湘教版等腰三角形的性质PPT课件
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本章内容 第2章
三角形
本课节内容 2.3
等腰三角形
动脑筋
如图,把一张长方形纸片按图中的虚线 对折, 然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开, 得△ABC.
AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?
说一说
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，
另一条边叫做底边. 角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，
议一议
如图 的三角测平架中,AB=AC,在BC的 中点D 挂一个重锤,自然下垂,调整架身, 使 点A恰好在铅垂线上． (1) AD与BC是否垂直,试说明理由; (2) 这时BC处于水平位置,为什么?
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
中考 试题
例 已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900, 点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
做一做
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 .
解：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∵在△ABD中，BD=AD ∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A ∵ 在△BDC中，BD=BC ∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180° 即 ∠A+4∠A=180° ∴∠A=36° ∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
探究
由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段DC ， 从而AD 是底边BC上的 中点 . 由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射 线 DA , 因此∠BDA=∠CDA= 90 °, 从而AD是底 边BC上的 高. 由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射 线 CB ,因此∠B = ∠C.
做一做
如图（1）在等腰△ABC中， AB =AC, ∠A = 36°,则∠B = 72,∠°C= 72 °.
变式练习：
1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A = 50°, 则∠B
=
，65∠°C= .65 °
2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A = 120°则∠B
=
，30∠°C= .30 °
想一想
如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
腰和底边的夹角叫做底角.
探究
任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如 图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：
射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 AB ；线 段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 AB； 点B的像是点C， 点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称.
例1 已知： 如图， 在△ABC中， AB=AC， BD⊥AC， 垂足为点D. 求证： ∠DBC= 1 ∠A.
2
作AF⊥BC于F ∵ ∴ ∵A∠ ABFC=⊥AABFCC=∠ABBFAD⊥F⊥=BAC12C∠BAC ∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90° ∴∠DBC =∠CAF ∴∠DBC= 1 ∠BAC
C
FG
A
E
D
(1)
C
E
BA
D
B
H (2)
M
中考 试题
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①）， 求证：AE=CG；
证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900 ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450 ∠CAD=∠CBD=450 ∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE ∴∠CBG+∠BCF=900 又∠ACE+∠BCF=900 ∴∠ACE=∠CBG 又AC=BC， ∴△AEC≌△CGB（ASA) ∴AE=CG
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
结论
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分 线所在的直线.
结论
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等 角”）．
几何语言：在△ABC中，
∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角）
结论
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重 合（简称“三线合一”）．
几何语Leabharlann Baidu：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC ∴∠ BAD = ∠ CAD ， BD = CD . 2、∵AD是中线， ∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD =∠CAD . 3、∵AD是角平分线， ∴ AD ⊥ BC ， BD = CD .
2 解题规律：
在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上
高或作底边上中线是一种常用的辅助线.
F
例2 已知： 如图, 在△ABC 中, AB = AC, 点D, E在边BC上, 且AD = AE.
求证： BD = CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边 上的中线. ∴ BF = CF， DF = EF， ∴ BF － DF = CF － EF， 即BD = CE.
因为△ABC 是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC, 从而∠C ＝∠A＝∠B． 由三角形内角和定理可得： ∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．
结论
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分 别是三个内角的平分线所在的直线.
三角形
本课节内容 2.3
等腰三角形
动脑筋
如图,把一张长方形纸片按图中的虚线 对折, 然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开, 得△ABC.
AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?
说一说
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，
另一条边叫做底边. 角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，
议一议
如图 的三角测平架中,AB=AC,在BC的 中点D 挂一个重锤,自然下垂,调整架身, 使 点A恰好在铅垂线上． (1) AD与BC是否垂直,试说明理由; (2) 这时BC处于水平位置,为什么?
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
中考 试题
例 已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900, 点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
做一做
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 .
解：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∵在△ABD中，BD=AD ∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A ∵ 在△BDC中，BD=BC ∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180° 即 ∠A+4∠A=180° ∴∠A=36° ∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
探究
由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段DC ， 从而AD 是底边BC上的 中点 . 由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射 线 DA , 因此∠BDA=∠CDA= 90 °, 从而AD是底 边BC上的 高. 由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射 线 CB ,因此∠B = ∠C.
做一做
如图（1）在等腰△ABC中， AB =AC, ∠A = 36°,则∠B = 72,∠°C= 72 °.
变式练习：
1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A = 50°, 则∠B
=
，65∠°C= .65 °
2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A = 120°则∠B
=
，30∠°C= .30 °
想一想
如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
腰和底边的夹角叫做底角.
探究
任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如 图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：
射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 AB ；线 段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 AB； 点B的像是点C， 点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称.
例1 已知： 如图， 在△ABC中， AB=AC， BD⊥AC， 垂足为点D. 求证： ∠DBC= 1 ∠A.
2
作AF⊥BC于F ∵ ∴ ∵A∠ ABFC=⊥AABFCC=∠ABBFAD⊥F⊥=BAC12C∠BAC ∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90° ∴∠DBC =∠CAF ∴∠DBC= 1 ∠BAC
C
FG
A
E
D
(1)
C
E
BA
D
B
H (2)
M
中考 试题
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①）， 求证：AE=CG；
证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900 ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450 ∠CAD=∠CBD=450 ∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE ∴∠CBG+∠BCF=900 又∠ACE+∠BCF=900 ∴∠ACE=∠CBG 又AC=BC， ∴△AEC≌△CGB（ASA) ∴AE=CG
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
结论
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分 线所在的直线.
结论
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等 角”）．
几何语言：在△ABC中，
∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角）
结论
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重 合（简称“三线合一”）．
几何语Leabharlann Baidu：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC ∴∠ BAD = ∠ CAD ， BD = CD . 2、∵AD是中线， ∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD =∠CAD . 3、∵AD是角平分线， ∴ AD ⊥ BC ， BD = CD .
2 解题规律：
在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上
高或作底边上中线是一种常用的辅助线.
F
例2 已知： 如图, 在△ABC 中, AB = AC, 点D, E在边BC上, 且AD = AE.
求证： BD = CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边 上的中线. ∴ BF = CF， DF = EF， ∴ BF － DF = CF － EF， 即BD = CE.
因为△ABC 是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC, 从而∠C ＝∠A＝∠B． 由三角形内角和定理可得： ∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．
结论
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分 别是三个内角的平分线所在的直线.