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安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

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19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20 学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若集合 ==+ 2)}， =< 1}，则 ∩ =A. B. − 2 < < 0} − 2 < < 1}− 2 ≤ < 0} C.D.− 2 ≤ < 1}2. 已知直线 ⊥平面 ，直线 ⊂平面 ，有下列命题：⇒ ⊥ ，⊥ ⇒⇒ ⊥ ⊥ ⇒正确的命题是( )A. B. C. D. ①与 ②③与④②与④①与③3. 若直线 : ++ 6 = 0与直线 : + −+ 5 = 0垂直，则实数 的值是( )a 12B. C. D. A. 2312 124. 已知双曲线 2 −2= 1的一个焦点与抛物线=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )25B. C. D. A. √55= ± 2√5= ± √5= ±√= ± 525. 下列命题错误的是( )A. B. 命题“若 2 < 1，则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1，则 2 ≥ 1”1 < 0，则 ： 1 ≥ 0若 ： pC. D. ∈ ∈ 命题 ；存在 p，使得 2 + + 1 < 0，则；任意 ，使得 2 + + 1 ≥ 00 0 0“2 <2”是“< ”的充分不必要条件6. 在△中，三内角 、 、 成等差数列，则A B C= ( )B. C. D. A. 12√32√22√33+ ≥ 3, 7. 若变量 ， 满足约束条件{x y− ≥ −1,，则 = 的最大值为( ) − ≤ 3,D. A. B. C. 12544 28. 已知 > 0, > 0, + = 2，则 = + 的最小值是(1 4 )B. C. D.4A. 972529. 定义在 R 上的奇函数的值为( )满足 + 4) =，并且当 ∈ [0,1]时，= 2 − 1，则210)B. C. D. A. 35352525− − 10. 如图是三棱锥 − 的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.11. 函数=+的零点为( )A. C.B. D. −2和 1 (1 , 0)(−2 , 0)和(1 , 0) 112. 若抛物线=，过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，则+的最小值为( )2 A. B. C. D. 693 + 2√23 − 2√2二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知数列}满足14. 如图，在四棱锥 −· =− 1， = 2，则 =________．1 2019 中，底面ABC D 是矩形， ⊥底面 ABC D ，M ，N分别为 AB ，PC 的中点， 为______ ．=15. 已知双曲线 C ： 线 B O2 22 2= 1 > 0, > 0)，点 A 、B 在双曲线 C 的左支上，O 为坐标原点，直−与双曲线的右支交于点若直线 AB 与 A M 的斜率分别为 3 和 1，则双曲线的离心率为______．，又16. 函数= 3，则定义域为 ，对任意 x ， ∈+都有______ ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）=+=+17. △的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知s in( + ) = 8sinA B C a b c 2 2(1)求 cos ； B (2)若 + = 6，△面积为 2，求 ．b18. 已知直线 ： − + 3 = 0被圆 ：( − ) + ( − 2) = 4( > 0)截得的弦长为2 2，求l C 2 2 √ (Ⅰ 的值；(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆 相切的切线方程．C 19. + 2是 和 的等差中项．已知数列 }为等比数列， = 4，232 4 (1)求数列 }的通项公式；(2)设=− 1，求数列+ }的前 项和 ．n 220. , )，2, <已知过抛物线 2 => 0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于1 1212)两点，且= 9．(1)求该抛物线的方程；为坐标原点， 为抛物线上一点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 的值．C =+ 21. 如图 1，在直角梯形 中，= 90°， ， = 4， == 2， 为线段 MAB C D AB的中点．将△ (Ⅰ)求证：沿 折起，使平面 ⊥平面 ABC ，得到几何体 −，如图 2 所示．A C ⊥平面 AC D ；− 的余弦值．(Ⅱ)求二面角 −22. 1.设过点2已知椭圆 ： +=2 2 >> 0)的两焦点分别为 ， ，离心率为 的直线 被椭lC 1 2 222圆 截得的线段为 ，当 ⊥ 轴时，RS= 3C (Ⅰ)求椭圆 的标准方程； C (Ⅱ)已知点，证明：当直线 变化时，直线 l 与 TS TR的斜率之和为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出∩．解：易知=于是∩=故选A．=+2)}=>−2}，=<0}．−2<<0}．2.答案：D解析：解：∵⊥，∵⊥，⊥，∴，∴⊥，又直线⊂，故有⊥，即①正确；，或⊂，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵⊥，，∴⊥，又⊂，故有⊥，即③正确．∵⊥，⊥，∴又⊂，此时与可能相交可能平行，故④错误；故选：D．本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．3.答案：A解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．由直线的垂直关系可得⋅1+−1)=0，解方程可得．+5=0垂直，解：∵直线：++6=0与直线:+−12−1)=0，解得=，2∴⋅1+3故选A．4.答案：C本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性 考查，由已知条件求出双曲线的一个焦点为(3,0)，可得 + 5 = 9，求出 = 4，由此能求出双曲线 的渐近线方程． 解：∵抛物线2= ∴双曲线的一个焦点为(3,0)，即 = 3． = 1可得的焦点为(3,0)，2 − 2双曲线 5∴ + 5 = 9， ∴= 4，∴双曲线的渐近线方程为： = ± √5 ．2故选 C ．5.答案：B解析：解：命题“若 2 < 1，则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1，则 2 ≥ 1”，故 A正确； 1< 0，则： 1 ≥ 0或 = −1，故 B 错误．若 p ：命题 p ；存在 ∈ ，使得 2 + + 1 < 0，则；任意 ∈ ，使得 2 + + 1 ≥ 0，故 C 正确；0 0 0⋅1<⋅1由 2 <2，可 得 2 2 ，即 < ，反之，由 < ，不一定有2 <2，如2= 0．22∴“<2”是“< ”的充分不必要条件，故 D 正确．2 故选：B ．直接写出命题的逆否命题判断 A ；写出命题的否定判断 B ；直接写出特称命题的否定判断 C ；由充分 必要条件的判定方法判断 D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定和逆否命题，对于选项B 的判断极易出错，是 基础题．6.答案：B本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．由题意可得+=，结合三角形的内角和可求B，进而可求s inB．解：由题意可得，+=∵++=180°，，∴=60°，故选B．=√3，27.答案：B解析：本题考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由目标函数=，可化为=，表示平面区域的点与原点连线的斜率，由图象可知当P位于A时，直线A O的斜率最大．+=3−=−1由解得，=2，1−0所以目标函数的最大值为=故选B．8.答案：A解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解：∵>0，>0，+=2，14114∴=+=(+2+=1(1+4++)⩾1(5+2√⋅)=9，22224当且仅当=，即=，=时等号成立，33故选A．9.答案：A解析：本题考查奇函数的性质，函数的周期性，以及指数、对数的运算性质的综合应用，属于中档题．由+4)=化简后求出函数的周期，利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化解：∵210)，代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可．+4)=，则函数的周期是4，，∵2<25<3，25<1，∴0<3−又为奇函数，且当∈[0,1]时，=2−1，故即10)=−3．25故选：A．10.答案：D解析：解：如图所示，该几何体为三棱锥−=2，=1．把此三棱锥补成一个长方体，，⊥底面ABC，，=设该三棱锥外接球的半径为R，则可得2=9，2=22+22+12，∴=．2故选：D．如图所示，该几何体为三棱锥−棱锥补成一个长方体，即可得出该三棱锥外接球的半径．，⊥底面ABC，⊥，==2，=1.把此三本题考查了三棱柱的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：本题考查了函数的零点，属于基础题．可以根据解：由=0可以得出答案．=0得+=0，因为>0，所以+2>0，所以=0，解得=1，故选D．12.答案：B解析：解：抛物线的焦点，设直线AB的方程为=+1．=2联立方程组+1，得2−2++1=0．=2 , )，2 , )，则 2 1 162= 1.∴ 2=16设2 2．1 2122 4 412 + 1， =2 + 1 = 4 + 1．由抛物线的性质得 =1 242 14∴+=2+ 1 + 2( 4 + 1) = 3 +2 + 8 ≥3 + 2√2．114 2 42 11故选： ．B设直线方程为 =+ 1，联立方程组得出 ， 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出A B+关于 ， 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．A B本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.答案：−1解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可． 解：数列 }满足 = 2，=−1= 1 − 1，1 = 1 可得 ，22= 1 − 1 = −1 ，3412= 1 − 1 = 2，−1…所以数列的周期为 3． 则 === −1．2019 672×3+33故答案为−1．14.答案：√63解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查学生的计算能力，点 到平面 A 的距离转化为 到平面EP M N 的距离是关键，属于中档题．P M N 取 的中点 ，连接 ， ，证明 E AE NE ，可得点 到平面 A 的距离等于 到平面 E 的P M N P D P M N 距离，由 = ，可得点 到平面 A的距离．P M N解：取的中点，连接，，如图，E AE NEP D∵四棱锥−中，底面是矩形，，分别为M N，AB P C的中点，AB C D∴∴∴，=，是平行四边形，，∴点到平面的距离等于到平面E的距离，设为，P M N hA P M N=5，△∴中，=23，=5，√√√=1×2√3×√2=√6，2由=，1×√6ℎ=1×1×1×2×2，可得：332∴ℎ=√6．3故答案为：√6．315.答案：2解析：解：设，则直线与双曲线的右支交于点．B O设,)，可得直线AB的斜率为000直线的斜率为；A M022222−2，∴2022===3×1=322222∴=√1故答案为：222=2，本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．16.答案：1解析：解：∵函数，对任意，∈都有=，x∴∴====3 =1故答案为：1根据函数定义域为，对任意，∈都有=，可把逐步变形，最后x用表示，就可求出的值．本题考查了抽象函数的性质，做题时要善于发现规律．17.答案：解：(1)∵s in()=8sin2，2∴=4(1−，又∵s in2∴16(1−∴cos2=1，cos2=1，−1)=0，2−∴=15.17 =(2)由(1)可知，817∵∴=1⋅=2，2=17，21715∴=−=−2×2×2222217=−15=−2−15=36−17−15=4，22∴=2．解析：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题(1)利用三角形的内角和定理可知=−，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化，结合s in 2 + cos 2 = 1，求出 cosB ，简= (2)由(1)可知，利用面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 ． ac b8 17 18.答案：解：(Ⅰ)依题意可得圆心2)，半径 = 2，||||，= =则圆心到直线 ： −+ 3 = 0的距离 l √12+(−1)2 √22由勾股定理可知 2√2 2，代入化简得 + 1| = 2，解 得 = 1或 = −3，又 > 0，所 以 = 1；+ ( ) = 2 2(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆 ： − 1) + − 2) = 4，又(3,5)在圆外，C 2 2 ∴ ①当切线方程的斜率存在时，设方程为 − 5 = − 3)，由圆心到切线的距离 = = 2可解得= 5 ， 切线方程为 ∴−+ 45 = 0，12②当过(3,5)斜率不存在，易知直线 = 3与圆相切， 综合①②可知切线方程为−+ 45 = 0或 = 3．解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． (Ⅰ)求出圆心2)，半径 = 2，圆心到直线 ： − + 3 = 0的距离，通过勾股定理求解即可． (Ⅱ)判断点与圆的位置关系，通过①当切线方程的斜率存在时，设方程为 − 5 =l− 3)，由圆心到切线的距离 = 求解即可；②当过(3,5)斜率不存在，判断直线 = 3与圆是否相切，推出 结果．19.答案：解：(1)设数列 }的公比为 q ，因为 = 4，所以 =， =3，2 3 4 因为 + 2是 和 的等差中项，所以 + 2) =+ ．3 24 324 即+ 2) = 4 +2，化简得 2−因为公比 ≠ 0，所以 = 2， = 0， 所以 == 4 ⋅ 2 − 1 ==2 ， ∈ ∗)； 2= 22− 1 =− 1)．− 1．2所以+= 2 +前 项和= (2 + 4 + ⋯+ 2 ) + (1 + 3 + ⋯ +− 1)n=+1(1+=22+．22解析：(1)设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，q即可得到所求通项公式；(2)求得=1=221= 1.+=2+1).由数列的分组求和，结2合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得和．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20.)，答案：解：(1)直线的方程是=2√2AB2与2=联立，从而有+2=0，2所以+=．124由抛物线定义得=++=+=9，124所以=4，从而抛物线方程是2=．(2)由于=4，则+=0，22即2+4=0，从而=1，=4，12于是=2√2，=4√2，12从而设22)，√2)，,)=(1,2√2)+√,)，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2) 3333=+1,4√2√2)，又2=3，即[2√1)]=+1)，23即1)2=+1，解得=0或=2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；由(1)求出A，B的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(2)=∴⊥平面分)另解：在图1中，可得2，故AC⊥⊥面ABC，面∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系−=22，=√从而2+2=∵面=，⊂面ABC，从而⊥平面AC D如图所示，则√2,0)，√2,0,0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,√2,0)，√2)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗分=(√2,0,√2)(8)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=为面C D M的法向量，1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0即{√+√=0==则{1，解得{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0√+√=01令=−1，可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,1)1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0)为面A C D的一个法向量2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1√33∴cos<⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=12==12|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|√312∴二面角−−的余弦值为√3.(12分)3解析：(Ⅰ)要证⊥平面AC D，只需证明BC垂直平面AC D内的两条相交直线AC、O D即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角−−的余弦值．本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．22. = 1 答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ，则 = ，将 = 代入椭圆方程，22 2= 3，解得： = ± ， =由2 = 2 + 2，则= 2， = 3， = 1，√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1；43(Ⅱ)证明：当直线 垂直与 轴时，显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0， lx 当直线 不垂直与 轴时，设直线 的方程为 = − 1)，, )， , )，l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0，整理得：(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0， 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立，24 22 +=2， =2−12，121222+ =+由， ， 的斜率存在，TR TS 1 21−42−4 由 ， 两点的直线 =R S− 1)，故 = − 1)， = − 1)，1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8]，12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0，121222∴+ = 0，与 的斜率之和为 0，∴直线 TS TR 综上所述，直线 与 TS TR的斜率之和为为定值，定值为 0．2= 3，且= 2 + 2，即可求得 和 的值，求得椭圆方程；解析：(Ⅰ)由题意可知： = ，2a b (Ⅱ)分类讨论，当直线 不垂直与 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公 l x 式，即可求得+= 0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公 式，考查计算能力，属于中档题．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线 问题中的应用，是中档题．(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p ，则抛物线方程 可求；由(1)求出 A ，B 的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求出 C 的坐标，代入抛物线方程求得 值．(2) =21.2 = =√2，故 A C ⊥取 AC 中点 O 连接 D O ，则 ⊥ ，又面面=，∴⊥又 ⊥，∩ = ，∴⊥平面分)另解：在图 1 中，可得 2，故 AC ⊥⊥面 ABC ，面 ∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系 − = 2 2，= √ 从而 2 +2 =∵面= ， ⊂面 ABC ，从而 ⊥平面 AC D如图所示，则√2, 0)， √2, 0,0)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (√2, √2, 0)，√2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分= (√2, 0, √2)(8 )设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 为面 C D M 的法向量， 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0即{√ + √ = 0 = =则{ 1 ，解得{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0 √ + √ = 0 1 令 = −1，可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,1) 1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1,0)为面 A C D 的一个法向量 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 √3 3 ∴ cos < ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 1 2 = = 1 2 | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √3 1 2∴二面角 −− 的余弦值为√3 . (12分)3解析：(Ⅰ)要证 ⊥平面 AC D ，只需证明 BC 垂直平面 AC D 内的两条相交直线 AC 、O D 即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角 − − 的余弦值．本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．22. = 1 答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ，则 = ，将 = 代入椭圆方程，22 2= 3，解得： = ± ， =由2 = 2 + 2，则= 2， = 3， = 1，√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1；43(Ⅱ)证明：当直线 垂直与 轴时，显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0， lx 当直线 不垂直与 轴时，设直线 的方程为 = − 1)，, )， , )，l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0，整理得：(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0， 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立，24 22 +=2， =2−12，121222+ =+由， ， 的斜率存在，TR TS 1 21−42−4 由 ， 两点的直线 =R S− 1)，故 = − 1)， = − 1)，1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8]，12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0，121222∴+ = 0，与 的斜率之和为 0，∴直线 TS TR 综上所述，直线 与 TS TR的斜率之和为为定值，定值为 0．2= 3，且= 2 + 2，即可求得 和 的值，求得椭圆方程；解析：(Ⅰ)由题意可知： = ，2a b (Ⅱ)分类讨论，当直线 不垂直与 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公 l x 式，即可求得+= 0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公 式，考查计算能力，属于中档题．。

【精准解析】安徽省合肥市庐阳区合肥六中、淮北一中四校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

【精准解析】安徽省合肥市庐阳区合肥六中、淮北一中四校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

式判断.
3 m 0
【详解】A.当方程表示椭圆时， m 2 0
，解得： 2 m 3 ，且 m 1 ，
3 m m 2
2
设
A
2,
1 2
1 2
,
3
， B 2,3 ， A B
“﹣2＜m＜3”是方程 x2 y2 1表示椭圆”的必要不充分条件，故正确； 3m m2
B.根据特称命题的否定形式可知 p ： x R ， x2 2x 2 0 ，故错误； C.方程 x2 x m 0 有实根，则 1 4m 0 ，解得： m 1 ，所以“若 m 0 ，则方
D. 命题“若 m2 n2 0 ，则 m 0 且 n 0 ”的否命题是“若 m2 n2 0 ，则 m 0 或
n0” 【答案】B 【解析】 【分析】
-3-
逐一判断选项，A.当方程表示椭圆时，求 m 的范围，再判断是否是必要非充分条件；B.根据
特称命题的否定形式直接判断；C.利用原命题和逆否命题的等价性判断；D.根据否命题的形
从而
1 2x
4 y
1 3
(
1 2x
4 y
)(2x
y)
1 3
5
y 2x
8x y
1 3
5
2
y 2x
8x y
3
，
当且仅当 y 8x 时等号成立，即 y 4x ，又 2x y 3 2x y
解得： x 1 ， y 2 . 2
故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查变形和计算能力，属于基础题型.
题的关键，然后根据对数的运算性质将问题转化到区间 1, 0 内解决．
10.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑 P ABC 的

安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷word版

安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷word版

数学（理科）试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.已知A(2，-1)，B(2，3)，则|AB|=： A.4B.C.8D.2.命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是：A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C.2000(0,1),0x x x ∀∉-<D.2000(0,1),0x x x ∀∈-≥3.如图，棱长为a 的正方体1111ABCD-A B C D 中，M 为BC 中点，则直线1D M 与平面ABCD 所成角 的正切值为： 3525D.124.已知,αβ是两个不同平面，m 为α内的一条直线，则“m βP ”是“αβP ”的： A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆22(3)64x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是： A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1，则该三棱锥的外接球的表面积： A.24πB.18π C .10πD.6π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是：A.πB.2πC.4πD.8π8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF V 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为：A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -= 9.设椭圆的两个焦点分别为1F F 2，，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点，若12F PF V 为等腰三角形，则椭圆的离心率是： A.2B.21-C.22-D.21-10.过抛物线2y 8x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则|AB|=： A.6B.8C.12D.1611.我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”：（其中222,0a b c a b c =+>>>）如图所示，其中点012,,F F F 是相应椭圆的焦点若012F F F V是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为： 73,1 C.5，3D.5，412.如图，矩形ABCD 的边,2,AB a BC PA ==⊥平面ABCD ，2PA =，当在BC 边上存在点Q ，使PQ QD ⊥时，则实数a 的范围是： A.(0,1] B.(0,2]C.[1,)+∞D.[2,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.抛物线24y x =的焦点坐标为 ．14.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中 （如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB 锯掉裸露在外面的木头，锯 口CD 深1寸，锯道AB 长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是 寸 （注：1尺=10寸）15.如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD-A B C D 的棱11C D 上的一点， 且1BD ∥平面1B CE ，则线段CE 的长度为 ． 16.已知点(4,4)A 在抛物线x y 42=上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则AF E ∠的角平分线所在直线 方程为 （用一般式表示）.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x ym+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线1122=--m yx 是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为，(1,2),(3,4)P Q -． （1）求圆C 的方程；（2）求直线l :01843=+-y x 上的点到圆C 上的点的最近距离.19.（本题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E 、F 分别是边CD 、CB 的中点，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF V 翻折到PEF V ，连接PA 、PB 、PD ，得到五棱锥P ABFED -，且10PB =． （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BDEF -的体积.20.（本题满分12分）已知动圆过定点(4,0)P ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(2,0)的直线l 与（1）中的轨迹相交于A ，B 两点求证：OA OB →→⋅是一个定值．21.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，2,1BC BF==．（1）求证：BM∥平面ACE；（2）求二面角B AF C--的大小．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，过点P(2,1)，且离心率e=32．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的方程为12y x m=+，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PABV面积的最大值．数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选 项符合题目要求.）1-5 ABCBB 6-10 DADDC 11-12 AA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.1016（，） 14.26 15.2516.240x y -+=三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.解：若命题p 为真命题，则，若命题q 为真命题，则，由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则，此时无解.若p 假q 真，则，得，综上：实数m 的取值范围是．18.解：（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为，圆C 的半径10||21==PQ r ，所以圆C 的方程是：．（2）圆心C 到直线01843=+-y x 的距离是45|181423|=+⨯-⨯=d所以，最近距离为4 —10 19.（1）证明：如图，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，．菱形ABCD 的对角线互相垂直，．．．平面POA ，平面POA ，， 平面POA ．平面POA ． （2）解：设，连接BO ，，为等边三角形．．在中，，在中，．平面BFED ，平面BFED ，平面BFED ．梯形BFED 的面积为，四棱锥的体积．20.解：（1）设圆心为，线段MN 的中点为T ，则4||=MT依题意，得，为动圆圆心C 的轨迹方程.（2）证明：设直线l 的方程为2+=ty x ，由⎩⎨⎧=+=xy ty x 822，得01682=--ty y . ,821t y y =+，21212121)2)(2(y y ty ty y y x x +++=+=21212124)(2y y y y t y y t ++++== -12是一个定值.21.（1）证明：连结EO ，交BD 于O 点，M 为EF 的中点，四边形BMEO 是平行四边形，，又平面ACE ，平面ACE ，平面ACE ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴， 建立空间直角坐标系，， ，设平面CAF 的法向量，则，取，得，又平面ABF的法向量，，，二面角的平面角为．22.解：（1）椭圆C：过点，且离心率，可得：，解得，椭圆方程为：；（2）直线l的方程为，设、，联立方程组整理得：，直线与椭圆要有两个交点，所以，即，得，利用弦长公式得：，点P到直线l的距离．．当且仅当，即时S取到最大值，最大值为2．。

安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题（附答案解析）

安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题（附答案解析）

安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题（附答案解析）安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+√3y?5=0的倾斜角为()A. B. C. D.2.如图是某一四棱锥的三视图，则这个四棱锥的体积为()A. 4B. 8C. 16D. 203.圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2?8x+6y+9=0的位置关系是()A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切4.如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A. 在直线DB上B. 在直线AB上C. 在直线CB上D. 都不对5.如图，正棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15B. 25C. 35D. 456.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a?2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为()A. √2B. 8√23C. √3 D. 8√338.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，则()A. 若平面α不平行于平面β，则l不可能垂直于mB. 若平面α平行于平面β，则l不可能垂直于mC. 若平面α不垂直于平面β，则l不可能平行于mD. 若平面α垂直于平面β，则l不可能平行于m9.已知函数f(x)=1x+1+x?2，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()A. 3x?4y?1=0B. 3x?4y?5=0C. 5x?4y?7=0D. 5x?4y?3=010.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为()A. √33B. 13C. 12D. √3611.已知圆O：x2+y2=4，点P为直线x?2y?8=0上的一个动点，过点P向圆O引两条切线PA、PB、A、B为切点，则直线AB恒过点()A. (2,0)B. (√55,?2√52) C. (1,?1) D. (12,?1)12.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 74二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“?x∈[2,+∞)，x2≥4”的否定为________．14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为______cm．15.过双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_______．16.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在面对角线AC 上运动，给出下列命题：①D1P//平面A1BC1②D1P⊥BD③平面PDB1⊥平面A1BC1④三棱锥A1?BPC1的体积不变．则其中所以正确的命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知直线l方程为(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R．(Ⅰ)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标;(Ⅱ)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．18.如图，在四棱锥P?ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A?PDE的体积．19.已知函数f(x)=xlnx．(1)求f(x)在(e,f(e))处切线方程；(2)求f(x)最小值；(3)设F(x)=ax2+f′(x)(a≠0)，讨论函数F(x)的单调性．20.如图所示，四棱锥A?BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC=6，AB=4√3，∠ABC=30°，且BE=EC．(Ⅰ)求证：AC⊥BE；(Ⅱ)求B到平面ACE的距离．21.已知标准方程下的椭圆E的焦点在x轴上，且经过点M(1,√22)，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合．椭圆E的上顶点为A，过点N(0,3)的直线交椭圆于B、C两点，连接AB、AC，记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)求k1k2的值．22.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果．解：设直线x+√3y?5=0的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，直线化为y=?√33x+5√33，斜率k=tanθ=?√33，∴θ=150°．故选D．2.答案：C解析：解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图我们易判断四棱锥的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得V=13×6×2×4=16故选：C由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状，及底面边长及棱锥的高是解答本题的关键．3.答案：B解析：本题给出两圆的方程，判断两圆的位置关系，着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出两个圆心之间的距离，再比较圆心距与两圆的半径之和、半径之差的大小关系，可得两圆的位置关系．解：∵圆x2+y2?8x+6y+9=0的标准方程为(x?4)2+(y+3)2=16，∴圆x2+y2?8x+6y+9=0的圆心是C2(4,?3)，半径=4．又∵圆x2+y2=9的圆心是C1(0,0)，半径r2=3．∴|C1C2|=5，∵|r1?r2|=1，r1+r2=7，∴|r1?r2|<|OC|<r1+r2，< bdsfid="245" p=""></r1+r2，<> 可得两圆相交．故选B．4.答案：A本题考查两直线的交点在直线上的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．直线EF和GH相交，设交点为M，运用公理2，由此能判断EF 与HG的交点在直线BD上．解：直线EF和GH相交，设交点为M，∵EF?平面ABD，HG?平面CBD，∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴M∈BD，∴EF与HG的交点在直线BD上．故选A．5.答案：D解析：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中用余弦定理求解即可．解.如图，连接BC1，A1C1，因为AD1//BC1，所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=√5a，A1C1=√2a，由余弦定理可得，cos∠A1BC1=BA12+BC12?A1C122BA1·BC1=√5a)2√5a)2√2a)22×√5a×√5a =45，6.答案：B解析：本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义判断即可．解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选B．7.答案：B解析：本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2?A2B1=0的应用，及两平行线间的距离公式d=21√A2+B2的应用．先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．解：由l1//l2得：1a?2=a3≠62a，解得：a=?1，∴l1与l2间的距离d=6?2 322=8√23，故选：B．8.答案：C本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：A中，平面α与平面β相交，由l⊥α，m?β，当m与交线平行或重合时，l⊥m，故A错误；B中，α//β，l⊥α，则l⊥β，由m?β可得：l⊥m，故B错误；C中，平面α不垂直于平面β，则l必与β相交，由m?β得，l与m相交或异面，故C正确；D中，α⊥β，l⊥α，则l?β或l//β，由m?β可得，l与m可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误；故选：C．9.答案：B解析：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出函数的导数，由导数求出切线斜率，则答案可得．解：∵f(x)=1x+1+x?2，∴f′(x)=?1(x+1)2+1，则f(1)=?12，f′(1)=34，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+12=34即3x?4y?5=0．故选B．10.答案：A解析：本题考查椭圆的定义、简单性质，设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案.解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=√3x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=3x，2c=√3x，∴C的离心率为：e=2c2a =√33．故选A．11.答案：D解析：本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．根据题意设P的坐标为P(8+2m,m)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．解：∵P 是直线x?2y?8=0的任一点，∴设P(8+2m,m)，∵圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，其中圆心C的坐标是(4+m,m2)，且半径的平方是r2=(4+m)2+m24，∴圆C的方程是[x?(4+m)]2+(y?m2)2=(4+m)2+m24，①又x 2+y 2=4，②，②?①得，(8+2m)x +my ?4=0，即公共弦AB 所在的直线方程是：(8+2m)x +my ?4=0，即m(2x +y)+(8x ?4)=0，由{2x +y =08x ?4=0得x =12，y =?1，∴直线AB 恒过定点(12,?1)，故选：D ．12.答案：C解析：解：由于F 是抛物线y 2=x 的焦点，则F(14,0)，准线方程x =?14，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)∴|AF|+|BF|=x 1+14+x 2+14=3，解得x 1+x 2=52，∴线段AB 的中点横坐标为54．∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54．故选：C ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，即可得到线段AB 的中点到y 轴的距离．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．13.答案：解析：本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．化成特称命题注意只否定结论．解：∵命题“”为全称命题，∴命题“”的否定是特称命题：“?x∈[2,+∞),x2<4”.故答案为?x∈[2,+∞),x2<4．14.答案：4√23解析：本题考查弧长公式及圆锥的体积公式，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，然后求得圆锥的高，进而即可求得结果．解：设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则l=2，，解得r=23，因此，此圆锥的高?=√l2?r2=4√23．故答案为4√23．15.答案：(1,√5)解析：本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．解：由题意过双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率ba<2，e>1，∵e=ca =√a2+b2a2<√1+4，∴1<e<√5，< bdsfid="417" p=""></e<√5，<>∴双曲线离心率的取值范围为(1,√5).故答案为(1,√5).16.答案：①③④解析：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算，属于较难题．利用面面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥体积轮换公式对①②③④四个选项逐一分析判断即可．解析：解：①，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，D1A//C1B，D1A?平面A1BC1，C1B?平面A1BC1，∴D1A//平面A1BC1，同理可证，D1C//平面A1BC1，D1A∩D1C=D1，∴平面D1AC//平面A1BC1，又D1P?平面D1AC，∴D1P//平面A1BC1，故①正确；②，当点P为AC与BD的交点时，BD⊥平面BDD1，D1P?平面BDD1，这时，D1P⊥BD，除此之外，D1P不与BD垂直，故②错误；③，∵DB1在平面A1B1C1D1上的射影为B1D1，B1D1⊥A1C1(正方形的两条对角线互相垂直)，DB1在平面BB1C1C的射影为B1C，B1C⊥BC1(正方形的两条对角线互相垂直)，由三垂线定理的逆定理可知，B1D⊥A1C1，B1D⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，∴B1D⊥平面A1BC1，B1D?平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1，故③正确；④，设正方体的边长为1，点B到平面A1BC1的距离就是点B到平面A1ACC1的距离，为12BD=√22，S△A1PC1=12A1C1??=12×√2×1=√22，∵V A1?BPC1=V B?A1PC1=13S△A12BD=16×(√22)2=112，为定值，故④正确．故答案为①③④．17.答案：解：(Ⅰ)由直线方程(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R，整理可得：(x?y?3)m+(2x?y?7)=0对任意m∈R恒成立，则{x?y?3=02x?y?7=0，解得{x=4 y=1,所以直线l恒过定点P(4,1)．(Ⅱ)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，由(Ⅰ)知，直线l过定点P(4,1)．若a=0，则直线l的方程为y=14x，即x?4y=0；若a≠0，则直线l的方程为xa +ya=1，所以4a +1a=1，解得a=5，所以直线l的方程为x5=1，即x+y?5=0，综上，直线l的方程为x+y?5=0或x?4y=0．解析：本题考查直线恒过定点的问题，考查直线的截距式方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)由直线方程整理可得(x?y?3)m+(2x?y?7)=0，得到{x?y?3=0 2x?y?7=0，即可求出定点P 的坐标；(Ⅱ)根据截距为0和截距不为0进行分类讨论，利用截距式得出直线方程即可．18.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=12BC，又∵AD//BC，且AD=12BC，∴AD//HE，且AD=HE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，又AH?平面PAB，又DE?平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，又PB⊥AH，且AH∩AD=A，∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P?ADE的高，又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)∴三棱锥A?PDE的体积：V A?PDE=V P?ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH=13×√22×√2=13.…(12分)解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P?ADE的高，三棱锥A?PDE的体积：V A?PDE=V P?ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)f(x)=xlnx 的导数为f′(x)=1+lnx ，f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为1+1=2，切点为(e,e)，则切线的方程为y ?e =2(x ?e)，即为2x ?y ?e =0； (2)函数的定义域为(0,+∞)，求导函数，可得f′(x)=1+lnx ，令f′(x)=1+lnx =0，可得x =1e ，∴0<1<="" bdsfid="534" p="">e 时，f′(x)<0，x >1e 时，f′(x)>0，∴x =1e 时，函数取得极小值，也是函数的最小值，∴f(x)min =f(1e )=1e ?ln 1e =?1e ；(3)F(x)=ax 2?(a +2)x +f′(x)=ax 2?(a +2)x +1+lnx ，F′(x)=2ax ?a ?2+1x =2ax 2?(a+2)x+1x=(2x?1)(ax?1)x，当a =2时，F′(x)≥0恒成立，函数递增；当a >2时，12>1a ，由F′(x)>0可得x >12或0<1<="" bdsfid="555" p="">a ，由F′(x)<0可得1a <1<="" bdsfid="558" p="">2．可得f(x)在(1a ,12)递减，在(0,1a )，(12,+∞)递增；当0<2时，1<="" bdsfid="565" p=""><2时，1<="" bdsfid="567" p="">2<1<2时，1<="" bdsfid="569" p="">a ，由F′(x)>0可得x >1<2时，1<="" bdsfid="571" p="">a 或0<1<="" bdsfid="572" p=""><2时，1<="" bdsfid="574" p="">2，由F′(x)<0可得1<2时，1<="" bdsfid="576" p="">2<1<="" bdsfid="577" p=""><2时，1<="" bdsfid="579" p="">a ．<2时，1<="" bdsfid="581" p="">可得f(x)在(12,1<2时，1<="" bdsfid="583" p="">a )递减，在(0,1<2时，1<="" bdsfid="585" p="">2)，(1<2时，1<="" bdsfid="587" p="">a ,+∞)递增．<2时，1<="" bdsfid="589" p=""><2时，1<="" bdsfid="591" p="">解析：(1)求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；(2)求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的最小值；<2时，1<="" bdsfid="593" p="">(3)求出函数的导数，并分解因式，讨论a =2，a >2，0<=""><="">20.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥A ?BCDE ，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，<="">BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°，且BE =EC 中，∴由余弦定理得cos∠ABC =<="">AB 2+BC 2?AC 22×AB×BC<="">=<="">√3<="">2<="">，∴AC =2√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ．<="">∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC =BC ，BC ⊥AC ，∴AC ⊥平面BCDE ，<="">又∵BE ?平面BCDE ，∴AC ⊥BE ．<="">解：(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ，∵平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°，且BE =EC ．<="">∴OE ⊥BC ，∴OE ⊥平面ABC ，<="">以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，B(3,0，0)，A(?3,2√3,0)，C(?3,0，0)，E(0,0，3)，AB =(6,?2√3,0)，AC =(0,?2√3,0)，AE=(3,?2√3,3)，设平面ACE 的法向量n<="">? =(x,y ，z)，则{n ? ?AC<=""> =?2√3y =0n ? ?AE =3x ?2√3y +3z =0，取z =1，得n<="">? =(?1,0，1)，∴B 到平面ACE 的距离为： d =<="">|AB ?????? ?n ?? ||n ?? |<="">=<="">√2<="">=3√2．<=""><="">解析：(Ⅰ)由余弦定理得cos∠ABC =√3<="">2，由勾股定理得AC ⊥BC.再由BC ⊥AC ，得AC ⊥平面BCDE ，<="">由此能证明AC ⊥BE ．<="">(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ，以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 到平面ACE 的距离．<="">本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．<="">21.答案：解：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2<="">b 2=1(a >b >0)，抛物线的焦点为(1,0)，<="">所以该椭圆的两个焦点坐标为F 1(?1,0)，F 2(1,0)，<="">根据椭圆的定义有2a =|MF 1|+|MF 2|=2√2，所以椭圆E的标准方程为<="">x 22<="">+y 2=1；………………….(5分)<="">(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．<="">设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4，设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，<="">由根与系数的韦达定理得，x 1+x 2=?12k<="">2k 2+1,x 1x 2=16<="">2k 2+1………………….(8分) 则k 1k 2=<="">y 1?1x 1<="">?<="">y 2?1x 2<="">=<="">k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4<="">x 1x 2<="">=1<="">4，<="">即为定值1<="">4.…………….(12分)<=""><="">解析：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a<="">2+<="">y 2b 2<="">=1(a >b >0)，通过抛物线的焦点为(1,0)，转化求解椭圆<="">的a ，b 即可．<="">(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4，<="">设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由根与系数的韦达定理转化求解即可．<="">本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．<="">22.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1<="">y ．<="">必要性：由1<="">x <1<="">y ，得1<="">x ?1<="">y <0，即y?x<="">xy <0．因为x >y ，所以y ?x <0，所以xy >0．所以1 <="">x <1<="">y 的充要条件是xy >0．<=""><="">解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．<=""><="">。

2023-2024学年安徽省合肥一中高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024学年安徽省合肥一中高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是()A. B. C. D.120。

2.平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于.()A. B. C.3 D.设3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数1，3，6，10，⋯,正方形数1，4，9，16，⋯等等．如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为()A.16B.17C.18D.224.在处的切线方程是()A. B. C. D.5.函数的单调减区间是()A. B. C. D.6.已知点P、Q分别为圆：与圆：上的任意一点，则IPQ的取值范围为()A. B.C. D.7.若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.8.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，若，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是()A.若C为椭圆，则B.若C为双曲线，则或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜210.下列说法正确的有()A.直线过定点B.过点作圆的切线l，则l的方程为2-w-4=0C.圆上存在两个点到直线的距离为2D.若圆：与圆：有唯一公切线，则m=2511.如表所示的数阵成为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉过学者森德拉姆于1934年创立．表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是() 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………A.第10行第10列的数是99B.数字69不在数表中C.偶数行的数都是奇数D.数字86在数表中共出现4次12.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是()A.B1C/MNB.若p为直线上的动点，则为定值C.点A到平面的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年人教A版安徽省合肥六中、阜阳一中、淮北一中四校联考高二第一学期期末数学理科试卷 解析版

2019-2020学年人教A版安徽省合肥六中、阜阳一中、淮北一中四校联考高二第一学期期末数学理科试卷 解析版

2019-2020学年第一学期高二（上）期末数学理科试卷一、选择题（本题共12小题）1．已知集合A＝{x|1＜2x≤4}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2} 2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，下列四个命题中是真命题的是（）A．若α∥β，则l⊥m B．若l⊥m，则α∥βC．若α⊥β，则l∥m D．若l⊥m，则α⊥β3．若直线l1：2x+ay+6＝0与直线l2：（a﹣4）x+ay+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2或4 C．﹣4 D．﹣4或24．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．下列结论中错误的是（）A．“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B．命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a＝6，b＝2，B，A，C成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．7．设变量x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值是（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知x＞0，y＞0，4x•2y＝8，则的最小值是（）A．3 B．C．D．99．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，则f（log220）＝（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（）A．41πB．16πC．25πD．64π11．已知函数f（x）＝x2+（m﹣2）x﹣m，g（x）＝，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数，若函数y＝g（log2（x2+4））+k•﹣9恰好有三个零点，则该函数的零点是（）A．﹣1，0，1 B．﹣2，0，2 C．﹣2，0，1 D．﹣1，0，2 12．若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，3，|BF|成等差数列，则k＝（）A．±1 B．1﹣C．1±D．1+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），则a2020的值是14．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DM⊥PA，PA＝PD＝AB＝4，M为BC中点．则点M到平面PBD的距离是．15．设A、B分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为．16．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）若对任意x∈（0，m]，都有，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝4﹣4cos B．（1）求；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长的最小值．18．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过（2，0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{a n}通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．20．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．21．如图①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体．（1）求证：AB⊥平面ADC；（2）若AC与平面ABD所成角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（﹣b＜m＜b），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y 轴上是否存在点N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m＝1时，求△ABN面积的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．已知集合A＝{x|1＜2x≤4}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2} 【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|1＜2x≤4}＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：B．2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，下列四个命题中是真命题的是（）A．若α∥β，则l⊥m B．若l⊥m，则α∥βC．若α⊥β，则l∥m D．若l⊥m，则α⊥β【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，故A为真命题．若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又∵m⊂β，∴α与β可能平行也可能相交，故B 为假命题．若α⊥β，l⊥α，l可能平行β，也可能在β内，又由m⊂β，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，故C为假命题；若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故D为假命题故选：A．3．若直线l1：2x+ay+6＝0与直线l2：（a﹣4）x+ay+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2或4 C．﹣4 D．﹣4或2【分析】利用直线垂直的性质求解．解：由直线垂直的条件可知，2（a﹣4）+a•a＝0，解可得，a＝﹣4或a＝2．故选：D．4．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．解：椭圆E的焦点为（±3，0）．故a2＝32﹣5＝4．双曲线C：，双曲线C的渐近线方程为．故选：D．5．下列结论中错误的是（）A．“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B．命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【分析】由方程表示椭圆求出m的范围判断A；写出特称命题的否定判断B；由原命题与其逆否命题共真假判断C；写出原命题的否命题判断D．解：若方程表示椭圆，则，即﹣2＜m＜3且m．∴“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件，故A正确；命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故B错误；当m＞0时，△＝1+4m＞0，∴命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”是真命题，其逆否命题是真命题，故C正确；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．6．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a＝6，b＝2，B，A，C成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．【分析】由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sin B和B的值．解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A＝B+C＝π﹣A，解得A＝；所以sin B＝＝＝，又a＞b，所以B为锐角．所以B＝．故选：A．7．设变量x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z＝4x+3y，由图象可知当直线z＝4x+3y经过点A时，目标函数z＝4x+3y取得最大值，由，解得，即A（），即z＝4××3＝9，故z的最大值为9．故选：C．8．已知x＞0，y＞0，4x•2y＝8，则的最小值是（）A．3 B．C．D．9【分析】由已知结合指数运算性质可得2x+y＝3，从而，展开后利用基本不等式可得解解：∵x＞0，y＞0，4x•2y＝8，∴2x+y＝3，∴＝≥，当且仅当，即，y＝1时取等号，∴的最小值为3．故选：A．9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，则f（log220）＝（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣【分析】由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）＝﹣f（log2），由f（log2）＝1，能求出f（log220）＝﹣1．解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）＝f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）＝f（log220﹣4）＝f（log2）＝﹣f（﹣log2）＝﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，∴f（log2）＝1故f（log220）＝﹣1．故选：A．10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（）A．41πB．16πC．25πD．64π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．则BC⊥PC．放入长方体，求长方体外接球即可，设外接球的半径为R，所以（2R）2＝42+42+32＝41，所以S＝4πR2＝41π．故选：A．11．已知函数f（x）＝x2+（m﹣2）x﹣m，g（x）＝，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数，若函数y＝g（log2（x2+4））+k•﹣9恰好有三个零点，则该函数的零点是（）A．﹣1，0，1 B．﹣2，0，2 C．﹣2，0，1 D．﹣1，0，2【分析】（1）由函数y＝f（x﹣2）是偶函数，得出y＝f（x）关于直线x＝﹣2对称，求出m，即可求出g（x）的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得x＝0为其零点，代入求出k的值，令进而求出该函数的零点．解：函数y＝f（x﹣2）是偶函数，所以f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2）∴y＝f（x）关于关于直线x＝﹣2对称，∴，∴m＝6∴f（x）＝x2+4x﹣6，∴；设，∵h（﹣x）＝h（x），∴h（x）为偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，∴h（0）＝g（2）+k﹣9＝k﹣6＝0，k＝6，令，则整理得，t2﹣5t+6＝0，解得t＝2或t＝3，当t＝2时，x＝0；当t＝3时，，∴x＝±2，∴所求函数的零点为﹣2，0，2．故选：B．12．若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，3，|BF|成等差数列，则k＝（）A．±1 B．1﹣C．1±D．1+【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2﹣4（k+2）x+4＝0，由韦达定理得x1+x2＝，因为直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，所以△＞0即k＞﹣1，由抛物线的性质可知|AF|＝x1+＝x1+2，＝x2+2，再结合条件有x1+x2＝2，进而得而出答案．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由消去y，得k2x2﹣4（k+2）x+4＝0，故△＝16（k+2）2﹣16k2＝64（1+k）＞0，解得k＞﹣1，且x1+x2＝．由|AF|＝x1++2，且|AF|，3，|BF|成等差数列，得x1+2+x2+2＝6，得x1+x2＝2，所以＝2，解得k＝1±又k＞﹣1，故k＝1+，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），则a2020的值是【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．解：数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），可得a2＝﹣3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2020＝a673×3+1＝a1＝．故答案为：．14．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DM⊥PA，PA＝PD＝AB＝4，M为BC中点．则点M到平面PBD的距离是．【分析】由题意得DM⊥AD，DM⊥PA，且PA∩AD＝A，可得DM⊥平面PAD，故而平面PAD ⊥平面ABCD；根据V M﹣PBD＝V P﹣BDM即可求出M到平面PBD的距离．解：∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，又M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴DM⊥AD，又DM⊥PA，PA∩AD＝A，∴DM⊥平面PAD，又DM⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．取AD的中点H，连接PH，BH，∵PA＝PD＝AB＝4，AB＝BD＝AD＝4，∴PH⊥AD，且，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PH⊥平面ABCD，故PH⊥BH，∴，又PD＝BD＝4，∴，设M到平面PBD的距离为h，则．又，∴，解得．∴点M到平面PBD的距离为．故答案为：．15．设A、B分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为．【分析】先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率．解：设P（x1，y1），则，因此＝，当且仅当时取等号．所以离心率是．故答案为：．16．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）若对任意x∈（0，m]，都有，则m的取值范围是．【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，可得结论解：∵f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1）．∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）；∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）；当x∈（0，1]时，；当x∈（1，2]时，，由解得，若对任意x∈（0，m]，都有，则．所以m的取值范围是，故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝4﹣4cos B．（1）求；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长的最小值．【分析】（1）由三角形内角和定理与二倍角余弦、正弦公式，和同角的三角函数关系，即可求得tan的值；（2）由tan的值，利用半角公式求出cos B、sin B的值，再根据三角形面积公式和余弦定理以及基本不等式，即可求得△ABC周长的最小值．解：（1）△ABC中，sin（A+C）＝4﹣4cos B，由A+B+C＝π，及二倍角余弦公式可得sin（π﹣B）＝4（1﹣cos B），即sin B＝8sin2；所以，所以；（2）由，得cos B＝＝＝＝，所以B∈（0，），所以sin B＝＝＝，所以；又S△ABC＝2，所以；由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，所以，（当且仅当a＝c时取等号）；所以，即△ABC周长的最小值为+．18．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过（2，0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．【分析】（1）利用圆心到直线的距离，求出a，然后求解圆的半径，得到圆的方程．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），利用，解得k＝，然后求解直线方程．解：（1）设圆心的坐标为C（a，﹣2a），则＝．化简，得a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．所以C点坐标为（1，﹣2），半径r＝|AC|＝＝．故圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0由题意得，解得k＝，则直线l的方程为y＝（x﹣2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{a n}通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．解：（1）由a4+2是a3，a5的等差中项得a3+a5＝2a4+4，所以a3+a4+a5＝3a4+4＝28，解得a4＝8，由a3+a5＝20得，因为q＞1，所以q＝2．所以；（2）记，则，所以＝．20．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出A，B的坐标结合＝+λ，求出C的坐标，代入抛物线方程求得λ值．解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y＝2x﹣p，联立，可得4x2﹣5px+p2＝0．∵x1＜x2，p＞0，△＝25p2﹣16p2＝9p2＞0，解得，x2＝p．∴经过抛物线焦点的弦|AB|＝x1+x2+p＝p＝9，解得p＝4．∴抛物线方程为y2＝8x；（2）由（1）知，x1＝1，x2＝4，代入直线y＝2x﹣4，可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），∴＝+λ＝（1，﹣2）+λ（4，4）＝（4λ+1，4λ﹣2），∴C（4λ+1，4λ﹣2），∵C点在抛物线上，故，解得：λ＝0或λ＝2．21．如图①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体．（1）求证：AB⊥平面ADC；（2）若AC与平面ABD所成角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．【分析】（1）利用平面ABD⊥平面BCD，结合BD⊥DC，推出DC⊥平面ABD．得到DC⊥AB，结合AD⊥AB，且即可证明AB⊥平面ADC．（2）说明∠DAC为AC与平面ABD所成角．以O为坐标原点OB，OG，OA分别为x、y、z 轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，求出面ABD法向量，面DAE法向量，面角B ﹣AD﹣E是锐角，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值即可．【解答】（1）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥DC，DC ⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABD．因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB，又因为AD⊥AB，且DC∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC．（2）解：由（1）知DC⊥平面ABD，所以∠DAC为AC与平面ABD所成角．依题意得tan∠DAC＝＝，因为AD＝1，所以CD＝，设AB＝x（x＞0），则BD＝，因为△ABD∽△DCB，所以＝，即，解得x＝，故AB＝，BD＝2．过A作AO⊥BD于O，则AO⊥平面BDC，过O作OG∥DC交BC于G，以O为坐标原点OB，OG，OA分别为x、y、z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示面ABD法向量可取，DO＝，OA＝D（，0，0）A（0，0，），，，所以，设面DAE法向量为则取，．又二面角B﹣AD﹣E是锐角，所以所求二面角的余弦值为．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（﹣b＜m＜b），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y 轴上是否存在点N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m＝1时，求△ABN面积的最大值．【分析】（1）由内切圆的性质，推出离心率，将x＝c代入+＝1，转化求解a＝2，b＝，得到椭圆C的标准方程．（2）①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．联立方程消去y得，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求解k AN+k BN＝＝0．对任意k∈R恒成立．得到mn＝3且m≠0．m＝0时由（*）式知不存在点N符合题意，推出结果．（3）由（2）得n＝3M（0，1）、N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx+1．由⇒（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求解最值即可．解：（1）由内切圆的性质，得×2c×b＝×（2a+2c）×，得＝．将x＝c代入+＝1，得y＝±，所以＝3．又a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝，故椭圆C的标准方程为+＝1．（2）①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．联立方程消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．（，）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝．假设存在N（0，n）则k AN+k BN＝＝＝＝0．（*），对任意k∈R恒成立．所以mn＝3且m≠0．m＝0时由（*）式知不存在点N符合题意，综上：m＝0时不存在，时存在点N（0，n）．mn＝3．（3）由（2）得n＝3M（0，1）、N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx+1．由⇒（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝．＝，令t＝2k2+1，则t≥1，，当且仅当t＝1，k＝0时取的最大值．所以△ABN面积的最大值为．。

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试理科-试题卷 (最终稿)

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试理科-试题卷 (最终稿)

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷满分：150分时长：120分钟命题人：谷留明审题人：陶金美一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.如图所示,观察四个几何体，其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥2.下列说法正确的是()A.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C.通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D.相等的角在直观图中对应的角仍相等3.用n m ,表示两条不同的直线，用βα，表示两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//,m n n ⊂α，则α//m B.若//,,m n αβ⊂α⊂β，//m n则C.若//,//m n αα，则nm //D.若m 不平行于α，且m ⊄α，则α内不存在与m 平行的直线 4.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为面''B BCC 的中心，点F 为''B C 的中点，则空间四边形'D OEF 在该正方体各个面上的投影不可能是() A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术 商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如右图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A.182 B.183 C.186 D.27226.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为3m ，一只小虫从圆锥底面圆周上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P ，若该小虫爬行的最短路程为33m ，则圆锥底面圆的半径等于（）A.43m B.32m C.1m D.2m7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①//AB EF ；②CD MN ⊥；③MN 与AB 是异面直线；④BF 与CD 成60 角,其中正确的是()A.①③ B.②③ C.②④D.③④8.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，,,M N P 分别是棱11111,,A D A A C D 的中点,则过,,M N P 三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.3 B.33 C.32 D.3329.直三棱柱111ABC A B C -中，90,BAC ∠= 12,2AB AC AA ===，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为()A.33- B.33 C.36- D.3610.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A.12B.16C.6D.611.已知某几何体的一条棱的长为m ,该棱在正视图中的投影长为6，在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ，且2a b +=，则m 的最小值为()A. B.142 D.212.已知三棱锥S ABC -中1SA SB SC ===，AB AC ==，BC =接球的表面积为()A．3πB．5πC．6π二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）13.的正方形,则原平面四边形的面积为．14.平面//α平面β，点,A C ∈α，点,B D ∈β，直线AB ，CD 相交于点P ，已知8=AP ，9=BP ，16,CP =则=CD ．15.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为．16.正四棱锥P ABCD -中，1B 为PB 的中点，1D 为PD 的中点，则棱锥11A B CD -和P ABCD -体积的比值是．三、解答题（共6小题，共70分）17.（本题10分）如图,四边形ABCD 中， 90=∠DAB 135ADC ∠= ，,5=AB 22=CD ,2=AD ,求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积.18.（本题12分）如图,直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC ,点E D ,分别为11,B A AB 的中点.（1）求证:CD B E AC 11//平面平面;（2）求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值.19.（本题12分）在空间四边形ABCD 中,H ,G 分别是CD AD ,的中点,F E ,分别边BC AB ,上的点,且41==CB CF AB AE ;求证：(1)点H G F E ,,,四点共面；(2)直线FG BD EH ,,相交于同一点．20.（本题12分）如图,四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 底面⊥,且底面ABCD 为平行四边形,若1,2,60===∠AD AB DAB (1)求证：BD PA ⊥；(2)若 45=∠PCD ,求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（本题12分）如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .(1)求证：PDM AP 平面//.（2）若G 为DM 中点，求证：41=PA GH .22.（本题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥,4==AD PA ,2=AB .以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .求:(1)三棱锥ACM D -的体积;（2）点N 到平面ACM 的距离.。

2019-2020学年安徽省合肥一中高二(上)段考数学试卷(文科)(一)+答案解析(附后)

2019-2020学年安徽省合肥一中高二(上)段考数学试卷(文科)(一)+答案解析(附后)

2019-2020学年安徽省合肥一中高二（上）段考数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A. 是棱台B. 是圆台C. 是棱锥D. 不是棱柱2.下列关于圆锥的说法中，错误的是( )A. 圆锥的轴截面是等腰三角形B. 圆锥的侧面展开图是扇形C. 以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台3.已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积为( )A. B. C. D.4.在正方体中O为底面ABCD的中心，E为的中点，则异面直线与EO所成角的正弦值为( )A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示则“堑堵”的左视图的面积( )A. B. C. D.6.已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是( )A. m，n是平面内两条直线，且，B. m，n是两条异面直线，，，且，C. 面内不共线的三点到的距离相等D. 面，都垂直于平面7.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A.， B. ，C. ，，共面D. ，，共点，，共面8.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 2B.C.D.9.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. 1 C. D.10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①；②；③MN与AB是异面直线；④BF与CD成角，其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④11.已知正方体，P为棱的动点，Q为棱的中点，设直线m为平面BDP与平面的交线，以下关系中正确的是( )A.B. 平面C.D.平面12.如图，在四面体ABCD，，，，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A.B.C. 3D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某圆台的正视图是上底与腰长均为2，下底边为4的等腰梯形，则此圆台的表面积为______. 14.如图，在棱长为的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则点G到平面的距离为______.15.已知球O与棱长为4的正四面体的各面都相切，则球O的体积______.16.如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面ABCD，且，，，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得平面ACN，则PN长度为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|y=ln(x+2)}，B={x|3x<1}，则A∩B=A. {x|−2<x<0}B. {x|−2≤x<0}C. {x|−2<x<1}D. {x|−2≤x<1}2.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α//β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l//m③l//m⇒α⊥β④l⊥m⇒α//β正确的命题是()A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③3.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+5=0垂直，则实数a的值是()A. 23B. 1 C. 12D. 24.已知双曲线x2m −y25=1的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√55x B. y=±2√55x C. y=±√52x D. y=±√5x5.下列命题错误的是()A. 命题“若x2<1，则−1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤−1，则x2≥1”B. 若p：1x+1<0，则¬p：1x+1≥0C. 命题p；存在x0∈R，使得x02+x0+1<0，则¬p；任意x∈R，使得x2+x+1≥0D. “am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件6.在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=()A. 12B. √32C. √22D. √337.若变量x，y满足约束条件{x+y≥3,x−y≥−1,2x−y≤3,，则z=yx的最大值为()A. 4B. 2C. 12D. 548.已知a>0,b>0,a+b=2，则y=1a +4b的最小值是()A. 92B. 72C. 5D. 49.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，并且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log210)的值为()A. −35B. 35C. −25D. 2510.如图是三棱锥D−ABC的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为()A. 10πB. 12πC. 14πD. 9π11.函数f(x)=(x+2)lnx的零点为()A. −2和1B. (−2,0)和(1,0)C. (1,0)D. 112.若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为()A. 6B. 3+2√2C. 9D. 3−2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a n+1·a n=a n−1，a1=2，则a2019=________．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，PD=AD=2，AB=4.则点A到平面PMN的距离为______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A、B在双曲线C的左支上，O为坐标原点，直线BO与双曲线的右支交于点M.若直线AB与AM的斜率分别为 3 和 1，则双曲线的离心率为______．16.函数f(x)定义域为R+，对任意x，y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y)，又f(8)=3，则f(2)=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cos B；(2)若a+c=6，△ABC面积为2，求b．18.已知直线l：x−y+3=0被圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2，求(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程．19.已知数列{a n}为等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2log2a n−1，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20. 已知过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|=9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的值．21. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，CD//AB ，AB =4，AD =CD =2，M 为线段AB的中点．将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D −ABC ，如图2所示． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ)求二面角A −CD −M 的余弦值．22.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，离心率为12.设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)已知点T(4,0)，证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：易知A={x|y=ln(x+2)}={x|x>−2}，B={x|x<0}．于是A∩B={x|−2<x<0}．故选A．2.答案：D解析：解：∵l⊥α，α//β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l//β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l//m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选：D．本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．3.答案：A解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．由直线的垂直关系可得a⋅1+2(a−1)=0，解方程可得．解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+5=0垂直，∴a⋅1+2(a−1)=0，解得a=2，3故选A．4.答案：C本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查，由已知条件求出双曲线的一个焦点为(3,0)，可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．解：∵抛物线y2=12x的焦点为(3,0)，∴双曲线的一个焦点为(3,0)，即c=3．双曲线x2m −y25=1可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：y=±√52x．故选C．5.答案：B解析：解：命题“若x2<1，则−1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤−1，则x2≥1”，故A 正确；若p：1x+1<0，则¬p：1x+1≥0或x=−1，故B错误．命题p；存在x0∈R，使得x02+x0+1<0，则¬p；任意x∈R，使得x2+x+1≥0，故C正确；由am2<bm2，可得am2⋅1m2<bm2⋅1m2，即a<b，反之，由a<b，不一定有am2<bm2，如m2=0．∴“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件，故D正确．故选：B．直接写出命题的逆否命题判断A；写出命题的否定判断B；直接写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定和逆否命题，对于选项B的判断极易出错，是基础题．6.答案：B本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．由题意可得A+C=2B，结合三角形的内角和可求B，进而可求sin B．解：由题意可得，A+C=2B，∵A+B+C=180°，∴B=60°，sinB=√32，故选B ．7.答案：B解析：本题考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由目标函数z=yx ，可化为z=y−0x−0，表示平面区域的点与原点O(0,0)连线的斜率，由图象可知当P位于A时，直线AO的斜率最大．由{x +y =3x −y =−1解得A(1,2)， 所以目标函数的最大值为z =2−01−0=2， 故选B ． 8.答案：A解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解：∵a >0，b >0，a +b =2，∴y =1a +4b =12(1a +4b )(a +b) =12(1+4+b a +4a b)⩾12(5+2√b a ⋅4a b )=92， 当且仅当b =2a ，即a =23，b =43时等号成立，故选A ．9.答案：A解析：本题考查奇函数的性质，函数的周期性，以及指数、对数的运算性质的综合应用，属于中档题． 由f(x +4)=f(x)化简后求出函数的周期，利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化f(log 210)，代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可．解：∵f(x +4)=f(x)，则函数f(x)的周期是4，，∵2<log 25<3，∴0<3−log 25<1，又f(x)为奇函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x −1，故，即f(log 210)=−35．故选：A ． 10.答案：D解析：解：如图所示，该几何体为三棱锥P −ABC ，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =1．把此三棱锥补成一个长方体，设该三棱锥外接球的半径为R ，则(2R)2=22+22+12，可得4R 2=9，∴4πR 2=9π．故选：D ．如图所示，该几何体为三棱锥P −ABC ，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =1.把此三棱锥补成一个长方体，即可得出该三棱锥外接球的半径．本题考查了三棱柱的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.答案：D解析：本题考查了函数的零点，属于基础题．可以根据f(x)=0可以得出答案．解：由f(x)=0得(x +2)lnx =0，因为x >0，所以x +2>0，所以lnx =0，解得x =1， 故选D ．12.答案：B解析：解：抛物线的焦点F(1,0)，设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4x x =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0．设A(y124,y1)，B(y224,y2)，则y12y2216=1.∴y22=16y12．由抛物线的性质得|AF|=y124+1，|BF|=y224+1=4y12+1．∴|AF|+2|BF|=y124+1+2(4y12+1)=3+y124+8y12≥3+2√2．故选：B．设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出|AF|+ 2|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.答案：−1解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．解：数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n−1a n =1−1a n，可得a2=12，a3=1−112=−1，a4=1−1−1=2，…所以数列的周期为3．则a2019=a672×3+3=a3=−1．故答案为−1．14.答案：√63解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查学生的计算能力，点A到平面PMN的距离转化为E到平面PMN的距离是关键，属于中档题．取PD的中点E，连接AE，NE，证明AE//MN，可得点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离，由V E−PMN=V M−PEN，可得点A到平面PMN的距离．解：取PD的中点E，连接AE，NE，如图，∵四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为AB，PC的中点，∴NE//AM，NE=AM，∴AENM是平行四边形，∴AE//MN，∴点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离，设为h，△PMN中，PN=√5，PM=2√3，MN=√5，∴S△PMN=12×2√3×√2=√6，由V E−PMN=V M−PEN，可得：13×√6ℎ=13×12×1×2×2，∴ℎ=√63．故答案为：√63．15.答案：2解析：解：设B(m,n)，则直线BO与双曲线的右支交于点M(−m,−n)．设A(x0,y0)，可得直线AB的斜率为y0−nx0−m直线AM的斜率为y0+nx0+m；∴y02−n2x02−m2=b2a2x02−b2a2n2x02−n2=b2a2=3×1=3，∴e=√1+b2a2=2，故答案为：2本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．16.答案：1解析：解：∵函数f(x)，对任意x，y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y)，∴f(8)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3∴f(2)=1故答案为：1根据函数f(x)定义域为R+，对任意x，y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y)，可把f(8)逐步变形，最后用f(2)表示，就可求出f(2)的值．本题考查了抽象函数的性质，做题时要善于发现规律．17.答案：解：(1)∵sin(A+C)=8sin2B2，∴sinB=4(1−cosB)，又∵sin2B+cos2B=1，∴16(1−cosB)2+cos2B=1，∴(17cosB−15)(cosB−1)=0，∴cosB=1517.(2)由(1)可知sinB=817，∵S△ABC=12ac⋅sinB=2，∴ac=172，∴b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−2×172×1517=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4，∴b=2．解析：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用降幂公式化简，结合sin 2B +cos 2B =1，求出cos B ，(2)由(1)可知sinB =817，利用面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b ．18.答案：解：(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2)，半径r =2，则圆心到直线l ：x −y +3=0的距离d =2()2=2， 由勾股定理可知d 2+(2√22)2=r 2，代入化简得|a +1|=2，解得a =1或a =−3，又a >0，所以a =1； (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4，又(3,5)在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y −5=k(x −3)，由圆心到切线的距离d =r =2可解得k =512，∴切线方程为5x −12y +45=0，②当过(3,5)斜率不存在，易知直线x =3与圆相切，综合①②可知切线方程为5x −12y +45=0或x =3．解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． (Ⅰ)求出圆心C(a,2)，半径r =2，圆心到直线l ：x −y +3=0的距离，通过勾股定理求解即可． (Ⅱ)判断点与圆的位置关系，通过①当切线方程的斜率存在时，设方程为y −5=k(x −3)， 由圆心到切线的距离d =r 求解即可；②当过(3,5)斜率不存在，判断直线x =3与圆是否相切，推出结果．19.答案：解：(1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2=4，所以a 3=4q ，a 4=4q 3，因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3+2)=a 2+a 4．即2(4q +2)=4+4q 2，化简得q 2−2q =0，因为公比q ≠0，所以q =2，所以a n =a 2q n−2=4⋅2n−2=2n ，(n ∈N ∗)；(2)b n =2log 2a n −1=2log 22n −1=2n −1．所以a n +b n =2n +(2n −1)．前n 项和T n =(2+4+⋯+2n )+(1+3+⋯+2n −1)=2(1−2n )1−2+12(1+2n −1)n =2n+1−2+n 2．解析：(1)设等比数列的公比为q ，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；(2)求得b n =2log 2a n −1=2log 22n −1=2n −1.a n +b n =2n +(2n −1).由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得和．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)直线AB 的方程是y =2√2(x −p 2)，与y 2=2px 联立，从而有4x 2−5px +p 2=0，所以x 1+x 2=5p 4．由抛物线定义得AB =x 1+x 2+p =5p 4+p =9，所以p =4，从而抛物线方程是y 2=8x ．(2)由于p =4，则4x 2−5px +p 2=0，即x 2−5x +4=0，从而x 1=1，x 2=4，于是y 1=−2√2，y 2=4√2，从而A(1,−2√2)，B(4,4√2)，设C(x 3,y 3)，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,−2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ−2√2)，又y 32=8x 3，即[2√2(2λ−1)]2=8(4λ+1)，即(2λ−1)2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p ，则抛物线方程可求；(2)由(1)求出A ，B 的坐标结合OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出C 的坐标，代入抛物线方程求得λ值． 21.答案：解：(Ⅰ)在图1中，可得AC =BC =2√2，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC 取AC 中点O 连接DO ，则DO ⊥AC ，又面ADC ⊥面ABC ，面ADC ∩面ABC =AC ，DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，(4分)∴OD ⊥BC又AC ⊥BC ，AC ∩OD =O ，∴BC ⊥平面ACD(6分)另解：在图1中，可得AC =BC =2√2，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC∵面ADC ⊥面ABC ，面ADE ∩面ABC =AC ，BC ⊂面ABC ，从而BC ⊥平面ACD(Ⅱ)建立空间直角坐标系O −xyz 如图所示，则M(0,√2,0)，C(−√2,0,0)，D(0,0,√2)CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0)， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2)(8分)设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)为面CDM 的法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√2x +√2y =0√2x +√2z =0，解得{y =−x z =−x 令x =−1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)又n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为面ACD 的一个法向量∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗ |=1√3=√33 ∴二面角A −CD −M 的余弦值为√33.(12分)解析：(Ⅰ)要证BC ⊥平面ACD ，只需证明BC 垂直平面ACD 内的两条相交直线AC 、OD 即可； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A −CD −M 的余弦值．本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e =c a =12，则a =2c ，将x =c 代入椭圆方程，解得：y =±b 2a ，|RS|=2b 2a =3，由a 2=b 2+c 2，则a =2，b =√3，c =1，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：当直线l 垂直与x 轴时，显然直线TS 与TR 的斜率之和为0，当直线l 不垂直与x 轴时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，R(x 1,y 1)，S(x 2,y 2)，{y =k(x −1)3x 2+4y 2−12=0，整理得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2x +4k 2−12=0， △=64k 4−4(3+4k 2)(4k 2−12)=k 2+1>0恒成立，x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2， 由k TR +k TS =y 1x 1−4+y 2x 2−4，TR ，TS 的斜率存在，由R ，S 两点的直线y =k(x −1)，故y 1=k(x 1−1)，y 2=k(x 2−1)，则k(x 1−1)(x 2−4)+k(x 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=k[2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8](x 1−4)(x 2−4)， 由2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=2×4k 2−123+4k −5×8k 23+4k +8=0， ∴k TR +k TS =0， ∴直线TS 与TR 的斜率之和为0，综上所述，直线TS 与TR 的斜率之和为为定值，定值为0．解析：(Ⅰ)由题意可知：a =2c ，2b 2a =3，且a 2=b 2+c 2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)分类讨论，当直线l 不垂直与x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR +k TS =0，即可证明直线TS 与TR 的斜率之和为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．直线x 3+y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】D【解析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线x 3+y +1=0的斜率k 33=-=-， 设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°）， 则tan 3θ=-， ∴θ=150° 故选：D 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A ．1B ．23C ．12D ．32【答案】B【解析】∵四棱锥P−ABCD 的三视图俯视图为正方形且边长为1，正视图和侧视图的高为2，故四棱锥P−ABCD 的底面面积S=1，高h=2故四棱锥P−ABCD 的121233V =⋅⋅=.本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．3．已知圆222212x y -23x-4y 60x y -6y 0C C ++=+=：，：，则两圆的位置关系为( ) A ．相离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【解析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解． 【详解】由题意，可知圆1C ，即为22(3)(2)1x y -+-=，表示以1(3,2)C 为圆心，半径为1的圆，圆2C ，即为22(3)9x y +-=，表示以1(0,3)C 为圆心，半径为3的圆， 由于两圆的圆心距等于312+=等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.5．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D 【解析】【详解】设AA 1=2AB=2，因为11//AD BC ，所以11A BC ∠异面直线A 1B 与AD 1所成角，11115524A BC 255cos A BC +-∠==⋅V 在中，由余弦定理：，故选D. 6．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案. 【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A． B．3CD【答案】B【解析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行，3=. 故选：B 【点睛】此题考查根据两直线平行求参数的取值，需要注意讨论直线重合的情况，根据距离公式求平行线之间的距离.8．已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题： ①若l α⊂，m α⊂，l β∥，m βP ，则αβ∥； ②若l α⊂，l β∥，m αβ=I ，则l m P ；③若αβ⊥，l β⊥，则l α⊂．其中正确的命题个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答． 【详解】对于①，若l α⊂，m α⊂，l β//，//m β，则α与β可能相交；故①错误； 对于②，若l α⊂，l β//，m αβ⋂=，满足线面平行的性质定理，故//l m ；故②正确；对于③，若αβ⊥，l β⊥，如果l α⊂，则l α⊥；故③错误；故选B ． 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．9．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y +=C ．40x y +=D ．04=+y x【答案】C【解析】求出导函数，根据几何意义写出切线方程即可得解. 【详解】由题：()()221f x x xf =+'，所以()()'221f x x f +'=，()()'1221f f =+'，所以()'12f =-， 所以()24f x x x =-，()24f x x '=-，()00f =，()04f '=-所以切线方程为40x y +=. 故选：C 【点睛】此题考查导数的几何意义，求在曲线上某点处的切线方程，关键在于根据求导公式准确求出导数值，结合几何意义求解.10．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，01245∠=PF F ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．1B ．2C ．2D 1【答案】D【解析】根据212PF F F ⊥求出2PF ，根据01245PF F ∠=，所以212PF F F =，即22b c a=，构造齐次式解方程得离心率.【详解】由题：212PF F F ⊥，设(),P c y ，代入22221c y a b +=得：22b y PF a ==，1245PF F ∠=，所以212PF F F =，即22b c a=，222ac a c =-，两边同时除以2a ，记离心率,01ce e a =<<，2210e e +-=，01e <<，解得：21e =-.故选：D 【点睛】此题考查求椭圆离心率，关键在于根据椭圆的几何意义，建立等量关系，构造齐次式求解.11．已知点P 是直线:3470l x y +-=的动点，过点P 引圆()()222:10C x y r r ++=>的两条切线PM PN 、，切点为M N 、，当MPN ∠的最大值为23π时，则r =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】根据圆的几何性质分析，当MPN ∠最大时，点P 到圆心的距离最小，根据角的关系即可求解. 【详解】由圆的几何性质可得：当MPN ∠最大时，点P 到圆心的距离最小， 即()1,0-C 到直线:3470l x y +-=3072916-+-=+，此时23MPN π∠=，则2sin 33r π=⨯=故选：C 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，通过切线形成的角的关系求解半径，考查数形结合思想. 12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是（3,0），则AB 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】根据垂直平分线上的点到两端点距离相等，利用坐标化简得122x x +=，结合抛物线的几何性质12114AB AF BF x x ≤+=+++=即可得解. 【详解】由题：A B 、是抛物线上横坐标不相等的两点，()()1122,,,A x y B x y ，2211224,4y x y x ==若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点是M （3,0），22MA MB =，()()2222112233x y x y -+=-+，化简得：22112222x x x x -=-，2212121222,x x x x x x -=-≠，所以122x x +=12114AB AF BF x x ≤+=+++=则AB 的最大值为4. 故选：B 【点睛】此题考查根据抛物线的几何意义解决直线与抛物线的问题，关键在于准确进行等价转化，利用坐标关系求解.二、填空题13． 命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定是__________．【答案】x R ∀∈，210x x ++≥【解析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果. 【详解】命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”是特称命题，所以其否定命题：2,210x R x x ∀∈-+≥ 故答案为2,210x R x x ∀∈-+≥【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题. 14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 【答案】423【解析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:423． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________． 【答案】5)【解析】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，根据题意可得2ba<，所以离心率 222215c a b b e a a a +⎛⎫===+< ⎪⎝⎭，所以离心率e 的取值范围是5)．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率c a 和ba的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中222c a b a a +=，在椭圆中222c a b a a-=. 16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________．①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面ADM ⊥平面11B CD ；③若12S S ，分别是1A DM ∆在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =； ④1A DM ∆2. 【答案】①②③【解析】当M 为直线1AC 与平面11A B CD 的交点时，①正确；1AC ⊥平面11B D C ，即可得②正确；计算出12S S =的条件，可得③正确；1DA M D面积取得最小值2216232232骣骣琪琪创-琪琪桫桫，所以④不正确. 【详解】由正方体性质可得1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1,A A BD AC BD ⊥⊥，1,A A AC 是平面11A ACC 内两条相交直线，所以BD ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，1BD A C ⊥，同理可证11BC A C ^，1,BC BD 是平面1BC D 内两条相交直线，所以1A C ⊥平面1BC D ，1AC ⊂平面11A B CD ，所以平面11A B CD ⊥平面1BC D ， 当M 为直线1AC 与平面11A B CD 的交点时，满足平面1A DM ⊥平面1BC D ，所以①正确；根据①证明1BD A C ⊥方法同理可证：11111,B D AC B C AC ⊥⊥，可以证得1AC ⊥平面11B D C ，1AC ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面11B CD ， 所以②正确；设1,01AM tAC t =<<，12111,22S t S =创=-， 当12S S =时，1111222t t 创=?，得：13t =，即113AM AC =时，满足12S S =，所以③正确；111ADC AAC D @D ，均为直角三角形，111,1,DM A M AD DC AC ==，1DM A M =的最小值为3，此时，1DA M D面积取得最小值，12，1A DM ∆的面积不可能等于6，所以④说法错误. 故答案为：①②③ 【点睛】此题考查空间几何体中的垂直关系辨析，求投影的面积，求三角形面积的最值，对几何图形处理能力要求较高.三、解答题17．已知直线l 方程为()1320x m y m -++-=，m R ∈. （1）求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标； （2）若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【答案】（1）见解析，()5,3P .（2）80x y +-=或350x y -=. 【解析】（1）直线方程变形为()()230x y m y ----=，即可求得定点；（2）分类讨论直线过原点和不过原点情况讨论截距问题. 【详解】（1）直线l 方程为()1220x m y m m R -++-=∈，,即()()230x y m y ----=， 该直线一定经过直线20x y --=和直线30y -=的交点（5,3）， 故定点P 的坐标为()5,3P .（2）对于直线l 方程为()1220x m y m -++-=，当直线l 不经过原点时，令0y =，可得320x m =-+≠，再令0x =，可得321m y m -=+，所以32321m m m -=-++，解得2m =-，故直线l 的方程80x y +-=.当直线l 经过原点时，320m -=，解得23m =，故直线l 的方程350x y -=. 故要求的直线l 的方程为80x y +-=或350x y -=. 【点睛】此题考查根据含参数的直线方程求定点坐标，解决截距有关的问题，易错点在于忽略掉截距为0的情况导致漏解.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，E ，F 分别在棱PD ，AB 上，且2PE ED =，2AF BF =，平面PAD ⊥平面ABCD ，3PA PD AD ===.（1）求证：AE ∥平面PFC ； （2）求三棱锥B PFC -的体积. 【答案】（1）见解析（2）98【解析】（1）在PC 上取点H ，使得2PH HC =，连EH HF ，，通过AEHF 为平行四边形，证明//AE HF ，即可得证； （2）转换顶点，B PFC P FBC V V --=即可求得.（1）证明：在PC 上取点H ，使得2PH HC =，连EH HF ，， ∵2PE PHED HC==，∴////EF CD AF ，∴AEHF 为平行四边形， //AE HF ，AE ⊄平面PFC ，HF ⊂平面PFC ，∴AE //平面PFC .（2）∵P BFC P FBC V V --=，取AD 中点M 连PM ， ∵PA PD =，∴PM AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PM ABCD ⊥，33PM =，∴1333132FBC S ∆=⨯⨯=∴1333393428B PFC P FBC V V --==⨯=. 所以三棱锥B PFC -的体积为98. 【点睛】此题考查证明线面平行，通过寻找线线平行关系证明线面平行，求锥体体积，通过转换顶点，转换成利于求点到平面距离的锥体求解体积.19．记()()f x g x ''，分别为函数()()f x g x ，的导函数.若存在0x R ∈，满足()()00f x g x ''=，且()()00f x g x =，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“公共切点”.（1）若()23f x x x =+-，()3221g x x x x =-++，求()f x 与()g x 的“公共切点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“公共切点”，求实数a 的值；【答案】（1）2（2）2ea =【解析】（1）根据公切线斜率相等解()()f x g x '='即可得解，结合共切点函数值关系取舍；（2）根据题意解()()00f x g x =''，且()()00f x g x =即可得解.（1）()21f x x '=+，()2341g x x x '=-+由()()f x g x '='得234121x x x -+=+，所以2360x x -=解得2x =或0x = 又()23f =，()()232g f ==，()03f =-，()()010g f =≠ 所以()f x 与()g x 的“公共切点”为2. （2）()2f x ax '=，()1g x x'=0x >，又函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“公共切点”， 所以存在0x R ∈，满足()()00f x g x =''，且()()00f x g x = 由()()00f x g x =''得0012ax x =且0a >，解得02x a=，所以22f g a a =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()111ln ln 2222a a -==-，解得2e a =. 【点睛】此题考查导数的几何意义，根据切线斜率与导数的关系，建立等量关系求解共切点和含参数问题.20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，22AB =，2BC =，23PC =.E H 、分别为PA PB 、的中点.（1）求证：PH AC ⊥； （2）求点P 到平面DEH 的距离. 【答案】（1）见解析（2）332【解析】（1）通过证明PH ⊥平面ABCD 即可得证； （2）利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】 （1）∵PAB 为正三角形，22AB =∴22PB AB ==∵ 2BC =，23PC =∴222PC BC PB =+，∴根据勾股定理得BC PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，∵PB ，AB ⊂平面PAB 且交于点B ，∴BC ⊥面PAB ，∵BC ⊂面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，∵H 为AB 的中点，PAB 为正三角形 ∴PH AB ⊥，∴PH ⊥平面ABCD ∵AC ⊂平面ABCD ，∴PH AC ⊥. （2）∵E 为PA AB 、的中点∴点P 到平面DEH 的距离等于点A 到平面DEH 的距离 由（1）知PH AB ⊥，2AH HB ==∴2EH EP EA ===6PH =，又ABCD 是矩形∴226DH AD AH =+=，AD BC P ，∴AD ⊥面PAB ，∴226DE AD AE =+∴等腰三角形DEH 底边EH 222222EH DE ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴11112211222222DEH S EH ∆=⨯==，设A 到平面DEH 的距离为d ∴ 11112232A DEH E ADH P ADH V V V AD PH ---===⨯⨯⨯⨯ ∴1111322632323DEH S d ⨯=⨯⨯=∴111332d ⨯=∴233d =所以点A 到平面DEH 的距离为2332. 【点睛】此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过等体积法求点到平面的距离.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆C 截得的弦长为1，P 是直线4x =上一点，过点()1,0M 且与PM 垂直的直线交椭圆于AB 、两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA PM PB 、、的斜率分别为123k k k 、、，求证：123k k k 、、成等差数列.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）根据弦长和焦点关系求解方程；（2）设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分别计算13k k +和22k 的关系即可得证. 【详解】 解：（1）抛物线243y x =的焦点为)3，，准线方程为3x =又抛物线的准线被椭圆C 截得的弦长为1，所以点132⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.由(2222121c ab ⎧==⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩，解得24a =，21b =.故椭圆C 的标准方程为2214x y +=（2）当直线AB 的斜率不存在时，其方程为1x =，代入椭圆方程得A B 、两点坐标为1⎛ ⎝⎭、1⎛ ⎝⎭，，此时()4,0P ，13202k k k +==. ∴123k k k 、、成等差数列.当直线AB 的斜率存在时，设()()1122,,A x y B x y ，，直线AB 的方程为()1y k x =-，由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-= ∴2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+ 直线PM 方程为()11y x k =--，则34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21k k =-，11134y k k x +=-，23234y k k x +=-. ()111y k x =-，()221y k x =-.()()()()12211312334444y x y x k k k k x x ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-- ()()()()()()()12121212314414444k x x x x x x kx x ⎡⎤--+--+-+-⎣⎦=-- ()()()121212121232588416k x x x x x x kx x x x ⎡⎤-++++-⎣⎦=-++ 2222222222884038881414144432161414k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--+++ ()()()22222222222338840328832248224432643612k k k k k k k k k k k k k k k--++---+===-=--++方法二 设点()4P t ，、()11,A x y 、()22,B x y当0t =时，AB 方程为1x =，此时130k k +=，20k =，1k 、2k 、3k 成等差数列 当0t ≠时，PM 的斜率为20413t t k -==-，AB 方程为()31y x t=--， 由()223114y x t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2236723640t x x t +-+-= ∴1222122723636436x x t t x x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩∴()()121212121233114444x t x t y t y tt t k k x x x x --------+=+=+---- ()()121212113114444x x t t x x x x ⎡⎤--⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦ ()()()()()()()()12211212121414834444x x x x x x t t x x x x --+--+-=-⋅-⋅---- ()()()1212121212121225883416416x x x x x x t t x x x x x x x x ⋅-+-+-=-⋅-⋅⋅-++⋅-++222222222272836072883363636364288364288161636363636t t t t t t t t t t t t ----+++=-⋅-⋅---+-+++++ 22222223728360828882163642881657636428816576t t t t t t t t t --++--=-⋅-⋅--++--++ ()()2228272231227t t t k t+=⋅==+ ∴1k 、2k 、3k 成等差数列 综上1k 、2k 、3k 成等差数列. 【点睛】此题考查根据焦点坐标和弦长关系求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系建立等量关系结合韦达定理证明斜率关系，关键在于准确计算.22．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例； （3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明. 【答案】（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数；（3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】 （1）()()()()()2112coscoscos cos 333333x x x xf x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()112coscoscos1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+- ∴()cos3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数. 证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+. 所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=， 所以f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴()()()21h x h x h x +=+- ∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+ ∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦ ∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。

安徽省合肥168中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

安徽省合肥168中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

安徽省合肥168中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2≤9}，N={x|2−x<0}，则M∪N=()A. [−3,+∞)B. (−∞,3]C. [−3,2)D. (2,3]2.抛物线x2=4y的焦点坐标是()A. (0,2)B. (2,0)C. (0,1)D. (l,0)3.入射光线沿直线x−2y+3=0射向直线l：y=x被直线反射后的光线所在的方程是()A. x+2y−3=0B. x+2y+3=0C. 2x−y−3=0D. 2x−y+3=04.已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是()A. 若l//m，l//n，则m//nB. 若l⊥m，l⊥n，则m//nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//lD. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面5.已知直线x−y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△ AOB为正三角形，则实数m的值为()A. √32B. √62C. √32或−√32D. √62或−√626.已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是()A. ∀x∈R，x2+2x+3≠0B. ∀x∈R，x2+2x+3=0C. ∃x∈R，x2+2x+3≠0D. ∃x∈R，x2+2x+3=07.如图，在正四棱锥S−ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；；面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为()．A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④8.方程(x+y−1)√x2+y2−4=0所表示的曲线是()A. B.C. D.9.P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a+b的值等于()A. 4B. 5C. 6D. 710.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A、B在抛物线上，且∠AFB=π2，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则|MN||AB|的最大值为()A. √22B. √32C. 1D. √311.已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1=S△MPF2+12S△MF1F2成立，则双曲线的离心率为()A. 4B. 52C. 2 D. 5312.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD⊥平面ACD；②△ABC为等边三角形；③平面ADC⊥平面ABC；④点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心．其中正确的有()A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C：x2a2−y216=1(a>0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为_____14.一个棱长为5的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放有一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为__________．15.数列{a n)(n∈N∗)的前n项和为S n，a1﹦2，S n2−S n+(n+S n)a n+1=0，则S n﹦__________．,1)，相邻的一个最低点为16.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象上一个最高点为P(12,−1)，则ω=______．Q(14三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)=(3−2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18.在ΔABC中边BC上的高所在的直线方程为x−3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为(1,3)(1)求点A和点C的坐标；(2)求ΔABC的面积19.如图所示，已知多面体ABC−A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．(1)求证AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．20. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，准线为l ，若点P 在抛物线C 上，点E 在直线l上，且△PEF 是周长为12的等边三角形． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)设过点(p,0)的直线l 1与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，求直线l 1斜率的取值范围．21. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为线段PA 的中点，∠CAB =90.，AC =AB ，平面PAB ⊥平面PAC ． (1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若Q 是棱AB 上的一点，V Q−BMC =14V P−ABC ，求二面角Q −MC −A 的余弦值．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−2,1)，且C 的离心率为√32． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求l 的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合M={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，N={x|2−x<0}={x|x>2}，∴M∪N=[−3,+∞)．故选：A．先求出集合M，N，由此能求出M∪N．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C=1，解析：解：∵抛物线x2=4y中，p=2，p2焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为(0,1)，故选：C．先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．)，属基础题．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2p y的焦点坐标为(0,p23.答案：C解析：解：∵入射光线与反射光线关于直线l：y=x对称∴反射光线的方程为y−2x+3=0，即2x−y−3=0故选C．光线关于直线对称，y=x是对称轴，直线x−2y+3=0在x、y轴上的截距互换，即可求解．光线关于直线对称，一般用到直线到直线的角的公式，和求直线的交点坐标，解答即可．本题是一种简洁解法．4.答案：A考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题．由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．本题考查命题的真假判断与应用．解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m//n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//l或AB与l异面或相交，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，若三条直线l，m，n两两相交，且都相交于同一点，则l，m，n不共面，故D错误．故选A．5.答案：D解析：解：直线x−y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：三角形AOB的边长为1，因为在等边三角形AOB中，三角形的高为√32，则：圆心(0,0)到直线x−y+m=0的距离d=2=√32，解得：m=±√62．故选：D．直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用．6.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．7.答案：A本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，考查学生较强的空间思维能力和推理能力，属于中档题．如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN，逐项分析即可．解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN，对于①，由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，又AC⊂底面ABCD，∴SO⊥AC，∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，，，而EM∩MN=N，∴平面平面SBD，∴AC⊥平面EMN，又EP⊂平面EMN，，故正确；对于②，由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，仅当P与M重合时，，因此不正确；对于③，由①可知：平面平面SBD，平面SBD，因此正确；对于④，由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，即不正确．故选A．8.答案：D解析：本题主要考查了曲线与方程的问题，考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力．原方程等价于{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分． 解：原方程等价于：{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4； 其中当x +y −1=0需√x 2+y 2−4有意义， 等式才成立，即x 2+y 2≥4，此时它表示直线x +y −1=0上不在圆x 2+y 2=4内的部分． 故选D ．9.答案：D解析：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、勾股定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．不妨设点P 在双曲线的右支上，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，可得m −n =2a ，12mn =9，m 2+n 2=4c 2，消去m ，n 可得b ，再利用ca =54，c 2=a 2+b 2可得a ． 解：如图所示，不妨设点P 在双曲线的右支上，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n. 则m −n =2a ， 因为PF 1⊥PF 2，则m 2+n 2=4c 2， △F 1PF 2的面积是9，则12mn =9结合c 2=a 2+b 2 消去m ，n 可得：b =3， ∵ca =54，c 2=a 2+b 2, ∴2516a 2=a 2+b 2，解得a 2=169b 2=16，即a =4.∴a +b =7. 故选D ．10.答案：A解析：解：设|AF|=a ，|BF|=b ，由抛物线定义， 得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ 中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a +b ． 由勾股定理得，|AB|2=a 2+b 2配方得，|AB|2=(a +b)2−2ab ， 又ab ≤(a+b 2) 2，∴(a +b)2−2ab ≥(a +b)2−(a+b)22得到|AB|≥√22(a +b)．所以|MN||AB|≤12(a+b )√2(a+b)2=√22，即|MN||AB|的最大值为√22． 故选A ．设|AF|=a ，|BF|=b ，由抛物线定义，2|MN|=a +b.再由勾股定理可得|AB|2=a 2+b 2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案．本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11.答案：C解析：解：如图，设圆M 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ，则ME ⊥F 1F 2，MF ⊥PF 1，MG ⊥PF 2，它们分别是△MF 1F 2，△MPF 1，△MPF 2的高， ∴S △MPF 1=12×|PF 1|×|MF|=r2|PF 1|，S △MPF 2=12×|PF 2|×|MG|=r2|PF 2| S △MF 1F 2=12×|F 1F 2|×|ME|=r2|F 1F 2|，其中r 是△PF 1F 2的内切圆的半径．∵S △MPF 1=S △MPF 2+12S △MF 1F 2∴r 2|PF 1|=r 2|PF 2|+r4|F 1F 2| 两边约去r2得：|PF 1|=|PF 2|+12|F 1F 2|∴|PF 1|−|PF 2|=12|F 1F 2|根据双曲线定义，得|PF 1|−|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a =c ⇒离心率为e =ca =2 故选：C ．设圆M 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ，可得△MF 1F 2，△MPF 1，△MPF 2可看作三个高相等且均为圆I 半径r 的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF 1|−|PF 2|=12|F 1F 2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率． 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．12.答案：C解析：在①中，AD ⊥BD ，CD ⊥BD ，从而BD ⊥平面ACD ；在②中，由AD 、CD 、BD 两两垂直，AD =CD =BD ，得AB =AC =BC ；在③中，取AC 中点O ，连结DO 、BO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ，∠BOD 是平面ADC 与平面ABC 所成角，由余弦定理得∠BOD =arccos √33；在④中，由AD 、CD 、BD 两两垂直，AD =CD =BD ，得点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：在①中，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面， ∴AD ⊥BD ，CD ⊥BD ，∵AD ∩CD =D ，∴BD ⊥平面ACD ，故①正确； 在②中，∵AD 、CD 、BD 两两垂直，AD =CD =BD ， ∴AB =AC =BC ，∴△ABC 为等边三角形，故②正确；在③中，取AC 中点O ，连结DO 、BO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ， ∴∠BOD 是平面ADC 与平面ABC 所成角， ∵CD =1，则OD =12AC =12√AD 2+CD 2=√22，OB =√(√2)2−(√22)2=√62， ∴cos∠BOD =OD 2+OB 2−BD 22×OD×OB =12+32−12×√22×√62=√33． ∴∠BOD =arccos√33， ∴平面ADC 与平面ABC 不垂直，故③错误；在④中，∵AD 、CD 、BD 两两垂直，AD =CD =BD ， ∴AB =AC =BC ，∴△ABC 为等边三角形，∴点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心，故④正确． 故选：C ．13.答案：4x ±3y =0解析：本题考查双曲线的标准方程及双曲线的几何性质，属于基础题．根据题意可知c 的值，从而利用a 2+b 2=c 2即可得a 的值，即得到双曲线C 的渐近线方程． 解：∵双曲线C ：x 2a 2−y 216=1(a >0)的一个焦点为(5,0)， ∴c =5，又∵a 2+b 2=c 2，即a 2=c 2−b 2=25−16=9， 即a =3，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±ba =±43x ，即4x ±3y =0，故答案为4x ±3y =0．14.答案：53解析：本题考查了正四面体的棱长与内切球的半径、外接球的半径关系式的应用，牢记结论是解题的关键，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．由题意得小正四面体的外接球是纸盒的内切球，利用“设正四面体的棱长为a ，则内切球的半径为√612a ，外接球的半径是√64a ，列出方程求出小正四面体的棱长的最大值． 解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， ∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a ，则内切球的半径为√612a ，外接球的半径是√64a ，∴纸盒的内切球半径是√612×5=5√612， 设小正四面体的棱长是x ，则5√612=√64x ，解得x =53， ∴小正四面体的棱长的最大值为53， 故答案为：53．15.答案：解：令n =1，则S 12−S 1+(1+S 1)a 2=0，且a 1=S 1=2∴a 2=−23，S 2=a 1+a 2=2+(−23)=43∵S n 2−S n +(n +S n )a n+1=0，且a n+1=S n+1−S n∴S n 2−S n +nS n+1−nS n +S n S n+1−S n 2=0整理可得：(n +1)S n −nS n+1=S n S n+1，两边同时除以S n S n+1，则n +1S n+1−nS n=1 ∴数列{n S n }是以1为公差、1S 1=12为首项的等差数列∴n Sn =12+(n −1)×1=2n −12∴S n =2n2n−1．解析：将a n+1=S n+1−S n 代入已知等式并化简，得到{nS n }是等差数列，求出其通项，从而求出S n ．16.答案：4π解析：解：依题意，T2=12−14=14， ∴T =12，又>0，T =2πω，∴2πω=12， ∴ω=4π． 故答案为：4π．依题意知，函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)图象上一个最高点与相邻的一个最低点的横坐标之间的距离为T2=12，从而可求得ω的值．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，着重考查其周期性，属于中档题．17.答案：解：设g(x)=x 2+2ax +4，由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ=4a 2−16<0，解得−2<a <2． 又∵函数f(x)=(3−2a)x 是增函数， ∴3−2a >1，∴a <1．又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则{−2<a <2a ⩾1,∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则{a ⩽−2,或a ⩾2a <1,∴a ≤−2．综上可知，所求实数a 的取值范围为(−∞,−2]∪[1,2)．解析：本题主要考查复合命题的真假判断，考查学生的思维能力，属中档题．18.答案：解：(1)由{x −3y +2=0y =0，得顶点A(−2,0)．又直线AB 的斜率k AB =3−01−(−2)=1，x 轴是∠BAC 的平分线， 故直线AC 的斜率为−1，AC 所在直线的方程为y =−x −2①直线BC 上的高所在直线的方程为x −3y +2=0，故直线BC 的斜率为−3，直线BC 方程为y −3=−3(x −1)，即y =−3x +6.② 联立方程①②，得顶点C 的坐标为(4,−6). (2)|BC|=√(1−4)2+(3+6)2=3√10， 又直线BC 的方程是3x +y −6=0， 所以A 到直线BC 的距离d =√10=√10=6√105， 所以△ABC 的面积=12|BC|⋅d =12×3√10×6√105=18．解析：本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由{x −3y +2=0y =0，得顶点A.利用直线AB 的斜率计算公式可得k AB ，x 轴是∠BAC 的平分线，可得直线AC 的斜率为−1，AC 所在直线的方程．直线BC 上的高所在直线的方程为x −3y +2=0，故直线BC 的斜率为−3，可得直线BC 方程为．(2)利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC 的方程是3x +y −6=0，利用点到直线的距离公式可得：A 到直线BC 的距离d ，即可得出△ABC 的面积．19.答案：(1)证明：∵A 1A ⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ，∴AA 1//BB 1，∵AA 1=4，BB 1=2，AB =2，∴A 1B 1=√(AB)2+(AA 1−BB 1)2=2√2，又AB 1=√AB 2+BB 12=2√2， ∴AA 12=AB 12+A 1B 12， ∴AB 1⊥A 1B 1，同理可得：AB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩B 1C 1=B 1，A 1B 1、B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．(2)解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交A 1C 1于D ， ∵AB =BC ，∴OB ⊥OC ， ∵AB =BC =2，∠BAC =120°， ∴OB =1，OA =OC =√3，以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A(0,−√3,0)，B(1,0，0)，B 1(1,0，2)，C 1(0,√3,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1)， 设平面ABB 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{x +√3y =02z =0，令y =1可得n ⃗ =(−√3,1，0)，∴cos <n ⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×√13=√3913． 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3913． ∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913．解析：本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题． (1)利用勾股定理的逆定理证明AB 1⊥A 1B 1，AB 1⊥B 1C 1，从而可得AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)以AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB 1的法向量n ⃗ ，计算n ⃗ 与AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即可得出线面角的大小．20.答案：解：(1)抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,p2)，准线为l ：y =−p2，由△PEF 是周长为12的等边三角形，得|PE|=|PF|=|EF|=4， 又由抛物线的定义可得PE ⊥l ．设准线l 与y 轴交于D ，则PE//DF ，从而∠PEF =∠EFD =60°．在Rt △EDF 中，|DF|=|EF|cos∠EFD =4×cos60°=4×12=2，即p =2， 所以抛物线C 的方程为x 2=4y ；(2)依题意，p =2，F(0,1)，直线l 1的斜率k 存在且k ≠0，设点(2,0)的l 1的方程为y =k(x −2)， 由{y =k(x −2)x 2=4y 消去y ，得x 2−4kx +8k =0， 由△>0，即k 2−2k >0，解得k <0或k >2．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k ，且y 1=x 124，y 2=x 224，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=x 1x 2+(x 124−1)(x 224−1)=32x 1x 2+(x 1x 2)216−(x 1+x 2)24+1=32×8k +64k 216−16k 24=12k +1，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，所以12k +1<0，解得k <−112， 所以直线l 1的斜率的取值范围是(−∞,−112).解析：(1)求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由题意和抛物线的定义可得|PE|=|PF|=|EF|=4，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，计算可得p 的值，进而得到抛物线的方程；(2)依题意设直线l 1的方程为y =k(x −2)，与抛物线方程联立，消去y ，利用根与系数的关系计算FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合判别式大于0，求得k 的取值范围． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，也考查直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标表示，以及化简整理的运算能力，是中档题．21.答案：证明：(1)∵△PAC 是正三角形，M 为线段PA 的中点∴CM ⊥PA ，又平面PAC ⊥平面PAB ，平面PAC ∩平面PAB =PA ， ∴CM ⊥平面PAB ，∵AB ⊂平面PAB ，∴CM ⊥AB ，又AB ⊥AC ，CM ∩CA =C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∵AB ⊂平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ． 解：(2)连结PQ ，由题意及(1)得 V Q−BMC =V M−BQC =12V P−BQC =14V P−ABC ，∴S △QBC =12S △ABC ，∴Q 为线段AB 的中点， 取AC 的中点为O ，连结OP ，以O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC =AB =2，则A(1,0，0)，B(1,2，0)，Q(1,1，0)，C(−1,0，0)，M(12,0,√32)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 平面AMC 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设平面QMC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32z =0n ⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−2,−√3)， 设二面角Q −MC −A 的平面角为θ． 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√1+4+3=√22， ∴二面角Q −MC −A 的余弦值为√22．解析：(1)推导出CM ⊥PA ，从而CM ⊥平面PAB ，进而CM ⊥AB ，再由CA ⊥AB ，得AB ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABC ．(2)连结PQ ，取AC 的中点为O ，连结OP ，以O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q −MC −A 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(1)由已知可得{ 4a 2+1b 2=1c a =√32a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1，(2)当l 为x 轴时，可验证，符合题意．当l 不为x 轴时，设直线l 的方程为：x =my +2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆方程可得，整理得(m 2+4)y 2+4my −4=0，则y 1+y 2=−4m m 2+4，y 1y 2=−4m 2+4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4，x 1x 2=m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4， 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1−1)(x 2+2,y 2−1)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2−(y 1+y 2)+1 =(m 2+1)y 1y 2+(4m −1)(y 1+y 2)+17 =−(m 2+1)×4m 2+4−(4m −1)×4mm 2+4+17=−3解得：m =−19，∴直线l 的方程为：x +19y −2=0或y =0．解析：(1)根据椭圆的离心率公式，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； (2)设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。

2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知()()2,1,2,3A B -，则AB =（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】A【解析】利用两点间的距离公式可求AB . 【详解】4AB ==，故选：A. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题.2．命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ） A ．2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B ．2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C ．2000(0,1),0x x x ∀∉-<D ．2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可. 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 3．如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 中点，这直线1D M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A．BCD．12【答案】C【解析】先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可【详解】连接DM，因为几何体是正方体，所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，tan∠D1MD=15 DDDM==故选：C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“m β”是“αβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5．已知圆()22364x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为()3,0 ，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【答案】D【解析】结合图形根据椭圆的定义求解. 【详解】 如图：连接PN ，则PN PA =，所以8PM PN PM PA +=+=， 所以动点P 的轨迹是以,M N 为焦点，长轴为8的椭圆. 故选D. 【点睛】本题考查椭圆的定义.6，则该三棱锥的外接球的表面积（ ） A ．24π B ．18πC ．10πD ．6π【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于2R ==,所以表面积为224π=π6πR = ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2． 体积V =21122π⨯⨯⨯ =π． 故选：A ．点睛：本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】根据OAF ∆为等边三角形可以得到ba=2c =，求出,a b 后可得标准方程. 【详解】不妨设A 在第一象限，c 为双曲线的半焦距， 双曲线过第一象限和第三象限的渐近线方程为b y x a=. 因为OAF ∆是边长为2的等边三角形，故2b ac ⎧=⎪⎨⎪=⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故双曲线的标准方程为：2213y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法以及双曲线的几何性质，求标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量.9．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．2B ．12C ．2-D 1【答案】D【解析】利用12F PF ∆为等腰直角三角形可得,,a b c 的方程，消去b 后可得2220a ac c --=，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，P 在第一象限，则()2,0F c .在椭圆方程中，令x c =，则22221c y a b +=，解得2P by a =，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.12F PF ∆为直角三角形且122F F P π∠=，故22b c a=即2220a ac c --=，故2210e e +-=，解得1e =-+故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．10．过抛物线28y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则AB =（ ） A ．6B ．8C ．12D ．16【解析】利用焦半径公式可求AB . 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线的焦点为F ，则()2,0F . 由焦半径公式可得122,2AF x BF x =+=+， 故124AB AF BF x x =+=++，因为线段AB 的中点的横坐标为4，故128x x +=，故12AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的长度计算，可借助焦半径公式来计算，一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02py +.11．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+0a b c >>>).如图,设点012,,F F F 是相应椭圆的焦点,12,A A 和12,B B 是“果圆”与,x y 轴的交点,若012F F F ∆是边长为1的等边三角,则,a b 的值分别为( )A ．BC ．5,3D ．5,4【答案】A【解析】根据“果圆”的定义以及012F F F 是边长为1的等边三角可知，2021,22OF OF c =====，1b ∴=，22237144a b c ∴=+=+=，得2a =，即12a b ==，故选A. 【方法点睛】本题考查椭圆的几何性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是通过定义“果圆”达到考查椭圆的几何性质的目的. 12．如图，矩形ABCD 的边,2AB a BC ==，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，当在BC 边上存在点Q ，使PQ QD ⊥时，则实数a 的范围是（ ）A ．(]0,1B ．(0,2]C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】可证AQ QD ⊥，从而在平面ABCD 中，Q 在以AD 为直径的圆上，从而可得实数a 的取值范围. 【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，QD ⊂平面ABCD ，所以PA QD ⊥， 又PQ QD ⊥，PQ PA P ⋂=，从而QD ⊥平面PAQ . 因为AQ ⊂平面PAQ ，故AQ QD ⊥.故在平面ABCD 中，Q 在以AD 为直径的圆上，所以12BCAB ≤=即01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面垂直的判定与性质，注意空间中垂直关系的合理转化，本题属于中档题.二、填空题13．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】 由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.14．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB 锯掉裸露在外面的木头，锯口CD 深1寸，锯道AB 长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是__________．（注：1尺=10寸）【答案】26寸【解析】如图,AB=10(寸),则AD=5(寸),CD=1(寸)，设圆O 的半径为x(寸),则OD=(x−1)(寸)，在Rt △ADO 中,由勾股定理可得：52+(x−1)2=x 2,解得：x=13(寸). 则这块圆柱形木料的直径是2×16=26(寸).15．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．【解析】连接1BC ，交1B C 与O ，连接EO ，可证1//OE BD ，从而可得E 中点，故可求CE 的长. 【详解】连接1BC ，交1B C 与O ，连接EO ，则O 为1BC 的中点，因为1//BD 平面1B CE ，1BD ⊂平面1D BC ，平面1D BC ⋂平面1B CE OE =， 所以1//OE BD ，故E 为11D C 的中点，所以112EC =，在1Rt EC C ∆中，CE ===.. 【点睛】本题考查线面平行的性质，注意性质定理有三个前提（线面平行、线在面内、面面交线），同时注意空间中线段的长度计算一般是放置在可解的三角形中，本题属于基础题. 16．已知点()4,4A 在抛物线24y x =上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的角平分线所在直线方程为_________（用一般式表示）.【答案】240x y -+=【解析】由抛物线的几何性质可得EAF ∠的角平分线即为EF 的垂直平分线，求出E 、F 的坐标后可得该垂直平分线的方程.【详解】由抛物线的几何性质可得AE AF =，故EAF ∆为等腰三角形， 故EAF ∠的角平分线即为EF 的垂直平分线.又()()1,0,1,4F E -，故EF 的中点坐标为()0,2，又422EF k -==-， 故EF 的垂直平分线方程为：()1202y x -=-即240x y -+=. 故答案为：240x y -+=. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时常利用这个性质实现两类距离之间的转化，本题属于中档题.三、解答题17．给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x ym +=是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线2211yx m -=-是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(]1,2【解析】先求出,p q 为真时参数的取值范围，再分p 真q 假和p 假q 真两类讨论后可得实数m 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则2m >，若命题q 为真命题，则1m >， 由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则21m m >⎧⎨<⎩，此时无解. 若p 假q 真，则21m m ≤⎧⎨>⎩，得12m <≤， 综上：实数m 的取值范围是(]1,2． 【点睛】对于p q ∨为真，p q ∧为假的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，通过p 真q 假和p 假q 真得到最终的参数的取值范围．18．已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为(1,2),(3,4)P Q -．（1）求圆C 的方程；（2）求直线:34180l x y -+=上的点到圆C 上的点的最近距离.【答案】（1）22(2)(1)10x y -+-=；（2）4【解析】（1）根据PQ 为圆C 的直径可得圆心和半径，从而可得所求的圆的方程. （2）圆心到直线的距离减去半径即为所求的最近距离. 【详解】（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为()2,1，圆C 的半径1||2r PQ ==， 所以圆C 的方程是：22(2)(1)10x y -+-=． （2）圆心C 到直线34180x y -+=的距离是|324118|45d ⨯-⨯+==，所以最近距离为4. 【点睛】本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系中的最值，注意圆的标准方程主要是圆心坐标和半径的确定，而最值问题往往转化为圆心到几何对象的距离. 19．（本小题满分14分）如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）3 【解析】试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）设，连接，先证平面，再利用锥体的体积公式即可得四棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥. 1分∵菱形的对角线互相垂直，∴. 2分∴. 3分∴，. 4分∵平面，平面，，∴平面. 5分∴平面. 6分（2）解：设，连接，∵，∴△为等边三角形. 7分∴，，，. 8分在R t△中，，9分在△中，，10分∴. 11分∵，，平面，平面，∴平面. 12分梯形的面积为，13分∴四棱锥的体积. 14分【考点】1、线线垂直、线面垂直；2、锥体的体积．20．已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l 与动圆圆心C 的轨迹交于A,B 两点,求证:OA OB ⋅是一个定值. 【答案】（1）28y x =；（2）见解析【解析】（1）设圆心的坐标为(,)x y ，得出2222CP CM MT TC ==+，代入点的坐标，即可得到曲线C 的轨迹方程；（2）设直线方程2x ky =+，联立方程组，得到1212,y y y y +，再向量的数量积的运算，即可得到结论. 【详解】(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN 的中点为T,则|MT|==4.由题意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y 2+(x-4)2=42+x 2,∴y 2=8x, 即动圆圆心C 的轨迹方程为y 2=8x.(2)证明:易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x=ky+2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 联立消去x 整理得y 2-8ky-16=0,Δ=64k 2+64>0,可得y 1+y 2=8k,y 1y 2=-16.又=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),∴·=x 1x 2+y 1y 2=(ky 1+2)(ky 2+2)+y 1y 2=k 2y 1y 2+2k(y 1+y 2)+4+y 1y 2=-16k 2+16k 2+4-16=-12, ∴·是一个定值. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．如图，已知正方形ABCD 和矩形BDEF 所在的平面互相垂直，AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点，1BC BF ==．（1）求证：//BM 平面ACE ； （2）求二面角B AF C --的大小． 【答案】（1）见解析（2）60︒【解析】（1）连结EO ，可证//OE BM ，从而得到要求证的//BM 平面ACE . （2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CAF 的法向量和平面ABF 的法向量后可求二面角的大小. 【详解】（1）证明：连结EO ，AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点，四边形BMEO 是平行四边形，//OE BM ，又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴//BM 平面ACE ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，)))(),,,BAF C ， ()()()0,2,0,0,2,1,2,AB AF AC ===-，设平面CAF 的法向量(),,n x yz =，则2020n AC n AF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取2x =，得()2,2,2n =-，又平面ABF 的法向量(1,0,0)m =，21cos ,2n m ∴==，而[],0,n m π∈，,60n m ∴︒=， ∴二面角B AF C --的平面角为60︒．【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率e =(1)求椭圆C 的方程； (2)直线l :12y x m =+，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求PAB △面积的最大值. 【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为2 【解析】（1）由题意知，2c e a ==，且过点()2,1P ，222c a b =+，构造关于a 、b 、c 的方程组，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设直线l 的方程与椭圆C 联立，()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求出AB ，P 到AB 的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可． 【详解】(1)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率e =可得：22222411a b c a c a b⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩,解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 椭圆方程为：22182x y +=.(2)设直线方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+ 联立方程得2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消元整理得：222240x mx m ++-= 直线与椭圆要有两个交点，所以()22(2)4240m m ∆=-->解得，22m -<<由韦达定理得：212122,24x x m x x m +=-=-利用弦长公式得：12||AB x =-=由点到直线的距离公式得到P 到l 的距离d =2214||222m m S AB d +-===≤=当且仅当22m =，即m =时取到最大值，最大值为2 【点睛】本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．。

安徽省合肥市六校联盟2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(解析版)

安徽省合肥市六校联盟2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(解析版)

数学(理科)试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.直线l 的方程为222y x +=-，则（ ） A. 直线l 过点(2,2)-，斜率为12B. 直线l 过点(1,2)-，斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-，斜率为2D. 直线l 过点(2,2)-，斜率为2【答案】C 【解析】 【分析】利用点斜式的方程判定即可.【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选：C【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2.双曲线22145x y -=的离心率是（ ）A.B.32C. 2D.94【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得a 和c ，从而求得离心率ce a=的值.【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =，b =∴3c =，∴32c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.3.已知定点()3,0B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）A. 22(1)1x y ++= B. 22(2)4x y -+= C. 22(1)1x y -+= D. 22(2)4x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设(),M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(),M x y ,则(),A A A x y 满足()3,,22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩ .故()23,2A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故()()2222(231)2411x y x y -++=⇒-+=.故选：C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型. 4.双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A. 940x y -= B. 490x y -=C. 320x y +=D. 230x y -=【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线2294360x y -+=，得22149x y -=，所以渐近线的方程为22049x y -=，即320x y ±=.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A. 8+B. 8+C. 4+D. 6+【答案】A 【解析】 【分析】易得该几何体为三棱柱.分别求解侧面与底面面积即可.【详解】易得该几何体为三棱柱,的等腰直角三角形,高为3.故侧面积为23236⨯⨯=+底面总面积为21222⨯⨯=故表面积为8+. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题.属于基础题型. 6.“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直，则()()22110m m ---=，即2210m m --=，解得1m =或12m =-， 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.7.已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ） A. 相切 B. 内含 C. 外离 D. 相交【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系，即可得到结论.【详解】圆221:2310C x y x y ++++=，即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，132r =， 圆222:43360C x y x y ++--=，即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132r =， ∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=，21133522r r -=-=， ∴11225r C r C =<-=，故两圆内含. 故选：B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.8.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球O 的体积为1V ，圆锥的体积为2V ，则12V V =（ ）A.18B.38C.14D.827【答案】B 【解析】 【分析】根据纵截面图求解内切球半径,再分别求得1V 与2V 即可.【详解】由题知,过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面,易得圆锥高为4=.故纵截面面积164122S =⨯⨯=.故内切球半径()131255622r r =⨯++⇒=.故314932V r ππ=⨯=.22134123V ππ=⨯⨯=.故129132128V V ππ=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查了圆锥与内切球的体积运算,需要根据题意作出纵截面进行高的求解.属于基础题型. 9.下列命题是真命题的是（ ） A. “若a b >,则22a b >”的逆命题 B. “若αβ=，则sin sin αβ=”的否定 C. “若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.【详解】对于A ：“若a b >,则22a b >”的逆命题为：“若22a b >，则a b >”为假命题，故A 错误； 对于B ：“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定为：“若αβ=，则sin sin αβ≠”为假命题，故B 错误； 对于C ：“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”否命题为：“若,a b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”为假命题，故C 错误；对于D ：“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为：“若()()f x g x +是R 上的奇函数，则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题，故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A. 2y =- B. 1y =-C. 2x =-D. 1x =-【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为2p x ny =+，由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭，得1n =-，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++， ∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则022p pn =⋅+，得1n =-， ∴直线l 的方程为2p x y =-+， 的联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22304p x px -+=，∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==，即2p =， 故抛物线方程为24y x =，所以准线方程为1x =-. 故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题.11.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，,E F 分别在棱,AC AD 上，且BE AC ⊥于E ， BF AD ⊥于F ，则下列说法正确的有（ ）①ACD ∠是直角②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角 ③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项判断即可.【详解】对①,因为AB ⊥平面BCD ,故AB ⊥CD ,又BC CD ⊥,故CD ⊥平面ABC .所以ACD ∠是直角.故①正确.对②,因为CD 与EF 不平行.故②错误.对③,因为AB ⊥平面BCD ,故平面ABD ⊥平面BCD ,故C 在平面BCD 上投影在BD 上.故CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角.故③正确.对④,由①CD ⊥平面ABC ,故CD ⊥BE ,又BE AC ⊥,故BE ⊥平面ACD .故BE AD ⊥. 又AD BF ⊥.故BFE ∠是二面角B AD C --的平面角.故④正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了空间中垂直的证明与性质,同时也考查了线线线面角的求解与证明.属于中等题型.12.已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ） A. 26πB. 13πC.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积． 【详解】如图所示：在三棱锥P EFD -中，4DP =，3PE =，1PF =，EF ，因222PE PF EF +=，则PE PF ⊥， 由题意知，PE PD ⊥，PF PD ⊥， 所以,,PE PD PF 互相垂直，的即三棱锥P EFD -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为2244262S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈--> 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为特称量词，则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：“2,10x R x x ∀∈-->”.故答案为：2,10x R x x ∀∈-->.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题. 14.离心率12e =，且过的椭圆的标准方程为__________或________. 【答案】 (1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【解析】 【分析】分焦点在,x y 轴上两种情况进行求解即可.【详解】(1)当焦点在x 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222143x yc c+=.代入可得(22222222111343c c c c c+=⇒+=⇒=.故2212,9a b ==.即椭圆方程221129x y +=.(2) 当焦点在y 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222134x yc c+=.代入可得(2222222834111343412c c c c c +=⇒+=⇒=. 故224141,34a b ==.即椭圆方程221414134y x +=. 故答案为：(1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法,注意焦点在,x y 轴上两种情况即可.属于基础题型.15.已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M 的轨迹方程为__________.【答案】221(1)3x y y -=≤-【解析】 【分析】根据||||||||MA AC MB BC +=+中||,||AC BC 为定值,故先化简,再分析M 满足的距离关系即可. 【详解】设(),M x y ,因为||||||||MA AC MB BC +=+,故||3||MA MB +=即||||2MA MB -=.故(),M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2)A B -为焦点,22a =的双曲线的下支.此时1,2a c ==.故2223b c a =-=.故221(1)3x y y -=≤-.故答案为：221(1)3x y y -=≤-【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意||||2MA MB -=为双曲线的下支,属于基础题型. 16.已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.【答案】36 【解析】 【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36.故答案为：36.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．直线l 的方程为222y x +=-，则（ ） A ．直线l 过点(2,2)-，斜率为12B ．直线l 过点(1,2)-，斜率为12C ．直线l 过点(1,2)-，斜率为2D ．直线l 过点(2,2)-，斜率为2【答案】C【解析】利用点斜式的方程判定即可. 【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2．双曲线22145x y -=的离心率是（ ）A B ．32C ．2D ．94【答案】B【解析】由双曲线的标准方程求得a 和c ，从而求得离心率ce a=的值. 【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =，b =∴3c =，∴32c e a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.3．已知定点()3,0B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【答案】C【解析】设(),M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】 设(),M x y ,则(),A A Ax y 满足()3,,22AA x y x y +⎛⎫=⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩ .故()23,2A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故()()2222(231)2411x y x y -++=⇒-+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.4．双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A ．940x y -= B ．490x y -=C ．320x y +=D ．230x y -=【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程. 【详解】由双曲线2294360x y -+=，得22149x y -=，所以渐近线的方程为22049x y -=，即320x y ±=.故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A．8+B ．8+C ．4+ D ．6+【答案】A【解析】易得该几何体为三棱柱.分别求解侧面与底面面积即可. 【详解】易得该几何体为三棱柱,的等腰直角三角形,高为3.故侧面积为23236⨯+⨯=+底面总面积为21222⨯⨯=故表面积为8+. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题.属于基础题型. 6．“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直，则()()22110m m ---=，即2210m m --=，解得1m =或12m =-， 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.7．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ） A ．相切 B ．内含C ．外离D ．相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系，即可得到结论. 【详解】圆221:2310C x y x y ++++=，即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，132r =， 圆222:43360C x y x y ++--=，即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132r =， ∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=，21133522r r -=-=， ∴11225r C r C =<-=，故两圆内含. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.8．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球O 的体积为1V ，圆锥的体积为2V ，则12V V =（ ） A ．18B ．38C ．14D ．827【答案】B【解析】根据纵截面图求解内切球半径,再分别求得1V 与2V 即可. 【详解】由题知,过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面,4=.故纵截面面积164122S =⨯⨯=.故内切球半径()131255622r r =⨯++⇒=.故314932V r ππ=⨯=.22134123V ππ=⨯⨯=.故129132128V V ππ=⨯=.故选：B 【点睛】本题主要考查了圆锥与内切球的体积运算,需要根据题意作出纵截面进行高的求解.属于基础题型.9．下列命题是真命题的是（ ） A ．“若a b >,则22a b >”的逆命题 B ．“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定 C ．“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题D ．“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D【解析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案. 【详解】对于A ：“若a b >,则22a b >”的逆命题为：“若22a b >，则a b >”为假命题，故A 错误； 对于B ：“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定为：“若αβ=，则sin sin αβ≠”为假命题，故B 错误；对于C ：“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：“若,a b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”为假命题，故C 错误；对于D ：“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为：“若()()f x g x +是R 上的奇函数，则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.10．已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2y =- B ．1y =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】D【解析】设直线l 的方程为2p x ny =+，由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭，得1n =-，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程. 【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++，∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则022p pn =⋅+，得1n =-， ∴直线l 的方程为2p x y =-+， 联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22304p x px -+=，∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==，即2p =， 故抛物线方程为24y x =，所以准线方程为1x =-. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题.11．如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，,E F 分别在棱,AC AD 上，且BE AC ⊥于E ， BF AD ⊥于F ，则下列说法正确的有（ ）①ACD ∠是直角②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角 ③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项判断即可. 【详解】对①,因为AB ⊥平面BCD ,故AB ⊥CD ,又BC CD ⊥,故CD ⊥平面ABC .所以ACD ∠是直角.故①正确.对②,因为CD 与EF 不平行.故②错误.对③,因为AB ⊥平面BCD ,故平面ABD ⊥平面BCD ,故C 在平面BCD 上的投影在BD 上.故CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角.故③正确.对④,由①CD ⊥平面ABC ,故CD ⊥BE ,又BE AC ⊥,故BE ⊥平面ACD .故BE AD ⊥.又AD BF ⊥.故BFE ∠是二面角B AD C --的平面角.故④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间中垂直的证明与性质,同时也考查了线线线面角的求解与证明.属于中等题型.12．已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ） A ．26πB ．13πC 10426D 2626【答案】A【解析】用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积． 【详解】 如图所示：在三棱锥P EFD -中，4DP =，3PE =，1PF =，221310EF +，因222PE PF EF +=，则PE PF ⊥， 由题意知，PE PD ⊥，PF PD ⊥， 所以,,PE PD PF 互相垂直，即三棱锥P EFD -的外接球的半径为2221264312R =++=所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为22264426S R πππ===⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．二、填空题13．命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈-->【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题为特称量词，则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：“2,10x R x x ∀∈-->”.故答案为：2,10x R x x ∀∈-->.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.14．离心率12e =，且过的椭圆的标准方程为__________或________. 【答案】221129x y += 221414134y x += 【解析】分焦点在,x y 轴上两种情况进行求解即可. 【详解】(1)当焦点在x 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222143x y c c+=.代入可得(22222222111343c c c c c +=⇒+=⇒=.故2212,9a b ==. 即椭圆方程221129x y +=.(2) 当焦点在y 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222134x y c c+=.代入可得(2222222834111343412c c c c c +=⇒+=⇒=. 故224141,34a b ==.即椭圆方程221414134y x +=. 故答案为：(1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法,注意焦点在,x y 轴上两种情况即可.属于基础题型. 15．已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M 的轨迹方程为__________.【答案】221(1)3x y y -=≤-【解析】根据||||||||MA AC MB BC +=+中||,||AC BC 为定值,故先化简,再分析M 满足的距离关系即可. 【详解】设(),M x y ,因为||||||||MA AC MB BC +=+,故||3||MA MB +=即||||2MA MB -=.故(),M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2)A B -为焦点,22a =的双曲线的下支.此时1,2a c ==.故2223b c a =-=.故221(1)3x y y -=≤-.故答案为：221(1)3x y y -=≤-【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意||||2MA MB -=为双曲线的下支,属于基础题型.16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________. 【答案】36【解析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36.故答案为：36. 【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.三、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中(1)求证：1DB AC ⊥(2)求证：平面11A B CD ⊥平面1ACD 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)证明1AC BB ⊥,AC BD ⊥即可证明AC ⊥平面11DBB D 即可. (2)由(1)证明1DB ⊥平面1ACD . 【详解】证明：(1)连结BD 、11B D1DD ⊥Q 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD 1DD ∴⊥AC又AC BD ⊥,1BD DD D =I ,1BD DD ⊂、平面11DBB DAC ∴⊥平面11DBB D ,又1DB ⊂平面11DBB D1AC DB ∴⊥即1DB AC ⊥(2)由(1)同理可得11DB AD ⊥,又1AD AC A =I ,1,AD AC ⊂平面1ACD1DB ∴⊥平面1ACD又1DB ⊂平面11A B CD∴平面11A B CD ⊥平面1ACD【点睛】本题主要考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质.属于中等题型.18．设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ，经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ，设||BC a =，||MP b =，||OM c =，求证：,,a b c 成等比数列.【答案】见解析【解析】设抛物线为22(0)y px p =>，由题意可得||2BC p a ==，由PM ⊥x 轴于点M 可得(,)P c b 或(,)P c b -，进而可得结论. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)y px p =>，则焦点(,0)2pF ， ∵BC ⊥x 轴，∴(,),(,)22p pB pC p - ∴||2BC p a ==又∵PM ⊥x 轴于点M ，||MP b =，||OM c =， ∴(,)P c b 或(,)c b -， ∵P 在抛物线上， ∴22b pc =，∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式，考查分析与推理证明的能力，属于基础题.19．已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-=【解析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可. 【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得，13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.20．已知四点12341112(3,),),(),(,22233P P P P --中只有三点在椭圆C ：22221x y a b+=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆C 交于点,A B ，求线段AB 的长.【答案】（1）2214x y +=；（2【解析】(1)根据对称性判断234112),(),(223P P P -在椭圆C 上,再代入椭圆方程求解即可.(2)设直线l 方程y x m =+,根据直线l 与圆221x y +=相切可求得m ,再联立方程根据弦长公式求解即可. 【详解】（1）根据椭圆的对称性可知234112),(),(,2233P P P -在椭圆C 上,设椭圆C 的方程为：221mx ny +=,由已知得,131448199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：1,14m n == 故椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）∵直线l 的斜率为1,故设直线l 的方程为：y x m =+即0x y m -+=,1122(,),(,)A x y B x y∵直线l 与圆221x y +=相切,212m =⇒=,由22225844014y x m x mx m xy =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩,即25840x mx ++= ∴12128545m x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴221244546||1||2m AB k x x -=+-=⋅=.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,包括弦长公式等.属于中等题型. 21．如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==, E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ； (2)求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）155-【解析】(1)取PA 的中点F ,证明FE //=BC 进而求得CE ∥BF 即可. (2) 在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】(1)取PA 的中点F ,连FE FB 、,E Q 是PD 的中点,∴FE //=12AD , 又BC //=12AD ∴FE //=BC ∴四边形EFBC 是平行四边形CE ∴∥BF又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB∴CE ∥平面PAB(2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,不妨令122AB BC AD ===,则4=AD 由PAB ∆是等边三角形,则2PA PB ==,O 为AB 的中点,3PO =分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴,以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系,则(0,0,3)P ,(1,0,0)B ,(1,2,0)C ,(1,4,0)D -(1,2,3)PC ∴=-u u u v,(0,2,0)BC =u u u r ,(2,2,0)CD =-u u u r设平面PBC 的法向量为111(,,1)n x y =u u r,平面PDC 的法向量为222(1,,)n y z =-u u r ,则1111111230302000n PC x y x n BC y y ⎧⎧⋅=+-==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++==⎪⎪⎩⎩u v u u u vuv u u u v 则1(3,0,1)n =u r 22222221123022003y n PC y z n CD y z =-⎧⎧⋅=-+-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++==-⎪⎪⎩⎩u u v u u u v u u v u u u v 则2(1,1,3)n =---u u v 121212(3,0,1)(1,1,3)2315cos ,52525n n n n n n ⋅⋅----∴====-⋅⋅⋅u v u u vu v u u v u v u u v经检验,二面角B PC D --的弦值的大小为15-【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，直线02px +-=与x 轴交于点F ，与抛物线C 的准线交于点M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N ，且FMN ∆的（1）求p 的值；（2）过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，设AF FB λ=uu u r uu r ，3(,0)2D -，当1[,3]2λ∈时，求DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）3；（2）[0,3] 【解析】(1)分别求得(2p M -与(6p N ,再利用三角形面积公式表达出关于p 的表达式,再求解p 即可.(2) 设221212(,),(,)66y y A y B y ,根据AF FB λ=uu u r uu r 可求得21y y ==-同时也得出1233,22x x λλ==,进而表达出DA DB ⋅u u u r u u u r ,联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）法一：∵抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p ,直线02px +-=与x 轴交于点(,0)2pF , ∴(,0)2pF 为抛物线C 的焦点,抛物线C 的准线为直线2p x =- ∴(2p M -, 由过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N 得(6p N ∴2||3p MN =,∴FMN ∆的面积为112||||3223p MD NM p ⋅=⋅=⇒= 法二：由抛物线定义得||||MN NF =,∵ 直线02px -=的倾斜角为150o ,∴120MNF ∠=oFMN ∆的面积为11223||||sin1203322332p p MN NF p ⋅=⋅⋅⋅=⇒=o . （2）由（1）知,抛物线C 的方程为26y x =,设221212(,),(,)66y y A y B y ,由AF FB λ=uu u r uu r 得12221222121233(,)(,)332662()2662y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪⎩, 不妨设20y >,故21,3y y λλ==-,∴1233,22x x λλ==∴11221212123339(,)(,)()2224DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r919()42λλ=+-,1[,3]2λ∈∴当1λ=时,DA DB ⋅u u u r u u u r最小为0；当3λ=时,DA DB ⋅u u u r u u u r最大为3, 即DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,3].【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,需要根据题题意找到抛物线上的点的对应关系,继而用点的坐标表达出对应的题中所给信息,进而求得取值范围.属于难题.。

2019-2020学年人教A版安徽省合肥一中高二上学期期末(理)数学试卷(解析版)

2019-2020学年人教A版安徽省合肥一中高二上学期期末(理)数学试卷(解析版)

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．39．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．三、解答题17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故①错误；②若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β，故③正确；④若α，β不垂直，由面面垂直的判定可知，不存在m⊂α，使m⊥β，故④正确．∴其中正确的命题有2个．故选：B．2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交的充分条件是，即a≠1，由于a＝2是a≠1的充分不必要条件，故选：A．3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或解：由题意可知：点（﹣2，﹣3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3＝0．由相切的性质可得：＝1，化为：12k2﹣25k+12＝0，解得k＝或．故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R），所以＝＜1，当m＝0时，．故，整理得．故选：C．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．解：由题意作出图象如右图，则OA＝R，AE⊥BC，OD⊥面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1＝2，则AE＝，OD＝1，AD＝＝，R2＝OA2＝AD2+OD2＝（）2+12＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π•＝，故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，BE＝2，AG＝EF＝1．∴该几何体的体积V＝．故选：C．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]解：由题意知抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y0），B（x2，y0），则|AF|＝x1+1．由，消去y整理得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1，∵B在图中圆（x﹣1）2+y2＝4的实线部分上运动，∴1＜x2＜3．∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|＝（x1+1）+2+（x2﹣x1）＝x2+3∈（4，6）．故选：A．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．3解：设E，F，G，分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则由题意可得，则平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形PEQFRG，又正六边形的边长QE＝＝，所以平面α被此正方体所截得截面图形的周长为6，故选：B．9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．解：正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积（4个体积相等），其中每个小锥体积为．所以公共部分的体积为4×．故选：B．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直解：∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2＝（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线（a，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，由抛物线y2＝4x和y＝x，联立可得A（，），B（，﹣），由抛物线的方程可得F（1，0），设AF的倾斜角为α，斜率为tanα＝，而cos∠AFB＝cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝﹣，解得tanα＝2（负的舍去），设t＝，可得＝2，解得t＝，则e＝＝＝．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为4x﹣3y+5＝0 ．解：在直线l′上任取一点（x，y），此点关于直线x+y＝0的对称点（﹣y，﹣x）在直线l：3x﹣4y+5＝0上，∴3（﹣y）﹣4（﹣x）+5＝0，即4x﹣3y+5＝0，故答案为：4x﹣3y+5＝0．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．解：过P向底面ABCD作垂线，垂足为O，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝，则OA＝OB＝1，∵PA＝AB，∴PO＝1，∴A（1，0，0），B（0，1，0），E（0，，），F（﹣，0，）∴＝（﹣1，，），＝（，﹣1，）∴cos＜，＞＝＝＝﹣∵异面直线AE与BF所成角为锐角，∴cosα＝﹣cos＜，＞＝故答案为15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 ．解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝，则d1+d2＝+a2+1＝，当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b＝，a＝＝2，则c＝1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为60°．故cos∠APB的最小值为cos60°＝；故答案为三、解答题（共6题，第17题10分，其余各题每题12分）17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．解：（1）椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为（a，b＞0），其渐近线方程为，则，又c2＝a2+b2＝48，所以可得a2＝36，b2＝12，所以所求双曲线的标准方程为；（2）由题意可设所求双曲线方程为，因为点在双曲线上，∴，解得，所以所求双曲线的标准方程为．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝2BC，∠ABC＝60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos60°＝3BC2，∴AC2+BC2＝4BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，FB∩BC＝B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB＝CD．设BC＝1，所以，．所以，．设平面EAC的法向量为＝（x，y，z），则，所以取z＝1，得＝（0，2，1）．假设线段ED上存在点Q，设，所以．设平面QBC的法向量为＝（a，b，c），则所以取c＝1，得＝．要使平面EAC⊥平面QBC，只需，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．解：（1）设圆C的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，把代入得3+（3﹣b）2＝r2，…………………………①又∵圆C截直线y＝5所得弦长为∴（b﹣5）2+3＝r2…………………………②联立①②解得b＝4，r＝2∴圆C方程为：x2+（y﹣4）2＝4；（2）圆心C到直线l：ax+y+2a＝0的距离，∴，由，此时即时等号成立，解得a＝﹣7或a＝﹣1故a＝﹣7或a＝﹣1时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解析：（Ⅰ）取AF中点M，BD中点N，连接MN，CN，易知C，N，O，M四点共线．由BC⊥CD，且BC＝CD，可知△BCD为等腰直角三角形，所以．因为O是正方形ABDF的中心，所以OM＝ON．所以CN＝NO＝MO，所以．又G是△AEF的重心，所以．所以，故OG∥CE．又因为EC⊂平面BCE，OG⊄平面BCE．所以OG∥平面BCE．（Ⅱ）：因为M为中点，△AEF是正三角形，所以ME⊥AF．因为侧面AEF⊥底面ABC，且交线为AF，所以ME⊥底面ABC．所以直线ME，MA，MC两两垂直．如图，以M为原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向，以方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，2，0），．所以，，．设平面ABE的法向量为，则令z1＝1，则．设平面AED的法向量为，则，令z2＝1，则．所以．故二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．解：（Ⅰ）易得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，﹣1），设点P（x1，y1），则，所以又⊙M的面积为，∴，解得x1＝1，∴，∴PA所在直线方程为或（Ⅱ）因为直线AF1的方程为x+y+1＝0，且到直线AF1的距离为化简得y1＝﹣1﹣2x1，联立方程组，解得x1＝0或∴当x1＝0时，可得，∴⊙M的方程为；当时，可得，∴⊙M的方程为（Ⅲ）⊙M始终和以原点为圆心，半径为r1＝（长半轴）的圆（记作⊙O）相切证明：因为＝，又⊙M的半径r2＝MF2＝，∴OM＝r1﹣r2，∴⊙M和⊙O相内切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解：（1）设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），∵a＝2，e＝，∴c＝，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（2）取m＝0，得P（1，），Q（1，﹣），直线A1P的方程是y＝，直线A2Q的方程是，交点为S1（4，）．若P（1，﹣），Q（1，），由对称性可知S2（4，﹣），若点S在同一条直线上，则直线只能为l：x＝4．以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x＝4上，事实上，由，得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，记A1P与l交于点S0（4，y0），由，得，设A2Q与l交于点S′0（4，y′0），由，得，∵＝＝＝，∴y0＝y′0，即S0与S′0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x＝4上．。

2019-2020学年人教A版安徽省合肥市六校联盟高二第一学期期末(理科)数学试卷(解析版)

2019-2020学年人教A版安徽省合肥市六校联盟高二第一学期期末(理科)数学试卷(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷一、选择题1．直线l的方程为y+2＝2（x﹣1），则（）A．直线l过点（2，﹣2），斜率为B．直线l过点（﹣2，2），斜率为C．直线l过点（1，﹣2），斜率为2D．直线l过点（﹣1，2），斜率为22．双曲线﹣＝1的离心率为（）A．B．C．D．3．已知定点B（3，0），点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝44．双曲线9x2﹣4y2+36＝0的一条渐近线的方程为（）A．9x﹣4y＝0 B．4x﹣9y＝0 C．3x+2y＝0 D．2x﹣3y＝05．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．6．“m＝﹣”是“直线（m2﹣1）x﹣y+1＝0与直线2x+（m﹣1）y﹣1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，圆C2：x2+y2+4x﹣3y﹣36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为（）A．相切B．内含C．外离D．相交8．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O与圆锥的底面和侧面均相切，设球O的体积为V1，圆锥的体积为V2，则＝（）A．B．C．D．9．下列命题是真命题的是（）A．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题B．“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否定C．“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题D．“若函数f（x），g（x）都是R上的奇函数，则f（x）+g（x）是R上的奇函数”的逆否命题10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，直线l过点F与抛物线交于两点A，B，与y轴交于，若|AB|＝8，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣111．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F分别在棱AC，AD上，且BE⊥AC于E，BF⊥AD于F，则下列说法正确的有（）①∠ACD是直角②∠BEF是异面直线BE与CD所成角③∠CDB是直线CD与平面ABD所成角④∠BFE是二面角B﹣AD﹣C的平面角A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝BF＝3．将△AED，△CFD分别沿ED和FD折起，使点A和C重合于点P，则三棱锥P﹣EFD的外接球表面积为（）A．26πB．13πC．D．二、填空题（本题共4小题）13．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是．14．离心率，且过的椭圆的标准方程为或．15．已知点A（0，2），B（0，﹣2），C（3，2），若动点M（x，y）满足|MA|+|AC|＝|MB|+|BC|，则点M的轨迹方程为．16．已知A（﹣3，0），B（3，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：DB1⊥AC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面ACD1．18．设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M，设|BC|＝a，|MP|＝b，|OM|＝c，求证：a，b，c成等比数列．19．已知△ABC的顶点C（2，﹣8），直线AB的方程为y＝﹣2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．20．已知四点中只有三点在椭圆C：上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为1，直线l与圆x2+y2＝1相切，且与椭圆C交于点A，B，求线段AB的长．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线与x轴交于点F，与抛物线C的准线交于点M，过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N，且△FMN的面积为．（1）求p的值；（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，设，，当时，求的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．直线l的方程为y+2＝2（x﹣1），则（）A．直线l过点（2，﹣2），斜率为B．直线l过点（﹣2，2），斜率为C．直线l过点（1，﹣2），斜率为2D．直线l过点（﹣1，2），斜率为2【分析】由题意利用直线的点斜式方程，得出结论．解：∵直线l的方程为y+2＝2（x﹣1），则直线的斜率为2，且经过定点（1，﹣2），故选：C．2．双曲线﹣＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．解：由双曲线的方程可知a2＝4，b2＝5，则c2＝a2+b2＝4+5＝9，则a＝2，c＝3，即双曲线的离心率e＝＝，故选：B．3．已知定点B（3，0），点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝4【分析】设出动点坐标，利用已知条件确定坐标之间的关系，利用P在圆上，可得结论．解：设点M的坐标为（x，y），点A（m，n），则（m+1）2+n2＝4．∵M是线段AB上的中点，∴（x﹣m，y﹣n）＝（3﹣x，﹣y）∴m＝2x﹣3，n＝2y，∵（m+1）2+n2＝4，∴（2x﹣2）2+（2y）2＝4，∴（x﹣1）2+y2＝1．故选：C．4．双曲线9x2﹣4y2+36＝0的一条渐近线的方程为（）A．9x﹣4y＝0 B．4x﹣9y＝0 C．3x+2y＝0 D．2x﹣3y＝0 【分析】直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．解：双曲线9x2﹣4y2+36＝0的渐近线的方程为9x2﹣4y2＝0，即3x±2y＝0．故选：C．5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱，结合图中数据计算它的表面积．解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱，如图所示；则该三棱柱的表面积为S＝2S△ABC+2S矩形ABB′A′+S矩形BCC′B′＝2××2×1+2××3+2×3＝8+6．故选：A．6．“m＝﹣”是“直线（m2﹣1）x﹣y+1＝0与直线2x+（m﹣1）y﹣1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线（m2﹣1）x﹣y+1＝0与直线2x+（m﹣1）y﹣1＝0互相垂直，可得：2（m2﹣1）﹣（m﹣1）＝0，解得m，即可判断出结论．解：直线（m2﹣1）x﹣y+1＝0与直线2x+（m﹣1）y﹣1＝0互相垂直，则2（m2﹣1）﹣（m﹣1）＝0，解得m＝1或m＝﹣．∴“m＝﹣”是“直线（m2﹣1）x﹣y+1＝0与直线2x+（m﹣1）y﹣1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．7．已知圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，圆C2：x2+y2+4x﹣3y﹣36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为（）A．相切B．内含C．外离D．相交【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，即（x+1）2+（y+）2＝，其圆心C1为（﹣1，﹣），半径r1＝；圆C2：x2+y2+4x﹣3y﹣36＝0，即（x+2）2+（y﹣）2＝，其圆心C2为（﹣2，），半径r2＝；则有圆心距|C1C2|＝＝＜r2﹣r1＝5，故两圆内含；故选：B．8．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O与圆锥的底面和侧面均相切，设球O的体积为V1，圆锥的体积为V2，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出圆锥底面圆半径R＝3，高为4，设球O半径为r，则r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，由此能求出．解：∵圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O与圆锥的底面和侧面均相切，∴圆锥底面圆半径R＝OA＝3，圆锥高PD＝4，设球O半径为r，如图，则OP＝4﹣r，AC＝AD＝3，PC＝5﹣3＝2，∴r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，设球O的体积为V1，圆锥的体积为V2，则＝＝．故选：B．9．下列命题是真命题的是（）A．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题B．“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否定C．“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题D．“若函数f（x），g（x）都是R上的奇函数，则f（x）+g（x）是R上的奇函数”的逆否命题【分析】写出命题的逆命题，判断A的正误；命题的否定判断B的正误；写出否命题判断C的正误；判断原命题的真假判断D的正误；解：“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题：如果“若a2＞b2，则a＞b”，反例a2＝9，b2＝4，可能有a＝﹣3，b＝2，所以A不正确．“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否定：“若α≠β，则sinα≠sinβ”显然不正确，例如：α＝30°，β＝390°，但是sinα＝sinβ，所以B不正确；若“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题：若“a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，如果a，b都是奇数，但是a+b为偶数．所以C不正确；“若函数f（x），g（x）都是R上的奇函数，则f（x）+g（x）是R上的奇函数”的逆否命题，因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命题，所以D正确；故选：D．10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，直线l过点F与抛物线交于两点A，B，与y轴交于，若|AB|＝8，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1【分析】由题意可得直线l的斜率，设过焦点的直线与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质过焦点的弦长转化为到准线的距离之和，求出p的值，进而求出准线方程．解：由题意过焦点的直线的斜率为﹣1，设直线方程为：y＝﹣x+，设A（x，y），B（x'y'），联立直线与抛物线的方程整理得：x2﹣3px+＝0，x+x'＝3p，∵|AB|＝|AF|+|BF|＝x+x'+p＝4p＝8，所以p＝2，所以准线方程为：x＝﹣＝﹣1，故选：D．11．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F分别在棱AC，AD上，且BE⊥AC于E，BF⊥AD于F，则下列说法正确的有（）①∠ACD是直角②∠BEF是异面直线BE与CD所成角③∠CDB是直线CD与平面ABD所成角④∠BFE是二面角B﹣AD﹣C的平面角A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①，由AB⊥平面BCD得AB⊥CD，又BC⊥CD得CD⊥平面ABC；证得CD⊥AC，∠ACD是直角；②，不能得出EF∥CD，∠BEF不是异面直线BE与CD所成角；③，由AB⊥平面BCD得平面ABD⊥平面BCD；由直线与平面所成角的定义得出命题正确；④，证明AD⊥平面BEF，即得∠BFE是二面角B﹣AD﹣C的平面角．解：对于①，AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC；又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，∠ACD是直角，①正确；对于②，不能得出EF∥CD，∴∠BEF不是异面直线BE与CD所成角，②错误；对于③，由AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD在平面ABD内的射影为BD，∴∠CDB是直线CD与平面ABD所成角，③正确；对于④，由BE⊂平面ABC，CD⊥平面ABC，得CD⊥BE，又BE⊥AC，AC∩BC＝C，∴BE⊥平面ACD；又AD⊂平面ACD，∴BE⊥AD；又BF⊥AD，BE∩BF＝B，∴AD⊥平面BEF，∴∠BFE是二面角B﹣AD﹣C的平面角，④正确；综上知，正确的命题序号是①③④，共3个．故选：C．12．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝BF＝3．将△AED，△CFD分别沿ED和FD折起，使点A和C重合于点P，则三棱锥P﹣EFD的外接球表面积为（）A．26πB．13πC．D．【分析】由题意求出折起的三棱锥的各棱长的值，可得该三棱锥为一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形，将该三棱锥放在长方体中可知长方体的长宽高，根据外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出表面积．解：由题意知，P与A，C重合，∴将△AED，△CFD分别沿ED和FD折起后，PDE就是ADE，PFD就是CFD，所以由原来正方形可知，EP⊥PD，且PE＝AE＝3，PD＝CD＝4，PF＝CD＝1，在正方形ABCD中，EF＝＝＝，DF＝＝＝，所以EF2＝PE2+PF2，∴PE⊥PFDF2＝PD2+FP2，∴PF⊥PD，又PE∩PD＝P，所以FP⊥面PED，所以三棱锥P﹣EFD为一条棱长垂直于底面的三棱锥，将该三棱锥放在长方体中，由以上知长宽高分别为3，4，1，设三棱锥的外接球的半径为R，则（2R）2＝32+42+12＝26，所以三棱锥P﹣EFD的外接球表面积S＝4πR2＝26π，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≤“改为“＞”即可得答案．解：∵命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．14．离心率，且过的椭圆的标准方程为或．【分析】根据题意，由椭圆的性质分析可得a＝2c，进而可得b＝c，按椭圆的焦点位置不同分2种情况讨论，设出椭圆的方程，将点坐标代入计算可得椭圆的方程，综合即可得答案．解：根据题意，要求椭圆的离心率，即＝，则有a＝2c，则b＝＝c，若椭圆的焦点在x轴上，设其方程为+＝1，又由椭圆经过点，则有+＝1，解可得c2＝3，则此时椭圆的方程为；若椭圆的焦点在y轴上，设其方程为+＝1，又由椭圆经过点，则有+＝1，解可得c2＝，则此时椭圆的方程为；综合可得：要求椭圆的方程为或；故答案为：或．15．已知点A（0，2），B（0，﹣2），C（3，2），若动点M（x，y）满足|MA|+|AC|＝|MB|+|BC|，则点M的轨迹方程为．【分析】由题设知动点M是以点A（0，2），B（0，﹣2）为焦点的双曲线的下支上的点，由此结合题设条件能求出点M的轨迹方程．解：∵点A（0，2），B（0，﹣2），C（3，2），动点M（x，y）满足|MA|+|AC|＝|MB|+|BC|，动点M满足|MA|﹣|MB|＝|BC|﹣|AC|＝﹣3＝2，∴动点M是以点A（0，2）和点B（0，﹣2）为焦点的双曲线的下支上的点，且a＝1，c＝2，b＝，∴点M的轨迹方程是：．故答案为：．16．已知A（﹣3，0），B（3，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是36 ．【分析】根据题意，设P（x，y），进而可得|PA|2+|PB|2＝2（x2+y2）+18，设t＝，其几何意义为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上一点到原点的距离，由点与圆的位置关系分析t的最小值，据此计算可得答案．解：根据题意，设P（x，y），则|PA|2+|PB|2＝（x+3）2+y2+（x﹣3）2+y2＝2x2+2y2+18＝2（x2+y2）+18，设t＝，其几何意义为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上一点到原点的距离，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径r＝2，则t的最小值为﹣2＝3，则有|PA|2+|PB|2＝2（x2+y2）+18≥2×9+18＝36，即|PA|2+|PB|2的最小值是36；故答案为：36三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：DB1⊥AC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面ACD1．【分析】（1）连结BD、B1D1，推导出DD1⊥AC，由AC⊥BD，得AC⊥平面DBB1D1，从而AC ⊥DB1，由此能证明DB1⊥AC．（2）推导出DB1⊥AD1，从而DB1⊥平面ACD1，由此能证明平面A1B1CD⊥平面ACD1．【解答】证明：（1）连结BD、B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD、DD1⊂平面DBB1D1，∴AC⊥平面DBB1D1，又DB1⊂平面DBB1D1，∴AC⊥DB1，∴DB1⊥AC．（2）由（1）同理可得DB1⊥AD1，又AD1∩AC＝A，AD1，AC⊂平面ACD1，∴DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1．18．设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M，设|BC|＝a，|MP|＝b，|OM|＝c，求证：a，b，c成等比数列．【分析】以抛物线的顶点为O坐标原点，对称轴为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则焦点，转化求解b2＝ac即可．【解答】证明：以抛物线的顶点为O坐标原点，对称轴为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则焦点，∵BC⊥x轴，∴，∴|BC|＝2p＝a．又∵PM⊥x轴于点M，|MP|＝b，|OM|＝c，∴P（c，b）或（c，﹣b），∵P在抛物线上，∴b2＝2pc，∴b2＝ac即a，b，c成等比数列．19．已知△ABC的顶点C（2，﹣8），直线AB的方程为y＝﹣2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．【分析】（1）由题意直线BH，AB联立求出B的坐标，及求出直线AC的方程，与直线AB联立求出A的坐标；（2）设圆的一般方程将A，B，C三点坐标代入求出圆的一般方程．解：（1）由可得顶点B（7，﹣3），又因为AC⊥BH得，，所以设AC的方程为y＝3x+b，将C（2，﹣8）代入得b＝﹣14，由可得顶点为A（5，1），所以A和B的坐标分别为（5，1）和（7，﹣3），（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A（5，1）、B（7，﹣3）和C（2，﹣8）三点的坐标分别代入得则有，所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．20．已知四点中只有三点在椭圆C：上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为1，直线l与圆x2+y2＝1相切，且与椭圆C交于点A，B，求线段AB的长．【分析】（1）设椭圆C的方程为：mx2+ny2＝1，判断点在椭圆上，代入求解椭圆方程．（2）直线l的斜率为1，设直线l的方程为：y＝x+m即x﹣y+m＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），通过直线l与圆x2+y2＝1相切，求出m，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式求解即可．解：（1）根据椭圆的对称性可知在椭圆C上，设椭圆C的方程为：mx2+ny2＝1，由已知得，，解得：，故椭圆C的方程为：．（2）∵直线l的斜率为1，故设直线l的方程为：y＝x+m即x﹣y+m＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l与圆x2+y2＝1相切，∴，由，即5x2+8mx+4＝0，∴，∴．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）取PA的中点F，连FE、FB，说明四边形EFBC是平行四边形，得到CE∥BF，然后证明CE∥平面PAB．（2）分别以AB、PO所在的直线为x轴和z轴，以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，平面PDC的法向量，然后求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值的大小．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连FE、FB，∵E是PD的中点，∴FE∥＝，又BC∥＝∴FE∥＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE∥BF，又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．（2）解：在平面PAB内作PO⊥AB于O，不妨令，则AD＝4，由△PAB是等边三角形，则PA＝PB＝2，O为AB的中点，，分别以AB、PO所在的直线为x轴和z轴，以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系，则，B（1，0，0），C（1，2，0），D（﹣1，4，0），∴，，，设平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，则，则，，则，∴，经检验，二面角B﹣PC﹣D的余弦值的大小为．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线与x轴交于点F，与抛物线C的准线交于点M，过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N，且△FMN的面积为．（1）求p的值；（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，设，，当时，求的取值范围．【分析】（1）由题意可得抛物线的焦点坐标和准线方程，及M，N的坐标再由面积求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）由（1）知焦点F的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，再由向量的关系求出A，B的坐标，进而求出数量积，再由λ的范围及均值不等式求出数量积的取值范围．解：（1）∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为，直线与x轴交于点，∴为抛物线C的焦点，抛物线C的准线为直线，∴，由过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N得，∴，∴△FMN的面积为；另解：由抛物线定义得|MN|＝|NF|，∵直线的倾斜角为150°，∴∠MNF＝120°△FMN的面积为．（2）由（1）知，抛物线C的方程为y2＝6x，设，由得，不妨设y2＞0，故，∴，∴＝，，∴当λ＝1时，最小为0；当λ＝3时，最大为3，即的取值范围是[0，3]．。

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安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线B. 若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线C. 已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m//α，则n//βD. 若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行2. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. −53或−35B. −32 或−23C. −54或−45D. −43或−344. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2m 2+4+y 23=1(m ∈R)的离心率的取值范围为( )A. (0,12]B. (√22,1) C. [12,1) D. (13,12]5. 若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为( )A. 8πB. 16πC.16π3D.28π36. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 4B. 143 C. 163 D. 67.如图所示，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=8x和圆(x−2)2+y2=16为实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为()A. (6,10)B. (8,12)C. ［6，8］D. ［8，12］8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为()．A. 3√3B. 6√2C. √32D. √29.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为()A. y2=32x B. y2=9x C. y2=92x D. y2=3x10.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等，它的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，棱柱的体积为2√3，则这个三棱柱的表面积为()A. 2√3B. 12C. 2√3+12D. 2√3+611.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知▵A′ED是▵ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A. 动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B. 恒有平面A′GF⊥平面BCEDC. 三棱锥A′−EFD的体积有最大值D. 异面直线A′E与BD不可能垂直12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为()A. x28−y224=1 B. x216−y248=1 C. x224−y272=1 D. x264−y2192=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线3x−4y+5=0关于点M(2,−3)对称的直线的方程为__________________________．14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则AE与D1F所成的角为________．15.已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____________．16.若F1，F2是椭圆C：x28+y24=1的两个焦点，则在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求与椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且经过点(4,3)的椭圆的标准方程．(2)求与双曲线x24−y29=1有相同的渐近线，且焦距为2√13的双曲线的标准方程．18.在如图所示的几何体中，侧面CDEF为正方形，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60°，且平面CDEF⊥平面ABCD．(1)求BC与平面EAC所成角的正弦值；(2)求证：线段ED上不存在点Q，使得平面EAC⊥平面QBC．19.已知圆心在y轴上的圆C经过点S(√3,3)，截直线y=5所得弦长为2√3，直线l:ax+y+2a=0．(1)求圆C的方程；(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，ΔABC的面积最大．20.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E−BD−P的余弦值．21.已知椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．(Ⅰ)当⊙M的面积为π8时，求PA所在直线的方程；(Ⅱ)当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；(Ⅲ)求证：⊙M总与某个定圆相切．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点(−12,√144)，且离心率为√22.过点(√2,−√2)的直线l与椭圆C交于M,N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为椭圆C的右顶点，探究：k PM+k PN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．(其中k PN，k PN分别是直线PM，PN的斜率)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于基础题．根据线线、线面平行的性质逐一进行分析即可．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故错；对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m//α，则n//β或n⊂β，故错；对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或异面，故错，故选：B．2.答案：B解析：解：直线l1：mx+y−1=0，直线l2：(m−2)x+my−1=0，若“l1⊥l2”，则m(m−2)+m=0，解得m=0或m=1，故“l1⊥l2”是“m=1”的必要不充分条件，故选：B．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查圆的切线方程，属于中档题目．先求出点(−2,−3)关于y轴的对称点，再由反射光线过点(2,−3)且与圆相切求出即可．解：圆(x+3)2+(y−2)2=1的圆心为(−3,2)，半径r=1．作出点(−2,−3)关于y 轴的对称点(2,−3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2,−3)．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y −(−3)=k(x −2)， 即kx −y −2k −3=0.由反射光线与圆相切可得|k(−3)−2−2k−3|√1+k 2=1，即|5k +5|=√1+k 2，整理得12k 2+25k +12=0， 即(3k +4)(4k +3)=0，解得k =−43或k =−34.故选D ．4.答案：C解析：本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果． 解：直角坐标系xOy 中，椭圆x 2m 2+4+y 23=1(m ∈R)，所以e 2=c 2a2=m 2+4−3m 2+4=1−3m 2+4<1，当m =0时，e min2=14． 故14≤e 2<1，整理得12≤e <1． 故选C ．5.答案：D解析：本题考查了三棱柱外接球，难度不大．连接上下底面中心O″O′，其中点O 即为外接球球心，在Rt △OO′A 中可得R ，进而得面积． 解：如图，球心O到下底面的距离OO′=22=1，AO′=23×√3=23√3，∴其外接球的半径R=√AO′2+OO′2=√73，∴其外接球的表面积为4πR2=283π，故选：D．6.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体，其体积可由一个长方体的体积与一个直三棱柱的体积作和求解．即V=2×2×1+12×2×1×2=6．故选：D．由三视图还原原几何体，可知原几何体为五面体，由一个长方体的体积与一个直三棱柱的体积作和求得该几何体的体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.答案：B解析：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．解：抛物线的准线l：x=−2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆(x−2)2+y2=16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B−x A)+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆(x−2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈(2,6)，∴6+x B∈(8,12)，故选B．8.答案：A解析：本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．根据题意，取正方体ABCD−A1B1C1D1棱AB、A1D1、CC1的中点M、N、L，连接MP，NP、NR、RL，MQ，LQ得出六边形PMQLRN是所得的截面，求出该六边形的面积即可．解：取正方体ABCD−A1B1C1D1棱AB、A1D1、CC1的中点M、N、L，连接MP，NP、NR、RL，MQ，LQ则六边形PMQLRN是过P，Q，R三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为RN=12A1C1=√2，其面积为6×12×(√2)2×√32=3√3．故选A．9.答案：D解析：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD//FG，∴1p =23求得p=32，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD//FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．10.答案：C解析：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2√3，x3=2√3，设高为：x，所以√34解得：x=2，)x2=2√3+12，故这个三棱柱的表面积为：(3+√32故选：C通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，进而可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，方程思想，难度中档．11.答案：D解析：本题考查了空间线线、线面的位置关系及锥体体积，考查了空间想象能力，属于中档题．解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′−FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′−FED的体积有最大值，故C正确；当(A′E)2+EF2=(A′F)2时，异面直线A′E与BD垂直，故D错误．故选D．12.答案：B解析：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，属于中档题．由双曲线的离心率公式及a ，b ，c 的关系，利用三角形是正三角形，转化求解a ，b ，推出双曲线方程．解：由e =c a =√a 2+b 2a =√1+b 2a 2=2， 可得b a =√3．由{y =±√3x x =−2，求得M(−2,2√3)，N(−2,−2√3)， △AMN 为正三角形，可得2√3a+2=√33，解得a =4.可得b =4√3， 可得双曲线方程：x 216−y 248=1．故选：B ． 13.答案：3x −4y −41=0解析：本题主要考查直线关于点对称的问题，属于基础题．设直线l ：3x −4y +5=0关于点M(2,−3)对称的直线l ′上点的坐标为N(x,y)，则N(x,y)关于点M(2,−3)对称点为N ′(4−x,−6−y)，将N ′(4−x,−6−y)代入直线l 方程化简即可得解． 解：设直线l ：3x −4y +5=0关于点M(2,−3)对称的直线l ′上点的坐标为N(x,y)，∴N(x,y)关于点M(2,−3)对称点为N ′(4−x,−6−y)，∴N ′(4−x,−6−y)在直线l ：3x −4y +5=0上，代入直线方程得直线l′的方程为3(4−x)−4(−6−y}+5=0,化简得3x −4y −41=0．故答案为3x −4y −41=0．14.答案：π2本题考查异面直线所成角，属基础题，难度不大．以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，令棱长为2，标出各点的坐标，用向量的夹角公式即可求得．解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，则A(2,0，0)，E(2,2，1)D 1(0，0，2)，F(0,1，0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−2)，设异面直线AE 与D 1F 所成角为θ，则cosθ=|cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√5⋅√5=0． ∵θ∈(0,π2], ∴θ=π2故答案为π2． 15.答案：2解析：解：设抛物线上的一点P 的坐标为(a 2,2a)，则P 到直线l 2：x =−1的距离d 2=a 2+1； P 到直线l 1：4x −3y +6=0的距离d 1=|4a 2−6a+6|5， 则d 1+d 2=4a 2−6a+65+a 2+1=9a 2−6a+115， 当a =13时，P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2故答案为216.答案：2本题考查椭圆的几何意义的应用和圆的定义，根据椭圆的几何性质可知∠F1PF2最大时的位置是P点在短轴端点，据此求解即可．解：满足PF1⊥PF2的点P在以原点为圆心，c为半径的圆上，由x28+y24=1，得a=2√2，b=2，c=2．∵b=c=2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．∴PF1⊥PF2的点P的个数为2．故答案为2．17.答案：解：(1)由所求椭圆与椭圆x216+y29=1有相同的焦点，设椭圆方程x216+λ+y29+λ=1(λ>−9)，由(4,3)在椭圆上得1616+λ+99+λ=1⇒λ=12，则椭圆方程为x228+y221=1；(2)由双曲线x24−y29=1有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为x24λ−y29λ=1(λ≠0)，由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为x24−y29=1或y29−x24=1．解析：本题考查相同焦点的椭圆方程的求法，以及相同渐近线方程的双曲线方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于中档题．(1)由题意可设椭圆方程x216+λ+y29+λ=1(λ>−9)，代入(4,3)，解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；(2)由题意可设所求双曲线的方程为x24λ−y29λ=1(λ≠0)，由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．18.答案：(Ⅰ)证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos60°=3BC2，∴AC 2+BC 2=4BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°．∴AC ⊥BC ．又∵AC ⊥FB ，FB ∩BC =B ，∴AC ⊥平面FBC ．(Ⅱ)线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下：因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC ．因为CD ⊥FC ，所以FC ⊥平面ABCD ．所以CA ，CF ，CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C −xyz ．在等腰梯形ABCD 中，可得 CB =CD ．设BC =1，所以C(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0)，D(√32,−12,0),E(√32,−12,1)． 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,1)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)． 设平面EAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以{√32x −12y +z =0√3x =0取z =1，得n⃗ =(0,2，1)． 假设线段ED 上存在点Q ，设Q(√32,−12,t)(0≤t ≤1)，所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,t)． 设平面QBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 所以{b =0√32a −12b +tc =0取c =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,0,1)． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0， 即 −√3t ×0+0×2+1×1=0，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．解析：(I)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC ⊥BC ，再利用已知AC ⊥FB 和线面垂直的判定定理即可证明；(II)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19.答案：解：(1)设圆C 的方程为：x 2+(y −b)2=r 2，把(√3,3)代入得3+(3−b)2=r 2，…………………………①又∵圆C 截直线y =5所得弦长为2√3∴(b −5)2+3=r 2…………………………②联立①②解得b =4，r =2∴圆C 方程为：x 2+(y −4)2=4；(2)圆心C 到直线l ：ax +y +2a =0的距离d =√a 2+1， ∴|AB|=2√4−d 2，由S =12|AB|d =d ⋅√4−d 2≤d 2+4−d 22=2，此时d =√4−d 2即d =√2时等号成立，解得a =−7或a =−1，△ABC 的面积最大，所以直线方程为：7x −y +14=0或x −y +2=0．解析：(1)设出圆的方程，根据已知条件得到两个关于参数的等式联立求解即可；(2)先求出点到直线的距离，根据弦长，半径以及圆心到直线之间的距离之间的关系，求出三角形的底边以及高，再借助于基本不等式即可求出结论．本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．20.答案：解：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0，0)，P(0,0，2)，B(2,2，0)，E(0,1，1)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)． 设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，令z =1，得y =−1，x =1.∴平面BDE 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)． 又∵C(0,2，0)，A(2,0，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,−1,0)．设二面角E −BD −P 的平面角为α，则cosα=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3⋅√2=√63．∴二面角E −BD −P 的余弦值为√63．解析：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E −BD −P 的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21.答案：解：(Ⅰ)易得F 1(−1,0)，F 2(1,0)，A(0,−1)，设点P(x 1,y 1)，则PF 22=(x 1−1)2+y 12=(x 1−1)2+1−x 122=12(x 1−2)2， 所以PF 2=√2−√22x 1 又⊙M 的面积为π8，∴π8=π8(x 1−2)2， 解得x 1=1，∴P(1,√22)或(1,−√22)， ∴PA 所在直线方程为y =(1+√22)x −1或y =(1−√22)x −1 (Ⅱ)因为直线AF 1的方程为x +y +1=0，且M(x 1+12,y 12)到直线AF 1的距离为|x 1+12+y 12+1|√2=√22−√24x 1化简得y 1=−1−2x 1，联立方程组{y 1=−1−2x 1x 122+y 12=1， 解得x 1=0或x 1=−89∴当x 1=0时，可得M(12,−12)，∴⊙M 的方程为(x −12)2+(y +12)2=12； 当x 1=−89时，可得M(118,718)，∴⊙M 的方程为(x −118)2+(y −718)2=169162(Ⅲ)⊙M 始终和以原点为圆心，半径为r 1=√2(长半轴)的圆(记作⊙O)相切 证明：因为OM =√(x 1+1)24+y 124=√(x 1+1)24+14−x 128=√22+√24x 1， 又⊙M 的半径r 2=MF 2=√22−√24x 1， ∴OM =r 1−r 2，∴⊙M 和⊙O 相内切．解析：(Ⅰ)根据椭圆方程求得焦点，顶点的坐标，设出点P 的坐标，进而表示出|PF 2|的长度进而根据圆M 的面积求得x 1，求得P 的坐标，则PA 所在的直线方程可得．(Ⅱ)根据点M 到直线AF 1的距离求得x 1和y 1的关系式，进而与椭圆方程联立求得x 1，进而求得M 的坐标则圆的方程可得．(Ⅲ)首先表示出OM 的长度，以及圆M 的半径，进而求得OM =r 1−r 2，推断出⊙M 和以原点为圆心，半径为r 1=√2(长半轴)的圆相内切．22.答案：解：(1)由题意得：{ 14a 2+1416b 2=1e =c a =√22a 2=b 2+c 2，解得：a 2=2，b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：x =√2，与椭圆C 交于一点，不符合题意，舍去； ②若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y +√2=k(x −√2)，即：kx −y −√2k −√2=0．联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(√2,0)，所以{x 1+x 2=4√2k 2+4√2k 1+2k 2x 1x 2=4k 2+8k+21+2k 2， k PM =1x −√2k PN =2x −√2，∴k PM +k PM =1x 1−√22x 2−√2=1√2k √2)(x 2√2)2√2k √2)(x 1√2)(x 1−√2)(x 2−√2)=2k √2(x 12x x −√2(x +x )+2=1．所以k PM +k PN 为定值，该定值为1．解析：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，变形化简能力．(1)根据椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−12,√144)，且离心率为√22，列方程组，求解即可；(2)设出直线的方程y+√2=k(x−√2)，联立{x22+y2=1kx−y−√2k−√2=0得：(1+2k2)x2−(4√2k2+4√2k)x+4k2+8k+2=0，计算x1+x2，x1x2,k PM+k PN代入计算即可.。

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