《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)

第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
§ 13-1
ma F FN F FN ma 0
令 有
惯性力· 质点的达朗贝尔原理 FI
m
FN
FI ma
惯性力
F
F FN FI 0
ma
－－质点的达朗贝尔原理
作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形 式上组成平衡力系.
解 : FI ma
a M IO J J R
M
B
0 mgl2 FI l2 Pl3 M IO FA l1 l2 0

Fy 0 FA FB mg P FI 0
FA mgl2 Pl3 a J ml 2 l1 l2 l1 l2 R
例13-6 已知：均质圆盘 m1 , R, 纯滚动.均质杆 l 2 R, m2 . 求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B
解:
刚好离开地面时,地面约束力为零.
研究 AB 杆
M 0 m aR sin 30 m gR cos 30 0 A 2 2
a 3g
M IC 0
M IC J C
M IC J C
aC
FIR
M IC
C

例13-3 已知:如图所示均质杆的质量为m ,长为l ,绕定轴O 转动的角 速度为 ,角加速度为 . 求:惯性力系向点Ｏ 简化的结果(方向在图上画出).
解:
l F m 2
t IO
n FIO
l 2 F m 2
惯性力系向质心简化. 只简化为一个力
M IC 0
FIR maC
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等 于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向反向。
2.刚体定轴转动
z
y
ri
O
i
xi yi
t FIi n FIi
O
zi
yi
xi
n FIi
y
x
t Ii
t FIi
1 2 a 研究整体 FIA m1a, M IA m1 R 2 R M D 0 FR FIA R MIA FIC R sin 30 m2 gR cos30 0
F
x
0 F Fs m1 m2 a 0
3 3 F m1 m2 3 g Fs m1 g 2 2
M IO
FIR
O

C
思考：
1.刚体匀速转动，转轴不通过质心。
FIR maC
作用点在转轴上。
2.转轴通过质心，但 0 。
M IO J O
3.刚体作匀速转动，且转轴通过质心。
FIR 0 , M IO 0
3.刚体作平面运动（平行于质量对称面）
向质心简化 随同质心平移运动 绕质心转动
n IO
t FIO
n aC
M IO
t aC
1 2 M IO ml 3
思考：向质心C简化结果如何？
例13-4 已知:如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O 处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e , 图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定 水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时, 转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度 转动. 求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
v FT l sin 2 2.1m/s m
mg FT 1.96 N cos
应用静力学写平衡方程的方法求解动力学问题，这 种方法称为动静法。
§ 13-2
质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
－－质点系的达朗贝尔原理
质点系中每个质点上作用的主动力,约束力和惯性力在 形式上组成平衡力系. 记
M Ix mi ri cosi zi (mi ri sin i zi )
2
MIx m i x i z i2 m i y i z i
J yz m i y iz
Jxz m i x iz
i
i
xi yi cos i , sin i ri ri
§ 13-3
刚体惯性力系的简化
方法：向一点简化。 e F F 主矢： IR i mi ai maC
aC aC
FIi
１.刚体平移
惯性力系向点O 简化.
iC ri rC
O
M IO ri FIi ri (mi aC ) ( mi ri ) aC mrC aC
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2

1 20 9.8 3160N 1680N 2
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
aC 0
必有
J xz J yz 0
称满足
J xz J yz 0
的轴z为惯性主轴
通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴 因此,避免出现轴承动约束力的条件是: 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴. 静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体除重力外，没有受 到其他主动力作用，则刚体在任意位置可以静止不动。 动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动 不出现动约束力。
t i
x
n Ii n i

2
F mi a mi ri
F mi a mi ri
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
FB
mgl1 Pl1 l2 l3 a J ml 1 l1 l2 l1 l2 R
静约束力 附加约束力为
a J a J FA ml1 ml2 FB l1 l2 R l1 l2 R
解:
FI1 m1a, FI 2 m2 a
FIit mi r mi a ,
2 v FIin mi r
M
由
O
0,
m1g m1a m2 g m2ar mi ar 0
i
m ar m ar mar
i
解得
m1 m2 a g m1 m2 m
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB


1 M y FRxOA M Iy FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
FBz FRz
由 F , M 引起的轴承约束力称动约束力 IR IO
动约束力为零的条件为: FIx FIy 0, 即: FIx maCx 0 FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
M Ix M Iy 0
解:
FI me
2
F
x
0, Fx FI sin 0
0, Fy (m1 m2 ) g FI cos 0
A
F
因
y
M
0, M m2 ge sin FI h sin 0
t , 得
Fy m1 m2 g m2e 2 cos t
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
M IO M Ix i M Iy j M iz k
如果刚体有质量对称面且 该面与转动轴垂直,简化中心取 此平面与转轴的交点,则
ri
t FIi
O
zi
yi
xi
n FIi
y
x

aCຫໍສະໝຸດ Baidu
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
M IO M Iz J z
F
z
0 FBz FR z 0
0 FB y OB FA y OA M x M I x 0 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
M M
x
y
解得
1 M y FRxOB M Iy FIxOB FAx AB
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
Fx m2e 2 sin t
M m2 ge sin t m2 e h sin t
2
例13-5 已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一 起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质 量为m的重物,其它尺寸如图. 求：支座A，B受到的附加约束力.
－－对于z 轴的惯性积.
O
y
i
xi yi
M Ix J xz J yz
同理
2
x
2
M Iy J yz J xz
t FIi
n FIi
M
t n M F M F ri z I i z I i mi ri Iz z mi ri 2 J z