江苏高中数学典型题目

参变分离还是利用二次函数的图象

1. 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.

利用函数的性质解不等式 2.已知知函数1()||1

x f x x +=

+，x R ∈，则不等式2

(2)(34)f x x f x -<-的解集是。(1，2)

3.已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧x ，x ≥0，

x 2

，x ＜0，

，则关于x 的不等式f (x 2

)＞f (3－2x )的解集是．(－∞，－3)∪(1，3)

4.已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为．(0,1) 双变量问题

5、已知正实数x,y 满足42=++y x xy ，则y x +的最小值是________362-（消元法或判别式法）

6、若a ＞0，b ＞0，且

，则a+2b 的最小值为

．（基本不等式法或消元法）

7、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y

的最大值为▲．4

3（齐次式消元）

已知函数奇偶性求参数

2. 若函数是偶函数，则实数的值为________．2

两个变量的函数 17南京二模应用题 和零点有关的题目

已知零点个数求参数范围

3、已知函数()22f x x x =+-，x R ∈.若方程()20f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为.

),9()1,0(+∞⋃（可用参变分离）

9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为(0，9

4]

零点存在定理

3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37

x

＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．

3.解： (1) f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．

(2) 方程f(x)＋37

x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．

当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭

⎫10

3，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数． ∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127

＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，2

()1f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <

m ()f x =a

而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37

x ＝0在区间(m ，m ＋1)内

有且只有两个不同的实数根．（单调性+异号端点值）

3、函数2)(--=x e x f x

的零点所在的一个区间是))(1,(Z n n n ∈+，则_____=n 1或-2

7.已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。当时，求整数ｋ的所有值，使方程

在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，

所以在和内是单调增函数，又，，，

，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上， 所以整数的所有值为

复合函数的零点个数

10．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设． （1）求、的值； （3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．（复合函数根的个数） 解：（1），

因为，所以在区间上是增函数，故，解得．

（3）原方程可化为，

令，则，有两个不同的实数解，，其中，

，或，． 记，则 ①

或 ② 解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是． 2

()()x

f x ax x e =+a R ∈0a =()2f x x =+0a =e 2x x x =+e 0x >0x =2

e 10x x

--=2()e 1x h x x =-

-22

()e 0x h x x

'=+>()(),00,x ∈-∞+∞()h x (),0-∞()0,+∞(1)e 30h =-<2

(2)e 20h =->31(3)e 03h --=-<2(2)e 0h --=>()2f x x =+[]12，

[]32--，k {}3,1-b ax ax x g ++-=12)(2

0>a ]3,2[41x

x g x f )

()(=

a b (

)

03|

12|2

|12|=--⋅

+-k k f x

x

k a b x a x g -++-=1)1()(2

0>a )(x g ]3,2[⎩⎨

⎧==4

)3(1)2(g g ⎩⎨⎧==01

b a 0)12(|12|)23(|12|2

=++-⋅+--k k x

x

t x

=-|12|),0(∞+∈t 0)12()23(2=+++-k t k t 1t 2t 101<t 101<

+++-=k t k t t h ⎩⎨

⎧<-=>+0

)1(0

12k h k ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

<+<=-=>+1

22300)1(012k k h k 0>k k ),0(∞+