平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中面积的求法姓名： 家长签字：1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。
2、在平面直角坐标系中，A （-5，0）、B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标。
3、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求点P 的坐标。
4、已知，点A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4）（1）求△ABC 的面积；（2）设P 为x 轴上一点，若12APC PBC SS =，试求点P 的坐标。
5、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，-1）、B （-1，4）、C （-3，1），（1）求△ABC 的面积；（2）将△ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB 扫过的面积。
6、在直角坐标系中，A （-4，0）、B （2，0）、点C 在y 轴正半轴上，18ABC S=， （1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12APC ABC SS =。
若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。
7、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。
（1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12APB ABDC S S =四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。
8、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。
以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。
（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
平面直角坐标系三角形面积万能公式
平面直角坐标系三角形面积万能公式在平面直角坐标系中，我们常常会遇到三角形这个家伙。
说实话，三角形就像个小明星，形状简单，却又能带来不少麻烦。
你知道吗？三角形的面积其实可以通过一个万能公式轻松搞定，那就是“面积等于底乘以高再除以二”。
简单吧？但是，咱们今天要聊的可不仅仅是公式本身，更是如何在实际生活中用好它。
想象一下，你和朋友在公园里画一个三角形，底边就是你们在草地上放的毯子，高度嘛，就是你们之间的距离。
想一想，这样一来，草地的面积就显现出来了，简直像打开了新世界的大门。
当你开始深入探讨这个公式时，哇，真是惊喜不断。
公式简单易懂，但实际运用却能让你刮目相看。
比如说，想象你在家里画画，画了个三角形的房子，底边是五米，高度是三米。
根据公式，面积就是五乘三再除以二，也就是七点五平方米。
嘿，这时候你可能会想，“这面积还不够我放一个沙发。
”没问题，咱们再想办法调整一下底和高。
人生就像调配三角形面积，灵活应对，总能找到满意的方案。
生活中，我们常常会遇到各种三角形的情况。
比如说，你在搭建一个花坛，想设计成一个三角形，这个时候就得考虑面积了。
用万能公式一算，哇，心中有数，做事也就心里有底。
这个时候，底和高就成了你设计的基石。
你可以随意发挥，改变底边的长度，调整高度，最终得到的面积总是让人满意的。
像是做饭，想做什么菜，得先知道材料够不够。
就这样，生活中的每一件事，都可以用这个简单的公式来解决，绝对是一剂良方。
碰到不规则的三角形也别慌。
可以把它拆分成几个规则的三角形，再分别计算它们的面积，最后加起来就是你想要的结果。
这就像解谜，分步进行，最后拼凑出完美的答案。
就像生活中遇到的困难，有时需要把问题拆解开，逐个击破，才能找到解决之道。
记得有次朋友说他家的阳台要改造，形状不规则，他一开始愁眉苦脸，后来我给他讲了拆分的方法，结果他兴奋得像小孩子一样，感觉找到了新大陆。
在学校里，老师也常常用这个公式来教学生。
三角形的面积是个基础知识，打好基础，才能后续学习更复杂的内容。
向量叉积求平面直角坐标系三角形面积
向量叉积求平面直角坐标系三角形面
积
在平面直角坐标系中，可以使用向量叉积来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别是$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，则可以将两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示为：
$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$
然后计算两个向量的叉积：
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1) (x_3-x_1)|$
这个叉积的结果就是三角形的面积的两倍。
因此，三角形的面积可以表示为：
$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}| (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|$
这个公式可以用于计算任意平面上的三角形面积，不仅限于直角坐标系。
需要注意的是，如果三角形的三个顶点共线，那么它的面积为0。
已知三角形三顶点坐标求三角形面积
已知三角形三顶点坐标求三角形面积三角形是初中数学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过已知三角形三个顶点的坐标来求解三角形的面积。
我们需要确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
接下来，我们可以利用向量的方法来求解三角形的面积。
我们可以将向量AB和向量AC表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以通过向量的叉积来求解三角形的面积。
向量的叉积公式为：AB × AC = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和向量AC的模长，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
由于我们已知向量AB和向量AC的坐标，因此可以通过向量的叉积公式来求解三角形的面积。
具体计算过程如下：AB × AC = (x2 - x1, y2 - y1) × (x3 - x1, y3 - y1)= (x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)因此，三角形的面积为：S = 1/2 × |AB × AC| = 1/2 × |(x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)|通过这个公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
需要注意的是，如果三角形的面积为负数，则表示三个点不在同一条直线上，否则三个点在同一条直线上。
通过向量的叉积公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
这个方法不仅简单易懂，而且计算精度高，是求解三角形面积的常用方法之一。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
在平面直角坐标系中,求三角形面积的求法
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。
下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。
方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。
设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。
行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。
方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。
首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。
根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。
总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。
三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。
因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。
总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。
无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。
三角形的面积公式及其推导
三角形的面积公式及其推导
三角形是几何中常见的形状之一，具有广泛的应用。
在计算三角形
面积时，我们可以使用面积公式，并通过推导来理解其原理。
面积公式：对于已知底和高的三角形，其面积可以通过底乘以高的
一半来计算。
即：
面积 = （底 ×高）/ 2
推导过程如下：
假设三角形的底为b，高为h。
首先，将三角形放置在一个平面直角坐标系中，使得底边与x轴平行。
此时，可以将顶点坐标表示为（0，0），底边的两个顶点坐标分
别表示为（b，0）和（c，h）。
现在，我们可以将底所在的直线表示为y = 0，而高所在的直线表示为x = h。
由此可知，高线与底线围成的区域正好是三角形的面积。
接下来，我们需要计算高线与底线之间的面积。
因为这个区域是一
个矩形，其面积可以通过计算矩形的高和宽的乘积来获得。
在这种情
况下，矩形的宽为b，高为h。
所以，这个矩形的面积为bh。
然而，这个矩形的面积并不等于三角形的面积，因为矩形的高线超
出了三角形的顶点（c，h）。
因此，我们需要计算矩形的面积的一半，即（bh）/ 2。
最后，我们得到三角形的面积公式：
面积 = （底 ×高）/ 2 = （b × h）/ 2
这就是三角形面积公式的推导过程。
总结：
三角形的面积公式是通过底和高的关系推导得出的，可以很方便地计算任意三角形的面积。
在实际应用中，通过该公式可以快速求解三角形的面积，从而实现各种几何计算和设计。
掌握三角形面积公式的推导过程，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关概念。
初中数学人教八年级下册(2023年新编)第十九章 一次函数平面直角坐标系中三角形面积求法
例如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y =34x 与直线l2：y=3x−9相交于点A，直线l2交y轴负半轴与点B．(1)求点A坐标；(2)在x轴上取一点C(10,0)，求△ABC面积．解：（1）联立{y=34x y=3x−9∴{x=4y=3即A(4,3)（2）对于y=3x−9令x=0∴y=0−9=−9∴B(0,−9)法一：如图：D(0,3), E(10,3),F(10,−9)∴S△ABC=S四边形BDEF−S△ABD-S△ACE−S△BCF=12×10−12×12×4-12×6×3−12×10×9=120−24−9−45 =42D EF法二：如图：D(0,3), E(10,3)∴S△ABC=S梯形BDEC−S△ABD-S△ACE=12×(3+12)×10−12×12×4-12×6×3−12×10×9=75−24−9=42法三：如图：E(10,3), F(10,−9)∴S△ABC=S梯形ABFE−S△BCF-S△ACE=12×(6+10)×12−12×10×9-12×6×3=96−45−9=42D EEF法四：如图：F(10,−9)对于y=3x−9令x=10∴y=3×10−9=21∴E(10,21)∴S△ABC=S△BFE-S△ACE−S△BCF=12×10×30−12×21×6-12×10×9=150−63−45 =42EF法五：如图：过点C作CE⊥x轴,交直线l2于点E 对于y=3x−9令x=10∴y=3×10−9=21∴E(10,21)∴S△ABC=S△BCE-S△ACE=12×21×10−12×21×6=105−63=42法六：如图：延长CA交y轴于点D 方法六：补成靠轴三角形∵A(4,3),C(10,0)∴直线AC：y=−12x+5令x=0∴y=0+5=5E∴D(0,5)∴S△ABC=S△BCD-S△ABD=12×14×10−12×14×4=70−28=42法七：如图：对于y=3x−9令y=0∴3x−9=0∴x=3即D(3,0)S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×7×3+12×7×9=10.5+31.5 =42EDD法八：如图：过点A作AD⊥x轴,交BC于点D ∵B(0,−9),C(10,0)∴直线BC：y=910x−9令x=4∴y=910×4−9=−275∴D(4,−275)∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12×425×4+12×425×6=845+1265=42D法九：如图：过点A作AD⊥x轴,交BC于点D ∵B(0,−9),C(10,0)∴直线BC：y=910x−9令x=4∴y=910×4−9=−275∴D(4,−275)∴S△ABC=12×425×10=42D法十：如图：令直线l2与x轴交于点D 对于y=3x−9令y=0∴3x−9=0∴x=3即D(3,0)∴S △ABC =12×7×12=42D法十一：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0) 直线l 2：y =3x −9∴S △ABC =12AB ·CD=12×√(4−0)2+[3−(−9)]2·|3×10−0−9|√32+(−1)2 =2√10·21√10=42法十二：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0)∴AB=√(4−0)2+[3−(−9)]2=4√10AC=√(4−10)2+(3−0)2=3√5BC=√(10−0)2+[0−(−9)]2=√181由海伦公司可知S△ABC=√p(p−AB)(p−AC)(P−BC)=42（p为三角形ABC半周长）法十三：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0)∴S△ABC=12(|430−9|+|0−9100|+|10043|)=12×(−36+90+30) =42。
三角形面积公式平面直角坐标系
三角形面积公式平面直角坐标系好的，以下是为您生成的文章：咱今儿就来唠唠三角形面积公式和平面直角坐标系这俩玩意儿。
先说说三角形面积公式吧。
这可是数学里挺重要的一块知识呢！你看哈，三角形面积公式 S = 1/2 ×底 ×高。
这就好比咱盖房子，底就是房子的地基长度，高就是房子的高度，面积就是房子能占多大地方。
我想起之前给学生讲这部分知识的时候，有个小家伙特别逗。
那天上课，我在黑板上画了个三角形，问大家怎么求它的面积。
这小家伙把手举得高高的，我就让他回答。
他站起来特别自信地说：“老师，我觉得三角形面积就是三条边加起来除以 3！”全班同学哄堂大笑。
我就耐心地给他解释，还带着他一起做了几道题，最后他可算是搞明白了。
再来讲讲平面直角坐标系。
这东西就像是给每个点都安了个“家”，有了坐标，就能准确找到它们的位置。
比如说（3，5）这个坐标，就表示在横轴上走 3 个单位，纵轴上走 5 个单位的那个点。
有一次，我带学生们做了个小游戏。
我在教室里的地上画了一个超大的平面直角坐标系，然后给每个同学发一个小卡片，上面写着一个坐标。
让他们根据自己的坐标找到在坐标系中的位置。
同学们可积极了，到处跑着找自己的“地盘”，那场面热闹极了。
三角形面积公式和平直坐标系在生活中的用处也不少。
比如说，咱要给家里铺个三角形的地毯，就得用面积公式算算需要多少布料。
还有导航里的定位，不就是靠平面直角坐标系的原理嘛。
学数学呀，可别觉得枯燥，其实这里面的乐趣多着呢。
就像三角形面积公式和平直坐标系，看似简单的知识，却能解决好多实际问题。
只要咱认真学，多琢磨，就能发现数学的美。
反正我觉得，不管是三角形面积公式还是平面直角坐标系，都是咱数学世界里的宝贝。
掌握好了它们，就像手里有了厉害的工具，能解决好多难题，让咱在数学的海洋里畅游得更畅快！所以同学们，加油学吧，未来还有更多有趣的数学知识等着咱去探索呢！。
三角形在平面直角坐标系中的面积公式
三角形在平面直角坐标系中的面积公式1. 三角形的魅力说到三角形，大家可能会想，这小东西有什么好说的？但其实，三角形在我们生活中可真是随处可见，像一块披萨，一片蛋糕，甚至是你最爱的屋顶形状。
想象一下，坐在家里的阳台，喝着冰镇饮料，看着三角形的屋顶，心里是不是美滋滋的？可别小看这几条边，它们可是数学的超级明星。
今天我们就来聊聊三角形在平面直角坐标系中的面积公式，绝对让你感叹“原来如此”！2. 面积公式的来历2.1 从基础开始首先，大家得知道，三角形的面积公式其实是个简单的公式：( S = frac{1{2 times 底 times 高 )。
这个公式就像煮方便面一样简单，底和高的乘积，再除以二，哎呀，方便得很！不过，想要在坐标系中找到这两个值，那可得动动脑筋。
2.2 坐标系中的三角形在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点可以是任意的坐标，比如说 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
为了计算面积，我们得想办法找到底和高。
底可以是任意两点之间的距离，而高则是从第三个点到底边的垂直距离。
听起来复杂，其实就是在玩一场拼图游戏，找对了位置，面积自然就出来了。
3. 用公式计算面积3.1 计算过程来，咱们用一个公式吧，面积 S 的计算可以用如下公式来表达：。
S = frac{1{2 | x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) | 。
看，数学的魅力在于它的简洁和优雅！你只需要把点的坐标代进去，算一算，就能得到最终的面积。
感觉就像是在做一场魔术，把数据变成美丽的数字。
3.2 举个例子假如我们有三角形的顶点 A(1, 2)，B(4, 6)，C(5, 1)，让我们来计算一下面积。
把这些坐标代入上面的公式，算一算：。
S = frac{1{2 | 1(6 1) + 4(1 2) + 5(2 6) | 。
经过一番计算，我们就能知道这个三角形的面积是多少，简直就像是找到了隐藏在沙滩里的贝壳，特别有成就感！4. 实际应用4.1 生活中的应用那么，三角形的面积公式到底有什么用呢？实际上，它在建筑、设计、甚至在我们的日常生活中都大有用处。
三角形面积公式坐标形式
三角形面积公式坐标形式在我们学习数学的过程中，三角形可是个“常客”。
今天咱们就来好好聊聊三角形面积公式的坐标形式，这可是个很有趣的知识呢！大家都知道，普通的三角形面积公式是“底乘以高除以2”。
那坐标形式又是啥样的呢？咱们慢慢道来。
想象一下，在一个平面直角坐标系里，有三个点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃)，这三个点构成了一个三角形。
那这个三角形的面积就可以用一个特别的公式来计算啦。
这个公式是：S = 1/2 |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ - x₂y₁ - x₃y₂ -x₁y₃)| 。
看起来有点复杂是不是？但咱们慢慢拆解一下，其实也没那么难。
我记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这一堆字母和数字，怎么就能算出三角形的面积呢？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来探索一下这个神奇的公式。
”咱们先来看一下这个公式里的每一项。
x₁y₂、x₂y₃、x₃y₁等等，其实就是把三个点的坐标交叉相乘再相加。
然后再减去另外一些交叉相乘的和。
那为什么要这样做呢？这就好比我们在拼图，把不同的部分组合起来，就能得到完整的答案。
为了让同学们更好地理解，我在黑板上画了一个具体的三角形，标上了坐标。
然后一步一步地带着大家计算。
同学们逐渐明白了其中的道理，眼睛里都闪着亮光，那种恍然大悟的表情，让我觉得特别有成就感。
再来说说这个公式的用处。
在解决一些几何问题的时候，特别是当我们只知道三角形顶点的坐标，而不方便直接求出底和高的时候，这个公式就派上大用场啦。
比如说，有一道题给出了三个点的坐标分别是 A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)，让我们求这个三角形的面积。
我们就可以直接把坐标代入公式：S = 1/2 |(1×4 + 3×6 + 5×2 - 3×2 - 5×4 - 1×6)| ，经过计算，就能得出面积啦。
三角形面积公式坐标系
三角形面积公式坐标系一、三角形面积公式在平面直角坐标系中的相关知识。
1. 已知三角形三个顶点坐标求面积。
- 设三角形三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。
- 三角形面积公式为S = (1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
- 推导过程：- 我们可以通过向量的叉积来推导这个公式。
向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。
- 两个向量叉积的模|→AB×→AC|=|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|。
- 而三角形面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|，经过展开化简就可以得到S =(1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
2. 特殊情况。
- 当三角形有一边平行于坐标轴时：- 例如，若AB边平行于x轴（即y_1 = y_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| y_3 - y_1|，其中| AB|=| x_2 - x_1|。
- 若AB边平行于y轴（即x_1 = x_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| x_3 - x_1|，其中| AB|=| y_2 - y_1|。
3. 应用示例。
- 例：已知三角形三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,1)，求三角形面积。
- 解：根据公式S=(1)/(2)<=ft|1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)right|- 先计算式子内部的值：1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)=1×3+3×(- 1)+5×(-2)=3 - 3 - 10=-10。
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平面直角坐标系中三角形面积的求法
13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1.
(1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2),那么线段MN的长为多少?
(2)如果y轴上有两点P(0,y1),Q(0,y2)(y1<y2),那么线段PQ的长为多少?
一、有一边在坐标轴上
例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求三角形ABC的面积？
二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.
三、三边均不与坐标轴平行
例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB的面积.
22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）.
（1）得到的是什么图形？
（2）求该图形的面积.
四．不规则四边形的面积求法
如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。
确定这个四边形的面积，你是怎么做的/。