(推荐)线性规划与基本不等式

线性规划及基本不等式

一、知识梳理

（一）二元一次不等式表示的区域

1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________

2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.

当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.

3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-30

05x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值

注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

（2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设z=0，画出直线l0.

3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得

（二）基本不等式

1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,

则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立

2.、已知x 为正数，求2x+x 1

的最小值

3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1

的最小值.（提示：1的替换）

二、高考链接

1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，

，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．

2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，

≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．

3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能

生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产

品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,

设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件

,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.

4、（07山东）已知,x y R +

∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________ 5、函数y=a x -1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为 .

6、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

三、抢分演练

1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )

A 、22a b <

B 、22a b ab <

C 、2211

ab a b < D 、b a

a b <

2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，

表示的平面区域内的点是（ ）

Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，

3、.满足线性约束条件23,

23,

0,

0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）

（A ）1. （B ）3

2. （C ）2. （D ）

3.

4、若变量x,y 满足约束条件1

325x y x

x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为

（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4

5、设x,y 满足24

1,22x y x y z x y

x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则

（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值

（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值

6、设变量x ，y 满足约束条件3,

1,

1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为

（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2

7、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，

≥，

≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（

）

Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥

8、不等式组

所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D.

9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

10、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是

A.（0，2）

B.（0，2）

C.(2,+∞)

D.[2，+∞)

11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为

A.36万元

B.31.2万元

C.30.4万元

D.24万元

12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，

≥，则z 的最小值是____________ ．

13、设变量x ，y 满足约束条件：31

23x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______