专题十一 等差数列与等比数列(解析版)
高考数学二级结论快速解题：专题11 与等比数列相关的结论(解析版)
专题11与等比数列相关的结论一、结论已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S .(1)n mn m a a q(,m n N ).(2)若m n p q ,则m n p q a a a a (,,,m n p q N );反之,不一定成立.(3)123m a a a a ,122m m m a a a ,21223m m m a a a , 成等比数列(m N ).(4)公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N ).(5)若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则S q S 偶奇.(6){}n a ,{}n b 是等比数列,则{}n a ,1{}n a ,{}n n a b ,{}n na b 也是等比数列(0 ,n N ).(7)通项公式111n nn a a a qq q.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为x q ,x ,xq ;四个数成等比数列,通常设为3x q ,xq,xq ,3xq .二、典型例题1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S ，则93:S S （）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3【答案】C 【解析】解：因为数列 n a 为等比数列，则3S ，63S S ，96S S 成等比数列，设3S m ，则62m S ，则632mS S ，故633S S S 966312S S S S ，所以964m S S ，得到934S m ，所以9334S S .故选：C.【反思】公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N )，此结论可快速解题，解题时注意等比数列的正负性问题.2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】设这个等比数列 n a 共有 2k k N项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a 奇，偶数项之和为 2421321170n n S a a a q a a a qS 奇偶，170285S q S偶奇，等比数列 n a 的所有项之和为212212211708525512kkk a S，则22256k，解得4k ，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.【反思】利用结论若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则S q S 偶奇，可直接根据结论求出q ，进而求出其它量.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列 n a 的各项均为正数，且383 a a ，则3132310log log log a a a （）A ．5B ．10C ．4D ．32log 5【答案】A 【解析】【详解】由题有293847561103a a a a a a a a a a ，则531323103293847561103log log log log ()lo 3g a a a a a a a a a a a a a =5.故选：A2．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列 n a 中，若100a ，则有等式121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，类比上述性质，在等比数列 n b 中，若111b ，则有（）A ．121219n n b b b b b b L L (19n 且N n )B ．121221n n b b b b b b L L (21n <且N n)C ．121921n n b b b b b b (19n 且N n )D ．121122n n b b b b b b (21n <且N n )【答案】B 【详解】在等差数列 n a 中，若 ,,,N s t p q s t p q则s t p q a a a a ，若0m a ，则1222210n n m n m n a a a a ，所以121221n m n a a a a a a 成立，当10m 时，121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，在等比数列 n b 中，若 ,,,N s t p q s t p q则s t p q b b b b ，若1m b ，则1222211n n m n m n b b b b ，所以121221n m n b b b b b b 成立，当11m 时，12n b b b L ＝1221n b b b L (21n <且N n )成立，故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若43S ，89S ，则16S 的值为（）A ．12B ．30C ．45D ．81【答案】C 【详解】显然公比不为-1，∵ n a 是等比数列，则4841281612,,,S S S S S S S 也成等比数列，483,9S S ∵，846S S ，12812S S ，则1221S ，161224S S ，则1645S .故选：C.4．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若423S S ，则64S S （）A ．2B ．73C ．310D ．12或【答案】B 【详解】设24,3S k S k ，由数列 n a 为等比数列(易知数列 n a 的公比1q )，得24264,,S S S S S 为等比数列又242,2S k S S k644S S k67,S k 647733S k S k故选：B ．5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列 n a 中，11a ，132185k a a a ，24242k a a a ，则k （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】设等比数列 n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q ，即 2285184k q a a ，因为24242k a a a ，所以2q =，则 21123221112854212712k k k a a a a a ，即211282k ，解得3k ，故选：B.6．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶，则85,170S S 奇偶,所以=2S q S偶奇，结合等比数列求和公式有：22122112==185112nn a q S q奇，解得n =4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C 选项.7．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A ．若20222021S S ，则数列{}n a 单调递增B ．若20222021T T ，则数列{}n a 单调递增C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a aD ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a 【答案】D 【详解】A ：由20222021S S ，得20220a ，即202110a q，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T ，得20221a ，即202111a q，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a ，公比12q ，则11(122(1)1212nn nS ，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a ，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ，所以1n a ，即1q ，所以20222021a a ，故D 正确.故选：D8．（2021·全国·高二课时练习）已知n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若存在*m N ，满足22519,1m m m m S a m S a m ，则数列 n a 的公比为（）A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】B 【详解】设数列 n a 的公比为q ，若1q ，则22mmS S ，与题中条件矛盾，故212122111115111.19,8.8,111mm mmm m m m mm m a q S a a q m qq q q q S a a q m a q q∵∵33,8,2m q q .故选：B 二、填空题9．（2021·全国·高三专题练习）设正项等比数列 n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ，若n nnb a，则数列 n b 中最大的项为_____.【答案】12【详解】根据题意，设正项等比数列 n a 的公比为q ，其中0q ，因为132,14a S ，可得2322214S q q ，解得2q =或3q ，因为0q ，所以2q =，所以112n n n a a q ，则2n n n n n b a，故122121,222b b ，当2n 时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n ，则有1234b b b b ，所以数列 n b 中最大的项为12.故答案为：12.10．（2020·江西省都昌县第二中学高二阶段练习）已知等比数列 n a 的首项为1a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，下列命题中正确的是______．（写出全部正确命题的序号）（1）若等比数列 n a 单调递增，则10a ，且1q ；（2）数列：23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，也是等比数列；（3） *11,2n n S qS a n N n ；【答案】（3）【详解】解：对于（1），若等比数列 n a 单调递增，则 11110n n n a a a q q ，所以101a q 或1001a q，故（1）错误；对于（2），若1q ，n 为偶数，则20,0n n S S ，即20n n S S ，因为等比数列中的项不可能为0，故此时23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，不是等比数列，故（2）错误；对于（3），当*,2n N n 时，123n nS a a a a1111n a q a a a 11n qS a ，故（3）正确.故答案为：（3）.三、解答题11．（2020·上海·高三专题练习）解答下列各题：（S 奇表示奇数项和，S 偶表示偶数项和）（1） n a 是等比数列，11a ，项数n 为偶数．S 奇＝85，S 偶＝170，求n ；（2） n a 是等差数列，共n 项，n 为奇数，77n S ，S 偶33 ，118 n a a ，求通项公式．【答案】（1）8；（2）323 n a n .【详解】（1） 2S q S偶奇，所以128517012nn S ，解得8n ；（2）S 奇＝n S S 偶＝44，12n a ＝S 奇－S 偶＝44－33＝11，即122 n a a ，由118 n a a ，可得120,2,7 n a a n ，∴220371d．所以通项公式为203(1)323n a n n ．.。
2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一等差、等比数列的基本运算【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．29B．31C．33 D．36【例2】．an是公差不为0的等差数列，满足a24＋a25＝a26＋a27，则该数列的前10项和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【例3】．已知递增数列{an}对任意n∈N*均满足an∈N*，aan＝3n，记bn＝a2•3n－1(n ∈N*)，则数列{bn}的前n项和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.3n＋1－3n2D.3n＋1－32题组训练一等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60则a20等于()A．4B．6C．10D．122．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于()A．8 B．6 C．4 D．33．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为()A．152 B．135 C．80 D．16题型二等差、等比数列的性质及应用【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a8•a2 008＝14，则b1＋b2＋b3＋…＋b2 015等于()A．log22 015 B．2 015 C．－2 015 D．1 0082．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－503．等比数列{an}的首项为32，公比为－12，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－1Sn 的最大值与最小值之和为()A．－23 B．－712C.14D.56题组训练二等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的两根，则a1a17a9的值为()A．23 B．4 C．±22 D．±42．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－217<d<－19，则当Sn 取最大值时n的值为________．3．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016•a2 017＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2 016B．2 017 C．4 032 D．4 033题型三等差、等比数列的综合问题【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三等差、等比数列的综合问题已知数列{an}中，a1＝1，an•an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n －1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.题型四数列与其他知识的交汇【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2 016OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于()A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016题组训练四数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1 D．－322．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am•an ＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.433．艾萨克•牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列xn满足xn＋1＝xn－′，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列xn为牛顿数列，设an＝ln xn－2xn－1，已知a1＝2，xn>2，则an的通项公式an＝________.【专题训练】一、选择题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．52．在正项等比数列{an}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn等于()A．n(3n－1) ＋C．n(n＋1) ＋5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S12－S6S6－7•S6－S3S3－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a35，则1m＋8n的最小值是()A.157B.95C.53D.756．数列an是以a为首项，b为公比的等比数列，数列bn满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n ＝1,2，…)，数列cn满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若cn为等比数列，则a＋b 等于()A.2 B．3 C.5 D．6二、填空题7．数列{an}的通项an＝n2•，其前n项和为Sn，则S30＝________.8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝2nan－1an－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．8日B．9日C．12日D．16日10．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为________．三、解答题11．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足an＋1＝an•bn，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∴a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∴a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1 009＝a 21 008＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∵数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∴(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∵S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∴(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∴S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∵m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∵a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∴a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线∴AB →＝λAC →∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∵OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∴a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∴a 1＋a 2 016＝1∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∴选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ，∴ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∵等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∴a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∴数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】 D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，∴a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∴a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】 C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∵T n＝a1a2…a n，∴T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∴n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0， 解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∴k 2＜23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3. 由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ⇒a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。
等差数列与等比数列典例分析
等差数列与等比数列的综合应用高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【参考答案】（1）；（2）.【试题解析】（1）设等差数列的首项为，公差为.依题意有，即.由，解得.所以.（2）由（1）知.因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.【解题必备】等差、等比数列的综合是高考考查的热点，一般都是突出基本量和方程思想，强调基本的运算.解题时，关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量，即与来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.一般地，若为等差数列，则且为等比数列；若为正项等比数列，则且为等差数列.1．已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．2．已知等差数列满足，，数列满足，.（1）求，；（2）求数列的前项和.3．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.1．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得．而，所以．又因为，所以解得，所以．由，可得①．由，可得②．联立①②，解得，，由此可得．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）设数列的前项和为，由，，有，故，．上述两式相减，得．得．所以，数列的前项和为．【名师点睛】本题是等差数列和等比数列的综合题，主要考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的递推式、错位相减法.2．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题知为等差数列，设其公差为，则解得故；又，则.（2）由（1）知：，，故，，故，【名师点睛】本题考查了等差数列，错位相减法，意在考查学生对于数列公式和性质的灵活运用. 3．【答案】（1）；（2）5或.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以有，即.因为，所以，联立方程组，解得，∴.（2）∵，解得或3，当时，，此时；当时，，此时，所以或75.【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，熟记等比数列、等差数列的通项公式是解决本题的关键.。
专题十一数列求和的常用方法
专题十一 数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（） 典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。
高考数学热点问题专题解析——等差等比数列综合问题
等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：2、等差数列与等比数列的互化：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}n a c 成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n n a a a d a c c c c++-==为一个常数所以{}n a c 成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++-==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1-或2 C. 2 D. 1-思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =-，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d =-，所以135d a =-，则211305a d a =-<，且()2141646025a dS d a d =+=-<，所以B 符合要求 答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅== 答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q--，所以有：()816282q q ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即22252520q q q q +=⇒-+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∈a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∈⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∈a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∈a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n ＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∈数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∈数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∈a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1009＝a 21 008＝14，∈b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫ ⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∈数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∈S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∈(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∈S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∈(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∈S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∈a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∈a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∈{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∈a 9＞0，∈a 9＝a 3a 15＝23，∈a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∈a 1＝4， ∈a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∈T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∈m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∈{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∈a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∈a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∈a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∈b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∈b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∈a 1＝1，a 1·a 2＝12，∈a 2＝12∈b 1＝a 1＋a 2＝32.∈b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∈T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∈A 、B 、C 三点共线∈AB →＝λAC →∈OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∈OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∈a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∈a 1＋a 2 016＝1∈S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∈选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∈ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∈f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∈x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n－3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∈a 1＝2 ，∈ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∈等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∈a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∈数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∈a3a5＝64，∈a3a5＝a1a7＝64，∈a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∈a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∈T n＝a1a2…a n，∈T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∈n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∈{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∈S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∈q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∈a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∈m ＋2n ＝15，∈1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∈1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∈a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∈S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∈数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∈a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∈数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∈a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∈n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∈当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∈k 2＜23，且0<k <1，∈0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∈(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,0∈(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ∈a n＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。
(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析.docx
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______【答案】 35【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，∴ 2 a 3b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3b 3a 1b 135 ．2．等比数列的性质例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 610 ，则 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 的值为（）A ． 10B ． 20C ． 100D ． 200【答案】 C【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向a 4 ， a 6 靠拢，从而 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9a 42 2a 4a 6a 62a 42a 6 ，即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．3．等差、等比综合例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，a 11b11，则有（ ）A ． a 6 b 6B ． a 6 b 6C ． a 6 b 6D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6【答案】 B【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1a11b 1 b 11 ，因为 a 1 a 112a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，所以利用均值不等式可得：b 1 b 11 2b 1 b112 b 622b 6 ；（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】 D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．由等差数列的性质可知：a2a4a1a1a53 ，a5 6 ， a32则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 CS55a340， S99a5126a38【解析】根据等差数列的求和公式，化简得a5，14根据等差数列通项公式得a12d8，解方程组得a12a14d14，d3S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643【解析】 根据题意，当 n1时， 2S 1 2a 1 4，故当 n 2 时， a n S n S n 12n 1 ，∵数列 a n 是等比数列，则 a 11，故41 ；解得2 ．故选 C ．24．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 714 ，则 S 11 （）A ． 140B ． 70C ． 154D ． 77【答案】 D【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，∴ S 11a 1 a 1111 a 5 a 71114 77 ．故选 D ．221125．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ．1 或1D ． 1或12 22【答案】 C【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2q 1 ，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，2则 S 4 （）A ． 5B ． 0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，1a 2 ， a 3 成等差数列，可得a 22a 1 a 3 ，2若 a 1 1 ，可得 q2 q 2，解得 q21舍去，a 1 1 q 41 2 4则 S 45 ，故选 A ．1q127 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2 log 3 5【答案】 B【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：a 5a 6 a 4a 7 9 ，且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，据此结合对数的运算法则可得：log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）A．182B．78C．148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列a n的公差为 d，∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）A． 27B． 36C． 45D． 66【答案】 D【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a1111a66，故6810610101126选 D．11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，则下列结论错误的是（）．．A． 0q 1B． a71C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643n n 1【解析】 等比数列 a n a 1q n 1， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 nq 2，由此 K 5 K 61 a 1 q 5 ， K 6K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知q 1 ，所以 A 正确，n n 1n n 1n n 131 a 1q 6 ， K na 1n q 2 可知 K n a 1n q 2q2，由 0 q 1 ，所以 q x减，n n13 在 n 6 ， 7 取最小 ，2所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．12 ． 定函 数 f x如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，a 1 a 2 a 3 La2018（ ）A ． 7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由 知 f 13 ， f 2 5 ， f 34 ， f 4 6 ， f5 1 ， f6 2 ，∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，∴ a 1 2 ， a 2 f 25 ， a 3f 5 1 ， a 4f 1 3 ， a 5f 3 4 ， a 6f 4 6 ， a 7 f 6 2⋯⋯，∴ a n 是周期6 的周期数列，∵ 2018 336 6 2 ，∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．二、填空13．已知等差数列a n ，若 a 2a 3 a 7 6 ， a 1a 7 ________【答案】 4【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．【答案】 15【解析】已知 a1a2a3a1 1q31，则 S3 1 ，1qa 1q12又 q 3 2代入得 a11q 1 ；∴ S12q115．设n是等差数列a的前n项和，若a5S n a312q 1 1 3 215 ．1 q10，则S9 _______．9S5【答案】 2S 9a99aa15109910【解析】925，又a，代入得S2 ．S555a3a39S5 5 9a5a1216．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．三、解答题17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．（1）求 a n；（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；（2） b n n a n n2n ，S 51 2 2 223 234 245 251 23 4 5222 23 24 251 55 2 25 277 ．21 218．设 a n是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 T n n N * ．已知 b 1 1， b 3b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 42a 6 ．（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，求正整数 n 的值．【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．2【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3b 2 2 ，可得 q 2q2 0 ．因为 q0 ，可得 q2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n2n 1 ．1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，故 an ，所以 Sn n1n．n22 1 n（2）由（ 1），有 T 1 T 2 LT n2122L2nn 2n 2 ．1 n 2n 12由 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，可得 n n12n1n 2 n 2n 1，2整理得 n 23n 4 0 ，解得 n1 （舍），或 n 4．所以 n 的值为 4．。
高考数学等差数列、等比数列(解析版)题型二：等差数列、等比数列的性质
题型二：等差数列、等比数列的性质1．等差数列{}n a ､{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且223n n S n T n +=+，则61172a b b =+（ ） A ．65B ．76C ．1D ．209【答案】A 【详解】因数列{}n a ､{}n b 都为等差数列，且223n n S n T n +=+， 故设()22n kn S n =+，()3n T kn n =+， 因此66524a S S k =-=，99820b T T k =-=， 由等差中项得，661179222462205a a kb b b k ===+.故选：A.2．已知等差数列{}n a 满足：25815a a a ++=，则37a a +=（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．10【答案】D 【详解】因为2585315a a a a ++==， 所以55a =，所以375210a a a +==， 故选：D3．公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．19B ．18C ．17D ．16【答案】D 【详解】{}n a 为等差数列，31172a a a ∴+=，由23711220a a a -+=得：27740a a -=，解得：70a =或74a =；{}n b 是等比数列，0n b ∴≠，又77b a =，774b a ∴==，268716b b b ∴==.故选：D.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，63S =，则12S 等于（ ） A ．-3 B ．-12C ．-21D ．-30【答案】D 【详解】由等差数列的性质知：36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列， ∴()633962S S S S S -=+-，则9636S +-=-，可得99S =-. 同理：96631292()S S S S S S -=-+-，即12624S +=-，得1230S =-. 故选：D5．已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ）A ．3B ．6C ．327D ．8013【答案】B 【详解】数列{a n }，{b n }均为等差数列，由等差数列下标和的性质得1113153931111111115711111111111139112222(222112)a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b +⋅+++=+==⋅=⋅+++++++⋅+11114118226111S T ⋅-=⋅=⋅=+. 故选：B6．已知正项等比数列{}n a 中，28468a a a a +=，则39122222log log log log a a a a++=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【详解】由等比数列性质可知，192846a a a a a a ===，而a 2a 8+a 4a 6=8， 所以1928464a a a a a a ====，因为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9212921928465log log ()()()a a a a a a a a a a ==，所以log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9= 92log 29=，故选：B7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，11168313225a a a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25 B ．254C ．5D ．25【答案】B 【详解】{}n a 是等比数列，且11168313225a a a a a a ++=，()222668868225a a a a a a ∴++=+=.又0n a >，685a a ∴+=，268113682524a a a a a a +⎛⎫∴=≤=⎪⎝⎭，当且仅当6852a a ==时取等号. 故选：B .8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35S =，620S =，则9S =（ ） A ．66B ．65C ．64D ．63【答案】B 【详解】解：由题知：31235S a a a =++=，()36345612315S S a a a a a a q -=++=++=，()696789123920S S a a a a a a q S -=++=++=-，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即5，15，920S -成等比数列，所以()2915520S =-，解得965S =.故选：B.9．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若1234a a a ++=，4568a a a ++=，则12S = A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【详解】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．[提分技巧](1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中若“m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+(,,,m n p q N *∈)”这一性质与求和公式1()2n n n a a S +=的综合应用。
等差数列与等比数列的计算与应用详细解析
等差数列与等比数列的计算与应用详细解析数列是数学中一种重要的数学对象，它在数学和其他领域有着广泛的应用。
其中，等差数列和等比数列作为最常见的数列类型，在数学教学和实际问题中有着重要的地位。
本文将详细解析等差数列和等比数列的计算方法和应用场景。
一、等差数列的计算与应用等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
假设一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
1. 等差数列的计算在给定首项和公差的情况下，我们可以通过通项公式计算等差数列的任意一项。
例如，对于首项a1=2，公差d=3的等差数列，我们可以计算出该数列的前几项如下：a2 = a1 + d = 2 + 3 = 5a3 = a1 + 2d = 2 + 2×3 = 8a4 = a1 + 3d = 2 + 3×3 = 11同样地，我们可以计算出数列的后几项，以及任意一项的值。
2. 等差数列的求和公式等差数列求和是等差数列应用最为广泛的一个问题。
我们可以通过求和公式来计算等差数列前n项的和。
对于首项a1，公差d，和前n项的和Sn，等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)这个公式可以帮助我们高效地求解等差数列的和。
3. 等差数列的应用等差数列的应用非常广泛。
例如，在日常生活中，我们可以通过等差数列的计算来判断某种物品价格的递增或递减情况；在经济学中，等差数列可以用来描述某种商品的供需关系；在物理学中，等差数列可以用来计算物体运动的速度等等。
二、等比数列的计算与应用等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
假设一个等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，数列的通项公式为an = a1 ×r^(n-1)。
1. 等比数列的计算在给定首项和公比的情况下，我们可以通过通项公式计算等比数列的任意一项。
例如，对于首项a1=2，公比r=3的等比数列，我们可以计算出该数列的前几项如下：a2 = a1 × r = 2 × 3 = 6a3 = a1 × r^2 = 2 × 3^2 = 18a4 = a1 × r^3 = 2 × 3^3 = 54同样地，我们可以计算出数列的后几项，以及任意一项的值。
专题11 等差数列与等比数列问题(解析版)
专题11 等差数列与等比数列问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =( )A ．14B ．12C ．6D ．31．答案 D 解析 设等比数列{}n a 的公比为, 0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎪⎨-⎪-=-=⎪⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==．故选：D ． 2．(2022·全国乙文) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．2．答案 2 解析 由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =．【知识总结】1．等差数列、等比数列的基本运算等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *)(1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.2．等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2．前n 项和的性质：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)．【题型突破】题型一 等差数列基本量的计算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．81．答案 C 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4． 2．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122．答案 B 解析 由3S 3＝S 2＋S 4，得：3(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，∴a 1＋a 2＋2a 3＝a 4，设公差为d ，则4a 1＋5d ＝a 1＋3d ，∴d ＝－32a 1＝－3．∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10． 3．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．143．答案 C 解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2 ＝12，故选C ．4．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．974．答案 C 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝ a 1＋99d ＝－1＋99＝98．5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A ．259B ．269C ．3D ．2895．答案 B 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．6．答案 30 解析 法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30． 法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30．7．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．7．答案 25 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，可得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－2＋d ＋(－2)＋5d ＝2，解得d ＝1．所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×1＝－20＋45＝25． 8．(2020·新高考Ⅱ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．8．答案 3n 2－2n 解析 设b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，得n ＝3m －12＝3m －3＋22＝3(m －1)2＋1，于是m －1＝2k ，k ∈N ，所以m ＝2k ＋1，k ∈N ，则a k ＝3(2k ＋1)－2＝6k ＋1，k ∈N ，得a n ＝6n －5，n ∈N *．故S n ＝1＋6n －52×n ＝3n 2－2n ． 9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．69．答案 C 解析 由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5．10．(2019·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 10．答案 A 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n ．故选A ． 题型二 等差数列性质的应用11．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－3211．答案 A 解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3．12．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 1＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝5112．答案 C 解析 由等差数列的性质得，a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0．13．已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 9＋a 17＝7，则a 3＋a 15等于( )A ．7B ．14C ．21D ．7(n －1)13．答案 B 解析 因为a 1－a 9＋a 17＝(a 1＋a 17)－a 9＝2a 9－a 9＝a 9＝7，所以a 3＋a 15＝2a 9＝2×7＝14．14．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4814．答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48．15．已知等差数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________．15．答案 7 解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝21，∴a 1＋a 12＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10＝a 4＋a 9＝a 5＋a 8＝a 6＋a 7＝216＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7． 16．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．3516．答案 C 解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28．17．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．1717．答案 C 解析 设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋ d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16． 18．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( ) A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204118．答案 A 解析 a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝2a 92(b 1＋b 11)＋a 3b 1＋b 11＝a 9＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝ 2×11－34×11－3＝1941，故选A ． 19．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．9019．答案 A 解析 由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45． 20．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．1020．答案 A 解析 因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13． 题型三 等比数列基本量的计算21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．21．答案 －8 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8． 22．(2020·全国Ⅱ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．3222．答案 D 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q (1＋q ＋q 2)＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5(1＋q ＋q 2)＝q 5＝32．故选D ．23．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．223．答案 C 解析 设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3 ＝a 1q 2＝4．故选C ．24．(2019·全国Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 24．答案 1213 解析 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3．所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13(1－35)1－3＝1213． 25．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________． 25．答案 1 022 解析 由a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n＝2，∴ 数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2(1－29)1－2＝1 022． 26．(多选题)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则( )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2047D ．a n ＋a n ＋1＜a n ＋226．答案 ABD 解析 根据题意，对于A ，正项等比数列{a n }满足2q 3＝4q ＋2q 2，变形可得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1，又{a n }为正项等比数列，则q ＝2，故A 正确；对于B ，a n ＝2×2n －1＝2n ，B 正确；对于C ，S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，所以S 10＝2046，C 错误；对于D ，a n ＋a n ＋1＝2n ＋2n ＋1＝3×2n ＝3a n ，而a n ＋2＝2n ＋2＝4×2n ＝4a n ＞3a n ，D 正确．故选ABD ．27．(2015·全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．27．答案 6 解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6．28．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( ) A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －128．答案 B 解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1q 2＝12，a 1q 5－a 1q 3＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1．因此S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n ．故选B ． 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2．由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1．所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n ． 方法三 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ②，②①得a 4a 3＝q ＝2．将q ＝2代入①，解得a 3＝4．所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． 29．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( ) A ．1 B ．4 C ．4或0 D ．829．答案 B 解析 ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎨⎧ a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4．30．(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ．若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．530．答案 C 解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n ．又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4．题型四 等比数列性质的应用31．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( )A ．－2B ．－2C ．±2D ．231．答案 B 解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－2．32．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1132．答案 C 解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10．33．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4233．答案 C 解析 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，故选C ．34．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．334．答案 C 解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4．35．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 3535．答案 B 解析 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10．36．已知数列{a n }的各项都为正数，对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，且a 3·a 5＋a 4＝72，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝________．36．答案 21 解析 因为对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，令m ＝1，则a 1·a n ＝a 1＋n 对任意的n ∈N *恒成立，∴数列{a n }为等比数列，公比为a 1，由等比数列的性质有a 3a 5＝a 24，因为a 3·a 5＋a 4＝72，则a 24＋a 4＝72，∵a 4＞0，∴a 4＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝log 2(a 1·a 2·…·a 7)＝log 2a 74＝log 287＝21．37．在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1637．答案 A 解析 由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5．因为a 8a 1＝a 7a 2＝ a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2·…·a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n ＞0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2． 38．已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＋2a 24＝π，则tan(a 3·a 5)等于( )A ．3B ．－3C ．－33D ．±3 38．答案 A 解析 由已知得a 24＋2a 24＝π，∴a 24＝π3，又a 3·a 5＝a 24＝π3，∴tan(a 3·a 5)＝3．39．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．22D ．439．答案 B 解析 因为a 4与a 14的等比中项为22，所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8，所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8，所以2a 7＋a 11的最小值为8．40．已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于 ( )A ．2 020B ．1 010C ．2D ．1240．答案 A 解析 ∵a 1a 2 020＝1，∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1，∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020．题型五 等差与等比数列的综合计算41．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－3B ．－1C ．－33D ．3 41．答案 A 解析 依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3， 故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－3． 42．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．42．答案 a n ＝n (n ＋1)2解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1 ＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)·22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12．当n ＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n 2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2． 43．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．43．答案 4 解析 等差数列{a n }的前n 项和公式为P n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，等比数列{b n } 的前n 项和公式为Q n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝－b 11－q q n ＋b 11－q，依题意S n ＝P n ＋Q n ，即n 2－n ＋2n －1＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n －b 11－q q n ＋b 11－q，通过对比系数可知⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝1，a 1－d 2＝－1，q ＝2，b 11－q ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝0，q ＝2，b 1＝1，故d ＋q ＝4． 44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．844．答案 A 解析 设{a n }的公差为d ，根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝ －2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24． 45．设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝_____，S 4S 2＝______． 45．答案 3 10 解析 设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10． 46．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A ．78B ．85C ．1D ．9546．答案 D 解析 设{a n }的公比为q (q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1`＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－1－q ＝0，即(q －1)(2q ＋1)＝0．因为q ≠1，所以q ＝－12，则S 2＝a 1(1－q 2)1－q ＝34·a 11－q ，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝98·a 11－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1516·a 11－q ，因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝mS 2·S 4，即⎝⎛⎭⎫98·a 11－q 2＝m ·34·a 11－q ·1516·a 11－q ，因为a 1≠0，所以a 11－q≠0，所以⎝⎛⎭⎫982＝m ×34×1516，得m ＝95，故选D ．47．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．47．答案 ⎩⎨⎧ n (21－n )2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12. 解析 由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1·(a 1＋2d )，所以(11＋d )2＝25(5＋d )，解得d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ．当1≤n ≤11时 ，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n (10＋11－n )2＝n (21－n )2；当n ≥12时，a n ＜0，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×11(21－11)2－n (21－n )2＝n 2－21n ＋2202．综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧ n (21－n )2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.48．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11．那么一定有( )A ．a 6≤b 6B ．a 6≥b 6C ．a 12≤b 12D ．a 12≥b 1248．答案 B 解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6．当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1．49．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A ．n B ．n (n －1) C ．n (n ＋1)2 D ．(n ＋1)(n ＋2)249．答案 C 解析 由a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，可得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，又a n >0，∴a n ＋1a n＝2，∴a n ＋ 1＝a 1·2n ．∴b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n ＝n ，∴数列{b n }的前n 项和为n (n ＋1)2，故选C ． 50．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列．若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D ．9250．答案 A 解析 由题意a 1，a 3，a 13成等比数列，得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2．故a n ＝2n －1，S n＝n 2．因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4．。
高中数学数列等差与等比解析
高中数学数列等差与等比解析数列是数学中的重要概念，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高中数学中，数列的研究是非常重要的，其中等差数列和等比数列是最基础也是最常见的两种数列。
一、等差数列的解析等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
我们可以通过一个简单的例子来说明等差数列的解析方法。
例1：已知等差数列的前两项分别为a1和a2，公差为d，求第n项的表达式。
解析：根据等差数列的定义，我们可以得到以下关系式：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d......an = a1 + (n-1)d由上述关系式可以看出，等差数列的第n项可以表示为a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
这个公式可以帮助我们快速求解等差数列中任意一项的值。
例2：已知等差数列的前两项分别为3和7，公差为4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的解析公式，我们可以得到第10项的表达式：a10 = a1 + (10-1)d = 3 + 9*4 = 39所以，等差数列的第10项的值为39。
通过以上例子，我们可以看出，解析等差数列的关键是找到数列的首项和公差，然后利用公式a_n = a_1 + (n-1)d求解。
二、等比数列的解析等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
我们可以通过一个例子来说明等比数列的解析方法。
例3：已知等比数列的前两项分别为a1和a2，公比为q，求第n项的表达式。
解析：根据等比数列的定义，我们可以得到以下关系式：a2 = a1 * qa3 = a2 * q = a1 * q^2a4 = a3 * q = a1 * q^3......an = a1 * q^(n-1)由上述关系式可以看出，等比数列的第n项可以表示为a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
这个公式可以帮助我们快速求解等比数列中任意一项的值。
人教版高中数学《等差数列与等比数列》讲义(部分有答案)
等差数列与等比数列一、等差数列的判定与性质【知识要点】1. 等差数列的判定（常用）：(1)定义法：d a a n n =-+1（常数）{}n a ⇔是等差数列； (2)等差中项法：)(221*++∈+=N n a a a n n n {}n a ⇔是等差数列； 2. 等差数列的性质（常用）：由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如:(1)),()(*∈-+=N n m d m n a a m n(2)若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2 【基础训练】1. 若{}n a 是等差数列，且5,342==a a ，则=6a 。
2. 等差数列{}n a 中,,457,4328==a d 则=9a . 3. 等差数列{}n a 中,85,a a 是方程0532=--x x 的两根,则该数列前12项的和=12S 。
4. 若{}n a ,{}n b 都是等差数列,且,100,75,252211=+==b a b a 则=+250250b a 。
5. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,公差41=d ，那么该数列的项数是 .6. 已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= .【典例精析】例1．【判定】已知数列{}n a 满足),2(44,411≥-==-n a a a n n 若,21-=n n a b (1)求证: {}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的通项公式.例2．【性质】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24=S ，68=S 。
(1)求数列的公差d ；(2)求16151413a a a a +++。
例3．【性质与判定】已知等差数列{}n a 中, 公差),(02,0,0212*++∈=++≠≠N n k a x a x a a d k k k n .(1)求证:当k 取不同的正整数时方程有公根; (2)若方程不同的根为依次为,,,,21n x x x 求证:11,,11,1121+++n x x x 是等差数列.二、等比数列的判定与性质【知识要点】1. 等比数列的判定方法(常用): (1)定义法：q a a nn =+1(常数))(*N n ∈{}n a ⇔是等比数列; (2)等比中项法：)(*221N n a a a n n n ∈=++{}n a ⇔是等比数列; 2. 等比数列的性质（常用）:由通项公11-=n n q a a 可以推导出许多性质,(1)),(*-∈=N n m qa a mn m n ； (2)若s r n m +=+.则s r n m a a a a ⋅=⋅， 特别地,k n k n n a a a +-⋅=2；【基础训练】1．若{}n a 是等比数列，且4,242==a a ，则=6a 。
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数列是数学中一种重要的概念，它基于一定的规律和规则顺序排列的一组数。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
它们在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ..., a₁+nd, ...其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
公差d表示数列中相邻两项之间的差值恒定。
等差数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ + (n-1)d；2. 公差与项数的关系：d = (aₙ - a₁)/(n-1)；3. 等差数列的和：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差数列可以通过首项和公差推导出后续的任意项，也可以根据已知的首项和末项来确定公差和项数。
它在数学和科学中有着广泛的应用，如物理学中的运动学问题、计算机科学中的算法分析等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ..., a₁rⁿ, ...其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
公比r表示数列中相邻两项之间的比值恒定。
等比数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)；2. 公比与项数的关系：r = (aₙ/a₁)^(1/(n-1))；3. 等比数列的和（当|r|<1时）：Sn = a₁ * (1 - rⁿ)/(1 - r)。
等比数列同样具有推导后续项和根据已知信息确定公比和项数的能力。
它在数学和科学中的应用很广泛，如经济学中的复利计算、生物学中的生长模型等。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是常见的数列形式，它们之间存在一些联系与区别。
1. 联系：等比数列是等差数列的一种特殊情况，当公比r等于1时，等比数列退化成等差数列。
高考数学中的等差数列和等比数列问题解析
高考数学中的等差数列和等比数列问题解析在高考数学中，等差数列和等比数列问题属于基础难度的部分。
同时，这两个问题对于数学竞赛和日常生活（如财务计划）也有着很大的参考价值。
本文将从定义、基本概念、公式推导以及考点解析等方面，较为全面地探讨这两个问题。
一、等差数列的定义和基本概念等差数列是指一个数列，其每一项与它的前一项之差都相等。
其一般形式为：$ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$，其中$n≥2$，且对于任意$i\inZ^{+}$，满足$a_{i+1}=a_{i}+d$，其中d为公差，$a_{1}$为首项。
等差数列的基本概念包括：1. 公差：相邻项的差值，用d表示。
2. 首项：等差数列的第一项，用$a_{1}$表示。
3. 通项公式：第n项的计算公式，用$a_{n}$表示。
4. 求和公式：等差数列前n项和的计算公式，用$S_{n}$表示。
二、等差数列的公式推导1. 通项公式推导设首项为$a_{1}$，公差为d，则有：$$a_{2}=a_{1}+d,a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d,...,a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$设第n项为an，代入上式得：$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$于是，通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
2. 求和公式推导等差数列的前n项和为：$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n} $$由通项公式得：$$ S_{n}=\frac{n }{2}(a_{1}+a_{n})=\frac{n }{2}[a_{1}+a_{1}+ (n-1)d]$$$$S_{n}=\frac {n}{2}[2a_{1}+(n-1)d] $$于是，求和公式为$S_{n}=\frac {n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]$。
三、等比数列的定义和基本概念等比数列是指一个数列，其每一项与它的前一项之比都相等。
其一般形式为：$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n }$，其中$n≥2$，且对于任意$i\in Z^{+}$，满足$\frac{a_{i+1}}{a_{i}}=q$，其中q为公比，$a_{1}$为首项。
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数学中的等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括代数、几何、物理和经济等。
本文将分别对等差数列和等比数列进行介绍，并探讨它们的性质和应用。
一、等差数列等差数列是一种以固定公差（差值）递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等差数列的相邻两项差值相等，即an+1 - an = d。
（2）等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + an = (n + 1) × (a₁ + an) / 2。
（3）等差数列的前n项和是n乘以首项与末项之和的一半，即Sn = n × (a₁ + an) / 2。
2. 应用举例（1）数学中经常使用等差数列来解决问题，如求和、推导等。
例如，在几何网格中，等差数列可用于计算方格的总数。
（2）在经济学中，等差数列可用于计算投资额、利润和成本等相关问题。
（3）在物理学中，等差数列可应用于时间、距离和速度的关系等。
二、等比数列等比数列是一种以固定公比递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为an = a₁ × r^(n - 1)，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等比数列的相邻两项比值相等，即an+1 / an = r。
（2）等比数列的前n项和是首项与首项与公比的n次方项之差的一比率（不含首项），即Sn = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1)，其中r ≠ 1。
2. 应用举例（1）等比数列在金融领域中有广泛的应用，如复利的计算等都会涉及等比数列。
（2）在自然科学中，等比数列可以用于模型建立和数据分析等方面。
（3）在人口统计学中，等比数列可用于人口增长和减少等问题的研究。
高考数学综合复习：等差数列与等比数列的综合(含解析)
等差数列与等比数列的综合高考预测一：等差等比的证明1．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立． （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）21n n i i S a ==∑，21nn i i T b ==∑，求证：6n n S T -<．2．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，321b a +=，11a =．（1）证明数列1{}2n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1()2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53332S =，求λ．4．已知等比数列{}n a 的公比12q =-．（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和； （2）证明，对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列．高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列{}n a 中34584a a a ++=，973a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和mS ．6．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列． （1）若31n a n =+，是否存在m 、*k N ∈，有1m m k a a a ++=？说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1n n na b a +=，并说明理由； （3）若15a =，4d =，13b q ==，试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明．7．已知数列{}n a 中，112a =，且1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足22350n S n n -+>的所有正整数n 的值．8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*2(1)()n Sna n n N n=+-∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得2123(1)201323S S Sn S n n+++⋯+--=若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由． （3）设*2({})(7)n n C n N n a =∈+，*123()n n T c c c c n N =+++⋯+∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈均有32n mT >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．参考答案：高考预测一：等差等比的证明1．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立． （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）21n n i i S a ==∑，21nn i i T b ==∑，求证：6n n S T -<．【解析】()I 证明：对*n N ∀∈都有1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--成立．111()2n n n n a b b a ++∴+=+，111b a +=．11()()2n n n n a b a b ++---=．111a b -=． ∴数列{}n n a b +是等比数列，公比为12；{}n n a b -是等差数列，公差为2． ()II 解：由()I 可得：11()2n n n a b -+=．12(1)21n n a b n n -=+-=-．11()(21)22n n a n ∴=+-．11()(21)22n n b n =--．()III 解：2211(21)()2i i i a b i --=-．21111135()(21)()222n n n n H S T n -∴=-=+⨯+⨯+⋯⋯+-，21111113()(23)()(21)()22222n n n H n n -=+⨯+⋯⋯+-+-⨯， ∴12111[1()]1111112212[()()](21)()12](21)()122222212n n n n n H n n ---=+++⋯⋯+--⨯=+⨯---⨯- 121662n n n H -+∴=-<． 2．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，321b a +=，11a =．（1）证明数列1{}2n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1()2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：1310n n a a +--=，131n n a a +∴=+，即1113()22n n a a ++=+， ∴数列1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，∴113322n n a -+=⨯，即312n n a -=，（2）由（1）知，232311132b a -=-=-=，又数列{}n b 是首项为1的等差数列，{}n b ∴的公差为1，n b n ∴=，∴13()22nn n n n c a b =+=， ∴21(13233)2n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯，∴23113(13233)2n n T n +=⨯+⨯+⋯+⨯，∴23112(33333)2n n n T n +-=+++⋯+-，∴111113(31)112323(33)3323124244n n n n n n n n n T ++++⨯---=⨯-=--=--，∴1(21)338n n n T +-+=．3．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53332S =，求λ． 【解析】解：（1）根据题意，若1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠． 当2n 时，111n n S a λ--=+，两式相减，得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-， ∴11()11n n a λλλ-=--；（2）若53332S =，则451311[()]1132S λλλλ=+=--，即5331()113232λλ=-=-， 则112λλ=-，得13λ=． 4．已知等比数列{}n a 的公比12q =-．（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和； （2）证明，对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列． 【解析】（1）解：由23114a a q ==，以及12q =-可得11a =． ∴数列{}n a 的前n 项和111[1()]22()221312n nn S ⨯----==+． （2）证明：对任意k N +∈，2112()2k k k a a a a ++-+= 11k q a +- 11k q a -- 1k q a = 12(21)k q q q ---．把12q =-代入可得2210q q --=，故212()0k k k a a a ++-+=，故k a ，2k a +，1k a +成等差数列． 高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列{}n a 中34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 34584a a a ++=，973a =． ∴113984873a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得119a d =⎧⎨=⎩，1(1)998n a n n ∴=+-⨯=-．（2）由29989m m n <-<，得121889999m m n --+<<+， ∴数列{}n a 中落入区间(9m ，29)m 内的项的个数21199m m m b --=-，12m m S b b b ∴=++⋯+2123112(999)(9991)m m m m ----=++⋯+-++⋯++229(91)919191m m --=--- 219991808m m +--=-． 6．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列． （1）若31n a n =+，是否存在m 、*k N ∈，有1m m k a a a ++=？说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1n n na b a +=，并说明理由； （3）若15a =，4d =，13b q ==，试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明．【解析】解：（1）由1m m k a a a ++=，得6531m k +=+， 整理后，可得423k m -=，m 、*k N ∈，2k m ∴-为整数，∴不存在m 、*k N ∈，使等式成立．（2）设n a nd c =+，若1n n na b a +=，对n N ⨯∈都成立， 且{}n b 为等比数列，则211/n n n na a q a a +++=，对n N ⨯∈都成立， 即221n n n a a qa ++=，2()(2)()dn c dn d c q dn d c ∴+++=++，对n N ⨯∈都成立，22d qd ∴=()i 若0d =，则0n a c =≠，1n b ∴=，*n N ∈．()ii 若0d ≠，则1q =，n b m ∴=（常数），即dn d cm dn c++=+，则0d =，矛盾．综上所述，有0n a c =≠，1n b =，使对一切n N ⨯∈，1n n na b a +=． （3）41n a n =+，3n n b =，*n N ∈，设123k m m m p k a a a b ++++++==，p 、*k N ∈，m N ∈．4(1)14()132k m m p p +++++=，∴3423km p p++=，p 、*k N ∈，3s p ∴=，s N ∈取32k s =+，222243233(41)2(41)30s s s s m ++=-⨯-=--⨯--，由 二项展开式可得整数1M 、2M ，使得221(41)41s M +-=+，22(41)8(1)2s S M ⨯-=+-1244(2)((1)1)2S m M M ∴=---+，∴存在整数m 满足要求．故当且仅当3s p =，s N ∈，命题成立． 7．已知数列{}n a 中，112a =，且1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足22350n S n n -+>的所有正整数n 的值． 【解析】解：（1）因为1131()(1122n n n n n a a n n --=-⋅->-且*)n N ∈, 所以1131()122n n n a a n n --=-⋅--, 则311212()()...()121321n n n a a a aa a a a n n n -=+-+-++-- 12111[1()]131111322[()()...()]122222221()2n n -----=--+-++-=-⋅--11()2n =+-,上式对1n =也成立，故1()(*)2n n a n n n N =+-∈；（2）22350n S n n -+>等价为23502n n nS -->,数列{34}n -的前n 项和为2352n n-,令134()242n n n c a n n n =-+=⋅--+,其前n 项和为2352n n n nC S -=-,则有132c =,212c =,3198c =-, 故10C >,20C >,30C <,当4n 时，11()24[()1]4022n n n c n n n n =⋅--+=⋅---+<,则有0n C <,综上可得,不等式成立的1n =或2． 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*2(1)()n Sna n n N n=+-∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得2123(1)201323S S Sn S n n+++⋯+--=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由． （3）设*2({})(7)n n C n N n a =∈+，*123()n n T c c c c n N =+++⋯+∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈均有32n mT >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：由2(1)nn S a n n=+-， 得*2(1)()n n S na n n n N =--∈．当2n 时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----， 即14n n a a --=，故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列． 于是，43n a n =-，2*1()2()2n n a a nS n n n N +==-∈； （2）解：由2(1)n n S na n n =--，得*21()nS n n N n=-∈， 又2222321(1)1357(21)(1)(1)2123n S S S S n n n n n n n+++⋯+--=++++⋯+---=--=-． 令212013n -=，得1007n =，即存在满足条件的自然数1007n =； （3）解：21111()(7)(22)21n n C n a n n n n ===-+++，123n n T c c c c ∴=+++⋯+111111[(1)()()]22231n n =-+-+⋯+-+ 11(1)212(1)nn n =-=++． 要使32n m T >总成立，需11324m T <=成立，即8m <且m Z ∈， 故适合条件的m 的最大值为7．。
2020年高考理科数学之高频考点解密11 等差数列、等比数列(解析版)
解密11等差数列、等比数列考点1 等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算调研1 在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为A．20B．22C．24D．28【答案】C【解析】由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120， 解得a 8＝24，且a 8＋a 12＝2a 10，则2a 10－a 12＝a 8＝24. 故选C.调研2 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 故选D.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8. 所以选D ．题组二 等比数列基本量的计算调研3 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2， ∴4624a a q ==.调研4 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则6S = A ．31 B ．32 C ．63D ．64【答案】C【解析】方法一：很明显数列的公比1q ≠，则由243,15S S ==，得2141(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即12114a q q ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，所以6S =631(1)1(14)631a q q -=-⨯-=-. 故选C.方法二：很明显数列的公比1q ≠，设等比数列的前n 项和为nn S Aq A =-，由题意可得：2244315S Aq A S Aq A ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，解得：214A q =⎧⎨=⎩，据此有：663614163S Aq A q =-=-=-=.本题选择C 选项.【名师点睛】一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.☆技巧点拨☆等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：（1）设基本量a 1和公差d (公比q )．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．考点2 等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明调研1 已知数列{}n a 满足1a =1，112n n n n a a a a ++-=，则n a =_____． 【答案】121n - 【解析】数列{}n a 满足11a =，112n n n n a a a a ++-=，则1112(n na a +-=常数)， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列． 则()112121n n n a =+-=-，所以121n a n =-， 故答案为121n-.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等差数列的定义，等差数列的通项公式，属于中档题.根据递推公式可得1112n na a +-=，由等差数列的定义及通项公式可求出n a .因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.☆技巧点拨☆等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列； ⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．题组二 等比数列的判定与证明调研3 已知数列{}n a 满足*121n n a a n +=+∈N （），且13a =，则8a =__________．【答案】6564【解析】由121n n a a +=+可得()11112n n a a +-=-，即数列{}1n a -是以11312a -=-=为首项，以12为公比的等比数列，即118181116512,21,21.22264n n n n a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅=⋅+∴=⋅+=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法，属中档题.由121n n a a +=+可得()11112n n a a +-=-，由此求出数列的通项公式，即可得到8a .调研4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2. （1）设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式．【答案】（1）见解析；（2） a n =(3n −1)·2n −2.【解析】（1）由a 1=1及S n ＋1=4a n ＋2，得a 1＋a 2=S 2=4a 1＋2. ∴a 2=5， ∴b 1=a 2−2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2， ② ①−②，得a n ＋1=4a n −4a n −1， ∴a n ＋1−2a n =2(a n −2a n −1)． ∵b n =a n ＋1−2a n ， ∴b n =2b n −1，故{b n }是首项b 1=3，公比为2的等比数列. （2）由（1）知b n =a n ＋1−2a n =3·2n −1，∴a n ＋12n ＋1−a n 2n =34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n =12＋(n −1)·34=3n －14， 故a n =(3n −1)·2n −2.☆技巧点拨☆其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.考点3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研1 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A ．9 B ．11 C ．5D ．7【答案】C【解析】因为1353a a a ++=，1532a a a +=，所以135333a a a a ++==，所以31a =， 所以()15535552a a S a +===，故选C.【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质，得到1532a a a +=，所以得到135333a a a a ++==，从而求得31a =，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.调研2 若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是 A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 033【答案】C【解析】因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0， 所以14032201620174 0324032()4032()022a a a a S ++==>，140334 03320174033()403302a a S a +==<，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032. 题组二 等比数列性质的应用调研3 已知等比数列{}n a 中，0n a >，1a ，99a 为方程210160x x -+=的两根，则205080=a a a ⋅⋅A ．32B ．64C ．256D ．6±【答案】B【解析】1a ，99a 为方程210160x x -+=的两根，则19916a a ⋅=，数列{}n a 是等比数列， 则220805019916a a a a a ⋅==⋅=，又0n a >，所以20508064a a a ⋅⋅=.故选B.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可得19916a a ⋅=，再利用等比中项的性质求205080a a a ⋅⋅.调研4 已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40B ．60C ．32D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．☆技巧点拨☆等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p,)q ∈*N ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立. 应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n =p ＋q ，则a m ·a n =a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.考点4 等差数列与等比数列的综合调研1 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则 A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0【答案】B【解析】由a 24=a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )=(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)=0，又d ≠0，∴a 1=−53d ，则a 1d =−53d 2<0，又∵S 4=4a 1＋6d =−23d ，∴dS 4=−23d 2<0，故选B ．调研2 已知公差不为0的等差数列{}n a ，满足：314137,,,a a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；（2）令()*211n n b n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()21,2n n a n S n n =+=+；（2）()41n nT n =+.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由于1413,,a a a 成等比数列，即24113a a a =，又37a =，所以()()1211127,312,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得13,2a d ==， 由于()()111,2n n n n a a a a n d S +=+-=，所以()21,2n n a n S n n =+=+. （2）因为21n a n =+， 所以()2141n a n n -=+，因此()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭故12111111142231n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭L L ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以数列{}n b 的前n 项和()41n nT n =+.【名师点睛】（1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果； （2）通过裂项可知b n =11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和即可． 考点5 等差数列与等比数列的创新问题题组一 等差数列与等比数列的新定义问题调研1 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n (n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n }是首项为2、公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d =________. 【答案】4【解析】由题意可知，数列{c n }的前n 项和为1()2n n n c c S +=，前2n 项和为1222()2n n n c c S +=，所以S 2nS n=1212()2()2n n n c c n c c ++=2＋2nd 4＋nd －d =2＋21＋4－d nd，所以当d =4时，S 2n S n 为非零常数．数列新定义型创新题的一般解题思路：（1）阅读审清“新定义”；（2）结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识； (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．题组二 等差数列与等比数列的文化背景问题调研2 《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是 A ． 6766升、4133升 B ． 2升、3升 C ． 322升、3733升D ．6766升、3733升 【答案】D【解析】设从上而下，记第i 节的容量为i a 升，故12343a a a a +++=，7894a a a ++=，设公差为d ，则有113214463a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得56766a =，63733a =，故选D ．调研3 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为A ．2031 B ．35 C ．815D ．23【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5， 设首项为1a ，前n 项和为n S ，则由题意得()51511231512a S a-===-，∴1531a =，∴2352023131a =⨯=， 即该女子第3天所织布的尺数为2031．故选A ． 【名师点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力．由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．1．（重庆市江津中学、合川中学等七校2019−2020学年高三第三次诊断性考试）在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是 A ．5 B ．7 C ．9D ．3【答案】A【解析】因为9235S S -=，所以3456789++++++=35a a a a a a a ，即667=35=5.a a ， 故选A.【名师点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.根据等差数列性质求6a 的值. 2．（广西柳州市高级中学2019−2020学年高三上学期第二次统测数学试题）等差数列{}n a 的首项为2，公差不等于0，且2317a a a =，则数列11{}n n a a +的前2019项和为 A ．10092020B ．20194042C ．10094042D ．20192021【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2317a a a =，可得()()222226d d +=+，所以1d =，因此1n a n =+，所以111112n n a a n n +=-++， 所以20191111111123344*********S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 112019*********=-=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.求解时，先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件求出公差，得到1n a n =+，再由裂项相消法即可求出结果.3．（广东省韶关市2019届高考模拟测试数学试题）若等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a = A ．34B ．38C ．12D ．24【答案】D【解析】数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，所以224234a q a ==，所以2q =．所以33523224a a q =⋅=⨯=，故选：D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．求解时，由23174a a a =，利用等比中项的性质，求出q ，利用等比数列的通项公式即可求出5a ．4．（湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知数列{}n a 为等比数列，首项12a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且2349b b b ++=，则5a = A ．8 B ．16 C ．32D ．64【答案】C【解析】由题意知{}n b 为等差数列，因为234b b b 9++=，所以3b 3=，因为1b 1=，所以公差d 1=，则n b n =，即2n n log a =，故n n a 2=，于是55a 232==.故选：C【名师点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题.求解时，先确定{}n b 为等差数列，由等差的性质得3b 3=，进而求得{}n b 的通项公式和{}n a 的通项公式，则5a 可求.5．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)数学试题）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a = A ．2 B ．2或32 C ．2或−32D ．−1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），Q 1324,,2a a a 成等差数列，321224a a a ∴=+，10a ≠Q ， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，即5a =232或，故选B.【名师点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.求解时，根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q 的值，可得5a 的值.6．（宁夏回族自治区银川市第二中学2019−2020学年高三上学期12月月考数学试题）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n nS a +的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==-，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n n n n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，2942n nS a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为8. 故选C.【名师点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.求解时，由题意，根据等比中项得出2444,2a a == ，然后求得公比2,q =首项114a =，再利用公式求得n S ，通项n a 代入用基本不等式求最值.7．（山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性检测数学试题）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且56a b =，则A ．3748a a b b +≤+B ．3748a a b b +≥+C ．3748a a b b +≠+D ．3748a a b b +=+【答案】B【解析】∵a n =a 1q n ﹣1，b n =b 1+（n ﹣1）d ，∵56a b =，∴a 1q 4=b 1+5d ，37a a +=a 1q 2+a 1q 6，48b b +=2（b 1+5d ）=2b 6=2a 5，37a a +﹣2a 5= a 1q 2+a 1q 6﹣2a 1q 4 =a 1q 2（q 2﹣1）2≥0，所以37a a +≥48b b +， 故选：B ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．求解时，先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出5a 、6b ，然后表示出37a a +和48b b +，然后二者作差比较即可．8．（宁夏回族自治区银川市第二中学2019−2020学年高三上学期12月月考数学试题）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507a = B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507c =【答案】D【解析】由条件知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n 项和，即502450.7c c c c ++=⇒= 故答案为D.9．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学试题）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，116a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于__________． 【答案】5【解析】因为k a 是1a 与2k a 的等比中项，所以212k k a a a =⋅，所以2111[(1)][(21)]a k d a a k d +-=⋅+-，整理得22150k k --=，解得：5k =或3k =-（舍去）.【名师点睛】本题考查等差数列通项公式与等比数列中项的性质，考查基本量法的运用.求解时，由k a 是1a 与2k a 的等比中项，得212k k a a a =⋅，把等差数列通项公式与等比中项公式代入等式，求得k 的值.10．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学试题）已知()tan f x x =，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π3a =，()n 1f a +=，则使得121sin sin sin 10k a a a ⋅<L 成立的最小正整数k 为_______. 【答案】298 【解析】()21cos f x x='，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a a +===，2121tan cos n n a a +∴=222sin cos cos n n n a a a += 21tan n a =+，又1π3a =，21tan 3a ∴=. {}2tan n a ∴是以3为首项，1为公差的等差数列，()2tan 312n a n n ∴=+-=+，又tan 0na >，tan n a ∴=sin n a = 12sin sin sin k a a a ∴⋅L ==110<得297k >，又*k ∈N ， 故k 的最小值为298.【名师点睛】本题考察了三角函数的求导，等差数列的定义，同角三角关系式，以及根式不等式的求解.求解时，先求出()21cos f x x='确定{}2tan n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，求出tan n a =12sin sin sin sin n k a a a a =⋅L ==最后解不等式得出k 的最小值.11．（甘肃省天水市2019-2020学年高三上学期第三阶段数学试题）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=．（1）求n a ；（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）()23n a n =-；（2）2(4)216n n T n +=-⋅+.【解析】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =， 又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =， 所以5324a a d -==，解得2d =，所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． （2）由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【名师点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.求解时，（1）由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．12．（江西省奉新县第一中学2020届高三上学期第一次月考数学试题）已知等差数列{}n a 满足2(1)2,n n a n n k k +=++∈R .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）22221n nn ++. 【解析】（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =，得到12331021,,234k k ka a a +++===， ∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k+++=+， 解得：1k =-，由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+，∵10n +≠，∴21n a n =-.（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+-， ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++-，∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n ∀∈N 均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =-. （2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L 2222121n n nn n n +=+=++.【名师点睛】设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．求解时，（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出123,,a a a ，利用123,,a a a 成等差数列求出参数k ，从而可得数列的通项公式；（2）把n b 变形为1111()22121n b n n =+--+，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前n 项和． 13．（河北省承德市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题）已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值. 【答案】（1）23n a n =+；（2）10n =.【解析】（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列， a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40）， 解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3. （2）b n ()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++），即前n 项和为S n 12=（11111157792325n n -+-++-++L ） 12=（11525n -+）()525n n =+，由S n 225=，可得5n ＝4n +10， 解得n ＝10．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．求解时，（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n 12=（112325n n -++），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ．14．（天津市部分区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()1141n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数. 【解析】（1）∵等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1、S 2、S 4成等比数列． ∴S n ＝na 1+n （n ﹣1），∴（2a 1+2）2＝a 1（4a 1+12），a 1＝1， ∴a n ＝2n ﹣1.（2）∵由（1）可得()()111411112121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪-+⎝⎭， 当n 为偶数时，T n ＝11111111113355723212121n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1212121nn n =-=++． 当n 为奇数时，11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 12212121n n n +=+=++ ． 2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数．【名师点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题．求解时，（1）根据等差数列的性质得出()()2111122412,1a a a a +=+=运用通项公式求解即可．（2）由（1）可得()11112121n n b n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.对n 分类讨论“裂项相消求和”即可得出. 15．（新疆乌鲁木齐地区2019届高三第二次质量监测数学试题）记公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1a =2，4a 是2a 与8a 的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{1nS }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n =2n ；（2）1nn +. 【解析】（1）由已知，2428a a a =⋅，即（2+3d ）2=（2+d ）（2+7d ），解得：d =2（d ≠0）， ∴a n =2+2（n −1）=2n . （2）由（1）得，()()12212n n n S n n n -⨯=+=+，∴()111111n S n n n n ==-++， ∴1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L =1111n n n -=++． 【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式.重点考查了裂项相消法求数列前n 项和.求解时，（1）由a 4是a 2与a 8的等比中项，可以求出公差，这样就可以求出求数列{a n }的通项公式；（2）先求出等差数列{a n }的前n 项和为S n ，用裂项相消法求出求数列{1nS }的前n 项和T n ．1．（2019年高考全国I 卷理数）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．（2019年高考全国III 卷理数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．（2018新课标全国I 理科）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．6．（2017新课标全国Ⅰ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.7．（2019年高考全国I 卷理数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．8．（2019年高考全国III 卷理数）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．9．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.10．（2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk kn S n n n n ==-+-++-=-=+++∑L ． 11．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________． 【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12．（2018新课标全国II 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.13．（2018新课标全国III 理科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.14．（2019年高考全国II 卷理数）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．。
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专题十一 等差数列与等比数列
一、单选题
1．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．
成立的是（ ） A ．20202021S S ≤
B ．20212022S S ≤
C ．10101011a a ≤
D ．10111012a a ≤
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立；
②当0d >时，不妨取2d =，记12
d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，
则()()222404020202020240402020220200n t n n tn t ++++++≥， 令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；
令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝
⎭. ()()2
222
101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭，。