinθ=√1−cos 2<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=3√1914． ∴二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值为3√1914．【解析】(1)由三棱柱的结构特征可知BC//B 1C 1，又A 1B 1⊥BC ，可得A 1B 1⊥B 1C 1，在长方形BCC 1B 1中，证明B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .由四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形，可得EF//BC ，进一步得到EF//B 1C 1，则EF ⊥平面AA 1B 1B ，证明∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角.由菱形的性质可得A 1B ⊥AB 1，即∠AEA 1=π2，从而得到平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求得AB =AB 1=AA 1=4.以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.分别求出平面AA 1C 与平面A 1B 1C 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20.已知，椭圆C 过点A(32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率为k 1，直线l 与椭圆C 相切于点A ，斜率为k 2．(1)求椭圆C 的方程； (2)求k 1+k 2的值．【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为y 2a +x 2b =1(a >b >0)，且c =2，2a =√(32)2+(52+2)2+√(32)2+(52−2)2=3√102+√102=2√10，即有a =√10，b =√a 2−c 2=√6， 则椭圆的方程为y 210+x 26=1；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程可得(5+3k 2)x 2+3k(5−3k)x +3(52−3k 2)2−30=0，可得x E +32=3k(3k−5)5+3k 2，即有x E =9k 2−30k−156k +10，y E =k(x E −32)+52，由直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，可将k 换为−k ， 可得x F =9k 2+30k−156k 2+10，y F =−k(x F −32)+52，则直线EF 的斜率为k 1=y F −yEx F−x E=−k(x F +x E )+3kx F −x E =1，设直线l 的方程为y =k 2(x −32)+52，代入椭圆方程可得：(5+3k 22)x 2+3k 2(5−3k 2)x +3(52−3k 22)2−30=0，由直线l 与椭圆C 相切，可得△=9k 22(5−3k 2)2−4(5+3k 22)⋅[3(52−3k 22)2−30]=0，化简可得k 22+2k 2+1=0，解得k 2=−1， 则k 1+k 2=0．【解析】(1)可设椭圆C 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由题意可得c =2，由椭圆的定义计算可得a ，进而得到b ，即可得到所求椭圆方程；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E 的坐标，由题意可将k 换为−k ，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF 的斜率，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l 的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.已知f(x)=xlnx．(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)−ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0，解得：x>1e，令f′(x)<0，解得：0<x<1e，故f(x)在(0,1e )递减，在(1e,+∞)递增，故x=1e 时，f(x)极小值=f(1e)=−1e；(2)记t=xlnx，t≥−1e，则e t=e xlnx=(e lnx)x=x x，故f(x)−ax x=0，即t−ae t=0，a=te t，令g(t)=te t ，g′(t)=1−te，令g′(t)>0，解得：0<t<1，令g′(t)<0，解得：t>1，故g(t)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故g(t)max=g(1)=1e，由t=xlnx，t≥−1e ，a=g(t)=te t的图象和性质有：①0<a<1e，y=a和g(t)有两个不同交点(t1,a)，(t2,a)，且0<t1<1<t2，t1=xlnx，t2=xlnx各有一解，即f(x)−ax x=0有2个不同解，②−e1−e e<a<0，y=a和g(t)=te仅有1个交点(t3,a)，且−1e<t3<0，t3=xlnx有2个不同的解，即f(x)−ax x=0有两个不同解，③a 取其它值时，f(x)−ax x =0最多1个解， 综上，a 的范围是(−e1−e e,0)∪(0,1e).【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)记t =xlnx ，得到t −ae t=0，a =te t ，令g(t)=te t ，求出g(t)的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．(1)把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． 曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．转换为直角坐标方程为：x −y −1=0． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且中点P(x 0,y 0)， 联立方程为：{y 2=2xx −y −1=0，整理得：x 2−4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t(t 为参数)，代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0， 故：t 1+t 2=−4√2，t 1⋅t 2=−6，所以：EF =|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14，|PE||PF|=|t 1⋅t 2|=6故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143． 【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． (2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.已知函数h(x)=|x −m|，g(x)=|x +n|，其中m >0，n >0．(1)若函数h(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)=h(x)+|2x −3|，求不等式f(x)>2的解集．(2)若函数φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，求1m +1n 的最小值及其相应的m 和n 的值．【答案】解：(1)函数h(x)的图象关于直线x =1对称，∴m =1， ∴f(x)=h(x)+|2x −3|=|x −1|+|2x −3|，①当x ≤1时，(x)=3−2x +1−x =4−3x >2，解得x <23，②当1<x <32时，f(x)=3−2x +x −1=2−x >2，此时不等式无解，②当x≥32时，f(x)=2x−3+x−1=3x−4>2，解得x>2，综上所述不等式f(x)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵φ(x)=h(x)+g(x)=|x−m|+|x+n|≥|x−m−(x+n)|=|m+n|=m+n，又φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，∴m+n=2，∴1m +1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2√mn⋅nm)=2，当且仅当m=n=1时取等号，故1m +1n的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】(1)先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．第21页，共21页。
四川省成都市2020届高三数学下学期第二次诊断考试试题理2-含答案
四川省成都市2020届高三数学下学期第二次诊断考试试题 理本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.12.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}2>=x x N ，则N M C U I )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A.20B.50C.40D.60 4.曲线x x y -=3在点)0,1(处的切线方程为（ ）A.02=-y xB.022=-+y xC.022=++y xD.022=--y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2-=，则αtan =（ ） A.21B.1C.2D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在]1,1[-的图象大致为（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.16B.48C.96D.1288.已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈-=,4ππ B.Z k k x ∈+=,4ππC.Z k k x ∈=,21π D.Z k k x ∈+=,421ππ 9.如图，双曲线C )0,0(12222>>=-b a by a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，直线a bc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.324 C.2 D.33210.在正方体1111D C B A ABCD -中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面I 11，则11MB MD 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 11.已知EF 为圆1)1()1(22=++-y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,27[ 12.已知函数x xe x g xxx f -==)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x 212)(的最大值为（ ） A.2e B.e C.24e D.21e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()41x +的展开式中x 2的系数为 。
四川省大数据精准教学联盟2022-2023学年高三第二次统一监测数学(理)试题(含答案解析)
四川省大数据精准教学联盟2022-2023学年高三第二次统一监测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题下列分析中，最为恰当的一项是（）A．各月CPI同比涨跌幅的极差大于2.5%B．各月CPI同比涨跌幅的中位数为2.5%C．2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差小于下半年CPI同比涨跌幅的方差D．今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差4．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．9B ．185．函数()()cos e e x xf x x -=--在[-A ．．C ．．6．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=60︒，若点D 是斜边AB 的中点，点是中线CD 上一点，且13AP AC =+ （）A ．1B ．2312D ．137．若α为锐角，且π3cos 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3⎫=⎪⎭（）A ．210B ．72107210-D ．10-8．在数列{}n a 中，11a =，n n a a ++}的通项公式为（）A ．n a n=,,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数A ．4802242+C ．60282+12．若()22e e ln (x x a x x x a +≥-A ．(20,e ⎤⎦B ．e 0,2⎛ ⎝二、填空题13．若x ，y 满足约束条件321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________．三、解答题,,,四点共面；(1)求证：A B F H--的余弦值．(2)求二面角H CD B19．中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对参考答案：故选：C 5．A【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除【详解】因为()f x =则(()cos e e x f x --=-所以()f x 为偶函数，函数图象关于又()(222cos e e f -=-故选：A 6．D【分析】利用向量的线性运算及向量的共线定理即可求解【详解】依题意，点故选：B 10．A【分析】设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和和M 、N 的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解【详解】依题意，由抛物线性质知直线设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2y 所以212y y p =-，12x x =则1212OM ON x x y y ⋅=+ 而12y =，故212y =-，所以112MON S OF y =⋅⋅ 故选：A.11．A【分析】确定不同边长的正方形的个数，构成等比数列，求出不同正方形的种数，结合正方形的边长构成以8为首项，【详解】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以故答案为：11 214．2设点,b A x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0x >，易知1,bx F A x c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，2,bx F A x c a ⎛=- ⎝因为12F A F A ⊥，则(12F A F A x ⋅=+ 因为0x >，解得x a =，即点(,A a 所以，121211222F AF S F F b c =⋅=⨯⨯△所以，22223142a cbc c =-=-=因此，双曲线C 的离心率为ce a==在ABD △中，由余弦定理得即227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理得即22427x y xy +-=，和2x +则3,2c a ==；若选②：3c =，设2a t =，则在ABD △中，由余弦定理得在ADC △中，由余弦定理得因为πADB ADC ∠+∠=，所以即22797702727t t t t+-+-+=，解得故2a =.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．(1)1(2)53(13)(11)(1)e 21n +++<- ，证明过程见详解.【分析】（1）根据题意得到e 10x ax --≥恒成立，然后设性，进而求解即可；（2）利用（1）中函数的单调性可知0x >时，ln(1)x +3ln[(13)(11)(1)]521n +++<- ，进而得证【详解】（1）由21()e 2x f x ax x =--可得，()e x f x =-'由于函数()f x 单调递增，则()e 10x f x ax '=--≥恒成立，设e ()1x h x ax =--，则()x h x e a '=-，当0a =时，()e 1x f x '=-，可知0x <时，()0f x '<，不满足题意；当a<0时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，。
(四川卷)2020届高三数学第二次全国大联考卷 理(无答案)
2020年第二次全国大联考【四川卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合231{|(1),},22A x x x x =-≤-∈R ,NB =则集合B A I 的真子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 82．已知,2i z +=（i 是虚数单位），z 的共轭复数是z ，则=⋅-|)23(|z z （ ） A.5B. 25C. 4D. 33．已知向量)2,1(=，)0,1(-=，b a +λ与b a -垂直，则实数λ的值为（ ） A.1B. 31-C. 31D. 1-4. 已知回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=，样本点的中心为),(y x ，若回归直线的斜率估计值为2，且∑==10130i ix，∑==10150i i y ，则回归直线方程为（ ）A ．32ˆ-=x yB ．42ˆ-=x yC ．12ˆ-=x yD ．22ˆ+=x y 5. “1=k ”是“函数xxk k x f e1e )(+-=（k 为常数）在定义域上是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 6. 设]3,0[∈x ，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中 随机取一个数a ，"0102"≥-a 的概率为（ ）A ．32 B ．65 C ．75 D ．74 7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（ ） A ．3326a π B ．386a π C ．36a πD ．336a π 8. 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）A ．),3[]1,2(+∞--YB ．),3()1,35(+∞--Y C ．),3[]1,35[+∞--Y D ．),3()1,2(+∞--Y9. 已知b ax x x f ++=2)(，422)(2--=x x x g ，若|)(||)(|x g x f ≤对任意x ∈R 恒成立，则xa xb -+1||||的取值范围为（ ） A. ]223,(--∞ B. ),223[]223,(+∞+--∞Y C. ),223[+∞+ D.]223,223[+-10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ） A. ]210,1( B. ]537,1( C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.cos75cos15sin15sin 75︒-︒=︒+︒.12. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若564318a a a a --=+，则=8S .13. 设771067)2()2(+++++=+x a x a a x x Λ，则=3a .14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-,04,0,01y x y x x 则y x y x ++22的取值范围为 .15. 已知a 为正整数，7424)(2-+-+=a x ax ax x f ，若)(x f y =至少有一个零点0x 且0x 为 整数，则a 的取值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若,2=a ABC ∆的面积为,3求c b ,.17. （本小题满分12分）自2020年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程 度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上.小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微 信红包，每次发1个.（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率； （Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，AD PA =，底面ABCD 为正方形，E 为DP 的中点，PC AF ⊥于F . （Ⅰ）求证：⊥PC 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角E AC B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且56,673==S a ，数列}{n b 前n项和为n T ，且0232=+-n n b T . (Ⅰ)求数列{}n a ，}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设，为偶数为奇数⎩⎨⎧=n b n a c n n n ,,求数列}{n c 的前n 项和n Q . 20. （本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率为23，且与抛物线x y 342=有 共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 4:=x 于M 、N 两点，设d 为M 、N 两点之间的距离，求d 的最小值．21. （本小题满分14分）已知函数.1e )(--=ax x f x（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为,2b x y +=求实数b a ,的值； （Ⅱ）求)(x f 在),0[+∞上的最小值；（Ⅲ）证明：n nn n n n )2(1e e)12(31-<-+++Λ。
2020届四川省高三大数据精准教学第二次统一监测数学(理)试题(解析版)
【解析】由 ， ，原不等式可化为 .再利用导数研究函数 的图象，根据 的图象恒在 的图象的上方，对 进行分类讨论，即可得到答案.
【详解】
由 ， ，原不等式可化为 .
设 ，则 ，
当 时， ， 递增；
， ， 递减.
所以， 在 处取得极大值，且为最大值 ；
时， .
的图象恒在 的图象的上方，
显然 不符题意；
当 时， 为直线 的横截距，其最大值为 的横截距，
再令 ，可得 ，所以 取得最大值为 .
此时 ， ，直线与 在点 处相切.
【点睛】
本小题主要考查函数的导数及其应用等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.
三、解答题
17．已知数列 的前n项和是 ，且 ，等差数列 中， ， .
本题主要考查线性规划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法，属于基础题.
14．已知平面 平面 ，直线 ，且 不是平面 ， 的交线.给出下列结论：
①平面 内一定存在直线平行于平面 ；
②平面 内一定存在直线垂直于平面 ；
③平面 内一定存在直线与直线 平行；
④平面 内一定存在直线与直线 异面.
19．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，E是 的中点.现将 沿 翻折，使点A移动至平面 外的点P.
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）法一：在线段 上取靠近点P的四等分点G，连接 ， ，证出四边形 为平行四边形，从而可得 ，再利用线面平行的判定定理即可证出.法二：在线段 上取靠近点B的四等分点H，连接 ， ，证出 平面 ， 平面 ，利用面面平行的判定定理可得平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理即可证出.
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(理科)
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2−4x +3>0}，B ＝{x|−1<x <2}，则(∁U A)∪B ＝（ ） A.[1, 2) B.(−1, 1] C.(−1, 3] D.[1, 3]2. 若复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1, 2)，则z1−i =( ) A.−12+32iB.−12−32iC.−1−3iD.1+3i3. 已知向量a →=(1+λ, 2)，b →=(3, 4)，若a → // b →，则实数λ＝（ ） A.−52 B.−113C.53D.124. 若cos (π4−α)=√55，则sin 2α＝（ ） A.35 B.−35 C.45 D.−455. 函数f(x)=2x e x +e −x的大致图象是（ ）A. B.C. D.6. 若(2x +ax)6展开式的常数项为160，则a ＝（ ）A.2B.1C.8D.47. 若过点P(√3, 1)的直线l 是圆C ：(x −2√3)2+y 2＝4的一条对称轴，将直线l 绕点P 旋转30∘得到直线l ′，则直线l ′被圆C 截得的弦长为（ ） A.2√3 B.4C.1D.28. 如图，已知圆锥底面圆的直径AB 与侧棱SA ，SB 构成边长为2√3的正三角形，点C 是底面圆上异于A ，B 的动点，则S ，A ，B ，C 四点所在球面的面积是（ ）A.323πB.4πC.与点C 的位置有关D.16π9. 甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项、乙不选B 项的概率为（ ） A.49B.13C.712D.5910. 若函数y ＝A sin ωx(A >0, ω>0, x >0)的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A ⋅ω＝（ ） A.2πB.4πC.π2D.π11. 若函数f(x)=ln 1−x1+x −x ，且f(2a)+f(a −1)>0，则a 的取值范围是（ ） A.(−12,13)B.(−∞, 13)C.(0,12)D.(0,13)12. 已知O 为直角坐标系的原点，矩形OABC 的顶点A ，C 在抛物线x 2＝4y 上，则直线OB 的斜率的取值范围是（ ）A.(−∞, −4]∪[4, +∞)B.(−∞, −2]∪[2, +∞)C.(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)D.(−∞,−√2]∪[√2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.若实数x ，y 满足{y ≤1x −y −2≤0x +y −2≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为________．已知平面α⊥平面β，直线l ⊂α，且l 不是平面α，β的交线．给出下列结论： ①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α； ③平面β内一定存在直线与直线l 平行；④平面β内一定存在直线与直线l 异面． 其中所有正确结论的序号是________．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0, λ≠1)的动点轨迹”．设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，顶点C 在以A ，B 为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且C =π3，△ABC 的面积为√32，则c ＝________．若关于x 的不等式ln x ≤1a x 2−bx +1恒成立，则ab 的最大值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝2a n −2，等差数列{b n }中，b 1＝20，b 3＝16． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b ．记c n ＝a n ∗b n ，求数列{c n }的前10项的和T 10．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y(cm)与月平均气温x(∘C)的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（1）求出y 关于x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28∘C 时月生长量y 的预报值；（2）根据y 关于x 的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据(ω, v 1)，(ω2, v 2)，…，(ωn , v n )，其回归直线v =α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β∑ n i=1(ωi −ω¯)(v i −v ¯)∑ n i=1(ωi −ω→)2，α=v ¯−βω¯．如图，在四边形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，∠ABE ＝30∘，∠BEC ＝90∘，AD ＝2，E 是AD 的中点．现将△ABE 沿BE 翻折，使点A 移动至平面BCDE 外的点P ．（1）若FC →=3PF →，求证：DF // 平面PBE ；（2）若平面PBE ⊥平面BCDE ，求平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为(−2, 0)，(2, 0)，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于−14．设点P 的轨迹为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点(1, 0)且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．已知函数f(x)=a(x+1)e x+12x 2(a ≠0)．（1）若曲线y ＝f(x)在x ＝−1处切线的斜率为e −1，判断函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，证明x 1+x 2>0，并指出a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =4+√3t y =−t （t 为参数），曲线C 2:{x =1+cos θy =sin θ ，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）射线y ＝x tan α(x ≥0, 0<α<π2)分别交C 1，C 2于A ，B 两点，求|OB||OA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +3|+2|x|． （1）求f(x)的值域；（2）记函数f(x)的最小值为M ．设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝M ，求证：1a +4b +9c ≥12．参考答案与试题解析2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数二倍角于三角术数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭明的钾用椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对常不等至的保法与目明不等较的证夏【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年四川高三二模数学试卷(理科)
C. 充要条件
的图象关于直线
对称”的（ ）．
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 幻方最早起源于我国，由正整数 ， ， ，
， 这 个数填入
方格中，使得每行、每
列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫 阶幻方．定义 为 阶幻方对角线上所有数
的和，如
，则
（ ）．
A. B. C. D.
10
14.
解析:
根据直方图知第二组的频率是
，则样本容量是
，则成绩在区间
的学生人数是
15.
解析:
方法一：
由题意，直线 的方程为
，与
得
，
，
由
得，
，
从而
，
即
，
从而离心率
．
方法二：
过点 作
，交 轴于点 ，
联立，
，又成绩在 ．
分的频率是
则
，
11
且
为等腰三角形，
取 的中点 ，
则
，
，
从而
，
离心率
．
16.
解析:
其中 的顾客按 折支付， 的顾客按 折支付， 的顾客按 折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 ，求 的分布列
和数学期望．
附表及公式：
．
18. 已知 ， ， 分别是
三个内角 ， ， 的对边，
+
（1） 求 ；
（2） 若
，
，求 ， ．
19. 如图，在四棱锥
中，底面
D. ①②③
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
2020年四川省宜宾市高考(理科)数学第二次诊断测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（）A．13B．5i C．6﹣6i D．12+5i2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，}3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4．已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A．11B．10C．9D．86．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（）A．B．3C．1D．37．（1﹣2x）7的展开式中x2的系数为（）A．﹣84B．84C．﹣280D．2808．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）与其导函数f′（x）的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为﹣，﹣，1，，则函数y＝的单调递减区间是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣，﹣）D．（1，2）9．某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A（1，0）作x轴的垂线与曲线y＝e x相交于点B，过B作y轴的垂线与y轴相交于点C（如图），然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y＝e x上方的有N粒（N＜M），则无理数e的估计值是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）＝|lnx|满足f（a）＝f（b），且0＜a＜b，则的最小值是（）A．0B．1C．D．211．M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线x﹣y﹣1＝0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2﹣1D．12．若函数f（x）＝x2+2x﹣m cos（x+1）+m2+3m﹣7有且仅有一个零点，则实数m的值为（）A．B．C．﹣4D．2二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，则cos2α＝．14．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝．15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•＝．16．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图①）．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE（如图②）．在折起的过程中，则下列表述：①AC∥平面BEF②四点B，C，E，F可能共面③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD④平面BCE与平面BEF可能垂直，其中正确的是三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．将棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥D1﹣ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．（1）求证：OB∥平面ACD1；（2）求二面角C﹣AD1﹣C1的正弦值．20．已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为F1（﹣1，0），C与y轴正半轴交点为A，且，∠AF1O＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A作斜率为k1，k2（k1k2≠0）的两条直线分别交C于异于点A的两点M，N．证明：当k2＝时，直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝，g（x）＝x sin x+cos x，（1）判断函数g（x）在区间（0，2π）上的零点的个数；（2）记函数f（x）在区间（0，2π）上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系xOy．（1）求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；（2）求证：|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|．（1）求不等式f（x）＜1的解集；（2）若存在实数x，使不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（）A．13B．5i C．6﹣6i D．12+5i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（2+3i）（3﹣2i）＝6﹣4i+9i+6＝12+5i．故选：D．2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵B＝{x|﹣2＜x＜3}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【分析】根据图表，观察分析可得．解：由图可得，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故A正确，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故B正确，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，正确，故C正确，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数，一直在增加，在2月12日左右新增人数达到峰值，故D错误，故选：D．4．已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，推出b、a的关系式，由此能求出该双曲线的离心率．解：∵双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，∴4a＝3b，∴c＝＝a∴e＝＝．故选：B．5．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A．11B．10C．9D．8【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算出m＝1，要注意m与n的值对应好．解：根据框图可知：n＝2，m＝40n＝6，m＝3×5+1＝16n＝10，m＝，故选：B．6．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（）A．B．3C．1D．3【分析】先根据角平分线性质求得DC，再结合余弦定理求得cos B，进而求出S△ABC，即可求得结论．解：如图：；因为△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，所以：＝⇒DC＝4；∴BC＝6；∴cos B＝＝＝﹣；∴sin B＝＝；∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝3．∴S△ABD＝S△ABC＝．故选：A．7．（1﹣2x）7的展开式中x2的系数为（）A．﹣84B．84C．﹣280D．280【分析】写出（1﹣2x）7的展开式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求．解：（1﹣2x）7的展开式的通项为．取r＝3，可得的展开式中x2的系数为．故选：C．8．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）与其导函数f′（x）的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为﹣，﹣，1，，则函数y＝的单调递减区间是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣，﹣）D．（1，2）【分析】要求函数y＝的单调递减区间，结合选项，令y′＜0，由函数f（x）与其导函数f′（x）的图象解求得答案．解：∵y＝，∴y′＝，令y′＜0．得：f′（x）﹣f（x）＜0，即f′（x）＜f（x），由图可知，当﹣＜x＜1时，f′（x）＜f（x），∴函数y＝的单调递减区间是（﹣，1）．故选：B．9．某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A（1，0）作x轴的垂线与曲线y＝e x相交于点B，过B作y轴的垂线与y轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y＝e x上方的有N粒（N＜M），则无理数e的估计值是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由指数函数的解析式可得矩形OACB的面积S，由定积分公式求出阴影部分的面积，结合几何概型公式分析可得答案．解：根据题意，y＝e x与x＝1的交点为（1，e），则矩形OACB的面积S＝e，如图，阴影部分的面积S′＝e x dx＝e x＝e﹣1，又由向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y＝e x上方的有N粒，则有＝＝，变形可得：e＝；故选：D．10．若函数f（x）＝|lnx|满足f（a）＝f（b），且0＜a＜b，则的最小值是（）A．0B．1C．D．2【分析】利用对数函数的性质可知ab＝1，进而目标式可转化为，通过换元令，进一步转化为，利用函数在上的单调性，即可求得最值．解：依题意，|lna|＝|lnb|，又0＜a＜b，∴lna+lnb＝0，即ab＝1，且0＜a＜1＜b，又，令，当且仅当“2a＝b”时取等号，则，又函数在上单调递增，故，即的最小值为0．故选：A．11．M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线x﹣y﹣1＝0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2﹣1D．【分析】设圆心的对称点为C′，画出图形，转化|MN|＝|C′M|﹣|C′N|＝|C′M|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|C′M|的最小问题即可．解：N是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，设圆心为C（1，2），半径为1，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心关于直线x﹣y﹣1＝0的对称点为C′（3，0）则|MN|＝|C′M|﹣|C′N|＝|C′M|﹣1，C′点坐标（2，0），由于M在y2＝4x上，设M的坐标为（x，y），∴|C′M|＝＝≥2，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为：2﹣1．故选：C．12．若函数f（x）＝x2+2x﹣m cos（x+1）+m2+3m﹣7有且仅有一个零点，则实数m的值为（）A．B．C．﹣4D．2【分析】根据题意，分析可得方程x2+2x﹣m cos（x+1）+m2+3m﹣7即（x+1）2＝m cos （x+1）﹣m2﹣3m+8有且只有一个根，设g（x）＝（x+1）2，h（x）＝m cos（x+1）﹣m2﹣3m+8，两个函数只有一个交点，结合二次函数与余弦函数的性质分析可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝x2+2x﹣m cos（x+1）+m2+3m﹣7有且仅有一个零点，则方程x2+2x﹣m cos（x+1）+m2+3m﹣7即（x+1）2＝m cos（x+1）﹣m2﹣3m+8有且只有一个根，设g（x）＝（x+1）2，h（x）＝m cos（x+1）﹣m2﹣3m+8，两个函数只有一个交点，又由g（x）＝（x+1）2，当x＝﹣1时，g（x）有最小值0，h（x）＝m cos（x+1）﹣m2﹣3m+8，有h（﹣1）＝﹣m2﹣2m+8，必有，解可得m＝﹣4，故选：D．二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，则cos2α＝﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求出结果．解：∵tanα＝3，则cos2α＝＝＝﹣，故答案为：﹣．14．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝﹣11．【分析】设{a n}为公比为q的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：{a n}为公比为q的等比数列，若a2a3＝2a1，则a1q•a1q2＝2a1，即a1q3＝2，①由a4与2a7的等差中项为，可得a4+2a7＝，即a1q3+2a1q6＝，②由①②解得a1＝﹣16，q＝﹣，则S5＝＝＝﹣11，故答案为：﹣11．15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•＝﹣．【分析】取BC的中点D，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．解：取BC的中点D，由条件得：•＝•（）＝•+•＝（﹣）•（+）+0＝（）＝（22﹣32）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图①）．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE（如图②）．在折起的过程中，则下列表述：①AC∥平面BEF②四点B，C，E，F可能共面③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD④平面BCE与平面BEF可能垂直，其中正确的是①③【分析】①找平面BEF中是否存在直线与AC垂直，②用反证法，先假设共面，再推出来矛盾，③先找线面垂直，再求面面垂直，④反证法，假设平面BCE与平面BEF垂直，推出来矛盾，【解答】解：取AC中点O，取BE中点M，连接FM，MO，AO，易证明FMAO为平行四边形，则AC∥FM，所以AC∥平面BEF，①对；若B，C，E，F共面，因为BC∥平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，则BC ∥EF，因为BC∥AD，所以EF∥AD，矛盾，②错；易知EF⊥FD，且EF⊥CF，则EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，③对；延长AF至使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG 于点N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE与平面BEF垂直，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上矛盾，④错；故答案为：①③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数和得分落在组（20，40]的人数．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），得分落在组（20，40]的人数有0.0075×20×20＝3（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组（20，40]的人数有3人．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．，，．∴X的分布列为：X012P∴X的期望．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【分析】本题第（1）题先令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝，再利用公式b n＝即可计算出数列{b n}的通项公式，再计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n项和T n，然后运用放缩法即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴数列{b n}是常数列，即b n＝＝，故a n＝，n∈N*．（2）证明：由（1）知，＝＝[﹣]，∴T n＝++…+＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝[﹣]＝﹣＜．故得证．19．将棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥D1﹣ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．（1）求证：OB∥平面ACD1；（2）求二面角C﹣AD1﹣C1的正弦值．【分析】（1）取AC的中点M，连接MO，MB，MD1，B1D1，先判断平行四边形MBOD1，得到OB∥MD1，再得出结论；（2）连接BC1，CB1交于F，取AD1的中点E，连接EF，CE，先判断∠CEF为所求二面角的平面角，再根据三角函数求出即可．解：（1）证明：取AC的中点M，连接MO，MB，MD1，B1D1，因为MB＝OB1＝OD1，MB∥D1B1，所以平行四边形MBOD1，所以OB∥MD1，又OB⊄平面ACD1，MD1⊂平面ACD1，所以OB∥平面ACD1；（2）连接BC1，CB1交于F，取AD1的中点E，连接EF，CE，因为D1C1⊥平面AD1A1，AD1⊂平面AD1A1，所以D1C1⊥AD1，又EF∥D1C1，所以EF⊥AD1，又等腰三角形ACD1，所以CE⊥AD1，故∠CEF为所求二面角的平面角，在Rt△CEF中，CF＝，EF＝2，所以CE＝，故sin∠CEF＝，所以二面角C﹣AD1﹣C1的正弦值为．20．已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为F1（﹣1，0），C与y轴正半轴交点为A，且，∠AF1O＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A作斜率为k1，k2（k1k2≠0）的两条直线分别交C于异于点A的两点M，N．证明：当k2＝时，直线MN过定点．【分析】（1）由题意可求出c，b，a，可得方程；（2）先设方程，可得M，N横坐标之间的关系，代入题给的等式，化简可得．解：（1），（2）由题不妨设MN：y＝kx+m，联立，方程组的解M（x1，y1），N（x2，y2），消去y化简得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，且，，∵k1k2＝k1+k2，∴＝，∴代入y＝kx+m，化简得（x1+x2）+m2﹣，，∵，∴，直线MN：，MN过定点（）．21．已知函数f（x）＝，g（x）＝x sin x+cos x，（1）判断函数g（x）在区间（0，2π）上的零点的个数；（2）记函数f（x）在区间（0，2π）上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜0．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，然后再结合零点判定理即可求解；（2）结合极值存在的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证．解：（1）g′（x）＝x cos x，x＞0，当x时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x时，g′（x）＞0，函数单调递增，且g（0）＝1＞0，g（）＝＞0，g（π）＝﹣1＜0，g（）＝﹣＜0，g（2π）＝1＞0，故函数g（x）在（0，），（）上不存在零点，存在x1∈，使得g（x）＝0，同理x2使得g（x）＝0综上，g（x）在区间（0，2π）上的零点有2个，（2），由（1）可得，g（x）＝x sin x+cos x在区间（），（）上存在零点，所以f（x）在（），（）上存在极值点x1＜x2，x1∈（），x2，又因为y＝sin x在（）上单调递减，则sin x1＞sin（x2﹣π）＝﹣sin x2，∴sin x1+sin x2＞0即f（x1）+f（x2）＜0，又因为x i sin x i+cos x i＝0（i＝1，2），即，f（x1）+f（x2）＝＝﹣sin x1﹣sin x2，又，∴即﹣tan x1＞﹣tan x2，∴tan x1＜tan x2＝tan（x2﹣π），∵x1∈（），x2，x2﹣π，由y＝tan x在（）上单调递增可得．∴f（x1）+f（x2）＝＝﹣sin x1﹣sin x2再由y＝sin x在（）上单调递减，得sin x1＞sin（x2﹣π）＝﹣sin x2，∴sin x1+sin x2＞0，所以f（x1）+f（x2）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系xOy．（1）求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；（2）求证：|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1转换为直角坐标方程为：y＝x﹣1，联立C与l的方程得；3x2﹣4x＝0，解得．由于AB中点为M，∴．证明：（2）由（1）利用两点间的距离公式的应用得：，∴．又设AB的垂直平分线代入C的方程得：，∴．∴|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|．（1）求不等式f（x）＜1的解集；（2）若存在实数x，使不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得存在实数x，不等式m2﹣3m＜[f（x）]max成立，由一次函数的单调性可得f（x）的最大值，结合二次不等式的解法可得所求范围．解：（1）f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|＝，当x≥1时，﹣x﹣7＜1解得x≥1；当﹣3＜x＜1时，﹣3x﹣5＜1解得﹣2＜x＜1；当x≤﹣3时，x+7＜1解得x＜﹣6．综上得x＜﹣6或x＞﹣2．∴不等式的解集为（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）；（2）∵存在实数x，不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，∴存在实数x，不等式m2﹣3m＜f（x）成立．∴存在实数x，不等式m2﹣3m＜[f（x）]max成立．又f（x）＝，∴f（x）max＝f（﹣3）＝4，∴m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4．∴m的范围是（﹣1，4）．。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题(理)(解析版)
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.3C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A.14B.13C.12D.23『答案』B『解析』如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂平面11CDD C ，平面11CDD C 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C E DG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MD MB =. 故选：B.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==TB ==故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ）A. 2eB. eC24e D.21e 『答案』C.『解析』()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减. 所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. ()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．『答案』6『解析』()41+x 的展开式的通项为414r rr T C x -+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.16. 经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________．『答案』0『解析』设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，则220022111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()2222101002x x y y -+-=，即2210221012y y x x -=--， 即221010102210101012MP NPy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-， 由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ===⋅=，111222MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥， 因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320-+=q q ，解得2q或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（Ⅱ）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪. 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值. （Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接OM 、OE ，ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE=，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =，由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=.设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE =，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-，得()25,5,2n =-. 329cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()71140iii x x y y =--=∑，又()21728ii x x =-=∑，()()()717215iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑，435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年. 故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1153281528C C P C ∴==. 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥且213PF PF =. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线():1l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A 、B 两点，与圆222x y a +=相交于C 、D 两点，求2AB CD ⋅的取值范围.解：（Ⅰ）P 在椭圆上， 122PF PF a +=∴，123PF PF =，22a PF ∴=，132aPF =， 212PF F F ⊥，2212212PF F F PF ∴+=，又12 2F F =，22a ∴=，1c =，1b ∴==，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=，2880m ∴∆=+>，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，)212212m AB y m +=-=+∴ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))22222222121213422122m m m AB CD m m m m +++⎫∴⋅=⋅⋅==-⎪++++⎭，233022m <≤+，2132222m ∴≤-<+，2AB CD ∴⋅<2AB CD ∴⋅的取值范围为⎡⎣.21. 已知函数()()22ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()()1xg x f x e=+.若()11g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 解：（Ⅰ）函数()()22ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞.当0m >时，()()2212211x m m f x x x x +-'=+-=++.令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =>-.当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪上单调递减；当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫⎪ ⎝-+⎭∞⎪上单调递增.因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭∞⎪；（Ⅱ）由题意，可知()2112ln 11x x x m x x e+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e∴+-+-+≥+-+++， 构造函数()21121x G x x x x e=+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+，0x ，101xe ∴<<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e∴+-+-+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1xH x e x =--，0x >.()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴>+，即1101x x e->+. 由题意，知()111x f x x e>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.由（Ⅰ）可知()()min12f x f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭极小值，又()00f =10->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()1002f f ⎛⎫ ⎪ ⎪<⎭-=⎝，不合题意，102-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11xP x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()22112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111x e x ->-+，11x +>， ()()()222113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()322222131121311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.综上，实数m 的最大值为2.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥此时无解；③当3x ≤-时，化简得226x --≥解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <..①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根. ③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学(理)试题
【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球 的表面上.若球 的表面积为 则该三棱柱的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
只要算出直三棱柱的棱长即可，在 中，利用 即可得到关于x的方程，解方程即可解决.
记“从 年至 年这 年的年利润中随机抽取 年，恰有 年为 级利润年”的概率为 ， .
年份
年份代号
年利润 （单位：亿元）
（Ⅰ）求 关于 的线性回归方程，并预测该公司 年（年份代号记为 ）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为 级利润年，否则称为 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司 年的年利润视作该年利润的实际值，现从 年至 年这 年中随机抽取 年，求恰有 年为 级利润年的概率.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 的展开式中 的系数为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
在二项展开式的通项中令 的指数为 ，求出参数值，然后代入通项可得出结果.
【详解】 的展开式的通项为 ，令 ，
因此， 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
【详解】（Ⅰ）根据表中数据，计算可得 ， ， ，
又 ， ，
， 关于 的线性回归方程为 .
将 代入回归方程得 （亿元），
该公司 年的年利润的预测值为 亿元.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 年至 年的年利润的估计值分别为 、 、 、 、 、 、 、 （单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有 年.
2020年四川省广安市、内江市等九市高考(理科)数学第二次诊断测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第二次诊断测试试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{2，3}2．若i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．”φ＝﹣’”是“函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线x＝﹣对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，n2这n2个数填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义f（n）为n阶幻方对角线上所有数的和，如f（3）＝15，则f（10）＝（）A．55B．500C．505D．50505．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，m⊥α，则n∥α6．（x2﹣2）（x+2）5的展开式中含x4的项的系数为（）A．﹣20B．60C．70D．807．若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，则＝（）A．B．﹣2C．2D．8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．右图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦（每﹣﹣卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，点P为BC中点，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝λ，＝（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．2C．3D．10．如图，平面四边形ACBD中，AB⊥BC，AB＝，BC＝2，△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．8πB．6πC．4πD．11．若函数f（x）＝e x的图象上两点M，N关于直线y＝x的对称点在g（x）＝ax﹣2的图象上，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．（0，e）12．已知抛物线C：y2＝4x和点D（2，0），直线x＝ty﹣2与抛物线C交于不同两点A，B，直线BD与抛物线C交于另一点E．给出以下判断：①以BE为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB与直线OE的斜率乘积为﹣2；③设过点A，B，E的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则a2﹣r2＝4．其中，所有正确判断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题13．已知实数x，y 满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是．15．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交于A，B两点．若＝3，则C的离心率为．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f'（x），若x＞0时，f'（x）＜2x，则不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1的解集是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如表：满意不满意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如表：支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付．将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：K2＝．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C +c sin A＝b+c．（1）求A；（2）若a ＝，b+c＝3，求b，c．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，，E为线段AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；（2）若F为线段PC上一点，当二面角P﹣DB﹣F 的余弦值为时，求三棱锥B﹣PDF 的体积．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，其短半轴长为1，一个焦点坐标为（1，0），点A 在椭圆C上，点B 在直线上，且OA⊥OB．（1）证明：直线AB与圆x2+y2＝1相切；（2）设AB与椭圆C的另一个交点为D，当△AOB的面积最小时，求OD的长．21．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最小值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以O为极点，x轴正半轴为极轴建立，极坐标系，设点A在曲线C2：ρsinθ＝1上，点B在曲线C3：上，且△AOB为正三角形．（1）求点A，B的极坐标；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|（1）解不等式：f（x）+f（x﹣2）≤6；（2）求证：f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】先根据定义域求集合A，再求补集，交集．解：A＝{x|x＜2，x∈Z}，∴∁R A＝{x|x≥2，x∈Z}，∴（∁R A）∩B＝{2，3}，故选：D．2．若i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求三角函数值化简z，再由复数的基本概念求得的坐标得答案．解：∵＝，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B．3．”φ＝﹣’”是“函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线x＝﹣对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线x＝﹣对称，可得sin（﹣+φ）＝±1，解得φ，即可判断出结论．解：函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线x＝﹣对称，则sin（﹣+φ）＝±1，解得﹣+φ＝kπ+，k∈Z，取k＝﹣1，则φ＝﹣．∴”φ＝﹣’”是“函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线x＝﹣对称”充分不必要条件．故选：A．4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，n2这n2个数填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义f（n）为n阶幻方对角线上所有数的和，如f（3）＝15，则f（10）＝（）A．55B．500C．505D．5050【分析】欲求n阶幻方对角线上数之和，只需求每一行上数之和，由n阶幻方定义可知，n阶幻方由1到n2，共n2个连续自然数构成，且每一行都相等，所以，只需求出所有数之和，再除以n，最后把10代入即可得答案．解：对于3阶幻方，共由1到32，即1到9这9个连续自然数构成，且每一行都相等，由等差数列得前n项和公式可得，这9个数字之和为＝45，再除以3，即可得出f（3）＝15．一般的n阶幻方数字之和为S＝1+2+…+n2＝；∴f（n）＝＝n（n2+1）；∴f（10）＝×（102+1）＝505．故选：C．5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，m⊥α，则n∥α【分析】直接利用线面和面面平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．解：对于选项A：若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，利用面面平行的性质的应用可得，故正确．对于选项B：若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α，直接利用线面平行的判定的应用求出结果，故正确．对于选项C：若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，直接利用面面垂直的判定的应用求出结果，故正确．对于选项D：若m⊥n，m⊥α，则n∥α，可能n⊂α内，故错误．故选：D．6．（x2﹣2）（x+2）5的展开式中含x4的项的系数为（）A．﹣20B．60C．70D．80【分析】先求（x+2）5的展开式的通项公式，进而求得结论．解：因为（x+2）5的展开式的通项公式为：T r+1＝•x5﹣r•2r；令5﹣r＝2即r＝3，可得x2的系数为：23•＝80，此时对应的含x4的项的系数为：80×1＝80；令5﹣r＝4即r＝1，可得x4的系数为：21•＝10，此时对应的含x4的项的系数为：10×（﹣2）＝﹣20；故（x2﹣2）（x+2）5的展开式中含x4的项的系数为：80﹣20＝60．故选：B．7．若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，则＝（）A．B．﹣2C．2D．【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，可得x，y，z的方程，消去z，解得x，y 的关系，可得z，y的关系，代入求值可得．解：不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，可得x+z＝2y，z2＝xy，消去z可得（x﹣2y）2＝xy，化为x2﹣5xy+4y2＝0，解得x＝4y（x＝y舍去），即有z＝﹣2y，则＝＝﹣，故选：A．8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．右图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦（每﹣﹣卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A．B．C．D．【分析】从八卦中任取两卦，基本事件总数n＝C＝28，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率．解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数n＝C＝28，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数m＝＝6，∴这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为P＝．故选：C．9．在△ABC中，点P为BC中点，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝λ，＝（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．2C．3D．【分析】可画出图形，根据条件可得出，进而可得出，从而得出，然后根据基本不等式即可得出λ+μ的最小值．解：如图，连接AP，∵P为BC的中点，，且λ＞0，μ＞0，∴＝，且M，P，N三点共线，∴，∴＝，当且仅当，即λ＝μ＝1时取等号，∴λ+μ的最小值为2．故选：B．10．如图，平面四边形ACBD中，AB⊥BC，AB＝，BC＝2，△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．8πB．6πC．4πD．【分析】容易判断，折叠后面ABP与面ABC垂直，可以构造一个以三角形PAB为底面，侧棱为BC的正三棱柱，所求的外接球即为该三棱柱的外接球．球心为上下底面中心连线的中点，则问题可迎刃而解．解：因为AB⊥BC，且PB⊥BC，所以BC⊥面PAB．以折叠后的三棱锥是底面边长为，侧棱长为2的正三棱柱的一部分，如图所示．设H、K分别为上下底面的中心，O为HK的中点，在直角三角形OHN中，由正三角形的性质可知NH＝，OH＝所以故外接球的表面积S＝4πR2＝8π故选：A．11．若函数f（x）＝e x的图象上两点M，N关于直线y＝x的对称点在g（x）＝ax﹣2的图象上，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．（0，e）【分析】易知，函数f（x）＝e x关于直线y＝x对称的函数为y＝lnx，由题意，函数g（x）＝ax﹣2与函数y＝lnx有两个交点，作图观察即可得到结论．解：函数f（x）＝e x关于直线y＝x对称的函数为y＝lnx，则函数g（x）＝ax﹣2与函数y＝lnx有两个交点，显然a＞0，作出函数图象如下，；设y＝lnx上任一点坐标为（x0，lnx0），因为其导函数为y＝，故其对应切线的斜率为：k＝；故切线为：y﹣lnx0＝（x﹣x0）⇒y＝•x﹣1+lnx0；当切线过点（0，﹣2）时；﹣1+lnx0＝﹣2⇒x0＝；此时对应的切线斜率为：e；由图可知，要使函数f（x）＝ax﹣2与函数y＝lnx有两个交点，则需0＜a＜e．故选：D．12．已知抛物线C：y2＝4x和点D（2，0），直线x＝ty﹣2与抛物线C交于不同两点A，B，直线BD与抛物线C交于另一点E．给出以下判断：①以BE为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB与直线OE的斜率乘积为﹣2；③设过点A，B，E的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则a2﹣r2＝4．其中，所有正确判断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3）．①设直线BD的方程为：x＝my+2，联立，化为：y2﹣4my﹣8＝0，利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式可得：线段BE的中点到抛物线的准线x＝﹣1的距离d＝＝（y2+y3）+2，|BE|＝，比较即可得出结论．②直线OB与直线OE的斜率乘积＝＝＝，即可判断出正误．③③联立，化为：y2﹣4ty+8＝0．设线段AB的中点Q（x0，y0），利用根与系数的关系、中点坐标公式可得Q，可得段AB的垂直平分线为：y﹣2t＝﹣（x﹣2t2+2）．可得△ABE外接圆的圆心M（2t2，0），即a＝2t2，b＝0．利用点到直线的距离公式可得：点M到直线AB的距离d．利用弦长公式可得：|AB|2，可得r2＝d2+|AB|2，进而判断出结论．解：如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），①设直线BD的方程为：x＝my+2，联立，化为：y2﹣4my﹣8＝0，∴y2+y3＝4m，y2y3＝﹣8，线段BE的中点到抛物线的准线x＝﹣1的距离d＝＝（y2+y3）+2＝2m2+2，|BE|＝＝＝2＞2m2+2＝d，因此以BE为直径的圆与抛物线准线相交．不正确．②联立，化为：y2﹣4ty+8＝0，∴y1+y2＝4t，y1y2＝8．设直线BD的方程为：x＝my+2，联立，化为：y2﹣4my﹣8＝0，∴y2+y3＝4m，y2y3＝﹣8，∴直线OB与直线OE的斜率乘积＝＝＝＝﹣2，因此正确．③联立，化为：y2﹣4ty+8＝0．设线段AB的中点Q（x0，y0），∵y1+y2＝4t，∴y0＝2t，可得x0＝2t•t﹣2＝2t2﹣2．∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2t＝﹣（x﹣2t2+2）．可得△ABE外接圆的圆心M（2t2，0），即a＝2t2，b＝0．点M到直线AB的距离d＝．|AB|2＝（1+t2）（16t2﹣32），∴r2＝d2+|AB|2＝+（1+t2）（4t2﹣8）＝4（t4﹣1），∴a2﹣r2＝4t4﹣4（t4﹣1）＝4，因此正确．综上：②③都正确，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为7．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z取得最大值．解：画出实数x，y满足约束条件表示的平面区域如图：目标函数变形为﹣2x+z＝y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，作出目标函数对应的直线L：y＝﹣2x由可得A（2，3）．目标函数z＝2x+y线过A（2，3）时，直线的纵截距最大，z取得最大值为z＝7；故答案为：7．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是20．【分析】每一组的频数除以概率可得总人数，总人数乘以频率可得对应组的频数．解：总人数为：＝200，则成绩在区间[80，100]的学生人数为200×0.01×10＝20．故答案为：2015．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交于A，B两点．若＝3，则C的离心率为．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由＝3，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．解：设F（﹣c，0），则双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且倾斜角为45°的直线为：y＝x+c，而渐近线的方程是：y＝±x，由得：A（﹣，），由得：B（，），∵＝（+c，），＝（c﹣，），∵＝3，∴＝3×，∴b＝2a，∴c2＝a2+b2＝5a2，则c＝a，则e＝．故答案为：．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f'（x），若x＞0时，f'（x）＜2x，则不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1的解集是（﹣1，）．【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣x2，依题意，可知g（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；而f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1可化为g（2x）＞g（x﹣1），从而可求得答案．解：令g（x）＝f（x）﹣x2，则g′（x）＝f'（x）﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，x＞0时，f'（x）＜2x，∴g（x）是定义在R上的偶函数，①x＞0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；②又不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1可化为：f（2x）﹣（2x）2＞f（x﹣1）﹣（x ﹣1）2，即g（2x）＞g（x﹣1），∴由①②得：|2x|＜|x﹣1|，两端平方，解得﹣1＜x ＜，∴原不等式的解集为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如表：满意不满意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如表：支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付．将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：K2＝．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）结合已知数据和K2的公式求解即可；（2）由题意可知，X的可能取值为40，60，80，90，然后根据顾客购买商品的支付情况，求出每个X的取值所对应的概率，即可得到分布列和数学期望．解：（1）因为K2＝，所以有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．（2）X的可能取值为40，60，80，90，P（X＝40）＝，P（X＝60）＝，P（X＝80）＝，P（X＝90）＝10%＝0.1．所以X的分布列为X40608090P0.20.30.40.1数学期望E（X）＝40×0.2+60×0.3+80×0.4+90×0.1＝67．18．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C +c sin A＝b+c．（1）求A；（2）若a ＝，b+c＝3，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合辅助角公式即可求解；（2）由已知结合余弦定理即可求解．解：（1）因为a cos C+c sin A＝b+c．由正弦定理可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin B+sin C＝sin（A+C）+sin C，展开可得，sin A cos C+sin C sin A＝sin A cos C+sin C cos A+sin C，因为sin C≠0，所以，即sin（A﹣）＝，∴A﹣＝或A﹣＝（舍），故A＝；（2）因为a＝，b+c＝3，由余弦定理可得，＝＝＝，解可得，bc＝2，所以或．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，，E为线段AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；（2）若F为线段PC上一点，当二面角P﹣DB﹣F的余弦值为时，求三棱锥B﹣PDF 的体积．【分析】（1）连结CE，推导出PE⊥AD，PE⊥CE，从而PE⊥平面ABCD，进而PE ⊥BC，BC⊥平面PBE，由此能证明平面PBC⊥平面PBE．（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥B﹣PDF的体积．解：（1）证明：连结CE，∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，，E为线段AD的中点．∴PE⊥AD，PE＝BE＝＝，BC⊥BE，∴CE＝＝，∴PE2+CE2＝PC2，∴PE⊥CE，∵BE∩CE＝E，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊥BE＝E，∴BC⊥平面PBE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE．（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，AD⊥BE，以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），设F（a，b，c），，0≤λ≤1，则（a，b，c﹣）＝（﹣2，﹣），解得a＝﹣2λ，b＝，c＝），F（﹣2λ，），＝（1，，0），＝（1，0，），＝（1﹣2λ，，），设平面BDP的法向量＝（x，y，z），则，取，得＝（，﹣1，﹣1），设平面BDF的法向量＝（m，n，t），则，取m＝，得＝（，﹣1，），∵二面角P﹣DB﹣F的余弦值为，∴＝＝，解得λ＝．∴F（﹣，，），＝（，，），∴F到平面BDP的距离d＝＝＝，cos＜＞＝＝＝，sin＜＞＝＝，S△BDP＝＝＝，∴三棱锥B﹣PDF的体积为：V B﹣PDF＝V F﹣BDP＝＝＝．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，其短半轴长为1，一个焦点坐标为（1，0），点A 在椭圆C上，点B在直线上，且OA⊥OB．（1）证明：直线AB与圆x2+y2＝1相切；（2）设AB与椭圆C的另一个交点为D，当△AOB的面积最小时，求OD的长．【分析】（1）可设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得b，c，进而得到a，即有椭圆方程，讨论直线OA的斜率为0和不为0，设出方程，求得|OA|，|OB|，|AB|，进而判断直线AB和圆x2+y2＝1相切；（2）求得△AOB的面积，化简整理运用基本不等式可得最小值，以及取得最值的条件，设出直线BA的方程，联立椭圆方程求得D的坐标，进而得到|OD|．解：（1）证明：可设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得b＝1，c＝1，a＝＝，则椭圆方程为+y2＝1，点B在直线上，OA⊥OB，可得直线OA的斜率必定存在，当直线OA的斜率为0时，可得|OA|＝，|OB|＝，则|AB|＝2，O到AB的距离为1，即直线AB与圆x2+y2＝1相切；当直线OA的斜率不为0时，设直线OA：y＝kx，与椭圆x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2＝2，可得x A2＝，y A2＝，|OA|2＝，而OA⊥OB，故OB的方程设为x＝﹣ky，B在直线上，可得x＝﹣k，|OB|2＝2+2k2，可得+＝+＝1，即|OA|•|OB|＝＝|AB|，可得O到AB的距离为d＝＝1，即有直线AB与圆x2+y2＝1相切．综上可得，直线AB与圆x2+y2＝1相切；（2）由（1）可得△AOB的面积为S＝|OA|•|OB|＝••＝＝（+）≥•2＝1，上式当且仅当1+2k2＝1，即k＝0时取得等号，则△AOB的面积的最小值为1，此时A 为椭圆的长轴的端点，B（0，），不妨设A为左端点，AB：y＝x+，代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得3x2+4x+2＝0，由﹣+x D＝﹣，则x D＝﹣，y D＝，则|OD|＝＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最小值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）对函数求导可得f′（x）＝e x﹣（lnx+1）+a，再求导可得，由f''（x）的单调性及零点存在性定理可知函数f''（x）存在唯一零点，由此得到函数f′（x）的单调性，进而判断其最小值在x＝m处取得，且m＝x0，则，再通过取对数的方式即可得证；（2）显然需f（x）在[x0，+∞）上的最小值大于等于1，由（1）可得函数f′（x）的最小值为，分f′（x）的最小值小于0及最小值大于等于0讨论，当f′（x）的最小值大于等于0时，易知f（x）为[x0，+∞）上的增函数，进而易得，当f′（x）的最小值小于0时，分析可知，此时f（x）min ＝f（x2），再分a≥1﹣e及a＜1﹣e两种情况讨论，综合即得答案．解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝e x﹣（lnx+1）+a，，易知函数f''（x）在（0，+∞）上为增函数，又，故函数f''（x）存在唯一零点，使得，且当x∈（0，m）时，f''（x）＜0，f′（x）单调递减，当x∈（m，+∞）时，f''（x）＞0，f′（x）单调递增，故函数f′（x）在x＝m处取得最小值，依题意，m＝x0，∴，即，两边同时取对数得，∴lnx0+x0＝0；（2）由（1）知，当x≥x0时，f′（x）＝e x﹣（lnx+1）+a的最小值为，①当，即时，此时f（x）为[x0，+∞）上的增函数，∴＝＝，由（1）知，，故，即f（x）＞1，故满足题意；②当，即时，f′（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x0＜x2，则，即，当x∈（x0，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，∴f（x）min＝f（x2），注意到f（1）＝e+a＝1时，a＝1﹣e，且此时f′（1）＝e+a﹣1＝0，（i）当a≥1﹣e时，f′（1）＝e+a﹣1≥0＝f′（x2），∴0＜x2≤1，即1﹣x2≥0，又＝＝＝，而，故，即f（x2）＞1，由于在下，恒有，故；（ii）当a＜1﹣e时，f′（1）＝e+a﹣1＜0＝f′（x2），∴x2＞1＞x0，∴当x∈（1，x2）时，f（x）为减函数，∴f（x）＜f（1）＝e+a＜1，与题设不符，故舍去．综上，实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以O为极点，x轴正半轴为极轴建立，极坐标系，设点A在曲线C2：ρsinθ＝1上，点B在曲线C3：上，且△AOB为正三角形．（1）求点A，B的极坐标；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）直接利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为转换为直角坐标方程为x2+y2＝1，设点A在曲线C2：ρsinθ＝1上，即点A满足y＝1的方程，点B在曲线C3上，且△AOB为正三角形．如图所示：所以A（0，1）转化为极坐标为（1，），B（），转换为极坐标为（1，）．（2）设点P（cosθ，sinθ），M为线段AP的中点，所以，B（），所以＝＝．当cosθ＝1时，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|（1）解不等式：f（x）+f（x﹣2）≤6；（2）求证：f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．【分析】（1）问题等价于|2x+1|+|2x﹣3|≤6，再分类讨论解不等式即可；（2）利用绝对值不等式的性质可得f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤2a2+2，|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|≥3a2﹣2a+3＞0，又3a2﹣2a+3≥2a2+2，即可得证．解：（1）由于f（x）+f（x﹣2）＝|2x+1|+|2x﹣3|，于是原不等式可化为|2x+1|+|2x﹣3|≤6，若，则﹣2x﹣1﹣（2x﹣3）≤6，解得；若，则﹣2x﹣1+（2x﹣3）≤6，解得；若，则2x+1+2x﹣3≥6，解得；综上，不等式的解集为[﹣1，2]；（2）证明：由已知条件，对任意x∈R，可得f（x+a2）﹣f（x﹣1）＝|2x+2a2+1|﹣|2x﹣1|≤|2a2+2|＝2a2+2，又|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|≥|2a2+3﹣（2a﹣a2）|＝|3a2﹣2a+3|，由于，∴|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|≥3a2﹣2a+3，又由于3a2﹣2a+3﹣（2a2+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，∴3a2﹣2a+3≥2a2+2，∴f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．。
2020届四川省成都市二诊数学(理科)试卷及答案
, aˆ y bˆx ．
(xi x )2
i 1
20．（12
分）已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左，右焦点分别为 F1(1, 0) ， F2 (1, 0) ，点
P 在椭圆 E 上， PF2 F1F2 ，且 | PF1 | 3 | PF2 | ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；
（Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 PBD ；
（Ⅱ）若 PE 3 ，求二面角 D PE B 的余弦值．
19．（12 分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫
题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为
公司赢得丰厚的利润．该公司 2013 年至 2019 年的年利润 y 关于年份代号 x 的统计数据如表
f
(x)
sin( x
)(0
),
f
(
)
0 ，则函数
f
(x)
的图象的对称轴方
2
4
程为 ( )
A． x k , k Z 4
B． x k , k Z 4
C． x 1 k , k Z 2
D． x 1 k , k Z 24
9．（5
分）如图，双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
l(a
值时，称该年为 A 级利润年，否则称为 B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司 2020 年的年
第 4页（共 21页）
利润视作该年利润的实际值，现从 2013 年至 2020 年这 8 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为
A 级利润年的概率．
n
(xi x )( yi y)
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试卷及解析
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位),则z 的虚部为（ ）A. iB. i -C. 1-D. 1【答案】C【解析】21i z =+,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-,故z 的虚部为1-. 故选：C. 2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>,则()U M N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥ 【答案】A【解析】先求出U M ,再与集合N 求交集.【详解】由已知,{|1}U M x x =≥,又{}|2N x x =>,所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人,初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人,则n 的值为（ ）A. 20B. 50C. 40D. 60【答案】B【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意,30=150015001000n ⨯+,解得50n =. 故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --= 【答案】D【解析】 只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知,'231y x =-,故切线的斜率为12x y ='=,所以切线方程为2(1)y x =-,即220x y --=.故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A. 12 B. 1 C. 2D. 4【答案】C【解析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知,24sin cos 2sin ααα=,因α为锐角,所以sin 0α≠,2cos sin αα=, 即tan α=2.故选：C.6. 函数())cos ln f x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）。
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四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测
理科数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知全集，集合，，则
（）
A．B．C．D．
2. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）
C．D．
A．B．
3. 已知向量，，若，则实数（）A．B．C．D．
4. 若，则（）
A．B．C．D．
5. 函数的大致图像是（）
A．B．
C．D．
6. 若展开式的常数项为160，则（）
A．1 B．2 C．4 D．8
7. 若过点的直线是圆的一条对称轴，将直线绕点P旋转30°得到直线，则直线被圆C截得的弦长为（）
A．4 B．C．2 D．1
8. 如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱，构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）
A．
B．C．
D．与点C的位置有
关
9. 甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．
10. 若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则（）
A．B．C．
D．
11. 若函数，且，则a的取值范围是
（）
A．B．C．D．
12. 已知O为直角坐标系的原点，矩形的顶点A，C在抛物线
上，则直线的斜率的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 若实数x，y满足，则的最小值为____________.
14. 已知平面平面，直线，且不是平面，的交线.给出下列结论：
①平面内一定存在直线平行于平面；
②平面内一定存在直线垂直于平面；
③平面内一定存在直线与直线平行；
④平面内一定存在直线与直线异面.
其中所有正确结论的序号是__________________________.
15. 阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的
“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹”，设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为
定点，的一个阿氏圆上，且，的面积为，则
_______________.
16. 若关于x的不等式恒成立，则的最大值是
________________.
三、解答题
17. 已知数列的前n项和是，且，等差数列中，
，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）定义：.记，求数列的前10项的和.
18. 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x （℃）的8组数据，并制成如图所示的散点图.
18 12.325 224.04 235.96
度为28℃时月生长量y的预报值；
（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
19. 如图，在四边形中，，，，
，，E是的中点.现将沿翻折，使点A移动至平面外的点P.
（1）若，求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20. 在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）若曲线在处切线的斜率为，判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，证明，并指出a的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中，曲线（t为参数），曲线
，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线分别交，于A，B两点，求的最大值.
23. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）记函数的最小值为M.设a，b，c均为正数，且，求证：.。