(推荐)线性规划与基本不等式

线性规划及基本不等式
一、知识梳理
（一）二元一次不等式表示的区域
1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________
2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.
当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.
3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-30
05x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值
注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得
（二）基本不等式
1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,
则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立
2.、已知x 为正数，求2x+x 1
的最小值
3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1
的最小值.（提示：1的替换）
二、高考链接
1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，
，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．
2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能
生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产
品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,
设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件
,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
4、（07山东）已知,x y R +
∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________ 5、函数y=a x -1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为 .
6、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
三、抢分演练
1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )
A 、22a b <
B 、22a b ab <
C 、2211
ab a b < D 、b a
a b <
2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，
表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，
3、.满足线性约束条件23,
23,
0,
0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）
（A ）1. （B ）3
2. （C ）2. （D ）
3.
4、若变量x,y 满足约束条件1
325x y x
x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为
（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4
5、设x,y 满足24
1,22x y x y z x y
x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值
（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
6、设变量x ，y 满足约束条件3,
1,
1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2
7、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，
≥，
≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（
）
Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥
8、不等式组
所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
10、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是
A.（0，2）
B.（0，2）
C.(2,+∞)
D.[2，+∞)
11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元
12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，
≥，则z 的最小值是____________ ．
13、设变量x ，y 满足约束条件：31
23x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______
14、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
15、若0x >，则2x x +的最小值为______________
16、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为
A ．2
B ．1
C ．12
D ．1
4
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