[学习]泛函分析习题答案第十章习题答案

,
)
1 n1
(0,
,0,n1 ,n2 , )
1 n1
x
所以
A An
1 0 n1
(n )
所 以A是 全 连 续 的.
7. 试求题5中A的共轭线性算子A* .
因 为l 2的 共 轭 空 间 是l 2，x (i )，y (i ) l 2
由
i 1
j1 aij j i
aij j i
从 而 ( A I )x ( A I )1 1 x
(1)
任 取
(0,
1 2
)，
记I
[
,
]
[0,1]，I的 两 个 端 点 为a，b， 即I
[a , b ]，
令
x
(t
)
b
a
0 2t b
a
b a
当t I 当t I ， 则x (t ) C[0,1]， 且 x 1，
( A I )x
f ( x) L2 ( , )
( An f )(x) Kn ( x, y) f ( y)dy
In K n ( x, y) f ( y)dy In K n ( x, y) xn ( y) f ( y)dy
因 为K n (
x,
y )是I n
I
上
n
的
平
方
可
积
函
数
，
故An作
为L2
(
I
n
)
L2 ( In
仿 照 第5题.
10.
在l 2中取ek如上题，U是l 2上的线性算子，Uek
1 k
ek1
证明U是l 2上的全连续线性算子.
k 1,2,
仿 照 第6题.
11. 设E1、E2为两个Banach空间，T1、T2：E1 E2为全连续线性算子
证明T1 T2也是全连续的，其中、是数.
设{ xn }为E1中 有 界 点 列 ， 则{T1 xn }中 有 收 敛 子 列{T1 xnk }，{T2 xnk }中 也 有
i1 j1
i1 j1
in1 j1
n
aij 2
n aij 2 x 2
i1 j1
i1 j1
所以 A An
i 1
aij 2
j 1
n i 1
n j 1
aij
2
1/
2
0
故A是 全 连 续 的.
(n )
6.
A:
l2
l 2由 下 式 定 义 ：x
( i
)
l 2，Ax
(1 ,
收 敛 子 列{T2 xnkj
}， 于 是T1 xnkj
T2
xnk
j
是E
中
2
收
敛
列
，
即{T1
x
n
T2 xn }
中 有收 敛 子列 ， 故T1 T2是 全连 续 的.
12. 设E1、E2、E3是Banach空 间 ，T1 : E1 E2，T2：E2 E3 为 有 界 线 性 算 子 ， 证 明： 如 果T1、T2中 有 一 个 是 全 连 续 的 ，则 T2T1 : E1 E3也 是 全 连 续 的.
13. 设E是无穷维的赋范线性空间，T : E E为全连续线性算子， 证明：如果T有逆算子T 1 : T(E) E，则T 1是无界的.
如果T 1有界，则T 1T : E E是全连续的，但T 1T I，而E是无穷维的 I不可能是全连续的，因此T 1是无界的.
14.举例说明，在命题“设A : E E为全连续算子，则N { x E | Ax x} 是E的有限维子空间”中，A是全连续的假定是必不可少的.
i 1 jn1
i n1 j1
n aij 2 j 2 aij 2 j 2
i1 jn1
jn1
in1 j1
j1
aij 2
aij 2 x 2 n
n
aij 2
n
aij 2
aij 2 x 2
i1 jn1
in1 j1
对 此 0， 可 取 连 续 函 数x (t)满 足 ：x 1， 且 当t [t0 , t0 ]时 ，x (t ) 0，
于 是 ( A I )x
则 由 xnk ynk Aznk y * z知 ：xnk 收 敛 ， 记y * z x *，
因 为xnk M，M为 闭 集 ， 故x* M， 现 在I A是 连 续 的 ，
故
(I
A)x* lim(I k
A) xnk
lim
k
ynk
y *，
所 以y* (I A)(M )， 故(I A)(M )是 闭 集.
取E l 2，A I，则N l 2不是有限维的.
16. 设( Ax)(t) tx(t)，A为C[0,1]上的线性算子，它是有界的，
证明： ( A) [0,1]，且A没有特征值.
若Ax x，则tx(t) x(t)，故(t )x(t) 0，从而当t 时，恒有
x(t) 0，但x(t)是连续函数，故x(t) 0 (t [0,1])，所以A没有特征值.
4. 设E为自反Banach 空间，A : E E为有界线性算子，且A把E中弱收敛 序列映成强收敛序列，则A是全连续的.
因为E是自反空间，E是局部弱列紧的，即对E中任一有界点列{ xn } 都有弱收敛子列{ xnk }，依条件{ Axnk }在E中收敛，这说明对E中任一 有界点列{ xn }，{ Axn }都有收敛子列，故A是全连续的.
由 x Ax x Ax 可 知 ：(I A)(M )是E中 有 界 集.
设yn (I A)(M ) (n 1,2, )，yn y *， 取xn M， 使yn (I A)xn Axn，
因 为A全 连 续 ，{ xn }为 有 界 点 列 ， 故{ Axn }有 收 敛 子 列{ Axnk }， 设Axnk z，
当E1是 有 限 维 的 ， 因 为T是 线 性 算 子 ， 故T (E1 )( E2 )是E2的 有 限 维 子 空 间 ， T的象 空间 既是 有限 维的，由前 段所 证，T是全 连续 的（. T可看 作E1 T (E1 ) 的有界线性算子）
2. 设E是无限维的Banach 空间，I : E E为恒同算子，（即Ix x，x E） 则I不是全连续的.
i 1
i 1 j1
i 1 j1
j1
i, j1
所 以A是 有 界 线 性 算 子 ， 且A aij 2 1/ 2
i, j1
现
在
，
对
自
然
数n，
令
n ij
a
，
ij
1
i,
j
n；
n ij
0，
i
n或
j n，
n
然 后 定 义An : l 2 l 2 : x (i ) (i ) : i ij n j j 1
1 2
2
,
,
1 n
n ,
)
试 证 ：A是 全 连 续 的.
令An : l 2 l 2：(1 ,2 , )
(1 ,
1 2
2
,
,
1 n
n
,0,
)，
则An : l 2 l 2是 有 限 维 的 ， 故 是 全 连续 的 ，
又x (i ) l 2
Ax An x
(0,
,0,
n
1
1
n1
,
n
1
2
n2
设T1是 全 连 续 的 ， 则 对 于E1中 有 界 点 列{ xn }，{T1 xn }有 收 敛 子 列{T1 xnk }， 设T1 xnk y， 再 由T2是 连 续 的 ， 故T2T1 xnk T2 y， 故T2T1是 全 连 续 的
当T2是全连续时，对于E1中有界点列{ xn }，{T1 xn }是E2中有界点列， 故{T2T1 xn }有收敛子列，所以T2T1是全连续的.
5. 设 aij 2 A：x (i ) (i ) x l 2，其中i aij j
i , j1
j 1
证 明A是 全 连 续 的.
i 1,2,
设x (i ) l 2，y (i ) Ax， 则
2
Ax 2
i2
aij j
aij 2 j 2
aij 2 x 2，
设x(t) C[0,1]， 取y(t) 1 x(t)， 则y(t) C[0,1]， 且
t ( A I ) y(t) (t ) y(t) x(t) 所 以( A I )(C[0,1]) C[0,1]， 由 逆 算 子 定 理 ，A I存 在 有 界 逆 ， 所 以是A的 正 则 值.
j1 i 1
故A的 共 轭 算 子A* : l 2 l 2由（ j ) ( aij j ) 确 定. i 1
8. 设K ( x, y)是 全 平 面 上Lebesgue可 积 函 数 ， 且 | K ( x, y) |2 dxdy M 2 ，
作L2( , )上 的 线 性 算 子A：( Af )(x)
0
故A是
全
连
续
的
（xn
(
x
)为I
上
n
的
特
征
函
数
.）
9. 设 | aij |2 ， 记en＝(0, ,0,1,0, )(第n个 坐 标 为1， 其 余 为0)， i , j1
A为l 2上 的 线 性 算 子 ，Aek a jk e j j 1
k 1,2,
证 明A是l 2上 的 全 连 续 线 性 算 子.
)上 的 线
性 算 子 是 全 连 续 的 ， 从而 作 为L2 (In ) L2 ( , )的 线 性 算 子 也 是 全 连 续的 ，
所 以An作 为L2 ( , ) L2 ( , )的 线 性 算 子 是 全 连 续 的. 又
A An
|
K ( x,
y)
K n ( x,
y)
|2
1/ 2
结 合 上 述 的 结 果 即 知 ： ( A) [0,1].
17. 设A：复C[0,2 ] 复C[0,2 ] : ( Ax)(t) eit x(t)证明： ( A) { | 1}
首 先 证 明A没 有 特 征 值.
若Ax x， 则eit x(t ) x(t )， 于 是 ： (eit )x(t ) 0， 当eit 时 ，x(t ) 0， 因 为x(t )连 续 ， 故x(t ) 0， 所 以不 是A的 特 征 值.
K ( x, y) f ( y)dy
f ( x) L2( , )
问A是 否L2( , )上 的 全 连 续 线 性 算 子.
记I n
[n, n]， 令Kn ( x,
y)
K ( x,
0
y)
(x, y) In In (x, y) In In
考 虑Kn ( x, y)所 定 义 的 线 性 算 子An : L2 ( , ) L2 ( , )，
tx (t ) x (t )
max(t
0 t 1
) x
(t
)
max
a t b
(t
) x
(t
)
由 (0, 1 )的 任 意 性 ， 即 知 上 式 与(1)矛 盾 ， 所 以是A的 谱 点.
2
16.
再 证 当 [0,1]时 ，是A的 正 则 值 ， 因 为不 是A的 特 征 值 ， 故 只 须 证 明 ：A I : C[0,1] C[0,1]是 满 映 射.
因为E是无限维的，故E中单位球B不是列紧集，又I(B) B， 故I不是全连续的.
3.设E为Banach 空间，A : E E为全连续算子，试证： I A把E中有界闭集映成有界闭集.
设M为E中 有 界 闭 集 ，A全 连 续 ， 故A(M )为E中 列 紧 集 ， 从 而 是E中 有 界 集 ，
当
1时
，x(
t
Hale Waihona Puke Baidu
)
C[0,2
]，
则
e
it
1
x(t) C[0,2 ]，
且( A
I )
1
eit
x(t )
x(t)，所以A I是C[0,2 ]上的1－1映射，
由逆算子定理，A I有有界逆，所以是A的正则值.
当 1时 ， 设 eit0 (t0 [0,2 ))， 任 取 0使t0 2，
第十章 全连续线性算子
1. 设E1、E2是赋范线性空间，T : E1 E2为有界线性算子，试证：如果 E1、E2中 有 一 个 是 有 限 维 的 ，则T必 是 全 连 续 的.
设E2是有限维的，M为E1中的有界集，因为T有界，所以T(M )是 E2中 的 有 界 集 ， 从 而 是 列紧 集 ， 所 以T是 全 连 续 的.
i 1,2,
则An (l 2 )是l 2的 有 限 维 子 空 间 ， 故An是 全 连 续 算 子 ， 又x (i ) l 2
5.
则An (l 2 )是l 2的 有 限 维 子 空 间 ， 故An是 全 连 续 算 子 ， 又x (i ) l 2
Ax An x 2 n aij j 2 aij j 2
下 证 ( A) [0,1]， 先 证 [0,1]，不 是A的 正 则 值. 如 果 [0,1]是A的 正 则 值 ， 则( A I )1 : C[0,1] C[0,1]是 非 零 的 有 界 线 性 算 子，
所 以x C[0,1]有 ：x ( A I )1( A I )x ( A I )1 ( A I )x