知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.

2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.

3．会应用三角函数的定义解决相关问题．

【要点梳理】

要点一：三角函数定义

设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ,

则r =: (1)

y r

做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=； (2) x r 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r

α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：

（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.

我们只需计算点到原点的距离r =

那么sin α=

,cos α=,tan y x

α=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．

要点二：三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 要点诠释：

口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．

要点三：单位圆中的三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边

(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.

要点诠释：

三条有向线段的位置：

正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；

余弦线在x 轴上；

正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；

三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.

【典型例题】

类型一：三角函数的定义

例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值．

【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-，34-或35-，45，34

-

【解析】 5||r a =

=． 若a ＞0，则r =5a ，α是第二象限角，则

33sin 55

y a r a α=

==， 44cos 55

x a r a α-===-， 33tan 44

y a x a α===--， 若a ＜0，则r =－5a ，α是第四象限角，则

3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-． 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．

举一反三：

【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值．

1212

-

【解析】因为角α的终边在直线y 上，

所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．

则2||r a ==（a ≠0）．

若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以

sin 22a α=

=， 1cos 22

a a α==，

tan a

α==．

若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α=

=--，1cos 22a a α=-=-，

tan α==． 类型二：三角函数的符号

例2．判断下列各三角函数值的符号

（1）17tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭

；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°． 【答案】（1）正（2）正（3）正 【解析】（1）因为177466πππ-

=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17tan 06π⎛⎫-> ⎪⎝⎭

． （2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0．

∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0．

∴tan120°·sin269°＞0．

（3）∵191°是第三象限的角，

∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0．

举一反三：

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】

【变式1】确定下列各三角函数值的符号.

（1）sin 532︒；（2）23cos 12π

；（3）11tan 3π-⎛⎫ ⎪⎝⎭

；（4）sin 3.1； （5）tan 7； （6）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.

【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负

【变式2】（1）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；

（2）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号；

（3）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？

【答案】（1）负（2）负（3）四

【解析】（1）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角．当α是第二象