第5章 数控插补原理
数控机床的插补原理及方法
数控机床的插补原理及方法1概述在数控加工中，被加工零件的轮廓形状千变万化、形状各异。
数控系统的主要任务，是根据零件数控加工程序中的有关几何形状、轮廓尺寸的数控及其加工指令，计算出数控机床各运动坐标轴的进给方向及位移量，分别驱动各坐标轴产生相互协调的运动，从而使得伺服电机驱动机床工作台或刀架相对主轴(即刀具相对工件)的运动轨迹以一定的精度要求逼近所加工零件的理想外形轮廓尺寸。
2插补的基本概念数控系统的主要作用是控制刀具相对于工件的运动轨迹。
一般根据运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，有数控系统实时地算出各个中间点的坐标，即“插入、补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通常把这个过程称为“插补”。
机床伺服系统根据这些坐标值控制各坐标轴协调运动，走出规定的轨迹。
插补工作可以由软件或硬件来实现。
早期的硬件数控系统(NC系统)都采用的数字逻辑电路来完成插补工作，在NC中有一个专门完成插补运算的装置，称为插补器。
现代数控系统(CNC或MNC系统)，插补工作一般用软件来完成，或软硬件结合实现插补。
而无论是软件数控还是硬件数控，其插补运算的原理基本相同。
它的作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标轴发出相互协调的进给脉冲，使刀具相对于工件按指定的路线移动。
3对插补器的基本要求和插补方法的分类对于硬件插补器的要求如下。
1)插补所需的原始数据较少。
2)有较高的插补精度，插补结果没有累积误差，局部偏差应不超过所允许的误差(一般应小于一个脉冲当量)。
3)沿进给线路，进给速度恒定且符合加工要求。
4)电路简单可靠。
插补器的形式很多，从产生的数学模型分，有一次(直线插补器)、二次(圆、抛物线、双曲线、椭圆)插补器及高次曲线插补器等。
从基本原理分，有数字脉冲乘法器、逐点比较法插补器、数字积分器、比较积分法插补器等。
常用的插补方法有基准脉冲插补法和数据采样插补法两种。
数控机床插补原理
3.4.3.偏差计算 3.4.3.
进给一步后,计算新加工点与规定的 轮 廓的新偏差,为下一次偏差判别做准备, 根据偏差判别的结果给出计算方法. 当F≥0时,为F-Y,即沿+X方向走一步; 当F＜0时,为F+X,即沿方+Y向走一步;
宋成伟
3.4.4.终点判别 3.4.4.
判断加工点是否到达终点,若已到 终点,则停止插补,否则再继续按此四 个节拍继续进行插补. 1.讨论累计步数∑的问题. 2.讨论终点坐标时所要完成的插补步数 的问题.
宋成伟
逐点比较法既可以实现直线 插补也可以实现圆弧等插补,它 的特点是运算直观,插补误差小 于一个脉冲当量,输出脉冲均匀 ,速度变化小,调节方便,因此 在两个坐标开环的CNC系统中应 用比较普遍.
宋成伟
该方法一般不用于多轴联动,应用范围 有一定限制.它的算法特点是: 3.2.1.1.每次插补的结果仅产生一个单 位的位移增量(一个脉冲当量),以一个 脉冲的方式输出给步进电机,采用以用折 线逼近曲线的思维方式.
宋成伟
3.2.3.3.该算法比脉冲增量插补算 法较为复杂,对计算机运算速度有 一定要求. 它主要用于交,直流伺服电机驱 动的闭环,半闭环CNC系统.也可 用于步进电动机开环系统.
宋成伟
3.4.直线插补计算 Y .
这种插补方法是以 阶梯折线来逼近直线和Ye 圆弧等曲线的,而阶梯 折线与规定的加工直线 或圆弧之间的最大误差 不超过一个脉冲当量,Ym 因此如果数控机床的脉 冲当量足够小,就能够 满足一定的加工精度的 0.0 要求.
宋成伟
使用数据采样插补的数控系统, 其位置伺服通过计算机及测量装置 构成闭环.计算机定时地对反馈回 路采样,采样的数据与插补程序所 产生的指令数据相比较,用其误差 信号输出去驱动伺服电动机.采样 周期一般为10ms左右.
数控机床插补原理
X轴实际位置 X轴位置
比较
X坐标轴的位置增量/本周期
插 补 程 序
X轴位置 跟踪误差
Y坐标轴的位置增量/本周期
Y轴位置
采样反馈
比较
Y轴位置 跟踪误差
Y轴实际位置
伺 服 位 置 控 制 软 件
X轴 速度
X 驱 动 Y 驱 动
Y轴 速度
2插补的分类
2.4数据采样插补算法分类
1、直接函数法
数 据 采 样 插 补 算 法
Σ =5
Σ =4 Σ =3
6
7 8
F5<0
F6>0 F7<0
+y
-x -x
F6=F5+2y5+1=4
F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
x6=4, y6=0
x7=4, y7=0 x8=4, y8=0
Σ =2
Σ =1 Σ =0
四、总结
插补原理，就是根据加工要求，确定出起 点和终点坐标之间的中间点，进而控制刀具 沿规定的轨迹运动，以加工出规定的轮廓的 方法。
X i 1 X i 1 2 2 2 Fi 1 ( X i 1) Yi R Fi 2 X i 1
3.3.4终点判别
双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|，Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|，Σ1&Σ2=0停止
y
4 2 2 3
E(4,2)
o
1 1
x
2.投影法（单向计数） 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止
数控系统插补的方法和原理
数控系统插补的方法和原理数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间掌握点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的掌握速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置掌握软件的核心是插补。
插补的方法和原理许多，依据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲安排计算的基本单位，依据加工的精度选择，一般机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm 。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法掌握精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环掌握系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L 都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L 与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
图1 数据采样插补其次步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环的直流或沟通伺服电动机为驱动装置的位置采样掌握系统中。
数控插补原理
数控插补原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊数控插补原理。
这玩意儿啊，就像是一个神奇的魔法，让机器能按照我们的想法精确地行动起来。
你看啊，数控插补原理就好比是一个超级聪明的指挥家。
想象一下，一场音乐会，指挥家要让各种乐器在合适的时间发出合适的声音，这样才能演奏出美妙的音乐。
数控插补原理也是这样，它要指挥着机床的刀具，在正确的位置、以正确的速度进行切削，这样才能加工出我们想要的零件。
比如说，我们要加工一个复杂的曲线形状。
这要是靠我们手工去弄，那可真是太难啦，说不定弄半天还弄不好。
但有了数控插补原理就不一样啦！它能把这个复杂的曲线分解成一个个小的线段，然后让刀具沿着这些线段一步步地走过去，就像走迷宫一样，最后不就加工出我们想要的形状啦！再打个比方，这数控插补原理就像是一个经验丰富的导航。
我们要去一个陌生的地方，导航会给我们规划出一条精确的路线，告诉我们什么时候转弯，什么时候直行。
数控插补原理也是这样，它会给刀具规划出精确的路径，让刀具知道该怎么走，才能加工出符合要求的零件。
那这数控插补原理是怎么做到这些的呢？这可就涉及到一些专业的知识啦。
它要根据我们输入的指令，计算出刀具在每个时刻的位置和速度。
这就像是一场精密的计算游戏，不能有一点差错。
而且啊，不同的插补方法还有不同的特点呢。
就拿直线插补来说吧，它就像是走直线，简单直接。
而圆弧插补呢，就像是画圆弧，得有一定的技巧。
还有抛物线插补等等其他的插补方法，每一种都有自己独特的用处。
哎呀，这数控插补原理可真是太重要啦！没有它，那些高精度的零件怎么能制造出来呢？那些复杂的机器设备怎么能正常运行呢？它就像是机器世界的基石，支撑着整个制造业的发展。
所以啊，朋友们，可别小看了这数控插补原理。
它虽然看起来很复杂，但只要我们认真去学，去理解，就一定能掌握它的奥秘。
到时候，我们就能让机器在我们的指挥下，乖乖地工作，制造出各种精美的零件和产品。
这不就是我们想要的吗？让我们一起加油，去探索数控插补原理的神奇世界吧！。
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
数控的插补原理
2）零件轮廓必须符合X轴、Z轴方向同时单调增大或单调减少。
外圆粗车循环 FANUC-0T 数控车床编程:在复合固定循环中，对零件的轮廓定义之后，即可完成从粗加工到精加工的全过程，使程序得到进一步简化。外圆粗切循环是一种复合固定循环。适用于外圆柱面需多次走刀才能完成的粗加工，编程格式：G71 U(△d) R(e) G71 P(ns) Q(nf) U(△u) W(△w) F(f) S(s) T(t) 式中：△d-背吃刀量；e--退刀量；ns--精加工轮廓程序段中开始程序段的段号；nf--精加工轮廓程序段中结束程序段的段号；△u--X轴向精加工余量；△w--Z轴向精加工余量；f、s、t--F、S、T代码。
复合螺纹切削循环指令 FANUC-0T 数控车床编程:复合螺纹切削循环指令可以完成一个螺纹段的全部加工任务。它的进刀方法有利于改善刀具的切削条件，在编程中应优先考虑应用该指令，
精加工循环 FANUC-0T 数控车床编程:精加工循环复合固定循环由G71、G72、G73完成粗加工后，可以用G70进行精加工。精加工时，G71、G72、G73程序段中的F、S、T指令无效，只有在 ns----nf程序段中的F、S、T才有效。编程格式 G70 P(ns) Q(nf) 式中：ns-精加工轮廓程序段中开始程序段的段号；nf-精加工轮廓程序段中结束程序段的段号。
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
就结束该插补运算；如未到达再重复上述的 循环步骤。
（七）直线插补例题
图中的OA是要加工的直线。直线的起点在坐标原 点，终点为A（5，3）。试用逐点比较法对该直线 段进行插补，并画出补轨迹。
Y A（5,3）
O X
图2-5 逐点比较法直线插补轨迹
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
（五）逐点比较法直线插补源自2. 算法分析（第Ⅰ象限） 总结
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fm≥0 Fm<0
+△x +△y
Fm+1=Fm-ye Fm+1=Fm+xe
m=m+1
（六）插补运算过程
方向判定：根据偏差值判定进给方向； 坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向
发一进给脉冲； 偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
数控技术课件5-现代数控轨迹插补原理与控制的方法1
由于高速同步数据传递，插补直线段长度已经很短，插补输出 数据周期短到位置环能分辨的最小值，不需要对插补输出数据细分。 将独立的精插补融入了高速采样插补中，实现了粗精插补合一。
（4）软硬件结合发挥综合优势
实现高速采样插补（0.1μ m分辨率，0.1ms周期）条件:
高速高性能微处理器：如Pentiun D、Athlon64等以上CPU芯片 通过高效算法和直接操纵CPU核心硬件的软件设计技术
◈第一种系统中： 模拟伺服单元仅具有电流环和速度环， 位置控制需由数控装置完成，这样数控装置中还需包括位置控
制器和位置反馈接口，由此构成位置闭环。 插补模块和位置控制模块间就需以数字方式传递指令信息。
◈第二种系统中： 全数字伺服系统本身已带有位置环，不需要数控装置中再设置
位置控制器， 由于全数字伺服系统需要数字通讯接口、实时网络等数字通讯
AC= △L/2
（3-1）
代入（3-1）得
2
1
1
L
2
其中δ - 插补误差（最大弓高误差） ρ - 插补点处被插补曲线曲率半径 △L- 插补直线段长度
由式（3-2）知，插补直线段越短，插补精度越高。然而，在 进给速度一定的条件下，要得到足够短的插补直线段，必须具有很 短的插补周期，即很高的插补频率。现在一般的数控系统由于受软 硬件条件的限制大都采用低频插补方法，插补频率一般为几百赫兹， 插补采样周期为数毫秒。低频插补存在下面问题：
如果将分辨率提高到0.1μ m，因为其插补误差大大超过0.1μ m，不
符合实际，也无法取得实效。
（3）粗精插补合一
低频插补时需要进行二级插补：粗插补和精插补。 高频插补时采用“插补和位控同步”和“直接数据传递”技术， 从而实现粗精插补合一。 插补和位控同步是：插补采样频率达到位置控制环的采样频率， 并使插补与位控的动作保持严格的同步关系。高性能位置环的采样 周期一般为零点几毫秒，而高速插补采样周期为0.1ms，在速度上已 达到位置控制环采样的水平，使插补与位置环采样频率一致。再进 行软硬件合理设计，即可实现高速插补和位置控制的同步。 直接数据传递是：插补模块与位置控制模块间的信息传递可以 直接通过数字量进行，而不采用常规的脉冲量传递。这样可以省掉 插补模块与数字伺服系统之间的数字/脉冲转换环节（插补侧）和脉 冲/数字转换环节（伺服侧），从而消除信息传递瓶颈，提高信息传 递速度。
插补的原理
插补的原理插补是数控加工中的重要概念，它是指在机床进行加工过程中，根据加工轨迹的要求，通过控制机床的运动轴进行插补运动，从而实现复杂曲线的加工。
插补的原理是数控加工中的核心内容之一，下面将从插补的基本原理、插补的分类以及插补的应用等方面进行详细介绍。
首先，插补的基本原理是数控加工中的基础知识，它包括直线插补和圆弧插补两种基本插补方式。
直线插补是指机床在直线轨迹上进行插补运动，而圆弧插补则是指机床在圆弧轨迹上进行插补运动。
在数控加工中，插补运动是通过控制机床各个坐标轴的运动来实现的，通过对各个坐标轴的速度、加速度和位置进行合理的控制，可以实现复杂曲线的加工。
其次，插补可以根据其运动方式的不同进行分类，主要包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，它是通过控制机床的各个坐标轴，使其在直线轨迹上进行插补运动。
圆弧插补则是在圆弧轨迹上进行插补运动，它需要通过对圆弧的半径、起点和终点等参数进行合理的控制。
螺旋线插补则是在三维空间中进行插补运动，它需要对螺旋线的半径、螺距、起点和终点等参数进行合理的控制。
不同的插补方式可以实现不同形状的曲线加工，从而满足不同加工要求。
最后，插补在数控加工中有着广泛的应用，它可以实现复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
在实际加工中，通过合理的插补运动，可以实现各种复杂曲线的加工，如汽车零部件、航空航天零部件、模具等领域的加工。
同时，插补运动还可以实现多轴联动，从而实现更加复杂的加工要求，如五轴联动加工、六轴联动加工等。
因此，插补在数控加工中具有非常重要的意义，它是实现复杂曲线加工的关键技术之一。
综上所述，插补是数控加工中的重要概念，它通过合理的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补的基本原理包括直线插补和圆弧插补，可以根据其运动方式的不同进行分类。
插补在数控加工中有着广泛的应用，可以实现各种复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
因此，深入理解插补的原理对于提高数控加工的质量和效率具有重要意义。
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
（一）插补的基本概念
插补运算过程:
进入一个插补周期
根据指令的进给速度计算出 一个微小的直线数据段。
通常经过若干个插补周期加工完一个程序段， 即从数据段的起点走到终点。
计算机数控系统是一边插补，一边加工。 而在本次处理周期内，插补程序的作用是
计算下一个处理周期的位置增量。
八方向逐点比较法以45o折线逼近给定轨迹，逼近误差小 于半个脉冲当量，加工出来的工件质量要比四方向逐点 比较法的高。
以四方向逐点比较法为基础，可以导出八方向逐点比较 法的插补原理及算法。这里限于篇幅，不作具体推导和 详细说明。
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
分段逼近，相连成轨迹
脉冲当量：一个脉冲所产生的 坐标轴移动量叫做脉冲当量
脉冲当量与坐标显示分 辨率往往是一致的
数控插补原理
一、逐点比较法直线插补
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
y
脉冲当量δ
A(xe,ye) 相对于每个脉冲信号，
机床移动部件的位移，
常见的有：0.01mm
0.005mm
o
0.001mm
x
一、逐点比较法直线插补
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比 较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向
机床允许的最低速度和最高速度执行时发出信号，让机床相应部
的限制进行判断并处理。
件执行这些动作。
• 四、插补
• 在数控加工中，一般已知运动轨迹的
起点坐标、终点坐标和曲线方程和进给
速度，如何使切削加工运动沿着预定轨 迹移动呢？
•
插补的任务是通过插补计算程序
在已知上述信息的基础上进行“数据点
的密化”工作，即在起点和终点之间插 入一些中间点。
Fij 0
Fij 0
x
y
Fi1, j Fi, j ye
Fi , j1 Fi , j xe
Ei j E终 1
• 例：脉冲当量为1，起点（0，0），终点（5，3）
序号 偏差判别 进给控制
偏差计算
终点判别
1
F0=0
+△x F1=F0-Ye=0-3=-3 M=8-1=7
2
F1<0
+△Y F2=F1+Xe=-3+5=2
X方向 第Ⅰ象限： +1 第Ⅱ象限： -1 第Ⅲ象限： -1 第Ⅳ象限： +1
K1
Y 方向 +1 +1 -1 -1 K2
第五章 运动控制插补原理及实现
运动控制插补原理及实现数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。
插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。
数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法、样条插补法等。
逐点比较法，即每一步都要和给定轨迹上的坐标值进行比较，视该点在给定规矩的上方或下方，或在给定轨迹的里面或外面，从而决定下一步的进给方向，使之趋近给定轨迹。
直线插补原理图3—1是逐点比较法直线插补程序框图。
图中n是插补循环数，L是第n个插补循环中偏差函数的值，Xe，Y。
是直线的终点坐标，m是完成直线插补加工刀具沿X，y轴应走的总步数。
插补前，刀具位于直线的起点，即坐标原点，偏差为零，循环数也为零。
在每一个插补循环的开始，插补器先进入“等待”状态。
插补时钟发出一个脉冲后，插补器结束等待状态，向下运动。
这时每发一个脉冲，触发插补器进行一个插补循环。
所以可用插补时钟控制插补速度，同时也可以控制刀具的进给速度。
插补器结束“等待”状态后，先进行偏差判别。
若偏差值大于等于零，刀具的进给方向应为+x，进给后偏差值成为Fm-ye；若偏差值小于零，刀具的进给方向应为+y，进给后的插补值为Fm+xe。
进行了一个插补循环后，插补循环数n应增加l。
最终进行终点判别，若n<m，说明直线插补没有完毕，应继续进行插补；否则，表明直线加工完毕，应结束插补工作。
由上面的插补计算可知，每走一步，都要进行一下4个步骤(也称节拍)的算术运算或逻辑判断，其工作循环为：方向判定：根据插补值判定进给方向。
坐标进给：由判定方向向该坐标方向发一个进给脉冲。
偏差计算：每走一步到达新坐标点，按偏差公式计算新的偏差。
终点判别：若到达终点就结束插补计算；若未到达就重复上述循环步骤。
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3.时间分割法插补精度 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插 补误差。
圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行 逼近，存在半径误差。
Y A(Xe,Ye) l l △X β O l △Y
α
第5章 数控装置的轨迹控制原理
FT l er 8r 8r
2
2
式中 er——最大径向误差； r——圆弧半径。 圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T和进 给速度F 的平方成正比。 插补周期是固定的，该误差取决于进给速度和圆弧半径。 当加工圆弧半径确定后，为了使径向误差不超过允许值，对进给 速度有一个限制。 例如：当要求er≤1μ m,插补周期为T=8ms，则进给速度为：
第5章 数控装置的轨迹控制原理
5.2 脉冲增量插补
-------逐点比较法
插补原理：每次仅向一个坐标轴输 出一个进给脉冲，每走一步都要通 过偏差计算，判断偏差点的瞬时坐 标同规定加工轨迹之间的偏差，然 后决定下一步的进给方向。 每个插补循环由四个步骤组成。
Y P1 P2 B
A 0
P0(x,y)
X 终点到？
设刀具由A点移动到B点，A（Xi－1，Yi－１ ）为圆弧上一插补 点, B(Xi，Yi)为下一插补点。AP为A点的切线，AB为本次插补的合成 进给量，AB=f。M为AB之中点。 通过计算可以求得下一插补点B点的坐标值
X i X i1 X
Yi Yi 1 Y
第5章 数控装置的轨迹控制原理
∑=5-1=4 ∑=4-1=3 ∑=3-1=2
9
10
F8＞0
F9＞0
-X
-X
F9=4-2×2+1=1，X9=2-1=1，Y9=5
F10=1-2×1+1=0，X10=1-1=0，Y10=5
∑=2-1=1
∑=1-1=0
第5章 数控装置的轨迹控制原理
圆弧插补轨迹
第5章 数控装置的轨迹控制原理
四个象限圆弧插补计算
5
6 7 8
F4＞0
F5＜0 F6＞0 F7＜0
+X
+Y +X +Y
F5= F4 - Ye =2-4=-2
F6= F5+Xe =-2+5=3 F7.= F6 - Ye =3-4=-1 F8= F7+Xe =-1+5=4
∑=5-1=4
∑=4-1=3 ∑=3-1=2 ∑=2-1=1
插补轨迹
9
F8＞0
+X
X m1 X m
新的偏差为
Ym1 Ym 1
Fm1 Ym1 X e X m1Ye Fm X e
第5章 数控装置的轨迹控制原理
逐点比较法直线插补的计算过程
偏差判别 坐标进给 偏差计算
Fm≥0
Fm＜0 终点判别
+X
+Y
Fm+1= Fm -Ye
Fm+1= Fm +Xe
步数 1 2 3 4 偏差判别 F0=0 F1＜0 F2＜0 F3＜0 坐标进给 -X +Y +Y +Y 偏差计算 F0=0，X0=5，Y0=0 F1=0-2×5+1=-9，X1=5-1=4，Y1=0 F2=-9+2×0+1=-8，X2=4，Y2=0+1=1 F3=-8+2×1+1=-5，X3=4，Y3=1+1=2 F4=-5+2×2+1=0，X4=4，Y4=2+1=3 终点判别 ∑=10 ∑=10-1=9 ∑=9-1=8 ∑=8-1=7 ∑=7-1=6
不同象限直线的逐点比较插补
第5章 数控装置的轨迹控制原理
二、圆弧插补 1.偏差计算公式 因为 取
2 2 2 Rm X m Ym
2 2 2 Fm Rm R2 X m Ym R2
作为圆弧插补的偏差判别式。
当Fm =0，表明加工点在圆弧上； 当Fm＞0，表明加工点在圆弧外； 当Fm＜0，表明加工点在圆弧内。
F 8er r / T 450000r
F9.= F8 - Ye =4-4=0
∑=1-1=0
插补计算过程
第5章 数控装置的轨迹控制原理
四个象限的直线插补计算
四个象限直线插补公式（坐标值为绝对值）
象限 Ⅰ 坐标进给 Fm≥0 +X Fm＜0 +Y 偏差计算 Fm≥0 Fm＜0
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
-X
-X +X
+Y
-Y -Y
Fm1 Fm Ye Fm1 Fm X e
第5章 数控装置的轨迹控制原理
偏差计算公式的推算过程
设在某加工点处，有Fm≥0时，应沿+X方向 进给一步，走一步后新的坐标值为
X m1 X m 1
新的偏差为
Ym1 Ym
Fm1 Ym1 X e X m1Ye Fm Ye
若Fm＜0时，应向+Y方向进给一步，走一 步后新的坐标值为
等。
第5章 数控装置的轨迹控制原理
（二）数据采样插补 数据采样插补为时间标量插补，插补分两步进行， 即粗插补和精插补。第一步为粗插补，它是在给定起 点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小 直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期 中计算一次。第二步为精插补，它是在粗插补计算出 的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作， 这一步相当于对直线的脉冲增量插补。 这种插补算法尤其适合于闭环和半闭环的位置控制 系统。 数据采样插补有时间分割插补和扩展DDA法插补等。
5.3 数据采样插补
---------时间分割插补法
Y A(Xe,Ye) l l △X β O l △Y
插补计算过程 粗插补：采用时间分割思想，根据进给速 度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段 段的轮廓步长L，L=FT，然后计算出每个 插补周期的坐标增量△X 和△Y 。 精插补：实时计算出各插补周期中的插补 点（动点）坐标值。
第5章 数控装置的轨迹控制原理
时间分割插补法直线插补计算步骤： （1）根据加工指令中的速度值F，计算轮廓步长L； （2）根据终点坐标值Xe和Ye计算tana； （3）根据tana计算cosa； （4）计算X轴的进给量△X （5）计算Y轴的进给量△Y
第5章 数控装置的轨迹控制原理
2.时间分割法圆弧插补原理
第5章 数控装置的轨迹控制原理
第5章
数控装置的轨迹控制原理
5.1 概述 5.2 脉冲增量插补 5.3 数据采样插补
第5章 数控装置的轨迹控制原理
5.1 概述
一、插补的概念
在数控机床中，刀具不能严格地沿着所要加工的 轮廓线运动，只能用折线逼近所加工的轮廓线。 插补计算就是在轮廓线的起点和终点之间，再密 集地计算出有限个坐标点。 刀具沿着这些坐标点移动来逼近实际轮廓线。
α
基本思想：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线） 来逼近曲线（包括直线）。
第5章 数控装置的轨为F(mm/min)， 则在t内的合成进给量△L为：
F 1000 t F f t 60 1000 60
无论直线插补还是圆弧插补，都必须先用上式 计算出单位时间（插补周期）的进给量，然后才 能进行插补点的计算。
第5章 数控装置的轨迹控制原理
偏差计算公式的推算过程
Fm≥0时，为了逼近圆弧，应向-X方向走一步，
坐标值为
X m1 X m 1
新的偏差为
Ym1 Ym
2 Fm1 X m1 Ym21 R2 Fm 2 X m 1
Fm＜0时，为了逼近圆弧，应向+Y方向走一步，
坐标值为
直线终点的判别方法常采用总步数法，即根据X、Y两向坐标 所要走的总步数∑来判断，
X e X 0 Ye Y0
每走一步X或Y，均进行(∑-1)计算，直至∑=0时即到终点， 停止插补。
第5章 数控装置的轨迹控制原理
例题
设欲加工第一象限直线OE，起点在原点，终点坐标Xe=5， Ye=4，试写出插补计算过程并绘制插补轨迹。
第5章 数控装置的轨迹控制原理
1.时间分割法直线插补
Om为已计算出的轮廓步长l，即单位时间间隔（插补 周期）的进给量f。则有
X f cos
Ye Y X X tan Xe
而
tan
Ye Xe
2 e
cos
Xe X Y
2 e
1 1 tan2
式中
△X——X轴插补进给量； △Y——Y轴插补进给量。
SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第一、第二、第三、第四象限的顺圆弧。 NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第一、第二、第三、第四象限的逆圆弧。
第5章 数控装置的轨迹控制原理 圆弧插补计算公式和进给方向
偏差符号Fm≥0
圆弧线型 SR1、NR2 SR3、NR4 进给方向 -Y +Y 偏差计算 Fm+1=Fm-2Ym+1 Fm+1=Fm-2Xm+1 偏差符号Fm＜0 圆弧线型 进给方向 偏差计算 Fm+1=Fm+2Xm+1 Fm+1=Fm+2Ym+1 坐标计算 坐标计算 Xm+1=Xm Ym+1=Ym-1
X m1 X m
新的偏差为
Ym1 Ym 1
2 2 Fm1 X m1 Ym1 R2 Fm 2Ym 1
第5章 数控装置的轨迹控制原理
逐点比较法圆弧插补的计算过程
偏差判别 坐标进给 偏差计算
Fm≥0
Fm＜0 终点判别
-X
+Y
Fm1 Fm 2 X m 1 Fm1 Fm 2Ym 1
圆弧终点的判别方法常采用总步数法，即根据X、Y两向坐标 所要走的总步数∑来判断，