高考数学立体几何中探索性问题

立体几何中探索性问题

立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．

【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，

124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；

（2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值．

【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥， 又1AA BC ⊥，AB

BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥．

又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11

BC AC ⊥，111BC AC C =，1

AC ∴⊥平面1ABC ， 又1A C ⊂平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．

（2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ， //EF AB ，1//DF AC ，又EF

DF F =，1AB

AC A =，

∴平面//EFD 平面1ABC ，则有//DE 平面1ABC ． 设点E 到平面1ABC 的距离为d ，

AB AC ⊥，且1AA AB ⊥，AB ∴⊥平面11A ACC ，1AB AC ∴⊥，

∴1

1

22

BAC S =⨯= 1A A AC ⊥，AB AC ⊥，AC ∴⊥平面11A ABB ，

11//AC AC ，11AC ∴⊥平面11ABB ， ∴111

1118

2243323

C ABE ABE V S AC -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 由118

3

E ABC C ABE V V --==

，解得1

88

3

33ABC d S =⨯

==

以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，

(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0C ，4，4)，(2E ，0，2)， 1(0AC =，4，4)，(2AB =，0，0)，(2AE =，0，2)，

设平面1AC E 的法向量(n x =，y ，)z ，则1440

220

n AC y z n AE x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，1)-，

设平面1AC B 的法向量(m x =，y ，)z ，

则1440

20m AC y z m AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩

，取1y =，得(0m =，1，1)-，

设二面角的平面角为θ，则6cos ||||32m n m n θ===．

∴二面角1E AC B --

【例2】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且1BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒． （1）求证：1BD CC ⊥；

（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB ．

解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒，

所以△1A AB 和△1A AD 均为正三角形，于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1AO BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 而1A O

AC O =，所以BD ⊥平面1A AC ．又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥，又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．

（2）由11A B A D ==及2BD ==，知11A B A D ⊥，于是1112AO AO BD AA ===，从而1

AO AO ⊥， 结合1

AO BD ⊥，1A AC O =，得1A O ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．

如图，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，

则(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0D ，1-，0)，1(0A ，0，1)，(1C -，0，0)， (0,2,0)DB =，11(1,0,1)BB AA ==-，11(1,1,0)D C DC ==-，

由11(1,0,1)DD AA ==-，得1(1D -，1-，1)．

设111([0,1])D E D C λλ=∈，则(1E x +，1E y +，1)(1E z λ-=-，1，0)，即(1E λ--，1λ-，1)， 所以(1,,1)DE λλ=--．

设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1

00n DB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0

0y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,0,1)n =，

设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ

，则sin |cos ,|2DE n θ=<>

=

=

⨯ 解得12λ=

或1

3

λ=-（舍去），所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB ．

【变式训练】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥ （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC

（2）设D 是11A C

的中点，

判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使//DE 平面1ABC ，若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．

【解答】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，