高等数学课件D1211常数项级数讲义资料

性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n 1
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
n
n 1
n
证: 令Sn uk , 则 n cuk cSn,
k 1
k 1
nl im n cnl im Sn cS
这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n
n (uk vk) Snn S(n )
k1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S.
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n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
必发散 . (用反证法可证)
ln 32ln 4] [ n 1 l ) l n n n 1 ) 2 l ( n ] ( n
ln2ln n 1 () lnln1 (1 n)ln2
lim Snln2,故原级数收敛 , 其和为 ln2.
n
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二、无穷级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2 n(n 0 ,1 ,2 , )边形, 设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .
即 A a 0 a 1 a 2 a n
n 1
n 1
的部分和为
n
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
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例3. 解:
判别级数
ln1
n2
1 n2
的敛散性 .
ln1n12
ln
n2 1 n2
ln n 1 ) ( ln n 1 ) ( 2 ln n
Snkn2ln1k12
[3 l n l1 n 2 l2 n ] [4 l n l2 n 2 l3 n ][ln5
n1
但若二级数都发散 , (un vn ) 不一定发散.
n1
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1, 皆发散.
而 unvn0收敛.
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 u n 的前 k 项去掉, 所得新级数 u k n
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a 1a
q q
n
当q
1时， 由于 limqn0,
n
从而 limSn
n
1aq
因此级数收敛
,
其和为1
a
q
;
当q
1时,由于 limqn,从而
n
nl im Sn,
因此级数发散 .
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定义：给定一个数列 u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
它也有收敛的问题
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项。
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
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表示函数 研究性质 数值计算
第一节
数项级数
第十二章
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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lnn(1) (n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “分项抵消” 求 和
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( 2)
1.
n1 n(n1)
Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1nn11
1 1 1 (n ） n录 上页 下页 返回 结束
2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 ) n 1 a
因此 S n
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 。
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例2. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l 1 l ) ( n 3 n l 2 l ) n n l n 1 ) n l n n
n 1
若nl im Sn不存,在 则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然
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limrn 0
n
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
级数的前 n 项和
通项
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
k 1
称为级数的部分和；{Sn}n1 称为级数的部分和序列。
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若ln imSn S存在
则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S u n u 1 u 2 u 3 u n