课件-概率论中的条件期望与停时
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条件分布与条件期望ppt课件
P{ y Y y dy}
P{x X x dx | y Y y dy}
13
pX|Y ( x | y)dx P{x X x dx | y Y y dy} 换句话说，对很小的dx和 dy，pX|Y ( x | y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值 于x和x+dx之间的条件概率.
解: 由例3.2.2 有X+Y~P(1+ 2).
注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立． P(X k | X Y n) P(X k, X Y n) P(X Y n) P( X k,Y n k) P(X Y n)
9
k
1 e1
4
一、离散型r.v的条件分布 形式实下际的上重变是复类量第.似Y一的定章条义讲件在过概X的率=x条函i 条件数件概. 下率，概随念机在另一种
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固 定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi ,Y P(Y y
j)
y),
( X ,Y )为离散 ( X ,Y )为连续
其中P(X = xi | Y = y)为在给定Y = y下X的条件分布列， p(x | y)为在Y=y下X的条件密度函数．
注意：条件期望E(X | y)与(无条件)期望E(X)的不同含义
27
例:若X表示中国人的年收入，则 注意:条件期望E(X|y)与 E(X)表示: 中国人的平均年收入. (无条件)期望E(X)的不同含义.
),
2 2
(1
P{x X x dx | y Y y dy}
13
pX|Y ( x | y)dx P{x X x dx | y Y y dy} 换句话说，对很小的dx和 dy，pX|Y ( x | y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值 于x和x+dx之间的条件概率.
解: 由例3.2.2 有X+Y~P(1+ 2).
注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立． P(X k | X Y n) P(X k, X Y n) P(X Y n) P( X k,Y n k) P(X Y n)
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k
1 e1
4
一、离散型r.v的条件分布 形式实下际的上重变是复类量第.似Y一的定章条义讲件在过概X的率=x条函i 条件数件概. 下率，概随念机在另一种
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固 定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi ,Y P(Y y
j)
y),
( X ,Y )为离散 ( X ,Y )为连续
其中P(X = xi | Y = y)为在给定Y = y下X的条件分布列， p(x | y)为在Y=y下X的条件密度函数．
注意：条件期望E(X | y)与(无条件)期望E(X)的不同含义
27
例:若X表示中国人的年收入，则 注意:条件期望E(X|y)与 E(X)表示: 中国人的平均年收入. (无条件)期望E(X)的不同含义.
),
2 2
(1
概率论与数理统计课件-条件概率
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
返回
下页頁
结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
课件-概率论中的条件期望与停时
X1,X2,...X,n
Because of this, we then can see that N is independent of all remaining values
Xm,mn
Discrete: Conditional Probability Mass Function
P Xx|YyPXx,Yy PYy
Continuous: Conditional Probability Density Function
fX | Y(x| y): f(x,y) fX(y)
3
Conditional Expectation
Xn1, Xn2,...
21
Independence
Summarizing the idea of stopping times with Random Variables we see that the decision made to stop the sequence at Random Variable N depends solely on the values of the sequence
Discrete: E X |Y y x X P x |Y y
x
Continuous: EX|Yy xXf| Y(x,y)dx
4
Note:
y E X |Y yis a function
of y. We write this as EX|Y
i.e. E X |Y y E X |Y y
Definition Application to Probability Applications of Stopping Times to other
formulas
Because of this, we then can see that N is independent of all remaining values
Xm,mn
Discrete: Conditional Probability Mass Function
P Xx|YyPXx,Yy PYy
Continuous: Conditional Probability Density Function
fX | Y(x| y): f(x,y) fX(y)
3
Conditional Expectation
Xn1, Xn2,...
21
Independence
Summarizing the idea of stopping times with Random Variables we see that the decision made to stop the sequence at Random Variable N depends solely on the values of the sequence
Discrete: E X |Y y x X P x |Y y
x
Continuous: EX|Yy xXf| Y(x,y)dx
4
Note:
y E X |Y yis a function
of y. We write this as EX|Y
i.e. E X |Y y E X |Y y
Definition Application to Probability Applications of Stopping Times to other
formulas
第三章 条件概率与条件期望
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,20Zhang ,2012
12
例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
13
例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
16
三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
《条件概率》课件
答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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结束
§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
《条件概率》课件
在机器学习中的应用
01
分类器设例如，朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一，它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中，条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如，基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中，条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如，Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词：直观理解
详细描述：通过抛硬币实验，理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的，那么正 面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下，下一次抛掷 仍然是正面朝上的概率仍然是0.5，即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的 两个重要公式，全概率公式用于计算一 个事件的概率，而贝叶斯公式则用于更 新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干 个互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式则 是在已知先验概率和新信息的情况下，更 新一个事件的概率。这两个公式在统计学 、机器学习和数据分析等领域有着广泛的 应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解 析：出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种，其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。
§3.5条件分布与条件期望
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, p( x , y ) = 0, 其 它.
已知条件概率密度
p( x , y ) p( x y ) = , pY ( y )
又知边际概率密度为
pY ( y ) =
∫
+∞ −∞
p( x , y ) d x
x −∞
p( u, y ) d u. pY ( y )
同理, 定义在 X = x 的 条件下 Y 的 条件概率 密度为
p( x, y ) p( y x ) = pX ( x )
⇔
p( x, y ) = pX ( x ) p( y x ).
称∫ p( y x )d y = ∫
−∞
y
x
−∞
p(u, y ) d u 在 X = x 的条件下, pY ( y)
(1) 求在Y = 1 的条件下,X 的条件分布列; (2) 求在 X = 0 的条件下, 的条件分布列. Y
解 由上述分布律的表格可得
P{ X = 0,Y = 1} 0.030 2 = = , P{ X = 0 Y = 1} = 0.045 3 P{Y = 1}
P{ X = 1,Y = 1} 0.010 2 P{ X = 1 Y = 1} = = = , P{Y = 1} 0.045 9
2 2 1 1− y dx = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1, ∫− 1− y 2 = π π 0, 其他 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
1π 1 , − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 − y2 , = p( x y) = (2 π ) 1 − y2 2 1 − y2 其他 . 0,
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
《条件概率》公开课教学PPT课件
04
条件概率在生活中的应用
医学诊断中的应用
01
02
03
疾病筛查
通过特定的检测手段，在 人群中识别出患病的高风 险个体。
诊断试验评估
利用条件概率评估诊断试 验的准确性，如灵敏度、 特异度等。
疾病预后评估
根据患者的病史、症状等 信息，预测疾病的发展趋 势和预后情况。
金融风险评估中的应用
信用评分
基于借款人的历史信用记 录和其他信息，评估其未 来违约的可能性。
条件概率在贝叶斯定理中作用
先验概率与后验概率
01
条件概率在贝叶斯定理中，用于计算先验概率和后验概率，即
根据已知信息更新某事件发生的概率。
因果关系分析
02
条件概率可以帮助分析事件之间的因果关系，进而推断出未知
事件的发生概率。
决策支持
03
通过条件概率的计算，可以为决策提供支持，例如在医疗诊断
、金融风险评估等领域。
03
条件概率计算方法
直接计算法
定义法
根据条件概率的定义，直接计算 事件A在事件B发生的条件下的概 率，即P(A|B) = P(AB) / P(B)。
示例
通过具体实例展示如何使用定义 法计算条件概率，如掷骰子、抽 球等。
乘法公式法
乘法公式
当事件A和事件B相互独立时，可以使用乘法公式计算它们的联合概率，即 P(AB) = P(A) * P(B)。
真相。
05
条件概率与贝叶斯定理关 系
贝叶斯定理简介及公式推导
贝叶斯定理定义
描述了两个条件概率之间的关系，即事件A在事件B已发生 的条件下的概率，以及事件B在事件A已发率的定义和全概率公式，推导出贝叶斯定理的 公式。
概率论教学课件第四章4.2随机变量的函数的数学期望
1
dx
1 xy 8xydy 4 .
0
x
9
补充例题3：设随机变量(X,Y)的概率密度为
3
f
(x,
y)
2
x3
y2
0 ,
,
(x,y) D
D
其他
Байду номын сангаас
(x,
y) |
1 x
y
x,
x
1
y
求
E
1 XY
.
1
x
解
E
1 XY
1 f (x, y) dxdy
xy
x3
1
dx
1 x
2x4 y3
6a, X a.
a,
8X 2a, X a,
6a, X a.
EY
g(x) f (x)dx
10
1
g(x) dx
5
5
a
(8x 2a)
1 dx
10 1 6a dx
5
4
a2
14a
5
20.
a
5
8x 2a, x a,
5
g(x)
6a, x a.
EY
g(x) f (x)dx
0
1
7. 6
例4.5 某超市销售某种商品,每月的需求量X (吨) U 5,10.
若售出1吨可获利润6万元,若积压1吨将亏损2万元,为使超市
所获平均利润最大,该超市每月应该提供多少吨货源?
解
X
f
(
x)
1 5
,
5
x
10,
0,其他.
设超市每月提供商品a(吨)时获得利润为Y万元,则
3.6 条件分布与条件期望--概率论课件
然后用X的分布对条件期望 E(Z|X=x) 再作一次平 均,即得
x
20
E ( Z ) E ( E{Z | X })
E ( Z | X x) pX ( x)dx E ( Z | X x) p X ( x)dx
10 20
30 1 20 2 (50 40 x x )dx 450dx 20 20 10
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
r x
2
2
— 这里 x 是常数，当X = x 时，
Y ~ U r 2 x2 , r 2 x2
条件数学期望
定义3.6.2 如果随机变量 ξ 在 ( η = y ) 发生的条 件下的条件密度函数为 pξ|η ( x | y ) , 若
则称
| x | p | ( x | y)dx
二维正态随机变量,试求条件概率密度 pξ|η( x | y ) 及 p η | ξ(y | x ) . 解:
x
20
E ( Z ) E ( E{Z | X })
E ( Z | X x) pX ( x)dx E ( Z | X x) p X ( x)dx
10 20
30 1 20 2 (50 40 x x )dx 450dx 20 20 10
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
r x
2
2
— 这里 x 是常数，当X = x 时，
Y ~ U r 2 x2 , r 2 x2
条件数学期望
定义3.6.2 如果随机变量 ξ 在 ( η = y ) 发生的条 件下的条件密度函数为 pξ|η ( x | y ) , 若
则称
| x | p | ( x | y)dx
二维正态随机变量,试求条件概率密度 pξ|η( x | y ) 及 p η | ξ(y | x ) . 解:
条件概率公开课ppt课件
THANKS
感谢观看
语言模型
在自然语言处理中，语言模型是非常重要的组成 部分，而贝叶斯定理可以在语言模型中发挥重要 作用，例如在n-gram模型中计算词的概率。
05
条件概率在统计学中地位和作用
条件概率在假设检验中作用
1 2 3
确定原假设和备择假设
基于条件概率，可以明确假设检验中的原假设和 备择假设，进而构建检验统计量。
相关性分析应用
相关性分析在信号处理中广泛应 用于噪声抑制、信号检测、模式 识别等领域。例如，在语音识别 中，通过对语音信号进行相关性 分析，可以提取出语音特征参数 用于识别不同的语音内容。
04
贝叶斯定理及其应用
贝叶斯定理基本形式
条件概率公式
$P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)$
相互独立的事件之间不具有相互影响，因此一个事件的发生 不会改变另一个事件的发生概率。但是需要注意的是，独立 事件和互斥事件是不同的概念，互斥事件不能同时发生，但 独立事件可以。
条件概率计算方法
条件概率的计算方法主要有两种：一种是利用条件概率的 定义直接计算，即P(A|B)=P(AB)/P(B)；另一种是利用全概 率公式进行计算，特别适用于事件B可以划分为多个互斥事 件的并集的情况。
。条件概率在泊松过程中用于描述在已知某个事件发生的情况下，其他
事件发生的概率。
03
布朗运动
布朗运动是一种连续时间的随机过程，用于描述微粒在液体或气体中的
无规则运动。条件概率在布朗运动中用于描述微粒在未来某个时刻的位
置分布。
03
多元随机变量条件概率
多元随机变量联合分布
联合分布函数定义
对于多元随机变量$(X_1, X_2, ..., X_n)$，其联合分布函数$F(x_1, x_2, ..., x_n)$描述了随 机变量取值小于等于$(x_1, x_2, ..., x_n)$的概率。
条件概率(公开课)课件
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
条件概率P(A|B)是非负 的，即P(A|B) ≥ 0。
归一性
在给定事件B发生的条 件下，事件A发生的概 率加上事件A不发生的 概率等于1，即P(A|B) + P(¬A|B) = 1。
总结词
应用场景
在使用全概率公式时，需要确保每个构成事件的概率 之和为1，即Σ P(Bi) = 1。
注意事项
全概率公式广泛应用于各种领域，如天气预报、市场 调查、交通规划等，用于分析多个因素对结果的影响 。
贝叶斯公式
总结词
贝叶斯公式用于在已知先验概率和条件概率的情 况下，计算后验概率。
应用场景
贝叶斯公式广泛应用于各个领域，如自然语言处 理、机器学习、统计学等，用于更新和调整事件 的概率估计。
01
深度学习是一种机器学习技 术，通过构建多层神经网络 来学习复杂数据的内在规律 和表示。条件概率在深度学 习中用于描述不同层之间的 连接关系和数据特征的依赖 性。
02
在深度神经网络中，条件概 率通常用于定义前一层的输 出作为下一层输入的条件。 这种条件概率关系使得网络 能够学习数据特征之间的依 赖性和层次结构。
注意事项
使用乘法规则时需要注意确保分母不为零，即事件B发生 的概率不能为零。
全概率公式
全概率公式用于计算复杂事件发生的概率，通过将其 分解为若干个简单事件的概率之和。
输入 标题
详细描述
全概率公式是将一个复杂事件A的概率表示为其构成 事件的概率之和，即P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中 Bi是构成事件A的各个基本事件。
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
条件概率P(A|B)是非负 的，即P(A|B) ≥ 0。
归一性
在给定事件B发生的条 件下，事件A发生的概 率加上事件A不发生的 概率等于1，即P(A|B) + P(¬A|B) = 1。
总结词
应用场景
在使用全概率公式时，需要确保每个构成事件的概率 之和为1，即Σ P(Bi) = 1。
注意事项
全概率公式广泛应用于各种领域，如天气预报、市场 调查、交通规划等，用于分析多个因素对结果的影响 。
贝叶斯公式
总结词
贝叶斯公式用于在已知先验概率和条件概率的情 况下，计算后验概率。
应用场景
贝叶斯公式广泛应用于各个领域，如自然语言处 理、机器学习、统计学等，用于更新和调整事件 的概率估计。
01
深度学习是一种机器学习技 术，通过构建多层神经网络 来学习复杂数据的内在规律 和表示。条件概率在深度学 习中用于描述不同层之间的 连接关系和数据特征的依赖 性。
02
在深度神经网络中，条件概 率通常用于定义前一层的输 出作为下一层输入的条件。 这种条件概率关系使得网络 能够学习数据特征之间的依 赖性和层次结构。
注意事项
使用乘法规则时需要注意确保分母不为零，即事件B发生 的概率不能为零。
全概率公式
全概率公式用于计算复杂事件发生的概率，通过将其 分解为若干个简单事件的概率之和。
输入 标题
详细描述
全概率公式是将一个复杂事件A的概率表示为其构成 事件的概率之和，即P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中 Bi是构成事件A的各个基本事件。
条件概率 ppt课件
n(A∩C)＝14 × 12 ＝8，
∴P(C|A)＝
n A∩ C
n A
8
2
＝ ＝ .
20 5
(2)一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
等级厂别数量
合格品
次品
合计
甲厂
475
25
500
乙厂
644
56
700
合计
1 119
81
1 200
先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．
①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是
解析：如果用(F，M)表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，则样本空间
可以表示为
Ω＝{(F，M)，(F，F)，(M，F)，(M，M)}．
“较大的小孩是女孩”对应的是A＝{(F，M)，(F，F)}，“较小的小孩是男孩”对应
的是B＝{(F，M)，(M，M)}，从而“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小
.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝
∩
计算求得P(B|A).
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事
件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事
A∩B
件A∩B发生的概率，即P(B|A)＝
雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝
2
3
________，P(B|A)＝________．
3
5
解析：由公式可得P(A|B)＝
P A∩ B
P B
P A∩ B
2
∴P(C|A)＝
n A∩ C
n A
8
2
＝ ＝ .
20 5
(2)一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
等级厂别数量
合格品
次品
合计
甲厂
475
25
500
乙厂
644
56
700
合计
1 119
81
1 200
先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．
①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是
解析：如果用(F，M)表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，则样本空间
可以表示为
Ω＝{(F，M)，(F，F)，(M，F)，(M，M)}．
“较大的小孩是女孩”对应的是A＝{(F，M)，(F，F)}，“较小的小孩是男孩”对应
的是B＝{(F，M)，(M，M)}，从而“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小
.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝
∩
计算求得P(B|A).
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事
件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事
A∩B
件A∩B发生的概率，即P(B|A)＝
雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝
2
3
________，P(B|A)＝________．
3
5
解析：由公式可得P(A|B)＝
P A∩ B
P B
P A∩ B
2
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Conditionality and stopping times in probability
Mark Osegard, Ben Speidel, Megan Silberhorn, and Dickens Nyabuti
Conditional Expectation
Conditional Probability
fX ( y)
Conditional Expectation
Discrete: E X | Y y xPX x | Y y
x
Continuous: E X | Y y xfX | Y(x, y)dx
Note:
y E X | Y y is a function
of y. We write this as E X | Y
Conditional Variance
Definition
Var(X | Y ) E X EX | Y 2 | Y
E X 2 | Y EX | Y 2
VarX EVarX | Y VarEX | Y
Proof
using
EX EEX | Y
since
VarX | Y E X 2 | Y EX | Y 2
X n1, X n2 ,...
Independence
Summarizing the idea of stopping times with Random Variables we see that the decision made to stop the sequence at Random Variable N depends solely on the values of the sequence
E EX | Y 2 EX 2
…adding
EVarX | Y VarEX | Y EX 2 EX 2
VarX
Thus we' ve shown that
VarX EVarX | Y VarEX | Y g
Stopping times
Stopping Times
Definition Application to Probability Applications of Stopping Times to other
EX
|Y
y fY y dy
xfX
|
Yx
|
ydx
fY y dy
xfX | Yx | y fYydxdy
xБайду номын сангаас
f
x, y
fY y
fY y dxdy
Continuous Case Cont.
xf x, ydxdy xf x, ydydx
(Fubini’s Theorem)
taking expectations of both sides
EVarX | Y E EX 2 | Y EX | Y 2 EEX 2 | Y E EX | Y 2 EX 2 E EX | Y 2
Note as well …
VarEX | Y E EX | Y 2 EEX | Y 2
formulas
Stopping Times
Basic Definition: A Stopping Time for a process does exactly that, it tells the process when to stop. Ex) while ( x != 4 ) {…} The stopping time for this code fragment would be the instance where x does equal 4.
Stopping Times: A Discrete Case
From our previous slide we have the sequence:
X1, X 2 , X 3,...
A discrete Random Variable N is a stopping time for this sequence if : {N=n} Where n is independent of all following items in the sequence
Proof: Continuous Case
Recall, if X,Y are jointly continuous with
joint pdf f x, y
Define:
fX | YX | Y
f x, y fY y
and EX | Y y xfX | YX | Y dx
Note:
x f x, ydydx f x, ydy
So,
xfXxdx EX
Therefore, concluding
EX EEX | Y
Summary:
When Y is discrete,
EX | Y yPY y
y
When Y is continuous,
EX | Y yfYydy
i.e. EX | Y y EX | Y y
(Conditional Expectation Function)
Theorem:
EX EEX | Y
Clearly, when Y is discrete,
EX | Y yPY y
y
When Y is continuous,
EX | Y yfYydy
Stopping times in Sequences
Define: Suppose we have a sequence of Random Variables (all independent of each other) Our sequence then would be:
X1, X 2 , X 3,...
Discrete: Conditional Probability Mass Function
PX x | Y y PX x,Y y PY y
Continuous: Conditional Probability Density Function
f (x, y) fX | Y(x | y) :
Mark Osegard, Ben Speidel, Megan Silberhorn, and Dickens Nyabuti
Conditional Expectation
Conditional Probability
fX ( y)
Conditional Expectation
Discrete: E X | Y y xPX x | Y y
x
Continuous: E X | Y y xfX | Y(x, y)dx
Note:
y E X | Y y is a function
of y. We write this as E X | Y
Conditional Variance
Definition
Var(X | Y ) E X EX | Y 2 | Y
E X 2 | Y EX | Y 2
VarX EVarX | Y VarEX | Y
Proof
using
EX EEX | Y
since
VarX | Y E X 2 | Y EX | Y 2
X n1, X n2 ,...
Independence
Summarizing the idea of stopping times with Random Variables we see that the decision made to stop the sequence at Random Variable N depends solely on the values of the sequence
E EX | Y 2 EX 2
…adding
EVarX | Y VarEX | Y EX 2 EX 2
VarX
Thus we' ve shown that
VarX EVarX | Y VarEX | Y g
Stopping times
Stopping Times
Definition Application to Probability Applications of Stopping Times to other
EX
|Y
y fY y dy
xfX
|
Yx
|
ydx
fY y dy
xfX | Yx | y fYydxdy
xБайду номын сангаас
f
x, y
fY y
fY y dxdy
Continuous Case Cont.
xf x, ydxdy xf x, ydydx
(Fubini’s Theorem)
taking expectations of both sides
EVarX | Y E EX 2 | Y EX | Y 2 EEX 2 | Y E EX | Y 2 EX 2 E EX | Y 2
Note as well …
VarEX | Y E EX | Y 2 EEX | Y 2
formulas
Stopping Times
Basic Definition: A Stopping Time for a process does exactly that, it tells the process when to stop. Ex) while ( x != 4 ) {…} The stopping time for this code fragment would be the instance where x does equal 4.
Stopping Times: A Discrete Case
From our previous slide we have the sequence:
X1, X 2 , X 3,...
A discrete Random Variable N is a stopping time for this sequence if : {N=n} Where n is independent of all following items in the sequence
Proof: Continuous Case
Recall, if X,Y are jointly continuous with
joint pdf f x, y
Define:
fX | YX | Y
f x, y fY y
and EX | Y y xfX | YX | Y dx
Note:
x f x, ydydx f x, ydy
So,
xfXxdx EX
Therefore, concluding
EX EEX | Y
Summary:
When Y is discrete,
EX | Y yPY y
y
When Y is continuous,
EX | Y yfYydy
i.e. EX | Y y EX | Y y
(Conditional Expectation Function)
Theorem:
EX EEX | Y
Clearly, when Y is discrete,
EX | Y yPY y
y
When Y is continuous,
EX | Y yfYydy
Stopping times in Sequences
Define: Suppose we have a sequence of Random Variables (all independent of each other) Our sequence then would be:
X1, X 2 , X 3,...
Discrete: Conditional Probability Mass Function
PX x | Y y PX x,Y y PY y
Continuous: Conditional Probability Density Function
f (x, y) fX | Y(x | y) :