数学选修2-3 第一章第一节 课件

方法技巧 分类讨论思想在计数原理中的应用
分类讨论思想是计数原理的重要思想，尤其体现在两 个原理的综合应用上，对于“完成某件事”大多根据实际 进行合理分类．尤其对于涂色问题，因为问题解决稍显复 杂，既能考查两个原理的应用，又能体现分类讨论思想， 倍受命题者的青睐． 【示例】 如图有4个编号为1、2、3、4的小 三角形，要在每一个小三角形中涂上 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一 种，并且相邻的小三角形颜色不同， 共有多少种不同的涂色方法？
不同的方法.
方法.
想一想：两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同？ 提示 分类加法计数原理中，每一类方案中的每一种方法 都能“完成一件事”；分步乘法计数原理中，只有两步全部 完成，才算“完成一件事”．
名师点睛
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
关键词
分类
分步乘法计数原理 分步
方法点评 涂色问题中包含着丰富的数学思想，解决涂色 问题方法技巧性强且灵活多变．因而这类问题有利于培养 学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利 于开发学生的智力．
(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步 确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定 b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数 原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6. 规律方法 利用分步乘法计数原理解决问题应注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序 的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步 骤都完成才算完成这件事．
解 法一 根据题意将十位上的数字分别是1，2，3，4， 5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8 ＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二 根据题意将个位上的数字分别是2，3，4，5，6， 7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位 数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个． 由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有，1 ＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a， b∈M)表示平面上的点，问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？ (2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ [思路探索] 完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P的 横、纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解． 解 (1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步 确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种 不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个 数为6×6＝36.
(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时 从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛 有2×2＝4种选法； (4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋 比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法． 根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的 选法．
【变式2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加 比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名 队员选2名安排在第二、四位置，不同的出场安排共有 多少种？ 解 按出场位置顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3 种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员 的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五 位置队员的安排只有1种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1＝252(种)．
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保连续性， “独立”确保不重复，即 “分步互依”
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数 共有多少个？ [思路探索] 该问题与计数有关，完成这件事只要两位数的 个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此只要考虑十 位或个位上的数字情况进行分类即可．
题型三 两个原理的综合应用
【例3】现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班 各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有 多少种不同的选法？
[思路分析] 明确用5种颜色涂4个区域，分别考虑1、3同色 和1、3不同色两种情况分类讨论说明． 解 分为两类： 第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种 涂法(与1相同)，4有4种涂法． 故N1＝5×4×1×4＝80(种)． 第二类：若1、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3 种涂法，4有3种涂法． 故N2＝5×4×3×3＝180(种)． 综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260(种)．
[规范解答] (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7 种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三 类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学 生中选1人，有10种选法． 所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种) (4分) (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长． 所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(8分)
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
做一件事，完成它有n类办 做一件事，完成它需要分成n
法，在第一类办法中有m1种 个步骤，做第一个步骤有m1 不同的方法，在第二类办法 种不同的方法，做第二个步
中有m2种不同的方法，…， 骤有m2种不同的方法，…， 在第n类办法中有mn种不同 做第n个步骤有mn种不同的方 的方法，那么完成这件事共 法，那么完成这件事共有N＝ 有N＝__m_1_＋__m_2_＋__…__＋__m_n__种 _m__1×__m__2_×__…__×__m_n__种不同的
1.1 基本计数原理
【课标要求】 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
【核心扫描】
1．理解两个计数原理的内容及它们的区别．(难点) 2．两个计数原理的应用．(重点) 3．应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步．(易混点)
自学导引
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
本质
每类方法都能独立地 每一步得到的只是中间结
完成这件事，它是独 果，任何一步都不能独立完
立的、一次性的且每 成这件事，缺少任何一步也
次得到的是最后结 不能完成这件事，只有各个
果，只需一种方法就 步骤都完成了，才能完成这
可完成这件事
件事
各类 (步) 的关系
各类办法之间是互斥 的、并列的、独立 的，即“分类互斥”
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，
有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有
7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10
种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不
同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的
选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选
规律方法 分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都 是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立 地完成这件事．在应用该原理解题时，首先要根据问题的 特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的 任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．
【变式1】 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不 同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出 一本书，有多少种不同的取法？ 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1 类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第2类，从 中层取一本语文书有16种不同方法；第3类，从下层取一 本化学书有14种不同方法．其中任何一种取法都能独立完 成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16 ＋14＝45.
【变式3】 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2 名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围 棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共 有多少种不同的选法？ 解 分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参 加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围 棋比赛有3×2＝6种选法； (2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时 从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛 有3×2＝6种选法；
法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋
8×10＋9×10＝431(种)．
(12分)
【题后反思】 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清 是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体 标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独 立完成这件事，可以避免计数的重复或遗漏． (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要 运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意 图或列出表格，使问题更加直观、清晰．