八年级最短路径问题归纳小结

八年级最短路径问题归纳

小结

Last revision on 21 December 2020

八年级数学最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）

中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

AM +MN +NB 的值最小．

B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．

【问题7】

作法

图形

原理

在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使PA +AB 值最小．

作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．

点到直线，垂线段最短．

PA +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．

【问题8】

作法

图形

原理

A 为1l 上一定点，

B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使

AM +MN +NB 的值最小．

作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．

两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．

【问题9】

作法

图形

原理

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．

连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．

垂直平分上的点到线段两

端点的距离相等． PB PA -＝0．

【问题10】

作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．

作直线AB ，与直线l 的交

点即为P ．

三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．

PB PA -的最大值＝

AB ．

【问题11】

作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．

作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点

即为P ．

三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤

AB ＇．

PB PA -最大值＝

AB ＇．

【问题12】“费马点”

作法

图形

原理

△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．

所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．

两点之间线段最短． PA +PB +PC 最小值＝

CD ．

【精品练习】

1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC

上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3B ．6 C ．3 D 6

2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2

B ．32

C ．32+

D ．4

A D

E P

B C

3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）

A ．120°

B ．130°

C ．110°

D ．140°

4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C

重合），

且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．

6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA

上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边

的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）

7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．

8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，

此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．

（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P 点的坐标；

（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点．

（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；

（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．

11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF +BF +CF ＝CD ；

（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．

及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B 点路径最短

E A B

y

x

B O A

C D

y

x B

O

A

y

x

B

O

A

D A B C

M

N C

A

D

B

M N

y

x B

A

O