洛必达法则在高考解答题中的应用

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

一．洛必达法则：

法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a

g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；

(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；

(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；

(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

○

1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．

○2洛必达法则可处理00，∞

∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞

，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．

○

4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解

1. 函数2()1x f x e x ax =---．

（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．

2. 已知函数x

b x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>+-，求k 的取值范围．

3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,

0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数x

x x f cos 2sin )(+=。 （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）如果对0≥∀x ，都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围．

5. 设函数()1x f x e -=-．

（Ⅰ）证明：当1->x 时，()1x f x x ≥

+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤

+，求实数a 的取值范围． 6.已知函数2)1()(ax e x x f x --=。

（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．

总结：通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的问题应满足：

1． 能够分离变量；

2． 用导数能够确定分离变量后另一侧所得新函数的单调性；

3． 出现“

00”、“ ∞∞”型式子。