形心及惯性矩

2.5 cm
y=
1.5 cm
解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒
x=
y=
12(3) + 4(1) = 12 + 4
2.5 cm 1.5 cm
ຫໍສະໝຸດ Baidu
⇒
12(1) + 4( 2 + 1) = 12 + 4
解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒
x =
12(3) + 12( 2 + 1) = 3 cm ( 對稱軸 ) 12 + 12 12(6 + 1) + 12(3) = 5 cm 12 + 12
y=
⇒ y=
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【範例 8-6】 試求右圖所示斜線面積之形心位置 x 及 （提示：矩形 − 1 / 4 圓）
y。
解析： (1) 矩形：A1= 4 × 4 = 16
4 4γ = − = −1.273 3π π
A3= 1 2 πγ 2 = 4.5 π ⇒ x3= 4；y3= − 求整體形心座標 ( x ，y )
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒ x=
40( 4) + 12(8 3) − 4.5π( 4) = 3.58 cm 40 + 12 − 4.5π 40( −2.5) + 12( −6) − 4.5π( − 4 π) = −4.07 cm 40 + 12 − 4.5π
8
§8-1 形心の 觀 念 整 理
形心定義及其特性
1.重心：凡物體內之一點，無論物體之位置如何變更，其重力之作用線必經該點，則此 點稱為重心。 2.形心：物體幾何形狀之中心位置，其中心位置稱為形心。 3.質心：凡物體之各部質量，可用一點代替全部質量，此點即為質量中心，簡稱質心。 4.形心之特性： 形心之位置是利用力矩原理求得。 形心必在該幾何圖形之對稱軸(面)上。 面積之形心對稱於一軸，則其形心將在該軸上。 面積之形心對稱於二軸，則其形心將在該二軸交點上。 對稱中心必為形心，但形心不一定為對稱中心。
⇒ x1= 2 ；y1= 2
1 4( 2) 4( 2) π × 22 圓：A2= = π ⇒ x2= 4 − = 3.15 ；y2= = 0.85 4 3π 3π 4
(2) ∴ x =
∑ Ai ⋅ x i 16( 2) − 3.14(3.15) = 1.72 cm = ∑ Ai 16 − 3.14 ∑ Ai ⋅ y i 16( 2) − 3.14(0.85) = 2.28 cm = ∑ Ai 16 − 3.14
⇒ y=
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牛刀小試
01.（B）下列之敘述，何者為錯誤？ (A)一段直線之重心為該段直線之中點 (B)一段圓弧線之重心為該段圓弧線之中點 (C)一個圓的重心為該圓之圓心 (D)等腰三角形的重心為兩要中點至其對角連線之交點 。 02.（D）物體重心位置之求得，是應用 (A)拉密定理 (B)正弦定理 (C)餘弦定理 (D)力矩原理。 03.（C）半圓弧線之重心，若半徑為 r，其距圓心為：(A) 04.（A）半圓平面之重心，若半徑為 r，其距圓心為：(A)
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【範例 8-4】 如右圖所示之 L 形鋼板，其面積之形心位置 x 及 y 各為 若干 cm？《以三種解題方法，提供您更寬廣的思路》
解析： 解法
x= y=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
⇒ x=
⇒
8(1) + 8( 2 + 2) = 8+8 8( 2) + 8(1) = 8+8

公式＆技巧

形心求法
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畫龍點睛の範例
【範例 8-1】 設A、B、C三質點之重量分別為18N、27N、45N，其平面座標依序為（2，5） 、 （7，−5） 、 （3，−7） ，座標長度單位為公尺，試求此三質點之重心座標位置 x 及 y 。 解析： ⇒ xi 即原點至該線段之 x 方向形心距離 ⇒ y i 即原點至該線段之 y 方向形心距離
x=
y=
∑W i⋅ x i 18( 2) + 27(7) + 45(3) = = 4m W 18 + 27 + 45
∑W i⋅ y i 18(5) + 27( −5) + 45( −7 ) = −4 m = W 18 + 27 + 45
【範例 8-2】 有均質鐵絲，彎成如右圖所示之形狀，試求鐵絲之重心 位置 x 及 y 各為若干 cm？
解析：
x=
y=
∑ li ⋅ xi ∑ li
∑ li ⋅ yi ∑ li
⇒x= ⇒ y=
9(0) + 5( 2) + 6( 4 + 3) + 13(5 + 2.5) 149.5 = = 4.53 cm 33 9 + 5 + 6 + 13 9( 4.5) + 5(9 + 1.5) + 6(12) + 13(6) 243 = = 7.36 cm 9 + 5 + 6 + 13 33
y=
【範例 8-7】 如右圖所示，試求其斜線面積之形心位置 x 及 y 各為 若干 cm？《 提示：利用矩形 + 三角形 − 半圓形 》
解析： 求各別面積及原點至各別面積之形心距離 A1= 8 × 5 = 40 ⇒ x1= 4；y1= −2.5 A2=
1 8 3 × 8 × 3 = 12 ⇒ x2= ；y2= −(5+ ) = −6 3 3 2
⇒ x= ⇒ y=
24(3) − 8( 2 + 2) = 24 − 8 24( 2) − 8( 2 + 1) = 24 − 8
2.5 cm 1.5 cm
【範例 8-5】 有一 T 形之鋼板，如右圖所示，求其斜線面積之形心 位置 x 及 y 各為若干 cm？
解析：
x=
∑ Ai ⋅ xi ∑ Ai ∑ Ai ⋅ y i ∑ Ai
【範例 8-3】 有一長 12 公分之均質鐵絲，彎成如右圖所示之形狀， 試求其重心位置 x 及 y 各為若干 cm？
解析：
x= y=
∑ li ⋅ xi ∑ li ∑ li ⋅ yi ∑ li
⇒x= ⇒ y=
3(0) + 4( 2) + 5( 4 + 0.5 × 5 cos 60°) 34.25 = = 2.854 cm 12 3+ 4+5 3(1.5) + 4(0) + 5(0.5 × 5 sin 60°) 15.235 = = 1.277 cm 3+ 4+5 12