中考数学习题精选：动态型问题
初中数学常见的动态型问题(答案附后)
且 A(2, 0),C(0, 4) ， 直 线 l : y 1 x 4 与 x 轴 交 于 点 D ， 点 P 是 抛 物 线 2
y ax2 8 x c 上的一动点，过点 P 作 PE x 轴，垂足为 E ，交直线 l 于点 F . 5
①
②
(1)试求该抛物线的表达式;
OD 8 .
AD 10 .
在 RtOAC 中.由勾股定理得 AC2 20 ,
同理 DC2 80 , AC2 DC2 AD2 . ACD 是直角三角形. ②点 P 的横坐标为-5.5 或-10.5 或 2 或-18 时.能够使得以点 P,C, H 为顶点的三角形与 ACD 相似.
(2)分两种情况：
① 0 t 2 时， y 1 t2 2t ； 4
② 2 t 4 时， y 1 (8 t)2 . 12
(3)
sin NEF 3
10
.
10
7. (1) 由题意可得 QP AB ；
(2) m 4 35 t 或 m 4 5 t ;
2. 2 2
3.①②③
4.(1) BF 8 t(0 t 8) ; 5
新课标人教版九年级数学精题精解：专题40动态问题
动态问题一.选择题1.（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l 沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B． C． D．考点：动点问题的函数图象．.专题：数形结合．分析：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB•t （0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC•CF=﹣tanB•t+2mtanB （m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．解答：解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C，BD=CD，当点F从点B运动到D时，如图1，在Rt△BEF中，∵tanB=，∴y=tanB•t（0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，在Rt△CEF中，∵tanC=，∴y=tanC•CF=tanC•（2m﹣t）=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．故选B．点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．2.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．解答：解：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．3．（2015•甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．解答：解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CDP，∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．4．（2015•四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是考点：动点问题的函数图象．.分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．5. （2015•四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C． 2D．考点：轴对称－最短路线问题；正方形的性质．.分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．6. （2015•山东威海，第11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F 点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B． C． D．考点：动点问题的函数图象．.分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2﹣x，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴EF=ED=（2﹣x）．∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），即y=（x﹣2）2，（x＜2），故选A．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．7. （2015山东省德州市，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD 和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ①③④D.②③④第11题图【答案】D考点：角平分线的性质；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理考点：几何动态问题函数图象二.填空题1. （2015•四川广安，第16题3分）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为t2＞t3＞t1．考点：轨迹．.分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案．解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14，等边三角型的边长为a≈2，等边三角形的周长为6；正方形的边长为b≈1.7，正方形的周长为1.7×4=6.8；圆的周长为3.14×2×1=6.28，∵6.8＞6.28＞6，∴t2＞t3＞t1．故答案为：t2＞t3＞t1．点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．三.解答题1. （2015•四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；（3）设N（x，ax2﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．解答：解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，∴a﹣5a+2=0，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，∴点B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，解得k=﹣，b=2，∴直线BC的解析式y=﹣x+2；（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：①当△OBC∽△HNB时，如图1，=，即=，解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），∴点N坐标（5，2）；②当△OBC∽△HBN时，如图2，=，即=﹣，解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．2. （2015•山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接P A，PC，当P A=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．考点：二次函数综合题．.分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和P A2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．解答：解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得b=2，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），∴﹣=﹣5a，解得a=，∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，P A2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，∵PC=P A，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），∵MN∥y轴，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，显然当x＞时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出P A、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．3.（2015•山东日照，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.专题：压轴题．分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠P AQ=∠CAB 时，△P AQ∽△CA B．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠P AQ=∠CBA时，△P AQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=D C．然后求出点D 的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：．新课标人教版∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．∵PQ⊥P A，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CA B．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠P AQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．则P（x，3﹣3x）．新课标人教版把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如图2②，当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，新课标人教版∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=D C．对于y=x2﹣x+3，当y=0时，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴点E的坐标为（2，1）．点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．4.（2015•山东聊城,第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．.分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，新课标人教版∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．5．(2015·深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ,现在三角板以2cm /s 的速度向右移动。
初中数学动态问题复习题
初中数学动态问题复习题初中数学动态问题复习题数学是一门需要动脑筋的学科，其中的动态问题更是让人头痛不已。
动态问题是指涉及时间、速度、距离等变量的数学问题。
在初中数学中，动态问题常常出现在应用题中，需要我们通过建立方程、列式子等方法来解决。
下面，我们来复习一些初中数学中常见的动态问题。
1. 小明骑自行车从A地到B地，全程100公里。
他开始时以每小时20公里的速度骑行，过了一段时间后，他加快了速度，以每小时30公里的速度骑行。
问小明骑行了多长时间到达B地？解析：设小明骑行了x小时后加快速度，那么他骑行了(100-20x)公里后加快速度。
根据速度等于路程除以时间，我们可以列出方程：20x + 30(100-20x) = 100解方程得到 x = 2。
所以小明骑行了2小时后加快速度，总共用时2 + (100-20*2)/30 = 4小时。
2. 甲、乙两辆汽车同时从A地出发，分别以每小时60公里和每小时80公里的速度相向而行，相距240公里时，一只鸟从甲车上飞到乙车上，然后再飞回甲车上，如此往复直到两车相遇。
问这只鸟飞了多少公里？解析：设鸟飞行的时间为t小时，那么两车相遇时，甲车行驶了60t公里，乙车行驶了80t公里。
根据题目中的条件，我们可以列出方程：60t + 80t = 240解方程得到 t = 2。
所以鸟飞行了2小时，飞行距离为60*2 = 120公里。
3. 甲、乙两辆汽车同时从A地出发，分别以每小时50公里和每小时70公里的速度相向而行，相距200公里时，一只兔子从甲车上跳到乙车上，然后再跳回甲车上，如此往复直到两车相遇。
问这只兔子跳了多少公里？解析：设兔子跳行的时间为t小时，那么两车相遇时，甲车行驶了50t公里，乙车行驶了70t公里。
根据题目中的条件，我们可以列出方程：50t + 70t = 200解方程得到 t = 2。
所以兔子跳行了2小时，跳行距离为50*2 = 100公里。
通过以上的复习题，我们可以看到，解决动态问题的关键是建立方程或列式子，并通过解方程或计算来得到答案。
中考数学专题复习之 41 动态问题(含解析)2 精编
41 动态问题(含解析)一、选择题1．（2016•武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A B．πC．D．2【考点】轨迹；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB BC=4，则OC=12AB=2，OP=12AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=∴AB BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=12•2π•1=π．故选B．【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆． 2． 2．1．（3分）（2016•黑龙江）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤2时，以及当2＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案．【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s ， ∴s 关于t 的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s 增大，当0≤t≤2时，s=21×1×1+2×2﹣221t ⨯=29﹣21t 2； 当2＜t≤2时，s=2122-×12=27；当2＜t≤3时，s=29﹣21（3﹣t ）2=21-t 2﹣3t ，∴A 符合要求，故选A ．【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出函数关系式情况是解决问题的关键．2．（3分）（2016•鄂州）如图，O 是边长为4cm 的正方形ABCD 的中心，M 是BC 的中点，动点P 由A 开始沿折线A ﹣B ﹣M 方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1cm/s ．设P 点的运动时间为t （s ），点P 的运动路径与OA 、OP 所围成的图形面积为S （cm 2），则描述面积S （cm 2）与时间t （s ）的关系的图象可以是（ ）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，AM=BM=OM=错误！未找到引用源。
中考数学题中的“动态”题型的解法
．
．
．
Ｂ ＝ Ｎ ２ （一） Ｆ Ｂ ＝ 一 ２ ￡＝
二
此时 ，＝１ ｓ ②当 ２ ＜ ≤￡ 时， 阴影部分如图 ４ １． （） Ｓ Ｓ 方 战 △ ｆ －４ ￡ ・ 一） ＝ 正 形＾ ｓ 肼 ； 一 一 （一） （ ｆ ＾ ４
化时 ，位于 ｌ 的右下方 由 ｌ 和正方形所围成的图形的面积为
（） ２分三种 情况 讨论 ： ①当 Ｏ 时 ， ｒ ２ 阴影部分如 图 ４ ２。 （）
ｌ 。
５ 阴影部分） （
Ｄ＿
：
／
． ・
／
／ ｒ ，０ ’
０
囤４ ） （１
；
由于 Ｍ（ ，） ｏ４ ，
～
线 上 的 运动 ，依 次 画 出 变化 的 图形 。如 本 题 点 Ｐ在 线 段 Ｄ Ｃ
和线段 Ｃ Ｂ上运动时 ， 图形 形状 分别是三角形 （ 如图 ３ １阴 （）
影部分） 和梯形 （ 如图 ３ ２ 阴影部分） （） 。
Ｉ ＼ ｌ
ｆ ｌ
ｌ ｌ
、
ｒ
，
、 Ｌ 、
‘
图４ ） （２
Ｍ＝ ＝ －ｒ ＡＦ ２
（） ｔ １当 取何值时 ， ３ ｓ ． ＝ （） ２ 在平面直角坐标 系中， 画出 ｓ ｔ 与 的函数图像。 分析 ： 由于直线 ｙ ｘ ｔ ＝ ＋ 与直线 Ａ 是平行 的， ｃ 所以当 ｔ 取 不同的值时 ， 说明直线 ｆ Ｙ 与 轴有 不同的交点 ， 但与 直线 Ａ ｃ 的平行关 系（ 含重合） 不变 ， 从而 断定 Ｒ ＡＤ Ｎ是等腰 三角 ｔ Ｍ
・
（一） （ 一） １ ４ ｔ ・４ ｆ：
＿
‘
．
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
中考数学试题分类汇编动态问题.doc
中考数学试题分类汇编动态问题动态问题一、选择题1．（2009年长春）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）2.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格3.（2009年新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）4.（2009年天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，甲 乙 甲 乙 AB CD甲乙甲乙OS tO S tO S tO S t A P B A ．B ．C ．D ．5.（2009年牡丹江市）ABC △在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC △向右平移3个单位长度后得111A B C △，再将111A B C △绕点O 旋转180°后得到222A B C △，则下列说法正确的是（ ） A ．1A 的坐标为()31，B ．113ABB A S =四边形C．2B C = D ．245AC O ∠=°6.（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处7.（2009年茂名市）如图，把抛物线2y x =与直线1y =围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后，再沿x 轴向右平移1个单位得到图形1111O A B C ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．点1O 的坐标是(10)， B ．点1C 的坐标是(21)-，（C ．四边形111O BA B 是矩形D ．若连接OC ，则梯形11OCA B 的面积是38．（2009年湖北十堰市）如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）．A ．π5168B ．π24C ．π584D ．π129．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈二、填空题10.（2009年新疆）如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．Oy 1OB1B C1A11A -（，）11C （，）11.（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．12.（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.13.（2009年河南）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．A E C (B 图E A GBC (D图C三、解答题14. (2009年牡丹江市)已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．15.（2009年株洲市）已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；A E FB D图图ADFEC B AD BCE图F（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC 为定值．16. （2009年北京市）在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明； ②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.17. （2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个机战的坐标分别为y xQPFEDCB AO()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D,使CD=12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。
中考数学专题第9课时-动态型问题(含答案)
第9课时动态型问题动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。
动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解．类型之一探索性的动态题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。
探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。
1.（宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.2.（南京市）如图，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，O A CBxy 10cm OP =，射线PN 与O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？类型之二 存在性动态题存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.3.如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在， 求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．4．(湖州市) 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5.（白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t = 秒或 秒时，MN =21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．类型之三 开放性动态题开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。
中考数学复习专题--动态型问题
1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含 t的代数式表示）．
解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8． 当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．
（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P 与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S
时t的值
当点P与点R重合时， AP=BQ，8t-8=5t，t=
8
．
当0＜t≤1时，如图③． 3
∵S△BPM=S△BQM， ∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，
∠BPM=∠MQR
在△BPM和△RQM中
PBM QRM
B
P
M
MQR
PM Q M
∴△BPM≌△RQM． ∴BP=RQ， ∵RQ=AB， ∴BP=AB ∴13t=13， 解得：t=1
(2)S=-7t2+16t；
(3)S=-14t+32． ；
（3）试求（2）中当t为何值时，考区查 间了 上指 的定 函 S的值最大，并求出S的最大值； 数极值
①当0＜t≤1时， (1)S=-5t2+14t；
②当1＜t≤2时， (2)S=-7t2+16t；
③当2＜t＜ 1 6
7
时，(3)S=-14t+32． ；
(1)当t=1时，S有最大值，最大值为9；
(2)当t= 8 时，S有最大值，最大值为 6 4 ；
7
7
(3)0＜S＜4
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段 DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于 点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰
三角形？请直接写出t的值
如答图4所示，点M在线段 CD上，与Q相遇前时， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t4）-（5t-5）=16-7t， MN=DM=2t-4， 由MN=MQ，得16-7t=2t-4， 解得t= 2 0
初中数学中考复习动态型问题(动点动线动面)专项练习及答案解析(50道)
初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示∥ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM∥PA 于M，QN∥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．4．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是()A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点5．如图1，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，点E沿着B→C→D的路径以2cm/s速度匀速运动，到达点D停止运动，EF始终与直线BC保持垂直，与AB或AD交于点F，设线段EF的长度为d(cm)，运动时间为t(s)，若d与t之间的关系如图2所示，则图中a的值为（）A．3.8B．3.9C．4.5D．4.86．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，2），直线y=kx+x+3与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≥−3B．k<−32C．−3<k<−32D．−3≤k≤−3 27．如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t 秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（）A．5＜t＜8B．4＜t＜7C．4≤t≤7D．4＜t＜88．一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点P，将一次函数图象绕着点P转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与x轴交点横坐标为（）A．−3B．3C．3或−3D．6或−69．如图，在平面直角坐标系中有-个3×3的正方形网格，其左下角格点A的坐标为(1，1)，右上角格点B的坐标为(4，4)，若分布在直线y=k(x-1)两侧的格点数相同，则k的取值可以是()A．52B．2C．74D．3210．如图，直线AB：y=-3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C(-1，0)，D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为()A．√10B．√17C．5D．2√711．小颖从家出发，走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，图（3）中表示小颖离家时间x与距离y之间的关系正确的是（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(−1，−2)，B(3，−1)，若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的值可能是（）A．2B．3C．−12D．-4二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B是x轴上的一个动点，始终保持∥ABC 是等边三角形(点A，B，C按逆时针排列)，当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是.随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的表达式是.14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(m，2)，(2m−1，2)，若直线y=4x+1与线段AB有公共点，则m的取值范围是≤m≤．15．在平面坐标系中，已知点A（2，3），B（5，8），直线y=kx-k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为．16．如图，在直角坐标系中，∥A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣34x+6上的动点，过点P作∥A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是17．如图，在∥ABC中，∥C＝90°，AC＝8，BC＝6，D点在AC上运动，设AD长为x，∥BCD 的面积y，则y与x之间的函数表达式为．18．如图，点M的坐标为(3，2)，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线关于直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F 和点E，直线l1与直线l2 、y= 34x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当∥PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．20．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y与x之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y=−12x+b与x轴相交于点D．动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上，且ΔACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使ΔACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（a+2，a），其中a＞0，直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点．（1）已知a＝2①求S∥ABC；②若点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧，求k的取值范围；（2）当k＝2时，若直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为D点（不与A点、B点重合），且AD＜3，求a的取值范围．24．如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=﹣1交AB于点D，P是直线x=﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求∥ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S∥ABP=2时，∥BPC是等腰三角形①满足条件的点C的个数是▲ 个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．参考答案1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D13．【答案】( √3 ，1)；y ＝ √3 x －2 14．【答案】14；5815．【答案】2≤k ≤3 16．【答案】4√2 17．【答案】y ＝－3x ＋24 18．【答案】2或319．【答案】（1）解：设直线l 1的表达式为y=kx+b ∵直线l 1过点F （0，10），E （20，0）∴{b =1020k +b =0解得 {k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣ 12 x+10求直线l 1与直线l 2 交点，得34 x=﹣ 12 x+10解得x=8y= 34×8=6 ∴点P 坐标为（8，6）（2）解：①如图，当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y，x= 43y∴43y﹣（20﹣2y）=9解得y= 8710则点A的坐标为：（135，8710）则AF= √(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 1310如图，当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣12x+10﹣34x=6解得x= 165则点A坐标为（165，425）则AF= √(165)2+(10−425)2=8√55∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 8 5故t值为1310或85②如图设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9由①中方法可知：MN= 54a+54此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1∵∥PMN的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18解得a 1= 12√55−1 ，a 2=﹣ 12√55−1 （舍去）∴AF=6﹣ √52则此时t 为 6√55−12 当t= 6√55−12 时，∥PMN 的面积等于18 20．【答案】（1）解：不同.理由如下：∵ 往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时∴ 往、返速度不同.（2）解：设返程中 y 与 x 之间的表达式为 y =kx +b则 {120=2.5k +b ，0=5k +b.解之，得 {k =−48，b =240.∴ y =−48x +240 .（ 2.5x ≤x ≤5 ）（3）解：当 x =4 时，汽车在返程中∴y =−48×4+240=48 .∴ 这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km.21．【答案】（1）解：在 y =x +2 中当 x =0 时当 y =0 时∴A(−2,0)（2）解： ∵ 点 C(2,m) 在直线 y =x +2 上∴m =2+2=4又 ∵ 点 C(2,4) 也在直线 y =−12x +b 上 ∴ 即 4=12x +5 解得 b =5（3）解：在 y =−12x +5 中 当 x =0 时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD =12①设 PD =t ，则 AP =12−t过 C 作 CE ⊥AP 于 E ，则 CE =4由 ΔACP 的面积为 10得 12(12−t)×4=10 解得 t =7②过 C 作 CE ⊥AP 于 E则 CE =4∴AC =4√2a. 当 AC =CP 时，如图①所示则 AP =2AE =8∴PD =AD −AP =4∴t =4b. 当 AP 1=AP 2=AC =4√2 时，如图②所示DP 1=t =12−4√2c. 当 CP =AP 时，如图③所示设 EP =a则 CP =√a 2+42∴√a 2+42=a +4解得 a =0∴AP =4∴PD =8∴t =8综上所述，当 t =4 或 t =12−4√2 或 t =12+4√2 或 t =8 时，ΔACP 为等腰三角形22．【答案】（1）1（2）左；12（3）右；左；m=n|k|23．【答案】（1）解：①∵a ＝2∴A （2，2），B （4，2）∴AB ＝2∵直线y ＝kx ﹣2与y 轴相交于C 点∴C （0，﹣2），如图∴S ∥ABC ＝12AB×（2+2）＝12×2×4＝4． ②当直线y ＝kx ﹣2经过点A （2，2）时2k ﹣2＝2，解得k ＝2当直线y ＝kx ﹣2经过点B （4，2）时4k ﹣2＝2，解得k ＝1∴点A 和点B 在直线y ＝kx ﹣2的两侧时，1＜k ＜2；（2）解：直线AB 的解析式为：y ＝a当k ＝2时，直线y ＝2x ﹣2∴2x ﹣2＝a ，即x ＝a+22∴D （a+22，a ）∴2＜a+22＜a+2解得a ＞2又∵AD ＝a+22−2<3解得a ＜8所以a 的取值范围为2＜a ＜8．24．【答案】（1）解：设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A(0，1)，B(﹣3，0)代入，得{b =1−3k +b =0解得{b =1k =13∴y =13x +1； （2）解：当x=-1时，y =13×(−1)+1=23∵P(﹣1，n)∴PD=n−2 3∴∥ABP的面积=∥APD的面积+∥BPD的面积=12PD⋅OB=12(n−23)×3=32n−1；（3）解：①3；②设C(0，c)∵P(-1，2)，B(﹣3，0)∴PC2=(−1−0)2+(2−c)2=c2−4c+5BC2=(−3−0)2+(0−c)2=c2+9当PC=BC时c2-4c+5= c2+9∴c=-1∴C(0，-1)．。
中考数学总复习《一次函数-动态几何问题》练习题附带答案
中考数学总复习《一次函数-动态几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．2．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．4．在数轴上，点A表示－2，点B表示4.P,Q为数轴上两点，点Р从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点О后，立即以原来的速度返回，当点Q回到点B时点Р与点Q同时停止运动．设点Р运动的时间为x秒，点Р与点Q之间的距离为y个单位长度，则下列图像中表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．5．如图，在矩形ABCD中AB＝8cm，BC＝6cm动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A 停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），则下列图象中，能正确表示y与x的关系的是（）A．B．C．D．6．如图1，在四边形ABCD中DC//AB，∠DAB=90°点E沿着B→C→D的路径以2cm/s 速度匀速运动，到达点D停止运动，EF始终与直线BC保持垂直，与AB或AD交于点F，设线段EF的长度为d(cm)，运动时间为t(s)，若d与t之间的关系如图2所示，则图中a的值为（）A．3.8B．3.9C．4.5D．4.87．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时点R应运动到（）A ．M 处B ．N 处C ．P 处D ．Q 处8．如图，一次函数y= 34x+6的图像与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点B 的直线l 平分△ABO 的面积，则直线l 相应的函数表达式为（ ）A ．y= 35 x+6B ．y= 53 x+6C ．y= 23 x+6D ．y= 32x+69．如图1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，沿 BADC 方向运动至点 C 处停止，设点 E运动的路程为 x ，△BCE 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图2所示，则当 x =7 时点 E 应运动到（ ）A ．点 处B ．点 处C ．点 处D ．点 处10．如图,AD,BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点P 从点O 出发,沿O →C →D →O 的路线匀速运动,设∠APB=y （单位:度),点P 运动的时间为x （单位:秒），那么表示y 与x 关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．12．如图，过点A0（2，0）作直线l：y= √33 x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…则线段A2016A2107的长为（）A．（√32）2015B．（√32）2016C．（√32）2017D．（√32）2018二、填空题(共6题；共10分)13．如图，把△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10点A，B的坐标分别为(2，0)，(8，0)当直线y=2x+b（b为常数）与△ABC有交点时则b的取值范围是．14．已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为．15．如图1，AB//CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE=30°，P是直线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP=x°和∠MNE=y°．（1）在图2中，当x=12时∠MNE=；在图3中，当x=50时∠MNE=；（2）研究及明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时用空心点表示，请你根据图象直接估计当y=100时x=．（3）探究：当x=时点N与点E重合，并在答题卡上画出此时图形．（4）探究：当x>105时求y与x之间的关系式．16．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A−B−C的方向在AB和BC上运动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当△PCD的面积与△PAB的面积相等时y的值为．17．如图，直线y=−12x+2与坐标轴分别交于点A,B，与直线y=12x交于点C,Q是线段OA上的动点，连接CQ，若OQ=CQ，则点Q的坐标为.18．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34 x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．三、综合题(共6题；共69分)19．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（2，0），（1，2），（4，3），直线l的解析式为y＝kx+4﹣3k（k≠0）．（1）当k＝1时直线l与x轴交于点D，点D的坐标是，S△ABD＝．（2）小明认为点C在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；（3）若线段AB与直线l有交点，则k的取值范围为．20．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（√3，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y=−12x+b与x轴相交于点D．动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上，且ΔACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使ΔACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，2) .已知点C(−1，3)在直线l上，连接OC.（1）求直线l的解析式；（2）P为x轴上一动点，若ΔACP的面积是ΔBOC的面积的2倍，求点P的坐标. 23．如图，一次函数y=2x+b的图像经过点M(1,3)，且与x轴，y轴分别交于A,B两点．（1）填空：b=；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45∘至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．24．当m，n为实数，且满足m+nm=n时就称点P(m，mn)为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线y=x+b上，点B，C是“状元点”，且B在直线AM上．（1）求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；（2）请求出点B的坐标；（3）若AC≤5√2，求点C的横坐标的取值范围．参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】B 12．【答案】B13．【答案】-16≤b ≤4 14．【答案】（43，0）15．【答案】（1）102°；40°（2）10或170 （3）15或105 （4）y =270−x16．【答案】√2 17．【答案】(54,0)18．【答案】28519．【答案】（1）(−1，0)；3（2）解：小明的判断不符合题意，理由如下： ∵y =kx +4−3k ∴ 当 x =4 时 ∵k +4 不一定为3∴ 点 C(4，3) 不一定在直线 l 上，小明的判断不符合题意； （3）1⩽k ⩽420．【答案】（1）解：结论：AC ⊥AB ．理由如下：∵由x 2﹣2x ﹣3=0得：∴x 1=3，x 2=﹣1∴B （0，3），C （0，﹣1）∵A （ √3 ，0），B （0，3），C （0，﹣1）∴OA= √3 ，OB=3，OC=1∴tan ∠ABO= OA BO = √33，tan ∠ACO= OA OC = √3 ∴∠ABO=30°，∠ACO=60°∴∠BAC=90°∴AC ⊥AB（2）解：如图1中，过D 作DE ⊥x 轴于E ．∴∠DEA=∠AOC=90°∵tan ∠ACO= OA OC= √3 ∵∠DCB=60°∵DB=DC∴△DBC 是等边三角形∵BA ⊥DC∴DA=AC∵∠DAE=∠OAC在△ADE 和△ACO 中∴△ADE ≌△ACO∴DE=OC=1，AE=OA= √3∴OE=2 √3∴D 的坐标为（﹣2 √3 ，1）（3）解：设直线BD 的解析式为：y=mx+n ，直线BD 与x 轴交于点E把B （0，3）和D （﹣2 √3 ，1）代入y=mx+n∴{n =31=−2√3m +n解得 {m =√33n =3∴直线BD 的解析式为：y= √33 x+3令y=0代入y= √33 x+3∴x=﹣3 √3∴E （﹣3 √3 ，0）∴OE=3 √3∴tan ∠BEC= OB OE = 33√3 = √33∴∠BEO=30°同理可求得：∠ABO=30°∴∠ABE=30°当PA=AB 时如图2此时∠BEA=∠ABE=30°∴EA=AB∴P 与E 重合 ∴P 的坐标为（﹣3 √3 ，0）当PA=PB 时如图3此时∠PAB=∠PBA=30°∵∠ABE=∠ABO=30°∴∠PAB=∠ABO∴PA ∥BC∴∠PAO=90° ∴点P 的横坐标为﹣ √3 令x=﹣ √3 代入y= √33 x+3∴y=2 ∴P （﹣ √3 ，2）当PB=AB 时如图4∴由勾股定理可求得：AB=2 √3 ，EB=6若点P 在y 轴左侧时记此时点P 为P 1过点P 1作P 1F ⊥x 轴于点F ∴P 1B=AB=2 √3∴EP 1=6﹣2 √3∴sin ∠BEO= FP 1EP 1∴FP 1=3﹣ √3令y=3﹣ √3 代入y= √33x+3 ∴x=﹣3∴P 1（﹣3，3﹣ √3 ）若点P 在y 轴的右侧时记此时点P 为P 2过点P 2作P 2G ⊥x 轴于点G∴P 2B=AB=2 √3∴EP 2=6+2 √3∴sin ∠BEO= GP 2EP 2∴GP 2=3+ √3令y=3+ √3 代入y= √33x+3 ∴x=3∴P 2（3，3+ √3 ）综上所述，当A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时点P 的坐标为（﹣3 √3 ，0），（﹣√3 ，2），（﹣3，3﹣ √3 ），（3，3+ √3 ）21．【答案】（1）解：在y=x+2中当x=0时当y=0时∴A(−2,0)（2）解：∵点C(2,m)在直线y=x+2上∴m=2+2=4又∵点C(2,4)也在直线y=−12x+b上∴即4=12x+5解得b=5（3）解：在y=−12x+5中当x=0时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD=12①设PD=t，则AP=12−t过C作CE⊥AP于E，则CE=4由ΔACP的面积为10得12(12−t)×4=10解得t=7②过C作CE⊥AP于E则CE=4∴AC=4√2 a.当AC=CP时如图①所示则AP=2AE=8∴PD=AD−AP=4∴t=4b.当AP1=AP2=AC=4√2时如图②所示DP1=t=12−4√2c.当CP=AP时如图③所示设EP=a则CP=√a2+42∴√a2+42=a+4解得a=0∴AP=4∴PD=8∴t=8综上所述，当t=4或t=12−4√2或t=12+4√2或t=8时ΔACP为等腰三角形22．【答案】（1）解：设直线l的解析式为y=kx+b∵点B(0,2)、C(−1,3)在直线l上∴{b=2−k+b=3解得{b=2 k=−1∴直线l的解析式为y=−x+2（2）解：把y=0代入方程y=−x+2得x=2∴点A(2,0)SΔBOC=12|x c|⋅OB=12×1×2=1设P(a,0)，则AP=|a−2|∴ΔACP△ACP 的面积是: 12×3×|a−2|令SΔACP=2SΔBOC即12×3×|a−2|=2解得a=103或a=23∴A点的坐标数是(103,0)或(23,0)23．【答案】（1）1（2）由（1）可知，直线AB的解析式为：y=2x+1令x=0，则y=1令y=0，则 x =−12∴点A 为（ −12 ，0），点B 为（0，1） ∴OA= 12 ，OB=1；由旋转的性质，得 AB =BC∵BC ⊥AB∴∠ABC=90°过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，如图：∵∠BDC=90°∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90° ∴∠BCD=∠ABD同理，∠CBD=∠BAO∵AB=BC∴△ABO ≌△BCD∴BD=AO= 12 ，CD=BO=1∴OD= OB −BD =1−12=12∴点C 的坐标为（1， 12 ）；设直线l 的表达式为 y =mx +n ∵直线经过点A 、C ，则{m +n =12−12m +n =0 ，解得： {m =13n =16∴直线l 的表达式为 y =13x +16 ．24．【答案】（1）解：∵m+mn=n 且m ，n 是正实数 ∴m n +m=1，即m n =1-m∴P （m ，1-m ）∴点P 在直线y=1-x 上当x=2时1-x=-1∴点F （2，6）不是“状元点”；∵点A （0，7）在直线y=x+b 上∴7=0+b∴b=7；（2）解：由（1）求得直线AM ：y=x+7∵“状元点”B 在直线AM 上，且满足y=1-x∴{y =1−x y =x +7解得：{x =−3y =4∴点B 的坐标为（-3，4）；（3）解：∵点C 是“状元点”∴设C （n ，1-n ）∴AC=√n 2+(7−1+n)2=√2n 2+12n +36≤5√2 整理得n 2+6n −7≤0解得：-7≤n ≤1．。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
中考数学难题突破专题：二次函数为背景的动态问题有答案
中考数学难题突破专题：二次函数为背景的动态问题以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．类型1 动态下的面积最值问题例题1、如图1，抛物线y＝12x2－32x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC，A C.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，△CDE的面积为S，求S关于m的函数表达式，并写出△CDE 面积的最大值．例题分层分析(1)已知抛物线的函数表达式，当x＝0时，可确定C点坐标；当y＝0时，可确定点A，B 的坐标，进而确定AB，OC的长．(2)①首先用m列出△AEC的面积表达式为__________；②再根据直线l∥BC，可得出△AED与△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到△AED的面积表达式为__________；③△AEC与△AED的面积差即为△CDE的面积，则△CDE的面积S＝________，根据二次函数的性质可得到S的最大值．1解题方法点析解此类问题的关键在于通过三角形相似、三角形面积公式以及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式，然后根据函数性质求最值．类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题例题2、如图2所示，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (－2，0)，过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE .(1)填空：点D 的坐标为________，点E 的坐标为________；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A ，D ，E 三点，求该抛物线的函数表达式； (3)若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t (秒)的函数表达式，并写出相应自变量t 的取值范围；②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．图2例题分层分析(1)构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D ，E 的坐标． (2)利用________法求出抛物线的函数表达式．(3)①为求S 的函数表达式，需要识别正方形(与抛物线)的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时32秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t ≤12时，当________时，当________时，每个阶段的函数表达式不同，请对照图形认真思考；②当运动停止时，点E 到达________，点E (－3，2)运动到点E ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72，可知整条抛物线向右平移了________个单位长度，向上平移了________个单位长度．由此得到平移之后的抛物线的函数表达式，进而求出其顶点坐标．专 题 训 练1．[丽水] 如图3①，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x 的函数图象由C1，C2两段组成，如图②所示．(1)求a的值；(2)求图②中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．图32．[广安] 如图4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x轴正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形？②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图4 3．[金华] 如图5①，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A (3，3 3)，B (9，5 3)，C (14，0)，动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA —AB —BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动．(1)求AB 所在直线的函数表达式；(2)如图②，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值； (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图5参考答案类型1 动态下的面积最值问题例1 【例题分层分析】(2)①S△ACE＝92m②S△ADE＝12m2③92m－12m2解：(1)已知抛物线的函数表达式为y＝12x2－32x－9，当x＝0时，y＝－9，则C(0，－9)；当y＝0时，12x2－32x－9＝0，得x1＝－3，x2＝6，则A(－3，0)，B(6，0)，∴AB＝9，OC＝9.(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴S△AED S△ABC ＝⎝⎛⎭⎪⎫AEAB2，∴S△AED12×9×9＝⎝⎛⎭⎪⎫m92，∴S△ADE＝12m2.∵S△ACE＝12AE·OC＝12m×9＝92m，∴S＝S△ACE－S△ADE＝92m－12m2，∴当m＝92时，S取得最大值，最大值为818.类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题例2 【例题分层分析】(2)待定系数(3)①12＜t≤11＜t≤32②y轴 332解：(1)由题意可知：OB＝2，OC＝1.如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H，过点E作EG⊥x轴于点G.易证△CDH ≌△BCO ，∴DH ＝OC ＝1，CH ＝OB ＝2，∴D (－1，3)． 同理△EBG ≌△BCO ，∴BG ＝OC ＝1，EG ＝OB ＝2，∴E (－3，2)． ∴D (－1，3)，E (－3，2)．(2)因为抛物线经过点A (0，2)，D (－1，3)，E (－3，2)，所以⎩⎨⎧c ＝2，a －b ＋c ＝3，9a －3b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－32，c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2.(3)①当点D 运动到y 轴上时，t ＝12.当0＜t ≤12时，如图(a )所示．设D ′C ′交y 轴于点F ，∵tan ∠BCO ＝OBOC ＝2，又∠BCO ＝∠FCC ′，∴tan ∠FCC ′＝2，即FC′CC′＝2.∵CC ′＝5t ， ∴FC ′＝2 5t ，∴S △C C ′F ＝12CC ′·FC ′＝12×5t ×2 5t ＝5t 2.当点B 运动到点C 时，t ＝1. 当12＜t ≤1时，如图(b )所示． 设D ′E ′交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥B ′C ′于点H .在Rt △BOC 中，BC ＝22＋12＝5， ∴GH ＝5，∴CH ＝12GH ＝52.∵CC ′＝5t ，∴HC ′＝5t －52， ∴GD ′＝5t －52， ∴S 梯形C C ′D ′G ＝12(5t －52＋5t )×5＝5t －54.当点E 运动到y 轴上时，t ＝32.当1＜t ≤32时，如图(c )所示．设D ′E ′，E ′B ′分别交y 轴于点M ，N ， ∵CC ′＝5t ，B ′C ′＝5， ∴CB ′＝5t －5，∴B ′N ＝2CB ′＝2 5t －2 5. ∵B ′E ′＝5，∴E ′N ＝B ′E ′－B ′N ＝3 5－2 5t ， ∴E ′M ＝12E ′N ＝12(3 5－2 5t )，∴S △MNE ′＝12×12(3 5－2 5t )·(3 5－2 5t )＝5t 2－15t ＋454，∴S 五边形B ′C ′D ′MN ＝S 正方形B ′C ′D ′E ′－S △MNE ′＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5t 2－15t ＋454＝－5t 2＋15t －254.综上所述，S 关于t 的函数关系式为： 当0＜t ≤12时，S ＝5t 2；当12＜t ≤1时，S ＝5t －54； 当1＜t ≤32时，S ＝－5t 2＋15t －254.②当点E 运动到点E ′时，运动停止，如图(d )所示． ∵∠CB ′E ′＝∠BOC ＝90°，∠BCO ＝∠B ′CE ′， ∴△BOC ∽△E ′B ′C ， ∴OB B′E′＝BCE′C. ∵OB ＝2，B ′E ′＝BC ＝5， ∴25＝5E′C，∴CE ′＝52，∴OE ′＝OC ＋CE ′＝1＋52＝72，∴E ′⎝⎛⎭⎪⎫0，72.由点E (－3，2)运动到点E ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72，可知整条抛物线向右平移了3个单位长度，向上平移了32个单位长度．∵y ＝－12x 2－32x ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋258，∴原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，258，∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，378.专题训练1．解：(1)如图①，过点P 作PD ⊥AB 于点D .∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA ·sin30°＝2x ·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12，∴a ＝1.(2)当点P 在BC 上时(如图②)，PB ＝5×2－2x ＝10－2x ，∴PD ＝PB ·sin B ＝(10－2x )·sin B ．∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x )·sin B ．由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)sin B＝43，∴sin B ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x )·13＝－13x 2＋53x .(3)由C 1，C 2的函数表达式，得12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当0≤x≤2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3，∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.2．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，∴c ＝3. ∵对称轴是直线x ＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)．(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形，∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ， 解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)，∴当t ＝1秒时，四边形OMPN 为矩形．②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠ABO ＝45°.若△BOQ 为等腰三角形，则有三种情况：若OQ ＝BQ ，如图①所示，则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32， ∴t ＝32÷2＝34(秒)； 若OQ ＝OB ，∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)；若OB ＝BQ ，如图②所示，则BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos45°＝3×22＝3 22， ∴OM ＝OB －BM ＝3－3 22＝6－3 22， ∴t ＝6－3 22÷2＝6－3 24(秒)． 综上所述，当t 为34秒或6－3 24秒时，△BOQ 为等腰三角形．3．解：(1)设AB 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把A (3，3 3)，B (9，5 3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3 3，9k ＋b ＝5 3，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝2 3.∴AB 所在直线的函数表达式为y ＝33x ＋2 3. (2)由题意知，OP ＝t ，PC ＝14－t ，△PCQ 中PC 边上的高为32t ＋2 3， ∴S ＝12(14－t )(32t ＋2 3)＝－34t 2＋5 32t ＋14 3(2≤t ≤6)．∴当t ＝5时，S 有最大值为81 34. (3)①当0<t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C (如图①)，连结QC ，可得方程 (3 32t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2， 解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.②当2<t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A (如图②)，连结AP ，可得方程(3 3)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2，解得t 1＝3＋572，t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572.③当6<t ≤10时，Ⅰ.线段PQ 的中垂线经过点C (如图③)，可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.Ⅱ.线段PQ 的中垂线经过点B (如图④)，连结PB ，可得方程(5 3)2＋(t －9)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52（t －6）2， 解得t 1＝38＋20 27，t 2＝38－20 27(舍去)，此时t ＝38＋20 27.综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋20 27.。
中考数学总复习专题六动态问题试题
专题六动态问题1.动态问题为怀化中考的常考点，近7年共考查5次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且大都是以解答题形式出现．命题规律2．考查类型：(1)几何图形中的动点问题；(2)一次函数中的动点问题；(3)二次函数中的动点问题．预计2017年怀化中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点命题预测考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低.,中考重难点突破)一次函数中的动点问题【例1】(2013怀化中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线与y轴的交点，以及P点坐标与t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意，得b>0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4.∴y＝－x＋4；(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，∵5＝1＋t，∴t＝4.当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8.∵8＝1＋t，∴t＝7.∴当点M，N位于l的异侧时，4<t<7；(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上．【点拨】k、b对一次函数图象y＝kx＋b的影响：①当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小；②k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与x轴的夹角就越大；③b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；④直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)；⑤直线y＝kx＋b、y＝kx＋b的几种位置关系：平行：k＝k，b≠b；重合：k＝k，b＝b轴y；关于212121212211．对称：k＋k＝0，b＝b；关于x轴对称：k＋k＝0，b＋b＝0；垂直：kk＝－1.212111221241．如图，直线y＝－x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位3的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速s)(0<t≤3)．，设运动时间为t(PQ运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接(1)写出A，B两点的坐标；(2)设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？(3)当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似？直接写出此时点Q的坐标．44422解：(1)点A(6，0)，B(0，8)；(2)S＝－(t－10t)＝－(t－5)＋20，∵－<0，0<t≤3，∴当t AQP△555484AP2t2cos∠OAB＝°，则，∴＝＋20＝；(3)若∠APQ＝90＝3时，S最大，S最大＝－(3－5)AQPAQP△△t10－55AQ630AQ10－t65050cos∠OAB＝，∴＝，解得t＝，∵0<t，若∠AQP＝90°，则≤3，∴t＝不，解得t＝1013AP2t10111130301830880tan∠OAB＝(2×)×＝，∴点Q，此时，OP＝6－2×＝.PQ＝AP·t 合题意，舍去，∴的值为13131313613188030s时，以点A，P， Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐，的坐标为()．综上所述，t＝1313131880标为(，)．1313二次函数中的动点问题【例2】(2011怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单2，，0)，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1Obxy位的速度运动t(t>0)秒，抛物线＝x＋＋c 经过点和点P 0)，．5)B(1，－，D(4)的代数式表示t用含(；b，c求(1)．(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；21②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝；8(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．，b与点P的坐标代入方程即可求得cc经过点O和点P，将点O＋【解析】(1)由抛物线y＝x 2；＋bx－S＝S＋SSt，求得点M的坐标，则可求得∠AMP的度数；②由S＝(2)①当x＝1时，y＝1－DPNPAM△四边形AMNP△－S，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，PAM△梯形NDAM分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t的取值范围．y＝xt，y＝0代入0＝x＋bx＋c，得c＝，再把x＝0【学生解答】解：(1)把x＝，y＝0代入22＋y22的横坐标为My＝x－tx，且点bt＝0，∵t>0，∴b＝－t；(2)①不变，∵抛物线的解析式为：tbx，得＋，∵∠1，∴AM＝AP1－，∵OP＝t，∴AP＝t－t＝1时，y＝1－，M(1，1－t)，∴AM ＝|1－t|＝tx1，∴当1116)16)＋[(4t－＋S－S＝(t－4)(4t－SPAM＝90°，∴∠AMP＝45°；②S＝S－＝S PAM△PAM梯形DNMA△四边形AMNPDPN△2219211151331522＝，∴tt＝，t＝，∵4<t<56.1)＝t－t＋解t －t＋6＝，得1)(t(t＋－1)]×3－(t－－1122222222281197个好点在抛物线下4的取值范围为<t<.①左边4个好点在抛物线上方，右边(舍去)，∴t＝；(3)t 322，，－2<y<－1－方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有－4<y<33211710117个好点在抛物线上方，右2<t<；③左边<t<4－3t<－1，且<t<，解得3即－4<4－2t<－，－2<932332个好点在抛物线下方：无解；⑤个好点在抛物线上方，右边11边2个好点在抛物线下方：无解；④左边117.的取值范围是<t<左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方，无解；综上所述，t32的中D的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边OA20152．(襄阳中考)边长为2 两点．，EABDE⊥DC，DE＝DC，以直线为对称轴的抛物线过C在第一象限，且点，连接CD，点E 求抛物线的表达式；(1)作PCB出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P(2)点从点C 相似？D为顶点的三角形与△CODFtPF⊥CD于点F.当为何值时，以点P，，为顶DNMNMNABM(3)点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，，使得以点，，，E 点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．＝OA＝OC作EG⊥x轴于点G.∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴过点解：(1)E°，°，又∵∠ODC＋∠OCD＝90，∠AOC＝∠DGE＝90°，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC＋∠GDE ＝902，OD＝1．又∵抛1)＝1，DG＝OC＝2.∴点E的坐标为(3，＝∴∠OCD＝∠GDE.∵DC＝DE，∴△ODC≌△GED.∴EGOD2由题意，得＝2，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)＋k.AB物线的对称轴为直线，即直线x1??，a＝3，＝24a＋k?21??2；(2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝＝(x －2)＋解得∴抛物线的表达式为y?331.2＝a＋k????，k＝3；②若1t＝OD＝1，∴∠DCO.∴PD∥OC.∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，∴四边形PDOC为矩形．∴PC＝DFPD°－∠DPF＝∠PDF.∴PC＝PD.∴DF°－∠DCO＝90∴∠PCF＝90△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，＝.ODCD55PD11DF522222..×5＝DF，∴∴＝5，∵＝，∴PC＝PDt＝＝＝＝CD.∵CDOD＋OC＝2＋15，∴CD ＝＝52222CDOD25存在，满足条件的点有三组，坐标，D为顶点的三角形与△COD相似；(3)t∴当等于1或时，以点P，F221 )．)；M(2，，N(2，，(2，分别为M(2，1)N(4，2)；M，3)，N(02)31132233两点，B0)，与x轴从左至右依次相交于A，3)(x20163．(随州中考)已知抛物线y＝a(x＋－1)(a ≠D.与抛物线的另一个交点为y＝－3x＋b与y轴相交于点C，经过点A的直线若点D的横坐标为2，求抛物线的函数表达式；(1)的坐P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，标；出发，沿线段B)，连接BE.一动点Q从点不含端点是线段在(3)(1)的条件下，设点EAD上的一点(32E以每秒个单位的速度运动到点D，再沿线段以每秒BE1个单位的速度运动到点EED后停止，问当点3 运动过程中所用时间最少？Q的坐标是多少时，点在整个3＋32－3＝－(1)y解：2；??715?? )，－或((2)P－6；，－－47??3 3)．(3)E(1，－4几何图形中的动点问题.60°轴正半轴上，菱形的边长为6，∠AOC＝3】如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，OA在x【例同时以相同的速度从点C出发沿x轴正半轴的路线运动，动点Q动点P以每秒1个单位长度的速度从点O运动的时间后，两点同时停止运动．在运动过程中，设动点P运动．当点Q到达点A出发沿路线CB－BA s S.的面积为t()，△CPQ为的坐标；(1)求点C ？请说明理由；为何值时，PC⊥AB(2)当t 之间的函数关系式；边上时，求S与t(3)①当点Q在AB 上？为什么？Q落在直线PCt②当为何值时，点的值，CD就可以求出OD 的值，由勾股定理就可以求出过点C作CD⊥OA，交x轴于点D.【解析】(1)°，由直90＝30°，就可以求出∠PCO＝进而求出结论；(2)当PC⊥AB时，由菱形的性质就可以求出∠OPC作E，过点AQE⊥OA，交x轴于点角三角形的性质就可以求出OP的值，就可以得出结论；(3)①过点Q作的面积就可以求出结OAQC的面积＋△APQ的面积－△OPCAF⊥OC于F，就可以求出QE的值，由四边形时，求出t的值即可．论；②根据①的表达式，当S＝0 【学生解答】＝°，∴∠DCO90°，∵∠AOC＝60解：(1)如解图①，过点C作CD⊥OA，交x轴于点D.∴∠CDO ＝1Rt33.∴C点坐标为(33.在，△ODC中，由勾股定理，得CD630°，∴OD＝OC，∵OC＝，∴OD ＝＝2s时，PC⊥AB.理由：∵四边形OABC是菱形，∴OC∥AB，∴∠PAB；33)(2)当t＝12 ＝∠AOC＝60°，∵PC⊥AB，∴∠AGP＝90°，∴∠GPA＝30°，∵OC∥AB，∴∠PCO＝∠AGP，∴∠PCO＝90°，∴OP＝2OC，∴ss时，PC⊥AB；(3)如解图②，①当Q点在BA上时，12 OP＝12.∴t ＝12÷1＝＝．∴当t12 6≤t≤12，t＝AP，t－12＝AQ°，∴90＝AEQ＝∠AFO，∴∠F于AF⊥OC 作A，过点E轴于点xQE⊥OA，交作Q过点．13sin＋S＝[(12，∴QE＝AQ·－60t)°＝(12－t)，∵S＝S－＋SS，－6AF，∴＝3OC＝33POC△△梯3313132；＝－t＋t＋96]×33＋(t－－6)×(12t)－t3×33，∴S24222形OAQCAQP223332舍5<0(3－3＋35，t9t＋t＋3＝0上，∴②∵点Q落在直线PCS＝，∴0，∴－t＝＝32124s时，点Q落在直线PC上．＝(3＋35)去)．∴当 t【点拨】动态问题中求图形面积(S)与时间(t)的基本步骤：1.设动点运动的时间为t；2.找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点(即从某一条边运动到另一条边的时刻)，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动轨迹上的图形面积S与t之间的函数关系式；3.图形面积S与时间t之间的函数关系式的求解分为两种情况：(1)若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规则的(如三角形、矩形、正方形、圆)，则可直接求解：①若所求图形为三角形，则用含t的代数式表示出三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求出高，从而得出图形面积与时间t之间的关系；②若所求图形为矩形、正方形，则用含t的代数式表示出其边长，用面积公式即可求出图形面积与时间t之间的关系；③若所求图形为圆，则用含t的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积与时间t之间的关系；(2)若所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法将所求图形转化为边在动点运动轨迹上的图形(可以是三角形、矩形、正方形、圆，也可以是几个图形的面积和差)，再利用(1)中的方法进行求解．4．(2015辽宁中考)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD>DA，DA＝2，点P、Q 同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR ＝PQ，连接PR.当点Q到达A时，点P、Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR和△ABC重合部分的面积为S.S关于x的函数88图象如图2所示．(其中0<x≤，<x≤m时，函数的表达式不同)7732(1)n的值为____；49x的取值范围．的函数关系式，并写出(2)求S关于x1x8182－2如图①)，RQ＝，此时QA＝2－＝解：当0<x≤时，S＝x，由题意知，当点R落在AB 上时(227278x810RQ4tan分别时(如图②)，设RP、RQ与ABQ，当点到达A时，2－＝0，x＝4，当<x≤×＝，4A＝＝777QA524EGFQEG5y tantan＝＝QA·A＝＝，F，作EG⊥AC，垂足为G，设EG＝y，∵FQA＝＝，∴GA相交于点E，tan5GAQAA4xx4x4x1x5y2)＋(＋2)·(＝2，∴y＝(＋2)，∴S＝S－S＝(2－)，∵PAPG＋GA＝PD＋DA，即y＋＝＋FQA△EPA△29222242981?2?），x（0<x≤72325621x4x?2 (2－)＝－x＋x－，∴S＝－(2－)·4522524545823256?2?.（<x≤4）－x＋x－7454545，动点＝AD2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG绵阳中考5．(2015)如图，在边长为，设运动时间重合)的路线向G点匀速运动(M不与A、G从MA出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→GN.于为t秒．连接BM并延长交AG 的位置；若不存在，请说明理由；(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M ；交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NHSF，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为点E，的最大值．，则＝BMC重合时，AB＝(1)当点M为AC中点时，有AMBM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点解：的中点CG为等腰三角形，当点M为ACM在上且AM＝2时，AM＝AB，则△ABM△ABM为等腰三角形，当点，－AKADAK＝AN，连接KN.∵AB＝，BK＝AB上取点AM时，＝BM，则△ABM为等腰三角形；(2)在ABK，使BKN°，∵∠°，∴∠NDH＝90°＋45°＝135DN.ND＝AD－AN，∴BK＝又DH 平分直角∠CDG，∴∠CDH＝45Rt BN⊥NH，即∠BNH＝ABN中，∠ABN90°，又BKN＝180°－∠AKN ＝135°.∴∠＝∠NDH.∵在＋∠ANB＝△ASA，∴＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD().180ANB＋∠DNH ＝°－∠BNH＝180°－90°＝90°∴∠ABN90°，∴∠＝＝FM上时，即0<t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM＝t，∴AF在＝BNNH；(3)①当MAC1222112＝CM交于点J，CAEM2CGM.t ＝t·FMAF＝∴t.S·＝·t当在上时，即22<t<4时，设与422222SAS＝ACD)CD＝∠CDG，＝CD，∴△ACD≌△GCD(，∴∠t－AC＝t－22，MG＝t.42－∵AD＝DG，∠ADC为等腰∴△°－45°＝45°.MFG°－∠GCD＝＝∠ACD＋∠GCD＝∠GCD＝45°，∴∠ACM90°.∴∠G＝90901221cos×4×2－×CM直角三角形．∴FG＝MG·45°＝S(42＝－t)·4S－t.∴S＝－S－＝×FMGCMJ△△△ACG222232111222－8.∴S＝2t＋·×－FG×FG＝4－(t4－22)－(4－t)＝－tCM422221?2?）（0<t≤22t41?2，22)的最大值为2时，S×(2＝范围内，当②在0<t≤22t2＝43?2?.（）22<t<48＋－t42t－2488888832s时，2 >2，∴当t＝∵的最大值为时，2，当2)＝－S2在22<t<4范围内，(t－＋t＝S.33433338.S的最大值为3．。
2020年中考数学必考考点 专题34 动态问题(含解析)
专题34 动态问题专题知识回顾一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。
3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。
4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。
二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型：1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
中考数学动态问题选择题 含答案
中考数学动态问题1. 如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥上EF ,EF 交CD 于点F ．设BE =x ,FC =y ，则点 E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）考点：动点问题的函数图象．分析：易证△ABE ∽△ECF ，根据相似比得出函数表达式，在判断图像. 解答：因为△ABE ∽△ECF ，则BE ：CF =AB ：EC ，即x ：y =5：（4－x ）y ，整理，得y =－（x －2）2+，很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线．对应A 选项． 故选：A ．点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．2.如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点（ ）经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是A ．B ．C ．D .考点：平行四边形的性质，函数图象．51 5454分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．解答：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．故选：A．3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．解答：解：①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S=16﹣×（t﹣4）×（t﹣4）=t2，即S=﹣t2+4t+8．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选：D．4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B．C．D．考点：动点问题的函数图象．.分析：将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．解答：解：动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s ≤4时，动点P 在线段AP 上运动，此时y =2保持不变． 结合函数图象，只有D 选项符合要求． 故选D ．5. 已知：在△ABC 中，BC =10，BC 边上的高h =5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）第1题图A ．B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象．分析： 判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式，然后得到大致图象选择即可．解答： 解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴=，∴EF =•10=10﹣2x ，∴S =（10﹣2x ）•x =﹣x 2+5x =﹣（x ﹣）2+，∴S 与x 的关系式为S =﹣（x ﹣）2+（0＜x ＜10），纵观各选项，只有D 选项图象符合．故选D．6. 如图，AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B，运动时间为t，△ABP的面积为S，则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）第2题图A．B．C． D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据点P到AB的距离变化，利用三角形的面积分析解答即可．解答：解：点P在弧AB上运动时，随着时间t的增大，点P到AB的距离先变大，当到达弧AB的中点时，最大，然后逐渐变小，直至到达点B时为0，并且点P到AB的距离的变化不是直线变化，∵AB的长度等于半圆的直径，∴△ABP的面积为S与t的变化情况相同，纵观各选项，只有C选项图象符合．故选C．7．如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象分析：该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=B D．①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故选：D．8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．9. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象．分析： 根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．解答： 解：①t ≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y =×1×=，②当1＜x ≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x ，高为，y =（2﹣x ）×=x ﹣x +，③当x ≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0， 故选：B ．10．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP =x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）ABC ．D分析：分点Q 在AC 上和BC 上两种情况进行讨论即可． 解：当点Q 在AC 上时，∵∠A =30°，AP =x ，∴PQ =xtan 30°=∴y =×AP ×PQ =×x ×=x 2；当点Q 在BC 上时，如图所示：∵AP =x ，AB =16，∠A =30°，∴BP =16﹣x ，∠B =60°， ∴PQ =BP •tan 60°=（16﹣x ）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 故选：B ．11.如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A． B ． C ．D ．考点： 动点问题的函数图象． 专题： 数形结合．分析：分类讨论：当0＜x ≤1时，根据正方形的面积公式得到y =x 2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故选A．。
中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)
中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤122．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣6）B．（1，﹣4）C．（1，﹣6）D．（﹣3，﹣4）3．下列函数中是二次函数的为（）A．y=3x﹣1B．y=3x2﹣1C．y=（x+1）2﹣x2D．y=x3+2x﹣34．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )A．－3 B．1C．5D．86．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞17．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a 和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC = DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径9．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线 y =−12x 2+32x +2 与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C ．若点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，当 △BCP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(32，258)C ．(1，3)D ．(3，2)12．已知点A （0，2），B （2，0），点C 在y=x 2的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有( ) A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上在第一象限的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，已知直线y=﹣34 x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12 x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34 x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．15．已知抛德物线y＝14x2 +1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（√2，3），P是抛物线y＝14x2 +1上一个动点，则△PMF周长的最小值是．16．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是。
中考数学动态型试题
中考数学动态型试题动态几何问题是近几年各地中测试题常见的压轴试题,它能考查学生的多种水平,有较强的选拔功能.例1在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠===. 现有动点P 从点A 出发, 沿射线AB 向点B 方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线CB 也向点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点Q 的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:〔1〕几秒钟以后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半?〔2〕这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？分析：此题是动态几何知识问题,此类题型一般利用几何关系关系式列出方程求解. 解：(1) 设t 秒后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半, 那么2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ⨯--⋅=⨯⨯⨯,化简, 得214240t t -+=,解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意; (2) 当2t =时, 12,16,BQ BP ==在PBQ ∆中,作/QQ BP ⊥于/Q ,在/Rt QQ B ∆和/RtQQ P ∆中, //6QQ BQ ==, 所以/10,PQ PQ == 当12t =时, 18,24,BQ BP == 同理可求得11PQ = 1P1QB/Q PQ A C说明：此题考查了用一元二次方程、三角函数等有关知识进行几何图形的面积计算方法.练习一1、如图,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的⊿ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t (s),当t=0s时,半圆O在⊿ABC的左侧,OC=8cm.〔1〕当t为何值时,⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？〔2〕当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠局部,求重叠局部的面积.2、,如图(甲),正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点,P 是线段MC 上的一个动点, P 不运动到M 和C,以AB 为直径做⊙O,过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F,切点为E.〔1〕求四边形CDFP 的周长；〔2〕试探索P 在线段MC 上运动时,求AF ·BP 的值；〔3〕延长DC 、FP 相交于点G,连结OE 并延长交直线DC 于H(如图乙),是否存在点P, 使△EFO ∽△EHG?如果存在,试求此时的BP 的长;如果不存在,请说明理由.3、如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是BA 延长线上一点,CD 切⊙O 于D 点,弦DE ∥CB,Q 是AB 上一动点,CA=1,CD 是⊙O 半径的3倍. (1)求⊙O 的半径R.(2)当Q 从A 向B 运动的过程中,图中阴影局部的面积是否发生变化,假设发生变化,请你说明理由；假设不发生变化,请你求出阴影局部的面积.4、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠C ＝90°,BC ＝16,DC ＝12,AD ＝21.动点P 从点D 出Q E D O C B A发,沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动.设运动的时间为t 〔秒〕.〔1〕设△BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式；〔2〕当t 为何值时,以B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？〔3〕当线段PQ 与线段AB 相交于点O,且2AO ＝OB 时,求∠BQP 的正切值；〔4〕是否存在时刻t,使得PQ ⊥BD ？假设存在,求出t 的值；假设不存在,请说明理由.QP DCBA5、如图,在边长为2个单位长度的正方形ABCD 中,点O 、E 分别是AD 、AB 的中点,点F 是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点,点P 是上的动点,连结OP,并延长交直线BC于点K.〔1〕当点P从点E 沿运动到点F时,点K运动了多少个单位长度？〔2〕过点P 作所在圆的切线,当该切线不与BC平行时,设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G.①当K与B重合时,BG∶BM的值是多少？②在点P运动的过程中,是否存在BG∶BM＝3的情况？你假设认为存在,请求出BK的值；你假设认为不存在,试说明其中的理由.一般地,是否存在BG∶BM＝n〔n为正整数〕的情况？试提出你的猜测〔不要求证实〕.例2如图,在矩形ABCD中,AB＝6米,BC＝8米,动点P以2米/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发,沿CB 向点B 移动,设P 、Q 两点移动t 秒〔0<t<5〕后,四边形ABQP 的面积为S 米2.〔1〕求面积S 与时间t 的关系式；〔2〕在P 、Q 两点移动的过程中,四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？假设能,求出此时点P 的位置；假设不能,请说明理由.分析：此题是一个动态几何问题,也是一个数形结合的典型问题,综合性较强.解：〔1〕过点P 作(1) 设t 秒后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半, 那么2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ⨯--⋅=⨯⨯⨯,化简, 得214240t t -+=,解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意;(2) 当2t =时, 12,16,BQ BP == 在PBQ ∆中, 作/QQ BP ⊥于/Q ,在/Rt QQ B ∆和/Rt QQ P ∆中, //6QQ BQ ==,所以/10,PQ PQ ==当12t =时, 18,24,BQ BP == 同理可求得11PQ =说明：此题考查的知识点较多,考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理,一元二次方程及一元二次方程及根的判别式.练习二 1、〕如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B ＝90º,AB＝12cm,BC ＝8cm,DC ＝13cm,动点P 沿A →D →C 线路以2cm/秒的速度向C 运动,动点Q 沿B →C 线路以1cm/秒的速度向C 运动.P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发,当其中一点到达C 点时,另一点也随之停止.设运动时间为t 秒,△PQB 的面积为ym 2.〔1〕求AD 的长及t 的取值范围；〔2〕当1.5≤t ≤t 0(t 0为〔1〕中t 的最大值)时,求y 关于t 的函数关系式；〔3〕请具体描述：在动点P 、Q 的运动过程中,△PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律. 2、如图,在Rt △ABC 中,AB ＝BC ＝CA ＝4cm,AD ⊥BC 于D,点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发,其中点P 沿BC 向终点C 运动,速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s). ⑴求x 为何值时,PQ ⊥AC ；⑵设△PQD 的面积为y(cm 2),当0＜x ＜2时,求y 与x 的函数关系式； ⑶当0＜x ＜2时,求证：AD 平分△PQD 的面积；⑷探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系.请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)3、如图,在平行四边形ABCD 中,AD=4 cm,∠A=60°,BD ⊥AD. 一动点P 从A 出发,以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动,过点P 作直线PM,使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E,求△APE 的面积；(2) 当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动,且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动,在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN,使QN ∥D AB C Q OPPM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .①求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值.4、：如图,△ABC中,∠C＝90°,AC＝3厘米,CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时,P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒,设点P运动时间为t〔秒〕．〔1〕当时间t为何值时,以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积〔图中的阴影局部〕等于2厘米2；〔2〕当点P 、Q 运动时,阴影局部的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影局部面积为S 〔厘米2〕,求出S 与时间t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围；〔3〕点P 、Q 在运动的过程中,阴影局部面积S 有最大值吗？假设有,请求出最大值；假设没有,请说明理由．5、如图1,Rt △PMN 中,∠P ＝90°,PM ＝PN,MN ＝8cm,矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm,C 点和M 点重合,BC 和MN 在一条直线上.令Rt △PMN 不动,矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动〔如图2〕,直到C 点与N 点重合为止.设移动x 秒后,矩形ABCD 与△PMN 重叠局部的面积为y 2cm .求y 与x 之间的函数关系式.CBAP Q水平练习1、如图,在平面直角坐标系内,点A 〔0,6〕、点B 〔8,0〕,动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时,△APQ 的面积为524个平方单位？xB2、：如下图,直线l 的解析式为343-=x y ,并且与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B. （1） 求A 、B 两点的坐标. （2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆,以0.4个单位／每秒的速度向x 轴正方向运动,问什么时刻该圆与直线l 相切； （3） 在题〔2〕中,假设在圆开始运动的同时,一动点P 从B 点出发,沿BA 方向以0.5个单位／秒的速度运动,问在整个运动的过程中,点P 在动圆的园面〔圆上和圆的内部〕上一共运动了多出时间？3、二次函数的图象如下图.⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；⑵假设点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM 上运动时〔点N不与点B,点M重合〕,设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形？假设存在,求出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在,请说明理由；⑷将△OAC补成矩形,使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标〔不需要计算过程〕.4、如图,直线y = 2x(即直线1l )和直线421+-=x y (即直线2l ),2l 与x 轴相交于点A.点P 从原点O 出发,向x 轴的正方向作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时点Q 从A 点出发,向x 轴的负方向作匀速运动,速度为每秒2个单位.设运动了t 秒.(1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示).(2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线,与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图16).①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否相切？假设能,求出t 值；假设不能,说明理由.②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中央、Q 为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？假设能,求出t 值；假设不能,说明理由.5、如图,直角坐标系内的梯形AOBC〔O为原点〕,AC∥OB,OC⊥BC,AC,OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根,且S△AOC：S△BOC=1：5.〔1〕填空：0C=________,k=________；〔2〕求经过O,C,B三点的抛物线的另一个交点为D,动点P,Q分别从O,D同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中点P沿OB由O→B运动,点Q沿DC由D→C运动,过点Q作QM⊥CD交BC于点M,连结PM,设动点运动时间为t秒,请你探索：当t为何值时,△PMB是直角三角形.6．抛物线y=-x2-2kx+3k2〔k>0〕交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB 为直径的⊙E交y轴于点D、F(如图),且DF=4,G 是劣弧AD上的动点(不与点A、D重合),直线CG交x轴于点P.(1)求抛物线的解析式;(2)当直线 CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值.(3)当直线CG是⊙E的割线时,作GM⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM=u,求u关于t的函数关系式.7、如图,矩形ABCD 的边长AB=2,BC=3,点P 是AD 边上的一动点〔P 异于A 、D 〕,Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ,过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E,作PF ∥AQ 交DQ 于F.〔1〕求证：△APE ∽△ADQ ；〔2〕设AP 的长为x,试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式,并求当P 在何处时,S △PEF 取得最大值？最大值为多少？〔3〕当Q 在何处时,△ADQ 的周长最小？〔须给出确定Q 在何处的过程或方法,不必给出证实〕A B C DPE FQ8、如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A〔18,0〕,B〔18,6〕,C 〔8,6〕,四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.⑴求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式.⑵试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标.⑶设从出发起,运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.⑷设从出发起,运动了t秒.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两局部,如有可能,请求出t的值；如不可能,请说明理由.答案： 练习一 1、Ot=1s t= 4s 重叠部面积为9πcmDEEt=7s t=16s 重叠局部面积为〔93+6π〕cm22、〔1〕∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°,∴AF、BP都是⊙O的切线,又∵PF是⊙O的切线∴FE=FA,PE=PB∴四边形CDFP的周长为：AD+DC+CB=2×3=6(2 ) 连结OE,PF是⊙O的切线∴OE⊥PF.在 Rt△AOF和Rt△EOF中,∵AO=EO,OF=OF∴Rt△AOF≌Rt△EOF ∴∠AOF=∠EOF,同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP=12⨯180°=90°,∠FOP=90°即OF⊥OP,∴AF·BP=EF·PE=O E2=1(3 )存在.∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB·0tan603=、3.4、解〔1〕如图3,过点P作PM⊥BC,垂足为M,那么四边形PDCM为矩形.∴PM＝DC＝12 ∵QB＝16－t,∴S＝12×12×(16－t)＝96－t〔2〕由图可知：CM＝PD＝2t,CQ＝t.以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况：ABDP图3①假设PQ ＝BQ.在Rt △PMQ 中,22212PQ t =+, 由PQ 2＝BQ 2 得 22212(16)t t +=-,解得t ＝72； ②假设BP ＝BQ.在Rt △PMB 中,222(162)12BP t =-+.由BP 2＝BQ 2得：222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=.由于Δ＝－704＜0∴23321440t t -+=无解,∴PB ≠BQ③假设PB ＝PQ.由PB 2＝PQ 2,得222212(162)12t t +=-+整理,得23642560t t -+=.解得1216163t t ==，〔不合题意,舍去〕 综合上面的讨论可知：当t ＝71623t =秒或秒时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形.〔3〕如图4,由△OAP ∽△OBQ,得12AP AO BQ OB == ∵AP ＝2t －21,BQ ＝16－t,∴2(2t －21)＝16－t.∴t ＝585. 过点Q 作QE ⊥AD,垂足为E, ∵PD ＝2t,ED ＝QC ＝t,∴PE ＝t.在RT △PEQ 中,tan ∠QPE ＝123029QE PE t ==〔4〕设存在时刻t,使得PQ ⊥BD.如图5, 过点Q 作QE ⊥ADS,垂足为E. 由Rt △BDC ∽Rt △QPE,得DC PE BC EQ =,即121612t=.解得t ＝9 所以,当t ＝9秒时,PQ ⊥BD.5、〔1〕如图1,连结OE 、OF 并延长分别交直线BC 于N 、Q.当点P 从点E 运动到点F 时,点K 从点N 运动到了点Q.P AEDCQBO 图5P A E DCQBO图4∵O、E分别为AD、AB的中点,∠A=90°,∴∠AOE=45°.过点O作OT⊥BC于T,那么∠OTN=90°,又∵ABCD是正方形,∴OT⊥AD,∠NOT=45°. ∴△OTN是等腰直角三角形,OT=NT=2.同理,TQ=2.∴NQ=4,即点K运动了4个单位长度. 〔2〕①如图2,当K与B重合时,∵MG与EF所在的圆相切于点P,∴OB⊥MG, ∴∠2+∠3=90°.∵∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2.∴Rt△BAO～Rt△GMB.∴221 BG BABM OA===②存在BG：BM=3的情况,分析如下：如图3,假定存在这样的点P,使得BG：BM=3过K作KH⊥OA于H,那么,四边形ABKH为矩形,即有KH=AB=2∵MG与EF所在的圆相切于点P,∴OK⊥MG于P. ∴∠4+∠5=90°又∵∠G+∠5=90°,∴∠4=∠G.又∵∠OHK=∠GBM=90°,∴△OHK～△MBG.∴13 OH BMHK BG==.∴OH= 21,33AH BK==,∴存在这样的点K,使得BG：BM=3.∴在点P运动的过程中,存在BG：BM=3的情况.同样的,可以证实：在线段BC、CD及CB的延长线上,存在这样的点K'、M''、G'使得1,3Ck CG''=：3CM''=.连结G M'''交AB于点M'那么BG'：BM'=CG'：CM''=3, 此时BK'=BC15233K C'=-=∴BK的值为1533或由此可以猜测,存在BG：BM=n〔n为正整数〕的情况.练习二 1、〔1〕在梯形ABCD 中,AD ∥BC 、∠B ＝90º过D 作DE ⊥BC 于E 点 ∴AB ∥DE∴四边形ABED 为矩形,DE ＝AB ＝12cm在Rt △DEC 中,DE ＝12cm,DC ＝13cm ∴EC ＝5cm∴AD ＝BE ＝BC ＝EC ＝3cm 点P 从出发到点C 共需3＋132 ＝8〔秒〕点Q 从出发到点C 共需81 ＝8〔秒〕又∵t ≥0 ∴o≤t ≤8〔2〕当t ＝1.5〔秒〕时,AP=3,即P 运动到D 点 ∴当1.5≤t ≤8时,点P 在DC 边上 ∴PC ＝16－2t,过点P 作PM ⊥BC 于M∴PM ∥DE,∴PC DC ＝PM DE 即16－2t 13 ＝PM 12 ,∴PM ＝1213(16－2t)又∵BQ ＝t,∴y ＝12 BQ ·PM ＝12 t ·1213 (16－2t)＝－1213 t2＋9613 t(3)当0≤t ≤1.5时,△PQB 的面积随着t 的增大而增大；当1.5<t ≤4时,△PQB 的面积随着t 的增大而〔继续〕增大； 当4<t ≤8时,△PQB 的面积随着t 的增大而减小.2、⑴∵当Q 在AB 上时,显然PQ 不垂直于AC.当,由题意得：BP ＝x,CQ ＝2x,PC ＝4－x,∴AB ＝BC ＝CA ＝4,∠C ＝600,假设PQ ⊥AC,那么有∠QPC ＝300,∴PC ＝2CQ∴4－x ＝2×2x,∴x ＝45,∴当x ＝45(Q 在AC 上)时,PQ ⊥AC ；⑵当0＜x ＜2时,P 在BD 上,Q 在AC 上,过点Q 作QH ⊥BC 于H,∵∠C ＝600,QC ＝2x,∴QH ＝QC ×sin600＝3x∵AB ＝AC,AD ⊥BC,∴BD ＝CD ＝12BC ＝2∴DP ＝2－x,∴y ＝12 PD ·QH ＝12 (2－x)·3x ＝－32x 2＋3x⑶当0＜x ＜2时,在Rt △QHC 中,QC ＝2x,∠C ＝600,∴HC ＝x,∴BP ＝HC ∵BD ＝CD,∴DP ＝DH,∵AD ⊥BC,QH ⊥BC,∴AD ∥QH, ∴OP ＝OQ∴S △PDO ＝S △DQO ,∴AD 平分△PQD 的面积；⑷显然,不存在x 的值,使得以PQ 为直径的圆与AC 相离当x ＝45或165时,以PQ 为直径的圆与AC 相切.当0≤x ＜45或45＜x ＜165或165＜x ≤4时,以PQ 为直径的圆与AC 相交.3、 (1) 当点P 运动2秒时,AP=2 cm,由∠A=60°,知.∴ S ΔAPE =23.(2) ① 当0≤t ≤6时,点P 与点Q 都在AB 上运动,设PM 与AD 交于点G,QN 与AD 交于点F,那么AQ=t,AF=2t ,QF=t 23,AP=t+2,AG=1+2t ,PG=t 233+. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S=2323+t .当6≤t ≤8时,点P 在BC 上运动,点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G,QN 与AD 交于点F, 那么AQ=t,AF=2t ,DF=4-2t ,QF=t 23,BP=t-6,CP=10-t,PG=3)10(t -, 而BD=34,故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为 S=3343108352-+-t t . 当8≤t ≤10时,点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G,QN 与DC 交于点F,那么3)10(t -. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S=31503302332+-t t . 故S 关于t的函数关系式为22(06)(68)(810)t S t t ≤≤⎪⎪⎪=+-≤≤⎨-+≤≤⎪⎩②(附加题)当0≤t ≤6时,S 的最大值为237； 当6≤t ≤8时,S 的最大值为36； 当8≤t ≤10时,S 的最大值为36； 所以当t=8时,S 有最大值为36 .4、〔1〕S △PCQ ＝12PC ·CQ ＝1(3)22t t -⋅＝(3)t t -＝2,解得 1t ＝1,2t ＝2 ∴当时间t 为1秒或2秒时,S △PCQ ＝2厘米2；〔2〕①当0＜t ≤2时,S ＝23t t -+＝23924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；②当2＜t ≤3时, S ＝2418655t t -+＝249395420t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；③当3＜t ≤4.5时,S ＝232742555t t -+-＝23915524t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；Q PA B CH A B C Q P H A BCQ P〔3〕有；①在0＜t ≤2时,当t ＝32,S 有最大值,S 1＝94； ②在2＜t ≤3时,当t ＝3,S 有最大值,S 2＝125；③在3＜t ≤4.5时,当t ＝92,S 有最大值,S 3＝154；∵S 1＜S 2＜S 3 ∴t ＝92时,S 有最大值,S 最大值＝154．5、在Rt △PMN 中,∵PM ＝PN,∠P ＝90°, ∴∠PMN ＝∠PNM ＝45°,延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H,过点G 作GF ⊥MN 于F,过点H 作HT ⊥MN 于T, ∵DC ＝2cm,∴MF ＝GF ＝2cm,TN ＝HT ＝2cm, ∵MN ＝8cm,∴MT ＝6cm,因此,矩形ABCD 以每秒1cm 的速度由开始向右移动到停止,和Rt △PMN 重叠局部的形状可分为以下三种情况：〔1〕当C 点由M 点运动到F 点的过程中〔02x ≤≤,如图①所示,设CD 与PM 交于点E,那么重叠局部图形是Rt △MCE,且MC ＝EC ＝x,∴21122y MC EC x ==〔02x ≤≤〕 〔2〕当C 点由F 点运动到T 点的过程中〔26x <≤〕,如图②所示,重叠局部是直角梯形MCDG, ∵MC ＝x,MF ＝2,∴FC ＝DG ＝x －2,且DC ＝2,∴1222y MC GD DC x =+=-（）〔26x <≤〕；〔3〕当C 点由T 点运动到N 点的过程中〔68x <≤〕,如图③所示,设CD 与PN 交于点Q,那么重叠局部是五边形MCQHG,∵MC ＝x,∴CN ＝CQ ＝8－x,且DC ＝2, ∴21118)12222y MN GH DC CN CQ x =+-=-+（）（〔68x <≤〕.水平练习 1、解：〔１〕设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b 由题意,得 b ＝68k ＋b ＝0 解得 k ＝－43b ＝6 所以,直线AB 的解析式为y ＝－43x ＋6． 〔２〕由 AO ＝6, BO ＝8 得 AB ＝10 所以AP ＝t ,AQ ＝10－2t1° 当∠APQ ＝∠AOB 时,△APQ ∽△AOB ．所以6t ＝10210t - 解得 t ＝1130(秒) 2° 当∠AQP ＝∠AOB 时,△AQP ∽△AOB ． 所以10t ＝6210t - 解得 t ＝1350(秒) 〔３〕过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt △AOB 中,Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54在Rt △AEQ 中,QE ＝AQ·Sin∠BAO ＝(10-2t )·54＝8－58t 所以,S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·(8－58t) ＝－254t ＋4t ＝524解得t ＝2〔秒〕或t ＝3〔秒〕．2、〔1〕在343-=x y 中,令x=0,得y= -3；令y ＝0,得x ＝4,故得A 、B 两的坐标为A 〔4,0〕,B 〔0,-3〕〔2〕假设动圆的圆心在C 处时与直线l 相切,设切点为D,如下图.连接CD,那么CD ⊥AD由∠CAD=∠BAO,∠CDA=∠BOA=Rt ∠,可知Rt △ACD ∽Rt △ABOyxOPQABE y xOP QAByxOP Q AB∴,AB AC BO CD =即531AC =,那么AC ＝35此时OC ＝6354.037,37354=÷===-v s t 〔秒〕 根据对称性,圆C 还可能在直线l 的右侧,与直线l 相切,此时OC ＝317354=+6854.0317=÷==v s t 〔秒〕答：〔略〕 〔3〕〔3〕设在t 秒,动圆的圆心在F 点处,动点在P 处,此时OF=0.4t,BP=0.5t,F 点的坐标为〔0.4t,0〕,连接PF,∵,545.04.0==t t PF OF 又54=BA OA ,∴BA OABP OF =, ∴FP ∥OB,∴PF ⊥OA∴P 点的横坐标为0.4t,又∵P 点在直线AB 上, ∴P 点的纵坐标为0.3t -3,可见：当PF ＝1时,P 点在动圆上,当0≤PF ＜1时,P 点在动圆内 当P ＝1时,由对称性可知,有两种情况：①当P 点在x 轴下方时,PF ＝-(0.3t -3)=1,解之得：320=t②当P 点在x 轴上方时,PF ＝0.3t -3=1,解之得：340=t∴当时340320≤≤t 时,0≤PF ≤1,此时点P 在动圆的圆面上,所经过的时间为320320340=-,答：动点在动圆的圆面上共经过了320秒.3、解：〔1〕设抛物线的解析式()()12,y a x x =+-()212.1a a -=⨯⨯-∴=,22,y x x ∴=-- 其顶点M 的坐标是19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； 〔2〕设线段BM 所在的直线的解析式为,y kx b =+点N 的坐标为N (),,t h那么9102,42k b k b =+-=+解它们组成的方程组得3, 3.2k b ==- 所以线段BM 所在的直线的解析式为333.3,22y x h t =-∴=-其中11122.12232223t s t t ⎛⎫<<∴=⨯⨯++- ⎪⎝⎭231 1.42t t =-+ ∴s 与t 间的函数关系为231142s t t =-+,自变量的取值围12;2t << (3)存在符合条件的点P,且坐标是125735,,,2424p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设点P 的坐标为P (),m n ,那么()22222.1,n m m PA m n =--=++ PC 2=()2222, 5.m n AC ++=分以下几种情况讨论：〔ⅰ〕假设90,ABC ∠=那么PC 2=PA 2+AC 2.可得22,n m m =--()()2222215m n m n ++=+++,解之得125,12m m ==-〔舍去〕.所以点157,24p ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔ⅱ〕假设222290,,2PAC PA PC AC n m m ∠==+∴=--则()()222212 5.m n m n ++=+++解得：343,02m m ==〔舍去〕.所以点235,24p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.〔ⅲ〕由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,PA>AC,不可能直角所以边AC的对角APC4、5、6、(1)解方程 －x 2 －2kx + 3k 2 = 0.得x 1=－3k,x 2=k由题意知OA = |－3k | = 3k,OB = |k| = k.∵直径AB ⊥DF. ∴OD=OF=21DF= 2 . ∵OF OD OB OA ⋅=⋅, ∴3k ·k = 2×2,得k = ±332(负的舍去). 那么所求的抛物线的解析式为43342+--=x x y . (2)由(1)可知AO=32,AB=338,EG=334,OC=3k 2 = 4. 连结EG,∵CG 切⊙E 于G,∴∠PGE=∠POC=90°,∴Rt △PGE ∽Rt △POC.∴33==CO EG PO PG .(﹡) 由切割线定理得)338(2+=⋅=PA PA PB PA PG . PO = PA+AO = PA +32.代入(﹡)式整理得PA 2 + 32PA －6 = 0. 解得PA = 3－3(∵PA ＞0).∴tan ∠PCO=433+=+OC AO PA ∴GN ∥CF,∴△PGH ∽△PCO, ∴POPH CO GH =. 同理PO PH OF HM =.∴OFHM CO GH =. ∵CO = 4,OF = 2,∴HM =21GH =21HN = MN, ∴GM=3MN,即u = 3t(0＜t ≤332)7、〔1〕证∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD.〔2〕注意到△APE ∽△ADQ 与△PDE ∽△ADQ,及S △PEF =PEQF S 平行四边形21, 得S △PEF =x x +-231=4323312+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x . ∴当23=x , 即P 是AD 的中点时,S △PEF 取得最大值43. 〔3〕作A 关于直线BC 的对称点A ′,连DA ′交BC 于Q,那么这个点Q 就是使△ADQ 周长最小的点,此时Q 是BC 的中点.8、⑴∵O 、C 两点的坐标分别为O ()0,0,C ()6,8设OC 的解析式为b kx y +=,将两点坐标代入得：43=k ,0=b ,∴x y 43= ∵A,O 是x 轴上两点,故可设抛物线的解析式为()()180--=x x a y 再将C ()6,8代入得：403-=a ∴x x y 20274032+-= ⑵D ()6,10⑶当Q 在OC 上运动时,可设Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 43,, 依题意有：()222243t m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴t m 58=,∴Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 56,58,()50≤≤t 当Q 在CB 上时,Q 点所走过的路程为t 2,∵OC ＝10,∴CQ ＝102-t∴Q 点的横坐标为228102-=+-t t ,∴Q ()6,22-t ,()105≤<t⑷∵梯形OABC 的周长为44,当Q 点OC 上时,P 运动的路程为t ,那么Q 运动的路程为()t -22△OPQ 中,OP 边上的高为：()()532221,5322⨯-=⨯-∆t t t OPQ S 梯形OABC 的面积＝()846101821=⨯+, 依题意有：()2184532221⨯=⨯-t t 整理得：0140222=+-t t∵△＝01404222<⨯-,∴这样的t 不存在当Q 在BC 上时,Q 走过的路程为t -22,∴CQ 的长为：t t -=--121022∴梯形OCQP 的面积＝()t t +--⨯1022621＝36≠84×21 ∴这样的t 值不存在综上所述,不存在这样的t 值,使得P,Q 两点同时平分梯形的周长和面积。
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一、选择题1．（2018北京延庆区初三统一练习）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为t （秒），其中0180t ≤≤，到A 边距离为y （米），图中的实 线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断： ①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次；其中正确的是A ．①②B ．①③C.③④D ．②④ 答案：D2．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，等腰ABC ∆中，AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合)，且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，BMD ∆和CNE ∆的面积之和A ．保持不变B ．先变小后变大C ．先变大后变小D ．一直变大答案：B3.（2018北京通州区一模）答案C4．（2018北京丰台区一模）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm 的A ，B两点同时开始沿线段AB 运动，运动过程中甲光斑与点A 的距离S 1(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B 的距离S 2(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s ，且两图象中△P 1O 1Q 1≌△P 2Q 2O 2．下列叙述正确的是（A ）甲光斑从点A 到点B的运动速度是从点B 到点A 的运动速度的4倍 （B ）乙光斑从点A 到B 的运动速度小于1.5cm/s （C ）甲乙两光斑全程的平均速度一样 （D ）甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次答案C图2图3图15. （2018北京市大兴区检测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A 运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是答案B6.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点P是AB边上一动点（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APDE，设AP=x，正方形APDE与△ABC重合部分（阴影部分）的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是答案C7、（2018北京石景山区第一学期期末）如图，点M 为□ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与□ABCD 的另一边 交于点N ．当点M 从A →B 匀速运动时，设点M 的 运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反 映S 与t 函数关系的图象是答案：C8、（2018北京通州区第一学期期末）如图，在ABC Rt △中，︒=∠90A ，4==AC AB .点E 为ABC Rt △边上一点，以每秒1单位的速度从点C 出发，沿着B A C →→的路径运动到点B 为止.连接CE ，以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，⊙C 与线段BC 交于点D .设扇形DCE 面积为S ，点E 的运动时间为.则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S 关于运动时间的变化趋势的是（）答案：A9、（2018北京怀柔区第一学期期末）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N.动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为A.从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB.从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC.从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND.从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB答案：C二、填空题10、（2018北京顺义区初三练习）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．答案：3， 18 ； 三、解答题11、（2018北京丰台区初一第一学期期末）如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16.（1）数轴上点B 表示的数为；（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''D C B A ，移动后的正方形''''D C B A 与原正方形ABCD 重叠部分的面积记为S. ①当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A 表示的数；②设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段'AA 的中点，点F 在线段'BB 上，且B B BF '=41. 经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值.备用图解：（1）–5；……1分（2）∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4.①当S=4时，若正方形ABCD 向左平移，如图1，……2分重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3. 则点A ＇表示–1–3= – 4.……3分 若正方形ABCD 向右平移，如图2，……4分重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3. 则点A ＇表示–1+3= 2.……5分∴点A ＇表示的数为– 4或2.图1 图2②t =4.……6分12、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）如图1，在数轴上A ，B 两点对应的数分别是6, -6，90DCE ∠=︒（C 与O 重合，D 点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF 平分ACE ∠，则AOF ∠=_________;（2）如图2，将DCE ∠沿数轴的正半轴向右平移t (0<t <3)个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转30t 度，作CF 平分ACE ∠，此时记DCF α∠=.①当t =1时，=α_______;②猜想BCE ∠和α的数量关系，并证明;（3）如图3，开始111D C E ∠与DCE ∠重合，将DCE ∠沿数轴的正半轴向右平移t (0<t <3)个单位，再绕点顶点C 逆时针旋转30t 度，作CF 平分ACE ∠，此时记DCF α∠=，与此同时，将111D C E ∠沿数轴的负半轴向左平移t (0<t <3)个单位，再绕点顶点1C 顺时针旋转30t 度，作11C F 平分11AC E ∠，记111D C F β∠=，若α与β满足20αβ-=︒，请直接写出t 的值为_________.解：（1）45︒；……………………..１分（2）①当t =1时，α=____30︒_____……………………..２分②猜想：=2BCE α∠证明：90DCE DCF α∠=︒∠=Q ，90ECF DCE DCF α∴∠=∠-∠=︒-∵CF 平分ACE ∠ 9090902ACF ECF ACD ACF DCF αααα∴∠=∠=︒-∴∠=∠-∠=︒--=︒-∵点A ，O ，B 共线 180AOB ∴∠=︒18090(902)2BCE AOB DCE ACDαα∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒-=……………………..５分（3）23t =.……………………..７分 说明：1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数； 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
图1图2图3113.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x cm，DE=y cm（当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3y/cm 2 3. 68 3.84 3.65 3.13 2.70 2（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．解：本题答案不唯一，如：（1）x/cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3y/cm 2 3.68 3.84 4.00 3.65 3.13 2.70 2…………………………………………………………………………………………………1分（2）…………………………………………………………………………………………………4分ECAHFE DC B（3）3.5．…………………………………………………………………………………………6分14.（2018北京怀柔区一模）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．解：(1)如图…………………………………………………………………………………………1分(2)∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE .…………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC,∴△ABD ≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt △ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt △AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分15．（2018北京石景山区初三毕业考试）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：0m ≠）2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围． 解:（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G 的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =，∴=45ABD ∠︒. ∴BD AD ==. ∴点B 的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，2可得3m =-.∴抛物线2G的表达式为23y x =+，即223y x x =++ ………………… 5分②m <<-. … 7分21中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．解：（1）依题意12-=-b，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分17（2018北京东城第一学期期末）如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC=B为圆心，P 为e B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使点P '落在直线BC的上方，且满足:P C PC '=BP ，AP '．（1）求∠BAC 的度数，并证明△AP C '∽△BPC ； （2）若点P 在AB 上时，①在图2中画出△AP’C ； ②连接BP '，求BP '的长；图1 图2（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP '取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．备用图解：（1）Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC= ∴tan ∠． ∴∠BAC =60°． ∵P C PC '⊥， ∴90P CP '∠=︒． ∵∠ACB =90°， ∴P CA '∠=∠PCB ．∵AC =2，BC=:P C PC '= ∴AC ：BC =:P C PC '．∴△P CA '∽△PCB ．………………………………2分（2）①作图如下：②Rt △ABC 中，AC =2，BC= ∴AB =4，∠PBC=30°． ∵△P CA '∽△PCB ，∴∠P AC '=∠PBC=30°，:AP PB '= ∵P∴∴1AP '=． ∵∠BAC =60°， ∴∠P AB '=90°．Rt △P AB '中，AP '=1，AB =4，∴BP '=………………………………5分 （3）当BP '最大时∠PBC=120°；当BP '最小时∠PBC=60°．………………………………7分 （当A ，B ，P '共线时，BP '取到最大值和最小值，如下图所示）18、（2018北京房山区第一学期检测）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，CD ⊥AB 于D ，P 是线段CD 上一个动点，以P 为直角顶点向下作等腰Rt △BPE ，连结AE ，DE . （1）∠BAE 的度数是否为定值？若是，求出∠BAE 的度数；若不是，说明理由； （2）直接写出DE 的最小值.19、（2018北京丰台区第一学期期末）如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB =4cm ，AD =2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …3.7（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．答案：（1）04x≤<；.……1分（2）3.8，4.0；……3分（3）如图……4分（4）0或2. ……6分20、（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，在△ABC中，90ABC∠=︒，40C∠=°，点D是线段BC上D CBA EF的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm，设BD为x cm，B D'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：1.7（2（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为__________cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是_____________．答案：（1）0.9. ………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7，………………4分≤≤. ………………6分x00.9121、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．答案：22. （2018北京昌平区初二年级期末）在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =45º，CD 是△ABC 的高，P 是线段AC （不包括端点A ，C ）上一动点，以DP 为一腰，D 为直角顶点（D 、P 、E 三点逆时针）作等腰直角△DPE ，连接AE .（1）如图1，点P 在运动过程中，∠EAD =，写出PC 和AE 的数量关系； （2）如图2，连接BE . 如果AB =4，CP，求出此时BE 的长．解：(1)45°；PC =AE . ………………………………………………………………… 2分CBAEPD图2图1D PEABC(2)如图2，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°.∵∠BAC =45°,∴AD =DC .∵△DEP 是等腰直角三角形，∠EDP =90°,∴∠DEP =∠DPE =45°，DE =DP .∵∠EDP =∠ADC =90°，∴∠EDP -∠ADP =∠ADC -∠ADP .∴∠EDA =∠PDC .∴△EDA ≌△PDC.(SAS ) ………………………………… 4分∴45AE PC EAD ACD ==∠=∠=︒. …………………………………5分 过点E 作EF ⊥AB 于F .∴在Rt △AEF 中，利用勾股定理，可得EF = A F = 1. ………………………6分 ∵AB =4，∴BF =AB -AF =3.∴BE ==. ………………………………7分F C B A E P D 图2。