14、勾股定理、逆定理及证明

勾股定理、逆定理及证明

一、勾股定理

二、勾股定理逆定理

三、勾股定理的证明

1、勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

2、常见证法如下：

（1）方法一：△正方形正方形S S S EFGH ABCD 4+=，

即)2

1(4)(2

2

ab a b c ⨯+-=化简可证．

（2）方法二：△

正方形正方形S S S EFGH ABCD 4+=即)2

1(4)(2

2

ab c b a ⨯+=+化简可证.

直角三角形两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2

+b 2

＝c 2

.

如果三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2

+b 2

＝c 2

，

那么这个三角形是直角三角形.

（3）方法三：AEB

BCE ADE ABCD S S S S △△△梯形++=即

2

21212

1))((21

c ab ab b a b a ++=++

化简可证.

真题精炼

一、勾股定理及逆定理

1、（16-17学年二十九中期中）如图，以直角三角形一边向外作正方形，

其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A 的边长为______．

2、（16-17学年致远期中）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，分别以AC 、AB 为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，

若25921==S S ，，则=BC ______．3、（16-17学年玄武区期中）如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，点B 在EF 上，12414021==S S ，，EB 的长为______．

4、（16-17学年树人期中）如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则b 的面积为_______.

5、（16-17学年玄武区期中）如图，△ABC 中，∠ABC =45°，AC =10，对

折使点B 与点A 重合，折痕与BC 交于点D ，BD ：DC =4：3，则DC 的长为（）．

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

6、（16-17学年秦淮区期中）如图，在△ABC 中，∠C=90°，已知a+b=14，ab=48，则c=______.

7、（15-16学年鼓楼区期中）已知直角三角形斜边长为10cm ，周长为22cm ，则此直角三角形的面积为

．

8、（16-17学年南外期中）如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，则2

)(b a =______．

9、（16-17学年秦淮区期中）如图，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，AC=10，BD=8，则MN 为（）

A.3

B .4

C .5

D .6

10、（16-17学年汇文期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）．

A ．2，3，4

B ．3，4，6

C ．5，12，13

D ．3，4，7

11、（2016年南京中考）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）

A 、3、4、4

B 、3、4、5

C 、3、4、6

D 、3、4、7

12、（15-16学年秦淮区期中）一块钢板的形状如图所示，已知AB =12cm ，BC =13cm ，CD =4cm ，AD =3cm ，∠ADC =90°，则这块钢板的面积是______cm 2.

13、（17-18学年建邺区期末）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（

）

A B C

D

6

88

6

8

6

810

6

8

12

6

14、（16-17学年二十九中期中）如图，在四边形ABCD 中，已知AB =AD =2，BC =3，CD =1，

90A ∠=︒．

（1）求2

BD ．

（2）求ADC ∠．

15、（15-16学年鼓楼区期中）如图，将边长为a 与b 、对角线长为c 的长方形纸片ABCD ，绕点C 顺时针旋转90°得到长方形EFCG ，连接AE ．通过用不同方法计算梯形ABGE 的面积可验证

勾股定理，请你写出验证的过程．

A B C G

E F

D

a a

b b c

c

16、

（16-17学年致远期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来推导明222a b c +=．请你写出推导过程．

17、（16-17学年汇文期中）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，E 为AC 上一点，

且AE BC =，过点A 作AD CA ⊥，垂足为A ，且AD AC =，AB 、DE 交于点F ．（1）判断线段AB 与DE 的数量关系和位置关系，并说明理由．

（2）连接BD 、BE ．若设BC a =，AC b =，AB c =，请利用四边形ADBE 的面积证明勾股定理．