题型-数列求和之分组求和法

数列求和之分组求和法及其他
一、题型要求：
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

二、例题讲解：
1、求数列的前n 项和：231,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…
2、求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-
+--
三、练习巩固：
1、（2013－潍坊模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设n b n a n 22
+=，求数列{b n }的前n 项和T n .
2、（2014－揭阳模拟）设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋12.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .
3、（2011－北湖区校级月考）设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1343a a S n -=，且2032=+a a 。

（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设n a b n n +=，求数列{n b }的前n 项和为n T 。

4、（2009－山东模拟）设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知
75,7157==S S ，
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若32
+=n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T
5、（2015－中山模拟）设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误!未找到引用源。

．
数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N
*∈． （1）求数列
{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）设
⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n
n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．
6、（2014－汕头二模）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，
且)2(11≥+=-n S S n n .
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若12-+=n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ；
7、(2013－威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *
，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：
(1)p ，q 的值；
(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）
1、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
2、已知2
2()1x f x x =+，则111
(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______；
通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

3、求 1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.
4、求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和n S = ；
5、求和：11
1
112123123n ++++=+++++++ ；。