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答案：C
高中数学课件
高频考点 2 独立性检验 【例 2.1】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖 方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)， 其频率分布直方图如下：
图1 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；
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(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量<50 kg 箱产量≥ຫໍສະໝຸດ Baidu0 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2＝200×10（0×621×006×6－963×4×10348）2≈15.705.
由于 15.705>6.635，
故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
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C．若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性 使得推断出现错误
D．以上三种说法均不正确
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解析：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为 0.05，这是数学中的统 计思维与确定性思维差异的反映．故选 C.
高中数学课件
谢谢
B．①③
C．②③
D．①②③
【解析】 假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”， 若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立；故①②正确；当小概率事件没有发 生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．
【答案】 A
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【反思·升华】 如果 K2 的观测值 k 很大，则断言 H0 不成立，即认为“两个分类变 量有关系”；如果观测值 k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝 H0.
中青年 20
10
30
中老年 8
12
20
总计 28
22
50
K2＝50×2（0×203×0×122－8×8×2210）2＝2500××3100×0×4×（72×4－2×8）112
＝35×0×7×1611＝820301≈3.463＜3.841，
没有 95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．
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[强化训练 2.1] (2019 年辽宁省沈阳市东北育才学校高三考试) 随着支付宝、微信等
支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手
机支付的情况，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：
年龄(岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75)
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[强化训练 1.1] 想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应检验( ) A．H0：男生喜欢参加体育活动 B．H0：女生不喜欢参加体育活动 C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关 D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关，当我们拒绝喜欢参加 体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活动与性别就相关了．故选 D.
3．独立性检验的一般步骤
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(1)根据样本数据列出 2×2 列联表；
(2)计算随机变量 K2 的观测值 k，查下表确定临界值 k0：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.50－.0608.34≈52.35(kg)．
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828
K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）.
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【解】 (1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法 的箱产量不低于 50 kg”．
由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故 P(B)的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故 P(C)的估计值为 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66＝0.409 2.
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统计案例 课件
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【最新考纲】
1．了解一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 2．独立性检验 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
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知识要点梳理
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1．2×2 列联表
设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2 列联表)如下：
k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (3)如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)； 否则，就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”． 注意：独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系 的判断．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2
总计
b
a＋b
d
c＋d
b＋d a＋b＋c＋d
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2.独立性检验 利用随机变量___________________________________________ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检 验．
频数
5
10
15
10
5
5
手机支付 4
6
10
6
2
0
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把年龄在[15，45)内的人称为中青年，年龄在[45，75)内的人称为中老年，请根据上 表完 2×2 列联表，是否有 95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有 关联？
手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计
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答案：D
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[强化训练 1.2] 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ()
A．若 K2 的观测值为 k＝6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么 在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病
B．从独立性检验可知，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟， 那么他有 99%的可能患有肺病
可能用到的公式：K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d. 独立性检验临界值表：
P(K2＞k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
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解：2×2 列联表如下所示： 手机支付 未使用手机支付 总计
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答案 2．K2(也可表示为 χ2)＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）
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高频考点透析
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高频考点 1 独立性检验的相关概念
【例 1.1】 独立性检验中的统计假设就是假设相关事件 A，B( )
A．互斥
B．不互斥
C．相互独立
D．不独立
【解析】 独立性检验中的假设是 H0：A，B 独立，当我们拒绝 H0 时，A，B 就相关 了．
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(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关；
箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 ( 精 确 到 0.01)． 附：
【答案】 C
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【例 1.2】 下列说法中正确的是( ) ①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设
H0 条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不
合理”现象，则作出拒绝 H0 的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．
A．①②
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【反思·升华】 1.独立性检验的一般步骤 (1)假设两个分类变量 x 与 y 没有关系； (2)计算出 K2 的观测值，其中 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）； (3)把 K2 的值与临界值比较，作出合理的判断．
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2．独立性检验的注意事项 (1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆． (2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的 概率出错． (3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含 概率的判断，而非其他．
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高频考点 2 独立性检验 【例 2.1】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖 方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)， 其频率分布直方图如下：
图1 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；
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(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量<50 kg 箱产量≥ຫໍສະໝຸດ Baidu0 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2＝200×10（0×621×006×6－963×4×10348）2≈15.705.
由于 15.705>6.635，
故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
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C．若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性 使得推断出现错误
D．以上三种说法均不正确
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解析：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为 0.05，这是数学中的统 计思维与确定性思维差异的反映．故选 C.
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谢谢
B．①③
C．②③
D．①②③
【解析】 假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”， 若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立；故①②正确；当小概率事件没有发 生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．
【答案】 A
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【反思·升华】 如果 K2 的观测值 k 很大，则断言 H0 不成立，即认为“两个分类变 量有关系”；如果观测值 k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝 H0.
中青年 20
10
30
中老年 8
12
20
总计 28
22
50
K2＝50×2（0×203×0×122－8×8×2210）2＝2500××3100×0×4×（72×4－2×8）112
＝35×0×7×1611＝820301≈3.463＜3.841，
没有 95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．
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[强化训练 2.1] (2019 年辽宁省沈阳市东北育才学校高三考试) 随着支付宝、微信等
支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手
机支付的情况，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：
年龄(岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75)
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[强化训练 1.1] 想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应检验( ) A．H0：男生喜欢参加体育活动 B．H0：女生不喜欢参加体育活动 C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关 D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关，当我们拒绝喜欢参加 体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活动与性别就相关了．故选 D.
3．独立性检验的一般步骤
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(1)根据样本数据列出 2×2 列联表；
(2)计算随机变量 K2 的观测值 k，查下表确定临界值 k0：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.50－.0608.34≈52.35(kg)．
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828
K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）.
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【解】 (1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法 的箱产量不低于 50 kg”．
由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故 P(B)的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故 P(C)的估计值为 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66＝0.409 2.
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1．了解一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 2．独立性检验 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
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知识要点梳理
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1．2×2 列联表
设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2 列联表)如下：
k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (3)如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)； 否则，就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”． 注意：独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系 的判断．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2
总计
b
a＋b
d
c＋d
b＋d a＋b＋c＋d
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2.独立性检验 利用随机变量___________________________________________ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检 验．
频数
5
10
15
10
5
5
手机支付 4
6
10
6
2
0
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把年龄在[15，45)内的人称为中青年，年龄在[45，75)内的人称为中老年，请根据上 表完 2×2 列联表，是否有 95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有 关联？
手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计
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答案：D
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[强化训练 1.2] 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ()
A．若 K2 的观测值为 k＝6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么 在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病
B．从独立性检验可知，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟， 那么他有 99%的可能患有肺病
可能用到的公式：K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d. 独立性检验临界值表：
P(K2＞k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
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解：2×2 列联表如下所示： 手机支付 未使用手机支付 总计
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答案 2．K2(也可表示为 χ2)＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）
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高频考点透析
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高频考点 1 独立性检验的相关概念
【例 1.1】 独立性检验中的统计假设就是假设相关事件 A，B( )
A．互斥
B．不互斥
C．相互独立
D．不独立
【解析】 独立性检验中的假设是 H0：A，B 独立，当我们拒绝 H0 时，A，B 就相关 了．
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(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关；
箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 ( 精 确 到 0.01)． 附：
【答案】 C
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【例 1.2】 下列说法中正确的是( ) ①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设
H0 条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不
合理”现象，则作出拒绝 H0 的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．
A．①②
高中数学课件
【反思·升华】 1.独立性检验的一般步骤 (1)假设两个分类变量 x 与 y 没有关系； (2)计算出 K2 的观测值，其中 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）； (3)把 K2 的值与临界值比较，作出合理的判断．
高中数学课件
2．独立性检验的注意事项 (1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆． (2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的 概率出错． (3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含 概率的判断，而非其他．