形心及惯性矩
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
形心主惯性轴和形心主惯性矩
I x0
I xC
I yC 2
I xC
I yC 2
2
I2 xC yC
278.3 10.3104 mm4
2
278.3
100.3
2
108
97.32
108
m m4
2
321.3104 mm4
I max
I x0
I xC
I yC 2
I xC
I yC 2
2
I2 xC yC
278.3 10.3104 mm4
97.3104 mm4
目录
截面的几何性质\形心主惯性轴和形心主惯性矩
3）确定形心主惯性轴的位置和计算
形心主惯性矩。由公式 得
tan20
2IxC yC IxC I yC
2
7
2 8.3
9 104
7.3 10
104 0.3
1
04
1.093
故
20 47.6 ,0 23.8
另一形心主惯性轴与xC轴的夹角为
一对坐标轴xC、yC ，由公式可得
I xC
101203 {
12
202
1 2 01 0
70103 12
－352 7010}mm4 278.3104 mm4
I yC
{120103 12
－152
12010 10 703 12
252 7010}mm4 100.3104 mm4
I xC yC 20 (15) 12010 (35) 25 7010mm4
目录
截面的几何性质\形心主惯性轴和形心主惯性矩
【解】 1）确定截面的形心C的位置。 建立如图所示坐标系Oxy，将截面看作由 两个矩形组成的组合截面，则有
形心及惯性矩求法
A-6 ........................................................................................................................................................4
A-4 ........................................................................................................................................................32zdy=d2 2cos 2ϕdϕ
且ϕ 在 α 与 − α 之间变化，而
由此可得
sinα
=
d
− 2δ d
∫ ∫ I z =
y 2dA =
A
α -α
(
d 2
sinϕ )2
⋅
d2 2
cos 2ϕdϕ
∫ ∫ =
d4 8
α -α
1 4
sin 2 2ϕdϕ
=
d4 64
α (1 − cos4ϕ)dϕ
-α
=
d4 32
附录 A 极惯性矩与惯性矩
题号
页码
A-1 ........................................................................................................................................................1
R
4
截面的静矩和形心位及惯性矩的计算
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20 1403
20 140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
第6.章形心与惯性矩
第6.章形心與慣性矩
§6-1形心
一、觀念整理 Â掌握考試重點，捉住得分關鍵
1.形心：物體幾何形狀之中心位置，其中心位置稱為形心。
2.重心：凡物體內之一點，無論物體之位置如何變更，其重力之作用線必經該點，則此點稱為重心。
3.質心：凡物體之各部質量，可用一點代替全部質量，此點即為質量中心，簡稱質心。
4.形心之特性：
形心之位置是利用力矩原理求得。
形心必在該幾何圖形之對稱軸(面)上。
面積之形心對稱於一軸，則其形心將在該軸上。
面積之形心對稱於二軸，則其形心將在該二軸交點上。
對稱中心必為形心，但形心不一定為對稱中心。
二、解題技巧 Â秘笈口訣傳授，增進考試實力
§6-2 慣性矩與截面係數
一、觀念整理 Â掌握考試重點，捉住得分關鍵
二、解題技巧 Â秘笈口訣傳授，增進考試實力。
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
惯性矩、静矩,形心坐标公式
惯性矩、静矩,形心坐标公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1§I?1 截面的静矩和形心位置如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I ?1）分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC A Cd d利用公式（I ?1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z A C d d （I ?2）或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I ?3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y yCz C （I ?4）图I ?1如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I ?5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I ?6）例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m例题I ?1图m323.008.0072.02.008.046.0072.0III II II I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I ?2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I ?2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
02 截面的静矩
静矩的定义
静矩
截面内力与作用点到截面某一固定点的距离的乘积的 积分。
面积矩
截面内力与作用点到截面某一固定点的距离的平方的 积分。
极惯性矩
截面内力与作用点到截面某一固定点的距离的四次方 的积分。
静矩的计算
1 2
静矩的计算公式
静矩 = Σ (y_i * dA_i)，其中y_i为截面内力作用 点到某一固定点的距离，dA_i为该点处的面积微 元。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的 计算
contents
目录
• 截面的几何特性 • 截面的静矩 • 截面的形心位置 • 截面的惯性矩 • 截面特性在工程中的应用
01 截面的几何特性
截面的定义
01
截面是一个二维平面图形，可以 通过在三维空间中切割一个物体 来获得。
02
截面可以是封闭的或开放的，可 以有不同的形状和大小，取决于 切割的方式和角度。
05 截面特性在工程中的应用
在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，截面的静 矩和形心位置及惯性矩的计算可以为结构设计 提供重要的参考依据。
在结构设计时，需要考虑到截面的承载能力、 稳定性以及变形等因素，而这些因素都与截面 的特性密切相关。
通过计算截面的静矩和形心位置及惯性矩，可 以更好地了解截面的受力特性，从而优化结构 设计，提高结构的承载能力和稳定性。
转动惯量
是指刚体绕某点转动时，其转动惯量 等于刚体的所有质量微元与各微元距 离平方的乘积之和。
惯性矩的计算
矩形截面惯性矩
对于矩形截面，其惯性矩可以通过计算其面 积与面积上分布的物质质量的乘积，再乘以 一个常数得到。
圆形截面惯性矩
第七讲 形心、静矩、惯性矩
2.1.1 静矩和形心
2、重心的定义
地球半径很大，地表面物体的重力可以看作是平行力系，此 平行力系的中心即物体的重心。
重心有确定的位置，与物体在空间的位置无关。
设物体的重心在C处，重力为P，由若干部分组成，第i部分 重力(Pi)及其作用点坐标如图
对x轴用合力矩定理
Pyc = P1 y1 + P2 y2 +
惯性半径 极惯性矩 惯性积 主惯性轴 主惯性矩
……
2.1.1 静矩和形心
1、静矩（面积矩）的定义
y
z
整个图形对于y轴的静矩
S y =
zdA
A
整个图形对于z轴的静矩
dA
y
O
Sz =
ydA
A
静矩是代数量。可正、可
z 负，也可为零。
单位：m3或mm3
静矩是对某一坐标轴定义的，静矩与坐标轴有关。 静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。
n
yc
=
Sz A
=
Ai yCi
i =1 n
Ai
i =1
n
zc
=
Sy A
=
Ai zCi
i =1 n
Ai
i =1
2.1.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径
1、惯性矩的定义
y
z
dA
y
O
y2dA：微面积dA对z轴的惯性矩。
Iz =
y 2 dA
A
整个图形对z轴的惯性矩
I y =
z 2 dA
整个图形对z轴的惯性半径
2.1.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径
1、惯性矩的定义
y
z
dA
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分上t 和A分别定义为该图形对z 轴和y 轴的面积矩或静矩，用符号S z 和S y ，来表示，如式(2 — 2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的 量纲是长度的三次方，其常用单位为m 3或mm2 •面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2 — 2.2)(2 — 2.2)或改写成，如式(2 — 2.3):二 X 乙 (2面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距 离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
—2.3)1 •面积矩的定义图2-2.1任意截 面的几何图形图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之, 图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3 •组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)鬲=刀殆=£4订(2 — 2.4)式中，A和y i、乙分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2 —2.5)确定迟4吗i-i(2 —2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1 •极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分1 称为图形对0点的极惯性矩，用符号I P,表示，如式(2 —2.6)' (2 —2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7)(2 —2.7)⑵对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 —2.8)p 32 (2—2.8)式中，.：二d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2 •惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2 —2.9)^2 =J "沁卜'厂(2 — 2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
1、静矩与形心2、惯性矩、极惯性矩和惯性积3、平行移轴公
1. 转轴公式
y
y
A dA
C E
D
O
x
B
新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y
x1 x cos y sin y1 y cos x sin
将上述关系代入平 面图形对x1轴的惯性矩：
x
I x1 A y12 d A
Ix1
cos2
y2 d A sin2
（4）由转轴公式得
80 aⅡ 20 10
40 C
bⅠ Ⅰ
aⅠ
xC
tan 20
2I xc yc I xc I yc
1.093
=113°.8
yc0
bⅡ
20 227 .6 0 113 .8
10 Ⅱ
I xc0
Imax
I xc
I yc 2
1 2
I xc
目录
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
（思考题I—2）A
y
bO
（思考题I—3）
x
a
y a
x
Ba
D
思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的
《形心矩和惯性矩》课件
振动控制
振动控制是形心矩和惯性矩应用的另一个重要领域。在振动 控制中，形心矩和惯性矩用于描述物体的振动特性和响应。 通过合理地设计结构和选择材料，可以有效地抑制物体的振 动和噪音。
在机械、航空航天和电子产品等领域中，振动控制是一个重 要的研究方向。例如，在机械设计中，通过分析机器的形心 矩和惯性矩，可以优化机器的结构设计，降低机器的振动和 噪音，提高机器的工作效率和可靠性。
《形心矩和惯性矩》PPT课件
• 形心矩 • 惯性矩 • 形心矩与惯性矩的关系 • 形心矩和惯性矩的应用 • 总结与展望
01 形心矩
定义与性质
定义
形心矩是描述二维图形或三维实 体在某点处的质量分布情况的物 理量。
性质
形心矩具有方向性，其方向与形 心位置和形状有关；形心矩的大 小与形状、尺寸和密度有关。
计算方法
计算公式 矩形 圆形
简化计算
对于矩形，其关于某轴的惯性矩I=∫(y^2)∫(x^2)ρdxdy，其中ρ 为物体的密度，积分范围为整个物体的体积。
I=bh^3/12，其中b为宽度，h为高度。
I=πd^4/64，其中d为直径。
对于一些规则形状的物体，可以使用查表或公式进行简化计算 。
实例分析
计算方法
规则图形
对于规则图形，如矩形、圆形等，可 以直接使用公式计算形心矩。
不规则图形
对于不规则图形，需要先计算每个小 区域的形心，再根据质量分布情况计 算总形心矩。
实例分析
01
02
03
矩形
对于矩形，其形心矩可以 通过公式直接计算得出。
圆环
对于圆环，其形心矩的计 算需要考虑内外半径和质 量分布情况。
动力学分析
动力学分析是形心矩和惯性矩应用的 另一个重要领域。在动力学分析中， 形心矩和惯性矩用于描述物体的运动 特性和响应。通过分析物体的动力学 方程，可以预测物体在不同外力作用 下的运动轨迹、速度和加速度。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件
数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算 截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
感谢您的观看
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详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分， 然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘 积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可 以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微 元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行 微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘 的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯 量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和 圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、 短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进 行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分 计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距 离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超 过其承载能力时，结构会 发生失稳，导致结构变形 甚至破坏。
惯性矩、静矩、抵抗矩形心、重心、质心
力学计算中截面参数计算，关键点的描述原先对于惯性矩、静矩、极惯性矩、抵抗矩的概念及计算方法总是模糊不清，这次认真的整理了下，估计大家对这些基本概念认知也比较凌乱，在此斗胆与大家分享下，其中的不足之处希望大家谅解，也恳请大家批评指正。
计算平面的惯性矩方法：在CAD中将平面图画好——生成面域——工具（查询——面域/质量特性）——得到质心和惯性矩（此惯性矩的计算轴为坐标原点处X、Y 轴）——将坐标轴原点移动刚算出的质心坐标上——工具（查询——面域/质量特性）得此平面图的惯性矩和面积1：静矩：平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。
一般用S 来表示。
Sx＝Yc*A 其中Yc＝∑Yci*Ai/∑Ai2：惯性矩：轴惯性矩反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
公式如：Ix＝∫y*ydA3：极惯性矩：极惯性矩是平面图形对坐标轴原点（即o点）的矩，计算公式为：ip=ix+iy（各惯性矩之和）4：抵抗矩：截面抵抗矩（W）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比值。
公式为：W=I/Ymax面积矩：面积矩是一个概念，凡是与面积有关的都称为面积矩，如静矩，抵抗矩等都为面积矩。
质心：为质量集中在此点的假想点；重心：为重力作用点（与组成该物体的物质有关）；（如没有引力，则就没有重心一说了）形心：物体的几何中心只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。
三者的关系：1：一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
2：质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心.如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。
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解析：
x=
y=
∑ li ⋅ xi ∑ li
∑ li ⋅ yi ∑ li
⇒x= ⇒ y=
9(0) + 5( 2) + 6( 4 + 3) + 13(5 + 2.5) 149.5 = = 4.53 cm 33 9 + 5 + 6 + 13 9( 4.5) + 5(9 + 1.5) + 6(12) + 13(6) 243 = = 7.36 cm 9 + 5 + 6 + 13 33
⇒ x= ⇒ y=
24(3) − 8( 2 + 2) = 24 − 8 24( 2) − 8( 2 + 1) = 24 − 8
2.5 cm 1.5 cm
【範例 8-5】 有一 T 形之鋼板，如右圖所示，求其斜線面積之形心 位置 x 及 y 各為若干 cm？
解析：
x=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
【範例 8-3】 有一長 12 公分之均質鐵絲，彎成如右圖所示之形狀， 試求其重心位置 x 及 y 各為若干 cm？
解析：
x= y=
∑ li ⋅ xi ∑ li ∑ li ⋅ yi ∑ li
⇒x= ⇒ y=
3(0) + 4( 2) + 5( 4 + 0.5 × 5 cos 60°) 34.25 = = 2.854 cm 12 3+ 4+5 3(1.5) + 4(0) + 5(0.5 × 5 sin 60°) 15.235 = = 1.277 cm 3+ 4+5 12
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【範例 8-4】 如右圖所示之 L 形鋼板，其面積之形心位置 x 及 y 各為 若干 cm？《以三種解題方法，提供您更寬廣的思路》
解析： 解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒ x=
⇒
8(1) + 8( 2 + 2) = 8+8 8( 2) + 8(1) = 8+8
2.5 cm
y=
1.5 cm
解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒
x=
y=
12(3) + 4(1) =12(1) + 4( 2 + 1) = 12 + 4
解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒
x =
12(3) + 12( 2 + 1) = 3 cm ( 對稱軸 ) 12 + 12 12(6 + 1) + 12(3) = 5 cm 12 + 12
y=
⇒ y=
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【範例 8-6】 試求右圖所示斜線面積之形心位置 x 及 （提示：矩形 − 1 / 4 圓）
y。
解析： (1) 矩形：A1= 4 × 4 = 16
x=
y=
∑W i⋅ x i 18( 2) + 27(7) + 45(3) = = 4m W 18 + 27 + 45
∑W i⋅ y i 18(5) + 27( −5) + 45( −7 ) = −4 m = W 18 + 27 + 45
【範例 8-2】 有均質鐵絲，彎成如右圖所示之形狀，試求鐵絲之重心 位置 x 及 y 各為若干 cm？
⇒ y=
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牛刀小試
01.（B）下列之敘述，何者為錯誤？ (A)一段直線之重心為該段直線之中點 (B)一段圓弧線之重心為該段圓弧線之中點 (C)一個圓的重心為該圓之圓心 (D)等腰三角形的重心為兩要中點至其對角連線之交點 。 02.（D）物體重心位置之求得，是應用 (A)拉密定理 (B)正弦定理 (C)餘弦定理 (D)力矩原理。 03.（C）半圓弧線之重心，若半徑為 r，其距圓心為：(A) 04.（A）半圓平面之重心，若半徑為 r，其距圓心為：(A)
4 4γ = − = −1.273 3π π
A3= 1 2 πγ 2 = 4.5 π ⇒ x3= 4；y3= − 求整體形心座標 ( x ，y )
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒ x=
40( 4) + 12(8 3) − 4.5π( 4) = 3.58 cm 40 + 12 − 4.5π 40( −2.5) + 12( −6) − 4.5π( − 4 π) = −4.07 cm 40 + 12 − 4.5π
公式＆技巧
形心求法
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畫龍點睛の範例
【範例 8-1】 設A、B、C三質點之重量分別為18N、27N、45N，其平面座標依序為（2，5） 、 （7，−5） 、 （3，−7） ，座標長度單位為公尺，試求此三質點之重心座標位置 x 及 y 。 解析： ⇒ xi 即原點至該線段之 x 方向形心距離 ⇒ y i 即原點至該線段之 y 方向形心距離
⇒ x1= 2 ；y1= 2
1 4( 2) 4( 2) π × 22 圓：A2= = π ⇒ x2= 4 − = 3.15 ；y2= = 0.85 4 3π 3π 4
(2) ∴ x =
∑ Ai ⋅ x i 16( 2) − 3.14(3.15) = 1.72 cm = ∑ Ai 16 − 3.14 ∑ Ai ⋅ y i 16( 2) − 3.14(0.85) = 2.28 cm = ∑ Ai 16 − 3.14
y=
【範例 8-7】 如右圖所示，試求其斜線面積之形心位置 x 及 y 各為 若干 cm？《 提示：利用矩形 + 三角形 − 半圓形 》
解析： 求各別面積及原點至各別面積之形心距離 A1= 8 × 5 = 40 ⇒ x1= 4；y1= −2.5 A2=
1 8 3 × 8 × 3 = 12 ⇒ x2= ；y2= −(5+ ) = −6 3 3 2
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§8-1 形心の 觀 念 整 理
形心定義及其特性
1.重心：凡物體內之一點，無論物體之位置如何變更，其重力之作用線必經該點，則此 點稱為重心。 2.形心：物體幾何形狀之中心位置，其中心位置稱為形心。 3.質心：凡物體之各部質量，可用一點代替全部質量，此點即為質量中心，簡稱質心。 4.形心之特性： 形心之位置是利用力矩原理求得。 形心必在該幾何圖形之對稱軸(面)上。 面積之形心對稱於一軸，則其形心將在該軸上。 面積之形心對稱於二軸，則其形心將在該二軸交點上。 對稱中心必為形心，但形心不一定為對稱中心。