山东省郓城县实验中学2020学年高中数学 正态分布学案 新人教A版选修2-3

正态分布导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．自主梳理1．正态分布密度曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．(2)正态分布密度曲线的特点①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝________________________，则称随机变量X服从正态分布，记作________________．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝____________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝____________.自我检测1．(2020·大连模拟)下列说法不．正确的是( )A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D．函数φ(x)＝12π22xe-(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于( )A.15B.14C.13D.123．(2020·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝18π28xe-，则ξ的期望和标准差分别是( )A．0和8 B．0和4C．0和 2 D．0和25.(2020·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2探究点一正态曲线的性质例1如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1.42π(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．探究点二服从正态分布的概率计算例2设X～N(5,1)，求P(6<X≤7)．变式迁移2 设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．探究点三正态分布的应用例3(2020·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？变式迁移3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝12πσ()222x ue s--，x∈(－∞，＋∞)．2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值12πσ.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)相应的曲线，则有( ) A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ32．(2020·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于( )A．1 B．2 C．3 D．43．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝12π·10·()280200xe--(x∈R)，则下列命题中不正确的是( )A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为104．(2020·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于( )A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 55．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( )A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]二、填空题(每小题4分，共12分)6.设三个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)，N(μ2，σ22) (σ2>0)，N(μ3，σ23) (σ3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．8．(2020·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)设X～N(10,1)．(1)证明：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．10．(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且φ(80)＝182π.(1)求正态分布密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？11．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？学案69 正态分布自主梳理1．(1)1 2πσ()222xems--，x∈(－∞，＋∞)(2)①上方②x＝μ③x＝μ1σ2π④1 ⑤μ⑥越小越大2．(1)⎠⎛abφμ，σ(x)d x X～N(μ，σ2)()280128xe--(2)①0.682 6 ②0.954 4 ③0.997 4自我检测1．C2．D [由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝12.]3．C [∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.]4．D [由φ(x )＝12πσ()222x em s--＝18π28x e-对照得σ＝2，μ＝0，∴E (ξ)＝μ＝0，σ＝D ξ＝2.]5．A [由正态分布N (μ，σ2)性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]课堂活动区例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x )＝12π()2204x e --，x ∈(－∞，＋∞)． 均值和方差分别是20和2.变式迁移1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0.由12π σ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142π232x e -，x ∈(－∞，＋∞)． (2)P (－4<X ≤4)＝P (0－4<X ≤0＋4) ＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.例2 解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．解 由已知μ＝5，σ＝1. ∵P (4<X ≤6)＝0.682 6， P (3<X ≤7)＝0.954 4， ∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8. 如图，由正态曲线的对称性可得 P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)∴P (6<X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9.变式迁移2 解 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝0.682 6.(2)∵P (3<X ≤5)＝P (－3<X ≤－1)，∴P (3<X ≤5)＝12[P (－3<X ≤5)－P (－1<X ≤3)]＝12[P (1－4<X ≤1＋4)－P (1－2<X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3<X ≤5)]＝12[1－P (1－4<X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. 例3 解题导引 正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6， 所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．变式迁移3 解 ∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x 名同学，则x ×34.13%＝17，解得x ≈50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人． 课后练习区1．D [μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]2．B [∵ξ～N (2,9)，∴P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<3－c )． 又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)， ∴3－c ＝c －1，∴c ＝2.]3．B [μ＝80，故A 正确；σ＝10，故D 正确； ∵P (X >110)＝P (X >μ＋3σ)， P (X <50)＝P (X <μ－3σ)，∴P (X >110)＝P (X <50)，故C 正确. ] 4．B [由于X 服从正态分布N (3,1)，故正态分布曲线的对称轴为X ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P 2≤X ≤42＝0.158 7.]5． C [由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)， 60×0.997 4≈60(人)，故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．] 6．μ2<μ1<μ3 σ1<σ3<σ2 7．0.8解析 ∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 8．0.16解析 ∵μ＝2，∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4) ＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.9．(1)证明 因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x ＝10对称，所以ʃ21φμ，σ(x )d x ＝ʃ1918φμ，σ(x )d x ，即P (1<X <2)＝P (18<X <19)．(6分)(2)解 P (10<X <18)＝P (2<X <10)＝P (X <10)－P (X ≤2)＝12－a .(12分)10．解 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值．因此μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故正态分布密度函数解析式是φμ，σ(x )＝182π()280128x e --.(6分) (2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X 位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的68.26%.(12分) 11．解 (1)设参加竞赛的学生人数共n 人．则P (X ≥90)＝13n，(2分)而P (X ≥90)＝1－P 30<X <902＝1－P 60－30<X <60＋302＝1－0.997 42＝0.001 3.(6分)∴13n＝0.001 3，n＝10 000(人)．∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分) (2)设受奖学生的分数线为x0，则P(X≥x0)＝22810 000＝0.022 8，(9分)因为0.022 8<0.5，所以x0>60，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)＝1－P|X－60|<x0－602＝0.022 8，(12分)所以P(|X－60|<x0－60)＝0.954 4，所以x0－60＝20，即x0＝80(分)∴受奖学生的分数线是80分．(14分)。