函数的连续性习题
数学《函数的连续性》练习题
第四章 函数的连续性例1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.2.已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.3. 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?（判断题举例用）3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.例.如何补充定义使函数f 连续. 1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x x f x x-=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？(易考判断题)6.构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数;2) 仅在1,2x =处连续的函数;3) 仅在1()x n N n =∈处间断的函数.7. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.8. . 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.9. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.10. 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.11. 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.12. 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sinf x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.13. 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.14. 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.15. ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.16. 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.17. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.18. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >;2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.19.证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.20. 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+21.设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在 ),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?22. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续.证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续.证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.计算极限：（直接写答案） 1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→; 2) )(lim x x x x x -+++∞→; 3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim ++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→. 例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例19 设f 在R 上连续,g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
高等数学C1-3.1.2函数的连续性(改)
1 x2 1 是初等函数， 解 因为函数 f ( x) 2 x
x,1 cos x
x,arctan x
x.
e 1 x, ln(1 x)
1 2 n 1 x , 1 x 1 x 2 n
第三节 函数的连续性
一、函数的连续性
二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
一. 函数的连续性
定义 函数 f(x) 满足：lim f ( x) f ( x0 ) ，
2
2
注意上式右端，x=0是初等函数 的定义区间内的点，所以
1 1 x 2 1 lim lim 2 x 0 2 x 0 1 x 1 x 1 2 1 0 1 1 2
1 1 x2 1
• 小结
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0,
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 ) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y y
y f ( x) y f ( x)
y
0
y
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如果当自 变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数的增 量 y 也趋向于零,即 lim y 0
函数的一致连续性
例4.
f ( x) 1 在(0,1)上不一致连续. x
解：
令sn
1 n
1 , tn
1， n
sn
tn
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1. n
但 f (sn ) f (tn ) (n 1) n 1 0 .
例⒌ f ( x) 1 在 ,上一致连续.( 0)
x
证明： s,t ,.
f
(s)
f (t)
11 st
t
s st
1
2
st
当s t 2时， f (s) f (t) .
几何解释
y
o x'
x
x
例6. 设f在I上满足Lipschitz条件： L 0,
x1, x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,
求证：f在I上一致连续.
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 ,
当 x1 x2 时, 总有| sin x1 sin x2 | .
f ( x) cos x在R上一致连续.
例2. f ( x) x在[0,)上一致连续
证明：| f ( x1 ) f ( x2 ) |
x1
x2
2.
f在I上不一致连续
0 0,n N * ,都有sn , tn I ,
满足 | sn
tn
|
1， n
但是
|
f (sn )
f (tn ) | 0 .
二、例题
例1. 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明： x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
函数的连续性
x
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D {x | x 2k , k Z}
函数的连续性
一、函数的连续性 二、连续性原理 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
3.第二类间断点
如果 f ( x) 在点 x0 处的左、右极限至 少有一个不存在, 则称点 x0 为函数 f ( x)的 第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点.
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
求 lim
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
高等数学 线性代数 习题答案第二章
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
1按定义证明下列函数在其定义域内连续
间断点。 (4). f ( x) sgn | x | x=0 为 f 的间断点,由 lim sgn | x | lim sgn | x | 1 ， ∴x =0 为 f 的可去间断点。
(5). f ( x) sgn(cos x)
x 0
x 0
2 n =0,1, 2,…为 f 的间断点, 当 n 为奇数， f n 0 1, f n 0 1 2 2 当 n 为偶数， f n 0 1, f n 0 1 2 2
4
x0
) b
3 x 1 2x x 2 1 x 1 x 1 2 9．证明：若 f 在[a, b]上连续，且对x[a, b]，f (x)0，则 f 在[a, b]上恒正，或 恒负。 10．证明：任一实数奇次方程，至少有一根。 11．试用一致连贯的定义证明：若 f, g 都在区间 I 上一致连续，则 f+g 也在 I 上 一致连续。 12．证明 f ( x) x 在 [0,) 上一致连续。 13．证明 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续，但在(-,+)上不一致连续。 证：(1). 因为 f (x)= x2 在(-,+)上连续，从而在[a, b]上连续，由闭区间上连续 必一致连续，知 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续。 1 1 (2). 对0=1，对>0，取 n，s.t. , x' n ，x”=n，则|x’- x”|< n n 1 x' 2 x"2 2 2 0 n 14. 设 f 在区间 I 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 L>0，使得对 I 上任意两点 x’, x”， 都有 | f (x’) - f (x”)| L |x’- x”| 证明 f 在 I 上一致连续。 15．证明 sinx 在(-,+)上一致连续。 16．设 f 在 [a,) 上连续，且 lim f ( x) 存在，证明 f 在 [a,) 上一致连续。
高等数学习题课5 函数连续及可导
（B）处处可导；
（C）有且仅有一个不可导点；（D）有且仅有两个不可导点。
二、填空题 1.设f (t) lim t( x t )x ,则f (t) _______. x x t
2.已知f ( x0 ) 1,则
x
lim
____.
x0 f ( x0 2x) f ( x0 x)
3.设f
(
x)
x2
,
x 1 ，则f ( x) ___ .
ln x, x 1
4.若f
(
x
)
(
x) cos 2x
x
,
x 0在x 0处连续，来自Ax0则A _____.(其中 (0) 1,(0) 4)
5.当x 0时, f ( x x) f ( x) 3x为比x 高阶的无穷小,则f ( x) ____ .
( A) 1 (B) e (C ) e2 (D)
3．函数
f
(x)
a
1 ebx
在( , ) 内连续，
且 lim f ( x)0 ，则常数 a，b 满足（ ）
x
（A） a0,b0 ； （B） a0,b0 ；
（C） a0,b0 ； （D） a0,b0 。
4．设
F(
x)
f
(x) x
,
x
0,
其中
f
三、计算与证明
1.设 函 数f ( x) lim ln(en xn ) ( x 0)
n
n
(1)求f ( x)的表达式；
（2）讨论f ( x)的连续性与可导性。
2.设f ( x)在[a, a]上连续，且f (a) f (a),
试证至少存在一点 [0, a],使得 f ( ) f ( a)
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。
第一类就是计算或证明连续性;第二类就是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类就是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题与习题。
还就是那句老话:瞧到题目不要瞧解答,而就是先思考先试着做！这就是与瞧文学小说的最大区别。
要提醒的就是,例题里有不少就是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,您事先独立做了不？如果没有做,就是不会做好就是根本不想做,还就是没有时间？一.函数的连续例1、1(例1、20(一),这个序号值的就是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。
证明:()f x 在任意点x 处连续。
分析:证明题就是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。
其实,如果您的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案就是什么在本题里,要证的就是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。
您可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要瞧已知条件,哪个容易用,就用那一个。
在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就就是()()()f x y f x f y +-=,您的脑海里就要想到,如果设y x =∆,那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆;这个时候,您应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续！它意味着:0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。
第八节函数的连续性与间断点
定理 函数f(x)在x0 处连续 函数f(x)在x0处既左连续又右. 连
例3
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
y1
.. 0
y1
x
ln(1 ) ln(1 )
back
ln a
ln a
当x是有理,数时 当x是无理,数时
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
判断下列间断点类型:
y
yfx
x1 o
x2
x3
x
例9 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 x l i0m f(x)x l i0m co xs1
lim f(x)lim (ax)a
in1, x
x0,
0, x0,
在x0处 连.续
证
limf(x) lim x sin 1
x0
x0
x
0,
又f(0)0,
lim f(x)f(0) x 0
按定义2得： 函f数 (x)在 x0处连 . 续
3.单侧连续
若f( 函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
lifm (x ) li(x m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
函数的连续性练习题及解答
函数的连续性练习题1.证明方程 x −cosx =0 在区间(0.π2)内有实根。
2.函数 y =x 2−1x 2−3x+2 的间断点是 。
3.函数 f (x )=�x −1,当x ≤1时3−x,当x >1时 的间断点是 。
4.函数 f (x )=�3x, 当−1<xx <1时；a, 当x =1时；3x 2, 当1<xx ≤2时在x=1处连续，则a= 。
5.设 f (x )=�sin (x+1)x+1, 当x ≠−1时；2k, 当x =−1时在x=-1处连续，则k= 。
6.函数 f (x )=x 2−x sin πx 的可取间断点的个数为 。
7.函数f (x )=|x|sin (x −1)x (x −1)(x −2)在下列区间有界的是 。
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,3)8.设f (x )=arctanx,g (x )=sin2x+π3, 求g{f (−1)]。
9.设 f (x )=lim u →+∞1u ln (ee uu +xx uu ) (xx >0) （1）求f(x)； （2）讨论f(x)的连续性。
10.求下列函数的间断点，并确定所属类型：y =e 1x ∙x+1x −1 。
11.确定常数k，使下面函数f(x)在x=0处连续。
f(x)=�sinx x+xsin1x,x≠0k, x=0。
12.求函数 y=sinx x的间断点，并指出其类型。
13.求函数 y=x2−1x2−5x+4 的间断点，并指出其类型。
14.讨论函数f(x)=lim n→∞1−x2n1+x2n的连续性，若f(x)有间断点，判别其类型。
15.设函数 f(x)=�x, x≤16x−5,x>1 ，试讨论f(x)在x=1处的连续性，并写出f(x)的连续区间。
16.设函数 f(x)=�1+e x,x<0x+2a,x≥0 ，问常数a为何值时，函数f(x)在（-∞，+∞）内连续。
1-8函数的连续性
• 函数的连续性 • 函数的间断点 • 四则运算的连续性 • 反函数与复合函数的连续性 • 初等函数的连续性
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函 f(x)数 在 U(x0)内有, 定 xU 义 (x0),
xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数
定理3 若 lim (x)a,函f数 (u)在a连 点,续 x x0
则l有 im f[ (x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量(u 代 (换 x)的 ) 理论 . 依据
例1 求limln1(x).
x0
x
1
解 原式 lilm n 1(x)x x 0
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义 (2)limf(x)存在 ;
在(,)内单调且 ; 连续
★ 对y 数 lo x函 g ( a 0 ,a 数 1 ) a 在(0,)内单调且; 连续
★ y x a
loagx
yau, uloax g.
在 (0,)内连 , 续 讨论 不同, 值
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
第1章函数的连续性习题集及答案
第一章 习题三 函数的连续性一. 选择题1．设函数)(x f 在点0x 处右连续且0)(0>x f ，则下列结论不正确的是（ C ） （A ）在某个),[0b x 上有0)(>x f ； （B ）在某个),[0b x 上)(x f 有界； （C ）在某个)(0x U 上有0)(>x f ； （D ）在某个],[0b x 上)(x f 有界． 2．下列结论正确的是（ B ）（A ）若)(x f 在点0x 处有定义且极限存在，则)(x f 在0x 处必连续；（B ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续；（C ）若)(x f 与)(x g 点0x 处都不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续； （D ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f ⋅在点0x 处必不连续．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=--1,01,)(11x x e x f x 在1=x 处（ C ）（A ）连续； （B ）左连续； （C ）右连续； （D ）左右都不连续． 4．0=x 是函数21cos x xx +的（ B ）（A ）连续点； （B ）可去间断点； （C ）无穷间断点； （D ）振荡间断点．5．函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．函数()f x = B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 7．函数11()tan ()()xx e e x f x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是（ A ）（A ）0x = （B ）1x = （C ）2x π=- （D ）2x π=8．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界：（ A ）（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)二．填空题1．设)1ln(1)(x xx f -=，要使)(x f 在0=x 处连续，则需补充定义___________(0)1f =-．2．设函数tan 21,0()arcsin 2,0xxe x xf x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩在0x =处连续，则________2a =-3．2ln(1)0___________sin limcos(21)1x xx x xπ++→+-=-． 4．0___________1)0x →=． 5．若)(x f 在1=x 处连续，且112)(lim 1=--→x x f x ，则___________(1)2f =． 6．已知函数()f x 连续，且[]21cos ()lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则______(0)2f =7．函数65ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 3 个，它们是 1,0,6 -．8．函数2sin ()lim1(2)nn xf x x π→∞=+的间断点的个数为_______2. 9．设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为_________0x =。
函数极限与连续练习题
函数 极限与连续 练习题一、判断题1. 函数x x x f -+=1)(2与函数xx x g ++=11)(2是同一函数 （ ）2. 函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是同一函数 （ ）3. 函数21)(--=x x x f 与函数21)(--=x x x g 是同一函数 （ ） 4. 函数334)(x x x f -=与函数31)(-=x x x g 是同一函数 （ ） 5. 函数x x f lg 10)(=与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 6. 函数 211()()11x f x g x x x-==-+是同一函数 （ ） 7. 函数212)cos 1()(x x f -=与函数x x g sin )(=是同一函数 （ ） 8. 函数)cos(arccos )(x x f =与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 9. 函数)12ln()(2+-=x x x f 与函数)1ln(2)(-=x x g 是同一函数 （ ） 10. 函数)sin(arcsin )(x x f =与函数)arcsin(sin )(x x g =是同一函数 （ ）11.1lnx arcctgx x x αβ+==→+∞设，，则当时则~αβ （ ） 1211()sin (0)f x x x x =⋅<<+∞ ，0()x f x →+当时不是无穷大，但无界．（ ）13.00()()(0)lim ()()x x x x f x g x A A f x g x →→→∞→≠=∞设当时，，，则．（ ）14.1lim 0lim||1n n n n nx x a a x +→∞→∞==≤设及存在，则：． （ ）二、填空题1. 设)(x f 的定义域是(0,1)，则)1(2x f -的定义域是________________。
2. 设)2ln(1)(x x x f -++=，则)(x f 的定义域用区间表示为_______________。
初等函数的连续性
(均基在本其初定等义函域数内在连定续义)域内是连续的.
13
连续函数的运算与初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
注 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;
则称{[ an , bn ]}构成一个区间套.
• Thm 3.16 设 {[an , bn ]}是一个区间套，
则必存在唯一的实数 r , 使得 r 包含在所有
的区间里，即
r
[an
,
bn
].
n 1
证明：P75 2
闭区间上连续函数的性质
二、介值定理 零点定理
定理(方程实根的存在定理) 设 f ( x) C[a, b],
x 0, x 0,
20
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题2 (是非题)
设y f (u), u g( x),且 lim g( x)存在,
y
f (u)在u0
x x0
g( x0 )处有定义,则
lim f [g( x)] f [ lim g( x)]
x x0
x x0
非
设y
f
(u)
1, 1,
例
求
limsin1
1
x
x x
g( x)
解
由
lim
x
g(
x)
lim1 x
1 x
x
e,
sinu在u e连续,
所以sliimnmlsiimn1 xxx
1 x
xx
sin
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1 f ( x) ln x
(4)
cos x x 1 f ( x) 2 x 1 x 1
(5)
x3 x x0 sin x f ( x) ln( 1 x) sin 21 x0 x 1
补1 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
x 1 0 x 1 y 1 x 1 x 3 1 x 2
y
2
x 在[0,2]上
o
1
2
x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点. 定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)· f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0. 几何意义 如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点 位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧 y
与x轴至少有一个交点. o
a ξ b x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
x x0
x x0
x x0
分类 第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 间断点 都存在
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 ) 跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
无穷间断点
第二类间断点 振荡间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
ex a 例9 设 f ( x ) x 0及可去间断点 x( x 1) 有无穷间断点
x 1, 试求常数a的值.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
(6) 一切初等函数在其定义域内连续.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
思路
初等函数
找间断点 分段函数 判类型 求极限
间断点 间断点
无定义的点 无定义的点 分段点（嫌疑）
x a x b
证明 f ( x )在 (a , b )内有界.
补5 设 f ( x )在(a ,)内连续, lim f ( x ) A, lim f ( x ) B
x a x
证明 f ( x )在 (a ,)内有界.
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
有定义的开区间
求连续区间 讨论分段点的连续性
合并
例2 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
1 1 1 (1) f ( x ) x 1 x 1 x 1 x
讨论全面
(2) f ( x ) ( x 1) sin x 2
( x 1) x
讨论左右极限
x=0也是间断点
(3)
（四）应用
例
证明方程 x 3 4 x 2 1 0 在区间(0,1)内至少 有一个实根.
例 若f (x)在 ( ,)内连续,且lim f ( x )存在,则
x
f (x)在 ( ,)内有界.
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
至少有一个实根.
（2）零点定理
构造辅助函数 例15 设 f ( x )在 [0,2a ]上连续, f (0) f ( 2a ) 证明
f ( x) f ( x a )
在[0, a ]上至少有一个实根.
例16 设 f ( x )为连续函数，其定义域和值域都是 [a , b] 证明存在 [a , b], 使 f ( ) . 补6 设 f ( x ), g( x )是[a , b]上的两个连续函数，
x n 2 x n 例6 讨论 f ( x ) lim n 的连续性. n n x x
x 2 n1 ax 2 bx , 确定常数a,b使 f ( x ) 例7 设 f ( x ) lim 2 n n x 1 内连续. 在 ( ,)
x 2 n1 1 补3 讨论 f ( x ) lim 2 n 1 的连续性. n 1 n x x x
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
补4 设 f ( x )在 x 0 处连续,
x1 , x2 R
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
（五）证明题
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
例10 设 f ( x ) e x 在 x 0 处连续, 证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
例11 设 f ( x )在 x 0 处连续,
x1 , x2 R
第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
例12 设 f ( x )在 (a , b )内连续, lim f ( x ) A, lim f ( x ) B
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例8 设 f ( x )
x
1 内连续,a,b为常数 bx 在 ( ,) a ae
f ( x ). 且 lim f ( x ) 0, 确定常数a,b的正负并求 xlim
确定a,b使 f ( x ) g( x )在 ( ,)内连续.
n x n x 2 例5 设 f ( x ) lim x , g ( x ) 1 x n n n x 讨论复合函数 f [ g( x )] 及 g[ f ( x )] 在 ( ,)
内的连续性.
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例3 确定常数a,b使函数
sin ax 1 cos x f ( x ) 1 1 1 x ln 1 bx x0 x0 x0
在x=0处连续.
补2 确定常数a,b使函数
（2）零点定理
（3）介值定理
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
（2）零点定理
方程根的存在性
例13 证明 sin x x 1 0在 , 内至少有一个实根. 2 2 例14 证明奇次多项式
p( x ) a0 x 2n1 a1 x 2n a2n1 (a0 0)
初等函数的连续性
连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续
基本初等函数在定义域内连续 初等函数 在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
f (a ) g(a ), f (b) g(b)
证明存在 x0 (a , b),使 f ( x0 ) g( x0 ).
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
ln( 1 2 x) 1 x 1 x 1 x 0 f ( x) a x0 x2 b 0 x 1
在x=0处连续.
x 例4 设 f ( x ) a
x0 b g( x ) x 1 x 2 x 0 x 1
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题