山东省郓城县实验中学2020学年高中数学 正态分布学案 新人教A版选修2-3

正态分布

导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

自主梳理

1．正态分布密度曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．

(2)正态分布密度曲线的特点

①曲线位于x轴________，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线________对称；

③曲线在________处达到峰值____________；

④曲线与x轴之间的面积为____；

⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

2．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

自我检测

1．(2020·大连模拟)下列说法不．正确的是( )

A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴

B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方

C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布

D．函数φ(x)＝1

2π

2

2

x

e

-

(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲

线

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于( )

A.1

5

B.

1

4

C.

1

3

D.

1

2

3．(2020·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

4．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝1

8π

2

8

x

e

-

，则ξ的

期望和标准差分别是( )

A．0和8 B．0和4

C．0和 2 D．0和2

5.

(2020·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

探究点一正态曲线的性质

例1

如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．

变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1

.

42π

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；

(2)求正态总体在(－4,4]的概率．

探究点二服从正态分布的概率计算

例2设X～N(5,1)，求P(6

变式迁移2 设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－1

探究点三正态分布的应用

例3(2020·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？

变式迁移3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？

1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：

φμ，σ(x)＝

1

2πσ

(

)2

2

2

x u

e s

--

，x∈(－∞，＋∞)．

2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值

1

2πσ

.(4)曲线与x轴之间的面积为

1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状

由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．

3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)相应的曲线，则有( ) A．σ1>1>σ2>σ3>0

B．0<σ1<σ2<1<σ3

C．σ1>σ2>1>σ3>0

D．0<σ1<σ2＝1<σ3

2．(2020·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

A．1 B．2 C．3 D．4

3．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝

1

2π·10

·

()2

80

200

x

e

--

(x∈R)，则下列命题中不正确的是( )

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同