天津市静海区第一中学2020-2021学年高一12月学业能力调研数学试题
天津市静海县第一中学高一12月学生学业能力调研考试数
静海一中2015-2016第一学期高一数学（12月）学生学业能力调研卷命题人： 审题人： 主管领导：考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共120分。
一、选择题: （每小题4分，共24分） 1、已知角的终边经过点，且，则等于( )A. －114B. 114 C. －4 D. 42．若，则的值为A ． B. C. D.3．若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列各式中，值为的是( ) A ． B. C. D.5．三个数π323log ,6.0log ,99.0的大小关系为（ ） A ．6.0log 99.0log 233<<π B ． 33299.0log 6.0log <<π C ． π323log 6.0log 99.0<< D ． π332log 99.06.0log <<6.下面是关于函数0,2≠++=a c bx ax y ，，为非空集合，关于最值的论述：（1） 当时，函数一定有最小值为（2） 是否有最大值和最大值，关键取决于的范围，有可能既最大值，也有最小值，其值不一定是 （3） 求的最大值或最小值时，利用公式：求出对称轴，再画草图，根据的范围截取图像，最后根据图像确定取最大值或最小值时对应的值，然后通过代入求得最值。
以上结论中正确的个数有（ ）A ．0 B. 1 C.2 D. 3 二、填空题: （每题4分，共16分）6_________.7.关于的方程03)2(22=-+-+a x a x 的一根比2小，一根比2大，则的取值范围是____________．8.下列各式能用诱导公式实现互化的是 . ①与 ② 与 ③与 ④与⑤与9下列说法：①扇形的周长为，面积为,则扇形的圆心角弧度数为； ②函数()()2cos sin cos f x x x x =+的最大值为；③若是第三象限角，则2cos2cos 2sin2sinαα+=y 的值为0或-2；④若则与的终边相同；⑤函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,1,0)(为周期函数；其中正确的是 （写出所有正确答案）. 三、解答题（本大题共5题，共65分）10.（10分）sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简；（2） 若，且，求的值． 11. （12分）（1）是第三象限角，且，求； （2）化简︒︒︒︒---170sin 1170sin 10cos 10sin 212（3）已知)0(51cos sin πααα<<=+，求ααπαcos sin 2)4sin(-； 12. (15分)（1）已知41)4tan(,52)tan(=-=+πββα，求的值；（2）已知均为锐角，且cos(sin()αβαβ+-，求；（3）对于解决已知三角函数值求另一三角函数值的问题一般从哪些方面入手才有可能找到解决方法，请写出3种。
天津市静海区第一中学2021-2022高二数学12月学生学业能力调研试题
天津市静海区第一中学2021-2022高二数学12月学生学业能力调研试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（135分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共135分）一、选择题: (每小题5分，共45分)1.若命题p ：2220x R x x ∃∈++≤， ,则命题p 的否定是（ ） A ．2,220x R x x ∃∈++> B ．x R ∀∈ ， 2220x x ++< C ．x R ∀∈ ， 2220x x ++> D ．x R ∀∈ ， 2220x x ++≤2..若双曲线过点，且渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的方程是（ ）．A. 2219x y -= B. 2219y x -= C. 2219y x -= D. 2219x y -=3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ． 若0a b >>，则11b ba a+>+ C ．若2a b +=，则不等式 1ab ≤D ．若c b a <<且0ac <，则22cb ab <4．已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A.34B. 1C.54D.745.设2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1(,0),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭6.在数列{}n a 中，21=a ，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则 =n a （ ）A. n n ln 2+B. n n ln )1(2-+C. n n ln 1++D. n n n ln 2+7．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为( )A. 1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b O a b-=>>为坐标原点，F 为C 的右焦点，过点F 作倾斜角为135︒的直线与C 在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为,M N ，若FN =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 二、填空题：(每小题5分，共30分)9.已知椭圆的中点在原点，焦点在坐标轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程为 10.双曲线221916x y -=上一点P 到点()15,0F -的距离为7，则点P 到点()25,0F 的距离为__________．11.(1)已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是______． (2)正项等比数列{}n a 中，存在两项()*,,m n a a m n N ∈使得2116mn aa a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为______. (3)设正实数,a b 满足11b a b +=，则2+a b 的最小值为_______．12.已知直线l 过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点M .若AF FM =，则pBF=______.F EP EDEC DB AA C13.已知点1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足112PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为三、解答题：(本大题共4小题，共60分)14．（14分）已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；（3）在（Ⅱ）条件下，若245n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 15．（16分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直， 其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点. （1）求证：PE ∥平面ABCD ； （2）求二面角D EF A －－的余弦值；（3）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF AG 的长. 16.（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为21122n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）令1nn n n a c a a +=+，问是否存在正整数,(1)m k m k <<使得1,,m k c c c 成等差数列？若存在，求出,m k 的值，若不存在，请说明理由.17.（15分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，右焦点为F ，已知直线BF 的倾斜角为120°，21A F =.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上不同于1A ，2A 的一点，O 为坐标原点，线段2OA 的垂直平分线交2A P 于M 点，过M 且垂直于2A M 的直线交y 轴于Q 点，若FP FQ ⊥，求直线2A P 的方程.第Ⅱ卷 提高题（共15分）18．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆的短轴长为2，12F F ，分别为椭圆的左，右焦点，A B ，分别为椭圆的左，右顶点，设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C ，直线PA 的斜率为k . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求k 的值； （Ⅲ）设点N 为AC 的中点，射线NO （O 为原点）与椭圆交于点M ，满足6AMC MA MC∠=⋅，求k 的值.静海一中2021-2022第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共135分）二、填空题（每题5分，共30分）9. 10._________ 11.（1）________（2）（3）_________ 12._________ 13._________三、解答题（本大题共4题，共60分）14.（14分）15.(16分）16.（15分）FEPEDECDBAAC17.（15分）第Ⅱ卷提高题（共15分）18.（15分）静海一中2021-2022第一学期高二 数学（12月）学生学业能力调研试卷答案一、选择题 CABC ADAD二、填空题9. 2213632x y +=或1363222=+y x 10. 【答案】1311. (1) 4+12.3213. 430x y ±= 14.15.(2) (3)16.17.18.。
2021-2022学年天津市静海一中高三(上)学业能力调研数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年天津市静海一中高三（上）学业能力调研数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）}，则A∩B=()1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|y=1√xA. {−1,1}B. {1,2}C. {0,2}D. {0,1,2}2.“(a−2)3>(b−2)3”是“lga>lgb”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3.函数y=tanx在(−π,π)的图象大致为()x2+1A.B.C.D.4.已知a=log32，b=ln2，c=0.5−0.2，则a，b，c的大小关系为()A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b5.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上．此模型的体积为()A. 304πcm3B. 840πcm3C. 912πcm3D. 984πcm36.已知f(x)={|x|x+4,x<121 2x,x≥12，且关于x的方程f(x)=kx2恰有四个不相等的实数解，则k的取值范围是()A. (14,49]∪(1,+∞) B. (14,1)∪(1,+∞)C. (14,1) D. (1,+∞)二、单空题（本大题共7小题，共35.0分）7.若z−i=4−2i1+2i，则复数z的虚部为______．8.经过两直线2x−3y−12=0和x+y−1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．9.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D−A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V2，则V1：V2=______．10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上的点P满足PF2⊥x轴，|PF1|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为______．11.已知点P(5,3,6)，直线l过点A(2,3,1)，且一个方向向量l⃗=(1,0,−1)，则点P到直线l的距离为______ ．12.设a>b>0，那么a4+1b(a−b)的最小值是______ ．13. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD相交于点O ，E 为线段AC 上的动点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−72，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）14. 向量m ⃗⃗⃗⃗=(2sinx,√3)，n⃗⃗=(cosx,cos2x)，已知函数f(x)=m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a =7，若锐角A 满足f(A2−π6)=√3，且sinB +sinC =13√314，求b +c 的值．15. 已知圆C 经过点A(1,3)和B(5,1)，且圆心C 在直线x −y +1=0上．(1)求圆C 的方程；(2)设直线l 经过点(0,3)，且l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)P 为圆上任意一点，在(2)的条件下，求(x +1)2+(y +2)2的最小值．16. 已知如图，四边形PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =12CD =1，PD =√2． (1)若M 为PA 中点，求证：AC//平面MDE ； (2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3？若存在，求出PQPC 的值；若不存在，请说明理由．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为−14．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线y =12(x +1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为√154(O 为坐标原点)，求椭圆C 的标准方程．18. 已知{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，a 2=6，a 4+a 5=22，3a 1=4b 1，且2b 2是3b 1与b 3的等差中项． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求∑(2n i=1−1)i a i 2；(3)若c n =anb n−1，证明：c 1+c 2+⋅⋅⋅+c n <154；(4)数列求和问题的关键是根据通项公式特点找到适合的求和方法，并进行合理变形，观察下列数列通项公式特点，填表：19. 已知函数f(x)=x 2+xlna(a ∈(0,1))，x ∈(0,1)．(1)当a =e 时，求g(x)=e x f(x)在(0,g(0))处的切线方程． (2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若f(x)>ae x lnx 对∀x ∈(0,1)恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|y =√x }={x|x >0}， 则A ∩B ={1,2}． 故选：B ．先函数的定义域求出集合B ，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵(a +1)3>(b +1)3， ∴a +1>b +1， ∴a >b ，当a >b >0时，则lga >lgb ， 当0>a >b 时，对数无意义，故“(a +1)3>(b +1)3”是“lga >lgb ”的必要不充分条件， 故选：C ．根据幂函数的性质和对数函数的性质，以及充分条件，必要条件的定义可以判断． 本题考查了幂函数和对数函数的性质，以及充分条件，必要条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，设f(x)=tanxx 2+1，在区间(−π,π)，有x ≠±π2，其定义域关于原点对称，有f(−x)=−tanxx 2+1=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，排除AC ， 又有f(0)=0，排除B ， 故选：D ．根据题意，分析函数的奇偶性排除AC ，又由f(0)的值，排除B ，即可得答案．本题考查函数的图像分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a =1log 23,b =1log 2e ，∵log 23>log 2e >1， ∴1log23<1log 2e<1，且0.5−0.2>0.50=1，∴a <b <c ． 故选：B ．可得出a =1log 23,b =1log 2e ，从而可得出a <b <1，并且可得出c >1，这样即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，因为内层圆柱的底面直径d 1=12cm ，所以r 1=6cm ，所以内层圆柱的底面积为S 1=πr 12=36π(cm 2)，外层底面直径为d 2=16cm ，所以r 2=8cm ，所以外层的底面面积为S 2=πr 22=64π(cm 2)，又内外层的底面圆周都在一个直径为20cm 的球上，即r 球=10cm ， 如图，以内层圆柱为例，因为内层圆柱的底面圆周在球面上，所以球心O 与内层圆柱的底面圆心O 1的连线垂直于底面圆，即OO 1⊥AO 1，所以OO 1=√AO 2−AO 12=√r 球2−r 12=√102−62=8cm ，根据球的对称性可得，内层圆柱的高为2×8=16cm ，所以内层圆柱的体积为V 1=πr 12ℎ1=π×62×16=576π(cm 3)，同理可得，外层圆柱的高为2√102−82=12cm ，所以外层圆柱的体积为V 2=πr 22ℎ2=π×82×12=768π(cm 3)，由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积，故V 3=768π−πr 12×12=768π−432π=336π(cm 3)，所以该几何体的体积为V =V 1+V 3=576π+336π=912π(cm 3). 故选：C ．由题意，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，利用圆柱与球的几何性质，求出内层圆柱的体积和外层圆柱的体积，从而求出外层几何体的体积，求出模型的体积．本题考查了空间几何体的理解与应用，主要考查了圆柱和球的几何性质的应用，圆柱的体积公式的运用，解题的关键是求出内层圆柱和外层圆柱的体积，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解；当k =0时，f(x)=kx 2，只有一个解x =0，显然不符合题意； 当k ≠0时，显然f(x)=kx 2有一个解为x =0，所以只需f(x)=kx 2有三个不为0的解，由f(x)=kx 2可变形为1k ={−x(x +4),x <0x(x +4),0≤x <122x,x ≥12， 令g(x)={−x(x +4),x <0x(x +4),0≤x <122x,x ≥12， 则y =1k 与g(x)有3个不为0的解， 作出g(x)的图象，如图：则y =1k 在如图位置时有3个不为0的解，且g(−2)=4，g(12)=1，12×(12+4)=94， 所以0<1k <1或94≤1k <4，所以k ∈(14,49]∪(1，+∞)． 故选：A ．先分析k =0时，不满足题意，再分析k ≠0，x =0为方程f(x)=kx 2的根，再将方程f(x)=kx 2进行参数分离，转化为y =1k 与g(x)有3个不为0的解，数形结合可求解． 本题考查方程的根与函数零点以及函数图象交点的关系，属难题．7.【答案】−1【解析】解：由z −i =4−2i1+2i ， 得z =(4−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i =−10i 5+i =−i ．∴复数z 的虚部为−1． 故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8.【答案】2x +3y =0；或x +y −1=0【解析】解：由{2x −3y −12=0x +y −1=0解得{x =3y =−2 ∴直线2x −3y −12=0和x +y −1=0的交点坐标为(3,−2) ①所求直线经过原点时，满足条件方程设为y =kx ，可得3k =−2，解得k =−23，此时直线方程为y =−23x ，即2x +3y =0； ②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x +y =a ， 可得3−2=a ，解之得a =1，此时直线方程为x +y −1=0 综上所述，所求的直线方程为2x +3y =0；或x +y −1=0．联解两条直线的方程，得到它们的交点坐标(−3,−1).再根据直线是否经过原点，分两种情况加以讨论，即可算出符合题意的两条直线方程．本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．9.【答案】2：3【解析】解：设点D 到底面ABC ，A 1B 1C 1的距离分别为ℎ1，ℎ2.三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为H ，则ℎ1+ℎ2=H ．V 1V 2=V 2−V D−ABC −V D−A 1B 1C 1V 2=V 2−13S △ABC (ℎ1+ℎ2)V 2=V 2−13S △ABC ⋅HV 2=V 2−13V 2V 2=23．故答案为：23．设点D 到底面ABC ，A 1B 1C 1的距离分别为ℎ1，ℎ2.三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为H ，则ℎ1+ℎ2=H.利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．10.【答案】√33【解析】解：∵PF 2⊥x 轴，可得P 的横坐标为c ，|PF 2|=b 2a，∴|PF 2|+|PF 1|=3b 2a =2a ，即3b 2=2a 2，化简可得3(a 2−c 2)=2a 2，即a 2=3c 2，c 2a 2=13，故e =√33，故答案为：√33．根据已知条件求出PF 2的长度，再根据椭圆定义即可求出结果． 本题主要考查了椭圆的定义以及离心率，属于基础题．11.【答案】4√2【解析】解：由题意，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,0,−5)， ∵l ⃗=(1,0,−1)，∴cos <l ⃗，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√9+25⋅√1+1=√17， ∴sin <l ⃗，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√17 ∵|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√34， ∴P(5,3,6)到直线l 的距离为4√2． 故答案为：4√2．求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,0,−5)，sin <l ⃗，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=4√17，即可求出点P(5,3,6)到直线l 的距离． 本题考查点P(5,3,6)到直线l 的距离，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】8【解析】解：∵a >b >0，b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号， ∴a 4+1b(a−b)≥a 4+1a 24=4(a 2+1a 2)≥8√1=8，当且仅当a 2=1a 2，即a =1，b =12时取等号． ∴a 4+1b(a−b)的最小值是8． 故答案为：8．先利用基本不等式求得b(a −b)范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．13.【答案】−194【解析】解：平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD 相交于点O ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−72， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−72， 可得−2−12×2×12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−72， 解得|BC|=3，建立如图所示的坐标系，则C(0,0)，A(−2,√3)，B(−3,0)，D(1,√3)，AC 的方程为：y =−√32x设E(m,−√32m)，m ∈[−2,0]，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m +3,−√32m)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −1,−√32m −√3) BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=74m 2+72m −3=74(m +1)2−194≥−194.当且仅当m =−1时取等号． 故答案为：−194．通过向量的数量积，求出|BC|，然后建立坐标系，设出E的坐标，利用向量的数量积求解最小值即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】解：(1)f(x)=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=2sinxcosx+√3cos2x，=sin2x+√3cos2x=2×(12sin2x+√32cos2x)，=2sin(2x+π3)，∴f(x)的最小正周期为：T=2πω=2π2=π，又∵2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z，∴kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z，(2)f(A2−π6)=2sin[2×(A2−π6)+π3]=2sinA=√3，即sinA=√32，∵a=7，由正弦定理可得a sinA=b sinB=c sinC=√32=2R=14√33(R为△ABC外接圆的半径)，∵sinB+sinC=b+c2R =13√314，b+c=14√33×13√314=13．【解析】(1)利用向量坐标积，对原式进行整理化简，结合三角函数的周期性、单调性性质即可求解；(2)利用已知条件，确定sinA的值，再运用外接圆的直径与正弦定理的等量关系对b+c进行化简，即可求解．本题考查了向量的乘积，三函数的单调性，利用外接圆的直径与正弦定理的等量关系是解本题的关键，属于基础题．15.【答案】解：(1)因为圆心C在直线x−y+1=0上，所以设圆C的圆心C(a,a+1)，半径为r(r>0)，所以圆的方程为(x−a)2+(y−a−1)2=r2．因为圆C经过点A(1,3)，B(5,1)，所以{(1−a)2+(3−a −1)2=r 2(5−a)2+(1−a −1)2=r 2，即{2a 2−6a +5=r 22a 2−10a +25=r 2，解得：{a =5r =5．所以，圆C 的方程为(x −5)2+(y −6)2=25； (2)由题意设直线l 的方程为y =kx +3，或x =0 当l 的方程为x =0时，验证知l 与圆C 相切． 当l 的方程为y =kx +3，即kx −y +3=0时， 圆心C 到直线l 的距离为d =√1+k 2=5，解得：k =−815．所以，l 的方程为y =−815x +3，即8x +15y −45=0． 所以，直线l 的方程为x =0，或8x +15y −45=0．(3)设M(−1,−2)，则(x +1)2+(y +2)2表示圆上点P 到M 的距离平方， 因为|CM|=√(5+1)2+(6+2)2=10>5，所以点M 在圆外， 则|PM|的最小值为|CM|−r =10−5=5， 则(x +1)2+(y +2)2的最小值为25．【解析】(1)根据圆心在直线x −y +1=0上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A ，B 的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求k 的值，所以圆的切线方程可求． (3)(x +1)2+(y +2)2转化为圆上点P 到M(−1,−2)的距离平方，根据圆的性质，求出|PM|的最小值即可得到答案．本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．考查了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁．此题是中档题．16.【答案】解：(1)证明：如图，连接MN ，∵四边形PDCE 为矩形，PC 与DE 交于点N ，∴N 为PC 的中点，又因为M 为PA 的中点，∴MN//AC ， 而MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ， ∴AC//平面MDE ；(2)如下图，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,√2)， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,−√2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−√2)， 假设平面PBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗⃗=(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x +y −√2z =0m ⃗⃗⃗⃗⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2y −√2z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗⃗=(1,1,√2)，设直线PA 与平面PBC 所成角的平面角为θ， 则sinθ=|m ⃗⃗⃗⃗⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|⋅|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4⋅√3=√36． ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√36．(3)假设存在点Q(x,y,z)，满足题意， 设此时PQPC =λ，则PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0<λ<1)， 即(x,y,z −√2)=λ(0,2,−√2)，解得Q(0,2λ,√2−√2λ)，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2λ,√2−√2λ)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)， 假设平面DAQ 的一个法向量为n⃗⃗=(a,b,c)， 则{n ⃗⃗⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2λb +(√2−√2λ)c =0n ⃗⃗⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a =0，取b =1，得n ⃗⃗=(0,1,√2λλ−1)， 又∵平面PBC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗⃗=(1,1,√2)， ∵平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3， ∴根据题意，则有cos π3=cos <m ⃗⃗⃗⃗,n ⃗⃗>=m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗⃗|=1+√2×√2λλ−12×√1+2λ2(λ−1)2解得λ=23，∴在线段PC 上存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3，PQ PC=23．【解析】(1)连接MN ，根据直线与平面平行的判定定理进行证明； (2)使用空间向量求解线面角的正弦值；(3)使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点Q 的坐标即可求解． 本题考查空间几何证明，重点考查空间向量在空间角的求解中的使用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题可知，椭圆上顶点坐标(0,b)，左右顶点的坐标分别为(−a,0)，(a,0)， 所以ba ⋅(−ba )=−14，即a 2=4b 2，a =2b ， 又a 2=b 2+c 2，所以c =√3b ， 所以椭圆的离心率e =c a=√32； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24b2+y 2b 2=1y =12(x +1)得：2x 2+2x +1−4b 2=0， ∴Δ=−4+32b 2>0,x 1+x 2=−1,x 1x 2=1−4b 22，∴|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√8b 2−1，又原点O 到直线的距离d =√5，∴12⋅|AB|⋅d =√74， 解得√8b 2−1=√7， ∴b 2=1，满足Δ>0， ∴a 2=4， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．【解析】(1)由条件可得ba ⋅(−ba )=−14，根据a 2=b 2+c 2，可得答案；(2)由方程联立，可知Δ>0，结合韦达定理得出|AB|，原点O 到直线的距离d =√5，可得出答案．本题考查了椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为{a n }是等差数列，且a 2=6，a 4+a 5=22，所以a 1+d =6且2a 1+7d =22， 解得a 1=4，d =2，所以a n =4+(n −1)×2=2n +2，因为{b n }是等比数列，3a 1=4b 1，且2b 2是3b 1与b 3的等差中项． 所以3a 1=4b 1，且2×2b 2=3b 1+b 3 即b 1=3a 14=3×44=3，所以4b 1q =3b 1+b 1q 2，(q ≠1) 解得q =3，所以b n =b 1q n−1=3×3n−1=3n ．(2)∑(2n i=1−1)i a i 2=∑(2n i=1−1)i (2i +2)2=4∑(2n i=1−1)i (i +1)2=4[(−1)⋅22+(−1)2⋅32+(−1)3⋅42+...+(−1)2n (2n +1)2] =4[−22+32−42+52−...+(2n +1)2]=4[(3−2)(3+2)+(5−4)(5+4)+...+((2n +1)−2n)((2n +1)+2n)] =4[2+3+4+5+...+2n +(2n +1)] =4×2n⋅(2+2n+1)2=4n(2n +3)．(3)c n =a nbn−1=2n+23n −1，当n =1时，c 1=2<154，当n ≥2时，3n −1>2×3n−1， 所以c n <2n+22×3n−1=n+13n−1，所以c 1+c 2+c 3+...c n <230+331+...+n+13n−1， 令T n =230+331+...+n+13n−1，则T n3=231+332+...+n+13n，两式相减得23T n =2+131+132+...+13n−1−n+13n=2+13−13n1−13−n+13n=52−2n+52×3n<52， 故T n <154，即c 1+c 2+...+c n <154．(4)：【解析】(1)根据题意可得a 1+d =6且2a 1+7d =22，解得a 1，d ，进而可得数列{a n }的通项公式．又{b n }是等比数列，3a 1=4b 1，且2b 2是3b 1与b 3的等差中项，则3a 1=4b 1，且2×2b 2=3b 1+b 3，解得b 1，q ，进而可得{b n }数列的通项公式．(2)∑(2n i=1−1)i a i 2=4∑(2n i=1−1)i (i +1)2=4[(−1)⋅22+(−1)2⋅32+(−1)3⋅42+...+(−1)2n (2n +1)2]=4[(3−2)(3+2)+(5−4)(5+4)+...+((2n +1)−2n)((2n +1)+2n)]，化简可得答案． (3)根据题意可得c n =a nbn−1=2n+23n −1，当n =1时，c 1=2<154，当n ≥2时，3n−1>2×3n−1，则c n <2n+22×3n−1=n+13n−1，进而可得c 1+c 2+c 3+...c n <230+331+...+n+13n−1，令T n =230+331+...+n+13n−1，只需证明T n 的最大值小于154．(4)化简c n ，进而可得求和方法．本题考查等差数列，等比数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】解：(1)当a=e时，g(x)=e x f(x)=e x[x2+xlne]=e x(x2+x)，g′(x)=e x(x2+x)+e x(2x+1)=e x(x2+3x+1)，所以k切=g′(0)=1，又g(0)=0，所以g(x)在(0,g(0))处的切线方程为y−0=1(x−0)，即y=x．(2)因为f(x)=x2+xlna，x∈(0,1)，所以f′(x)=lna+2x，x∈(0,1)，若0<a≤e−2，即lna≤−2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，若e−2<a<1，即−2<lna<0，0<−lna2<1，当0<x<−lna2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当−lna2<x<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，综上所述，当0<a≤e−2时，函数f(x)在x∈(0,1)上单调递减，当e−2<a<1时，函数f(x)在x∈(0,−lna2)上单调递减，在(−lna2,1)上单调递增．(3)因为ae x lnx<x2+xlnx，所以lnxx <x+lnaae x=ln(ae x)ae x，即ln(ae x)ae x >lnxx对任意x∈(0,1)恒成立，设H(x)=lnxx(0<x<e)，则H′(x)=1−lnxx2，当x∈(0,e)时，H′(x)>0，H(x)在(0,e)上单调递增，又x∈(0,1)，a∈(0,1)，所以ae x∈(0,e)，由H(ae x)>H(x)得ae x>x对任意x∈(0,1)恒成立，即a>xe x对任意x∈(0,1)恒成立，设G(x)=xe x，x∈(0,1)，则G′(x)=1−xe x>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(x)<G(1)=1e，所以a的取值范围为[1e,1)．【解析】(1)根据题意可得，当a=e时，g(x)=e x(x2+x)，求导得g′(x)，由导数的几何意义可得k切=g′(0)=1，又g(0)=0，即可得出答案．(2)求导得f′(x)=lna+2x，x∈(0,1)，分两种情况：0<a≤e−2，e−2<a<1，讨论f′(x)的正负，进而可得f(x)的单调区间．(3)由于ae x lnx<x2+xlna，则ln(ae x)ae x >lnxx对任意x∈(0,1)恒成立，设H(x)=lnxx(0<x<e)，求导分析H(x)的单调性，进而可得a>xe x 对任意x∈(0,1)恒成立，设G(x)=xe x，x∈(0,1)，只需a>G(x)max，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
高一数学12月学生学业能力调研试题
静海区第一中学2021-2021学年高一数学12月学生学业才能调研试题考生注意：本套试卷分第一卷根底题〔100分〕和第二卷进步题〔 20分〕两局部，一共120分，考试时间是是为120分钟。
第一卷 根底题〔一共100分〕一、选择题: 〔每一小题4分，一共36分〕1．集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，那么=B A A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}2.．命题“20,11x x ∀≥-≥-〞的否认是〔 〕 A.20,11x x ∀≥-<- B.20,11x x ∀<-<- C.20,1x x ∃≥-<-1 D.20,11x x ∃<-<- 3.2.01.1=a ，1.1log 2.0=b ，1.12.0=c ，那么 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4.函数log (21)3a y x =-+〔0a >且1a ≠〕的图象必过点〔 〕 A.1(,4)2B.(1,3)C.1(,3)2D.(1,4)5.在以下个区间中，存在着函数932)(3--=x x x f 的零点的区间是〔 〕A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2(6.()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22xf x x b =++〔b 为实数〕，那么(1)f 的值是( ) A.3-B.1-C.1D.37.2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，那么p 是q 的〔 〕条件. A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要8.()()2ln 1xf x xe=++，那么使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是〔 〕A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭9. (21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，实数a 的取值范围是( ) A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕10扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 那么该扇形的周长是______cm 11.假设0a >，0b >，21a b +=，那么11a a b++的最小值为______. 12.函数2()42xx f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．13.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，那么tan θ=______ 14.函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，那么实数m 的值是_____三、解答题〔64分〕 16.化简求值：〔12分〕〔1〕(6分)01363470.001168- ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭〔2〕〔6分〕3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.17．〔12分〕函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.〔1〕〔5分〕假设4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；〔2〕〔7分〕假设存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，务实数m 的取值范围. 18．易错易混辨析题〔20分〕〔1〕〔4分〕假设()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，那么a 的取值范围为〔2〕〔4分〕假设函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，那么a 的取值范围为(3〔4分〕)54(log )(221++-=x x x f 在区间(3m-2,m+2)内单调递增,那么实数m 的取值范围为〔4〕〔4分〕函数()()a x x x f --=2lg 2,假设()x f 的定义域为R ，求a 的取值范围〔只写出关系式不需要计算〕〔5〕〔4分〕函数()()a x x x f --=2lg 2假设()x f 的值域为R ，求a 的取值范围;〔只写出关系式不需要计算〕通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?〔至少写出两点〕第二卷 进步题〔一共20分〕19．〔20分〕函数()121xaf x =++为奇函数． 〔1〕〔8分〕求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；〔2〕〔12分〕假设关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，务实数k 的取值范围．静海一中2021-2021第一学期高一数学(12月)学生学业才能调研试卷答题纸试卷书写标准工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
天津市静海区第一中学高三月学生学业能力调研考试数学试题含答案
静海一中2019-2020第二学期高三数学（5周）学生学业能力调研考试试卷考生注意：本次考试收到试卷1:45 考试时间为2:00—3:30 交卷时间截止到3:40请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（20分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共130分）一、选择题: （每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项）1．已知集合{|21}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1]2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12cf =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=5．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π7．若函数()()()34020a ax ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩xa x f x x x ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]2,4 C ．(]3,4 D ．()3,5二、填空题（每小题6分共42分） 8．若复数()111iz m i i+=+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为______ 9．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)10．过点(4,0)-作直线l ，与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点, 若8AB =，则直线l 的方程为______________.11．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______.12．三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =____________ 13．已知四边形ABCD 中，3BC =，4AC =，M 为AB 中点且MD AB ⊥，则AB CD ⋅=u u u r u u u r______14．已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.三、解答题（46分）15．（13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.16．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点。
【解析】天津市静海区第一中学2019-2020学年高一12月学业能力调研数学试题
静海一中2019-2020第一学期高一数学（12月）学生学业能力调研试卷一、选择题:（每小题4分，共36分）1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A. [2,3] B. (1,5) C. {2,3} D. {2,3,4}【答案】C 【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B I . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.2.命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A. 20,11x x ∀≥-<- B. 20,11x x ∀<-<- C. 20,1x x ∃≥-<-1 D. 20,11x x ∃<-<-【答案】C 【分析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论， 所以所给命题的否定为20,1x x ∃≥-<-1. 故选：C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c a b >>【答案】C 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.201.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ） A. 1(,4)2B. (1,3)C. 1(,3)2D. (1,4)【答案】B 【分析】根据log 10a =列式，求得函数图像所过定点.【详解】当1x =时，211x -=，则log 13033a y =+=+=，∴函数log (21)3a y x =-+的图像必过点(1,3). 故选：B .【点睛】本小题主要考查对数中log 10a =，属于基础题.5.在下列各个区间中，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是 ( )A. (1,0)-B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3【答案】C因为连续函数()3239f x x x =--，所以()170f -=-<，()090f =-<，()1100f =-<，()210f =>,所以，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是()1,2,故选C.6.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22x f x x b =++（其中b 为实数），则(1)f 的值为( ) A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】C 【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出1b =-，计算出(1)1f -=-，即可得出结果.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，1()()22xf x x b =++， 则(0)10f b =+=，解得1b =-，则1()()212=+-xf x x ，所以(1)1f -=-，因此(1)1f =. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型. 7.已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要 【答案】A 【分析】解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得.【详解】因为2log (1)1x -<012x ⇔<-<13x ⇔<<;2230x x --<13x ⇔-<<,又{|13}x x <<{|13}x x -<<,所以命题p 是q 的充分非必要条件, 故选A .【点睛】本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式解法,属于基础题. 8.设函数()()2ln 1xf x xe=++，则使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A 【分析】函数定义域为R ，先分析函数的奇偶性再分析函数的单调性，根据奇偶性和单调性将()()21f x f x -<转变为21x -与x 之间的关系，从而求解出x 的取值范围.【详解】因为函数定义域为R 且()()()()()22ln 1ln 1xxf x x ex e f x --=+-+=++=，所以()f x 是偶函数，又因为0x ≥时，()()2ln 1xf x xe=++是增函数，所以()f x 在(),0-∞上是减函数，因为()()21f x f x -<，所以21x x -<，所以()()3110x x --<，所以1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，难度一般.已知函数值之间的不等关系可通过单调性将其转变为自变量之间的关系，再通过奇偶性将取值范围的求解扩充到整个定义域.9.已知函数()()21,11log ,013a a x x f x x x ⎧->⎪=⎨-<≤⎪⎩，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]3B. 11[,)32C. 1(0,)2D. 1(,]3-∞【答案】A 【分析】先根据条件的函数单调性,再根据函数单调性列不等式,解得结果.【详解】因为当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 为定义域内单调性减函数,因此2101{0103121log 13a a a a a -<<<∴<≤-≤-，选A.【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.二、填空题：（每小题4分，共20分）10.已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 【答案】6 【分析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得. 【详解】设扇形的半径为r ,弧长为l ,依题意可得,4122lrl r ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,解得41l r =⎧⎨=⎩, 所以扇形的周长为2246r l +=+=cm . 故答案为:6【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题. 11.若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b++最小值为______.【答案】7 【分析】根据已知条件把1用2+a b 替换,再由基本不等式,即可求解. 【详解】11a a b ++=22()32723a a b b a a b a b a b +++=++≥⨯=+ 当且仅当13a b ==时,等号成立.【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题. 12.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ． 【答案】-4 【分析】换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值.【详解】2()(2)42x xf x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈, 则224(2)4y t t t =-=--,y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当t =2时函数取得最小值-4． 故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题. 13.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______． 【答案】34- 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-， 故答案为：34-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____． 【答案】2-【分析】根据函数()f x 为幂函数列式，求得m 的可能取值，再根据函数()f x 为奇函数，确定m 的值.【详解】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，解得2m =-或3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意； 当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意， ∴2m =-． 故答案为：2-.【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数且为奇函数，求参数的值，属于基础题.三、解答题（64分）15.化简求值：（1）01363470.001168- ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭（2）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.【答案】（1）86π+；（2）12-. 【分析】（1）根据指数的运算律可计算出结果；（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果. 【详解】（1）原式()()6611133432340.112233101872386πππ-⎛⎫⎛⎫=-++⨯+-=-+++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）原式()3log 2212231lg5lg 23log 3log 22-=++-⨯()()31log 212311lg5lg 232log 3log 2lg10221222--=++-⨯⨯=+-=+-=-.【点睛】本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.16.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B I ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档． 17.（1）若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，求a 的取值范围.（2）若函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，求a 的取值范围. （3）()()212log 45f x x x =-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增,求实数m 的取值范围.（4）已知函数()()2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点） 【答案】（1）(]0,1（2）[-4,4] （3）[43,2）（4）1a ≤- 注意问题见解+析 【分析】（1）根据二次函数的图像,区间[]1,2在对称轴右侧即可,再由反比例函数单调性由比例系数正负确定,即可求出a 的取值范围;（2）令23u x ax a =-+,根据复合函数的单调性关系,只需23u x ax a =-+在()2,+∞单调递增，且恒大于0，即可求出a 的取值范围;（3）先确定()()212log 45f x x x =-++单调递增区间，(3m -2,m +2)是单调递增区间的子集，即可求出a 的取值范围;（4）函数()()2lg 2f x x x a =--的定义域为R ，即220x x a -->在R 恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()22f x x ax =-+对称轴为直线x a =,()f x 在区间[]1,2是减函数,1a ∴≤,()1ag x x =+,在区间[]1,2是减函数, 0a ∴>, ∴a 的取值范围为(0,1];（2）2123,log u x ax a y u =-+=Q 在(0,)+∞是减函数23u x ax a ∴=-+在()2,+∞单调递增，且恒大于02240a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得44a -≤≤,∴a 的取值范围为[4,4]-;（3）函数()()212log 45f x x x =-++定义域需满足,2450x x -++>,即2450x x --<解得15x -<<,()()212log 45f x x x =-++定义域是(1,5)-245y x x =-++对称轴为直线2x =()f x ∴单调递增区间是(2,5),()()212log 45f x x x ∴=-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增须,32232225m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩解得423m ≤<, ∴a 的取值范围为4[,2)3;（4）已知函数()()2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R ,220x x a --≥在R 上恒成立, 440,1a a ∴∆=+≤≤- ∴a 的取值范围为(,1]-∞-.解此类题目注意:（1）研究函数性质必须要使函数有意义,即定义域优先原则， 凡是自变量的范围都得是定义域的子集;（2）一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数单 调性要熟练掌握;（3）如何求对数函数的定义域; （4）复合函数的单调性求法.【点睛】本题考查函数的定义域以及函数的单调性,要注意在研究函数的单调性时,必须确保函数有意义,即单调区间是定义域的子集,属于中档题.18.已知函数()121xa f x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2a =-，证明见解+析（2）13k >-【分析】(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.此时,221()12121x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．任取12,x x ∈R ,且12x x <,则1222x x <,因为122112211222()()(1)(1)212122 21212(22) 0,(21)(21)x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++ 所以12()()f x f x <,所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空,所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空,又()f x 在R 上单调递增,所以2222t t k t -<-的解集非空,即2320t t k --<在R 上有解,所以>0∆得13k >-. 【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式,若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a <⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a >⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.。
解析2022届天津市静海区第一中学高三上学期12月学生学业能力调研数学试卷及答案
2022届天津市静海区第一中学高三上学期12月学生学业能力调研数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，B x y⎧==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}1,1-B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：B 先求{}0B x x =>，再求交集即可得解. ∵集合{}1,0,1,2A =-，{}0B x y x x⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭， 则{}1,2A B =．故选：B ．2．“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B利用充分条件和必要条件的定义判断即可充分性证明：取33(2)(2)22a b a b ->-⇒->-，明显地有，a b >，由于对数的真数大于0，所以无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：由，lg lg a b >得0a b >>，所以22a b ->-，所以()()3322a b ->-所以，必要性成立；故选：B.3．函数2tan 1x y x =+在(),ππ-的图象大致为（ ）A．B．C．D ． 答案：D通过正切函数定义域可排除A ，B ，通过函数的奇偶性可排除C. 由于正切函数有意义，故需2x π≠±，即可排除A ，B ； 由于2tan 1x y x =+为奇函数，其图象应关于原点对称，即可排除C ， 故选：D.4．已知3log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B利用指数和对数函数单调性，借助临界值1可知c 最大；结合3log y x =与ln y x =图象可确定b a >，由此得到结论. 33log 2log 31<=，ln 2ln 1e ，0.200.50.51->=，c a ∴>，c b >；3log y x =与ln y x =图象如下图所示：由图象可知：b a >，则c b a >>.故选：B.5．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm ，外层底面直径为16cm ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm 的球面上.此模型的体积为（ ）A ．3304πcmB ．3840πcmC ．3912πcmD ．3984πcm答案：C 求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上， 可知内层圆柱的高221201221622h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上，可知外层圆柱的高222201621222h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 此模型的体积为()22161212911262π122V ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C6．已知1,42()11,22x x x f x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩，且关于x 的方程2()f x kx =恰有四个不相等的实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．()14,1,49⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞答案：A先分析0k =时，不满足题意；再分析0k ≠时，0x =为方程2()f x kx =的一个解，再将方程2()f x kx =进行参数分离，转化为1y k =与()g x 有3个不为0的解，数形结合得解即可. 当0k =时，方程2()f x kx =为()0f x =，此时只有一个解0x =，不满足题意； 所以0k ≠，0x =为方程2()f x kx =的一个解，又,041(),04211,22x x x x f x x x x x -⎧<⎪+⎪⎪=≤<⎨+⎪⎪≥⎪⎩， 所以方程2()f x kx =转化为(4),011(4),0212,2x x x x x x k x x -+<⎧⎪⎪+≤<=⎨⎪⎪≥⎩， 令(4),01(4),0()212,2x x x x x x g x x x -+<⎧⎪⎪+≤<=⎨⎪⎪≥⎩，则1y k =与()g x 有3个不为0的解， 作出()g x 的图像，如图：则1y k =在如图位置时有3个不为0的解，且1(2)4,()12g g -==，119(4)224⨯+=，所以101k <<或9144k ≤<，所以()14,1,49k ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦，故选：A二、填空题7．若4212i z i i --=+，则复数z 的虚部为__. 答案：1-【解析】先根据复数的除法运算和加法运算得z i =-，再求z 的虚部即可得答案. 解：根据题意得：()()()()421242*********i i i i z i i i i i i i ----=+=+=+=-++- 所以复数z 的虚部为：1-.故答案为：1-本题考查复数的运算，复数的概念，是基础题.8．过两直线23120x y --=和10x y +-=的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______． 答案：230x y +=或10x y +-=先联立两直线求得交点坐标为()3,2-，分直线l 过原点、不过原点分别设点斜式和截距式待定系数求解即可联立23120, 10,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得3,2,x y =⎧⎨=-⎩ ∴两条直线23120x y --=和10x y +-=的交点坐标为()3,2-．当直线l 过原点时，设直线方程为y kx =，代入()3,2-可得23y x =-，即230x y +=； 当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=，代入()3,2-可得1a = ∴直线方程为10x y +-=．∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为230x y +=或10x y +-=．故答案为：230x y +=或10x y +-=9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 上一点，设四棱锥11D A ABB -的体积1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为2V ，则12:V V ＝_____．答案：2：3设点D 到底面111,ABC A B C 的距离分别为12,h h ，三棱柱111ABC A B C -的高为H ，则12h h H +=，利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．解：设点D 到底面111,ABC A B C 的距离分别为12,h h ，三棱柱111ABC A B C -的高为H ，则12h h H +=，()1112122122213D ABC D A B C ABC V S h h V V V V V V V ---+--==△ 22222112333ABC V S H V V V V -⋅-===△. 即：12:2:3V V =.故答案为：2：3．本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生空间想象能力和计算能力．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________． 3由题意分析12PF F △为直角三角形，得到关于a 、c 的齐次式，即可求出离心率. 设2PF m =，则1222PF PF m ==. 由椭圆的定义可知：1232PF PF m a +==，所以23a m =. 所以1242,33a a PF PF ==因为2PF x ⊥轴，所以12PF F △为直角三角形， 由勾股定理得：2221212PF PF F F =+， 即()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即213c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以离心率c e a ==11．已知点(5,3,6)P ，直线l 过点(2,3,1)A ，且一个方向向量为(1,0,1)l =-，则点P 到直线l 的距离为___________.答案：由题设可得(3,0,5)AP =，利用空间向量夹角的坐标表示求,AP l 夹角余弦值，进而得其正弦值，即可求P 到直线l 的距离.由题设，(3,0,5)AP =，∴|cos ,|||||||2AP l AP l AP l ⋅<>===4sin ,17AP l <>=∴P 到直线l 的距离为||sin ,34AP AP l ⋅<>==.故答案为：12．设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是___________. 答案：8先利用基本不等式得到2()4a b a b -≤，因此44214(1)()a a b a b a ++≥-，进而由均值不等式可求得最小值. 因为0a b >>，则0a b ->.所以22()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当b a b =-，即2a b =时等号成立. 所以4422214(1)148()a a a b a b a a ++⎛⎫≥=+≥ ⎪-⎝⎭，当且仅当11,2a b ==时等号成立. 故当11,2a b ==时，41()a b a b +-有最小值8. 故答案为：8.方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．在平行四边形ABCD 中，2,60AB ABC ︒=∠=，AC BD ，相交于点O ，E 为线段AC 上的动点，若72AB BO ⋅=-，则BE DE ⋅的最小值为___________ 答案：194- 先利用已知条件求得3BA BC ⋅=，3BC =，再设(),01AE t AC t =≤≤，根据线性关系利用向量,BA BC 表示向量,BE DE ，利用数量积展开化简得到2773BE DE t t ⋅=--，01t ≤≤，结合二次函数最值的求法即得结果.依题意，由72AB BO ⋅=-，知72BA BO ⋅=，即()1722BA BA BC ⋅+=， 所以27BA BA BC +⋅=，得3BA BC ⋅=，则cos603BA BC ⋅︒=，即3BC =.设(),01AE t AC t =≤≤，则()BE BA t BC BA -=-，得()1BE t BA tBC =-+，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC =-=-+-+=-+-，()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由01t ≤≤知，当12t =时，二次函数取得最小值，即BE DE ⋅取 最小值为194-. 故答案为：194-. 关键点点睛：本题的解题关键在于用基底,BA BC 表示向量,BE DE 进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最值问题，突破难点.三、解答题 14．向量(2sin 3m x =，()cos ,cos2x x n =，已知函数()f x m n =⋅，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中7a =，若锐角A 满足326A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且sin sin B C +=b c +的值． 答案：（1）最小正周期为π；单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）13b c +=． （1）由向量数量积、二倍角和辅助角公式化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2T ωπ=可得最小正周期；令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式求得单调递减区间； （2）根据2sin 26A f A π⎛⎫-== ⎪⎝⎭A ，利用正弦定理可表示出b c +=)sin sin B C +，代入即可求得结果.（1）()2sin cos 2sin 222sin 23f x m n x x x x x x π⎛⎫=⋅=+==+ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期T π=； 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由2sin 26A f A π⎛⎫-== ⎪⎝⎭sin A =，又A 为锐角，3A π∴=；sin sin sin a b c A B C ∴===)sin sin 13b c B C ∴+=+==. 方法点睛：求解正弦型函数()sin y A ωx φ=+的对称轴、对称中心和单调区间时，通常采用整体对应的方式，即令x ωϕ+整体对应sin y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果. 15．已知圆C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)设直线l 经过点()0,3，且l 与圆C 相切，求直线l 的方程．(3)P 为圆上任意一点，在（1）的条件下，求()22(1)2x y +++的最小值.答案：(1)22(5)(6)25x y -+-=(2)0x =或815450x y +-=(3)25（1）根据圆心在直线10x y -+=上,设出圆心坐标，半径，然后把点A , B 的坐标代入圆的方程,求解方程组即可求解；(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时,利用圆心到直线的距离等于半径可求k 的值，所以圆的切线方程可求.（3）根据圆的几何性质可以转化为求出圆心与点(1,2)--，减去半径即可平方后得最小值. (1)因为圆心C 在直线10x y -+=上，所以设圆C 的圆心C (a ,a +1 ) ,半径为r (r >0)， 所以圆的方程为222()(1)x a y a r -+--=， 因为圆C 经过点()1,3A 和()5,1B ，所以222222(1)(31)(5)(11)a a r a a r ⎧-+--=⎨-+--=⎩，即2222265,21025a a r a a r ⎧-+=⎨-+=⎩解得5.5a r =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为22(5)(6)25x y -+-=; (2)由题意设直线l 的方程为3y kx =+或0x =， 当l 的方程为0x =时，验证可知l 与圆C 相切； 当l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=时,圆心C 到直线l 的距离为5d ==，解得815k =-， 所以l 的方程为8315y x =-+，即815450x y +-=. 所以直线l 的方程为0x =或815450x y +-=. (3)由（1）知圆心为(5,6)C ,半径为5，则圆心与点(1,2)--的距离为10d ==，因为()22(1)2x y +++可以看作圆上任意一点(,)P x y 与点(1,2)--的距离的平方， 所以()22(1)2x y +++的最小值为2(105)25-=.16．已知如图，四边形PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，PD =(1)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在一点Q （除去端点），使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π？若存在，求出PQ PC的值；若不存在，请说明理由． 答案：(1)证明见解析； (2)36(3)存在，23PQ PC =. （1）连接MN ，根据直线与平面平行的判定定理进行证明； （2）使用空间向量求解线面角的正弦值；（3）使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点Q 的坐标即可求解． (1)证明：如图，连接MN ，四边形PDCE 为矩形，PC 与DE 交于点N ，N ∴为PC 的中点，又因为M 为PA 的中点，//MN AC ∴，而MN ⊂平面MDE ，AC ⊂/平面MDE ， //AC ∴平面MDE ；(2)如下图，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)，(0P ，02)， 所以(1PA =，0，2)，(1PB =，1，2)，(0PC =，2，2)， 假设平面PBC 的一个法向量为(m x =，y ，)z ，则20220m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1m =，12)， 设直线PA 与平面PBC 所成角的平面角为θ， 则||3sin ||||43m PA m PA θ⋅==⋅⋅∴直线PA 与平面PBC 3(3)假设存在点(Q x ，y ，)z ，满足题意， 设此时PQPCλ=，则(01)PQ PC λλ=<<， 即(x ，y ，2)(0z λ=，2，2)-，解得(0Q ，2λ22)λ， 则(0DQ =，2λ22)λ，(1DA =，0，0)， 假设平面DAQ 的一个法向量为(n a =，b ，)c ，则2(22)00n DQ b c n DA a λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0n =，12λ， 又平面PBC 的一个法向量为(1m =，12)， 平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π，∴根据题意，则有1coscos ,321m n m n m nπ+⋅===⋅⨯解得23λ=， ∴在线段PC 上存在一点Q （除去端点），使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π，23PQ PC =． 17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为14-.（1）求椭圆C 的离心率； （2）若直线1(1)2y x =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AOB O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程.答案：（1（2）2214x y +=.(1)由条件可得1()4b b a a ⋅-=-，再根据222a bc =+, 求出,a b 可得答案；(2)联立直线与椭圆方程可得221212143280,1,2b b x x x x -∆=->+=-=，可得AB 弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解.（1）椭圆上顶点的坐标为(0, b )，左右项点的坐标分别为( -a ,0)， (a , 0),所以1()4b b a a ⋅-=-，即224a b =.则2a b =，又222a b c =+， c ∴=，c e a ∴==(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222141(1)2x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2222140x x b ++-=， 22121214Δ3240,1,2b b xx x x -∴=->+=-=AB ∴==又原点到直线的距离d =1||2AB d ∴⋅⋅=，21b =，满足0∆>，24a ∴=，故椭圆的方程为2214x y +=.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列，26a =，4522a a +=，1134a b =，且22b 是13b 与3b 的等差中项. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式.(2)求221(1)ni i i a =-∑(3)若1n n n a c b =-，证明：12154n c c c ++⋅⋅⋅+<. (4)数列求和问题的关键是根据通项公式特点找到适合的求和方法，并进行合理变形，观察下列数列通项公式特点，填表：答案：(1)22n a n =+, 3nn b =;(2)2812n n +； (3)证明见解析； (4)答案见解析.（1）根据题意列出方程求出等差数列的公差与首项，等比数列的公比即可求解通项公式； （2）根据平方差公式化简，提取公因式d ，根据等差数列求和公式求解即可； （3）先对数列进行放缩11221233n n n n n c --++<=⨯，再由错位相减法求和即可得证；（4）根据所给通项，选择裂项相消法，错位相减法，分组法求和即可. (1)设{}n a 的公差为d ，则1162722a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得142a d =⎧⎨=⎩，故1(1)22n a a n d n =+-=+，1134a b =，∴13b =，设等比数列{}n b 的公比为q ， 则21343b b b =+，即2430q q -+=， 解得3q =或1q =(舍去),故113n nn b b q -==(2)22211243342212121(1)()()()()()()niin n n n i aa a a a a a a a a a a a --=-=-++-+++-+∑12212()n n d a a a a -=++++22(21)22428122n n n n n -⎛⎫=⨯⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭(3) 由(1)知12213n n n n a n c b +=--=， 当1n =时，11524c =<， 当2n ≥时, 13123n n -->⨯, 所以11221233n n n n n c --++<=⨯，所以12011231333n n n c c c -++++<+++. 令011231333n n n T -+=+++. 则21231,3333n n T n +=+++ 两式相减得12121111233333n n nn T -+=++++-111525533213223213n n n n n -++=+-=-<⨯- 故154n T <， 即12154n c c c ++⋅⋅⋅+<. (4)19．已知函数2()ln ((0,1))f x x x a a =+∈，(0,1)x ∈． (1)当e a =时，求()()x g x e f x =在()0,(0)g 处的切线方程. (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若()e ln x f x a x >对(0,1)x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1)y x = (2)答案见解析. (3)1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导得'()2ln f x x a =+，再分ln 12a -≥和ln 12a-<两种情况讨论求解即可； （3）根据题意将问题转化为ln e ln e x x a xa x >对(0,1)x ∀∈恒成立，再结合()()ln 0e x h x x x =<<的单调性进一步转化为ex xa >对(0,1)x ∀∈恒成立，最后求解函数()(),0,1e x x H x x =∈的最值即可得答案.(1)解：当e a =时，()2(e )n e l x x x x g +=，所以()()2ln '(e 2)e e ln e x xg x x x x =+++，(0)0g =，所以'(0)1ln e g ==，即切线斜率为1k = 所以()g x 在()0,(0)g 处的切线方程为y x =. (2)解：因为2()ln ((0,1))f x x x a a =+∈，(0,1)x ∈， 所以'()2ln f x x a =+，令'()2ln 0f x x a =+=得ln 2ax =-， 所以当ln 12ax =-≥，即20e a -<≤时，'()0f x <在区间(0,1)x ∈恒成立，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当ln 12a x =-<，即2e 1a -<<时，ln 0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，'()0f x <，ln ,12a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时'()0f x >， 所以函数()f x 在ln 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 综上，当20e a -<≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递减；当2e 1a -<<时，函数()f x 在ln 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. (3)解：因为()e ln x f x a x >对(0,1)x ∀∈恒成立， 所以2ln e ln x x x a a x +>对(0,1)x ∀∈恒成立，所以ln e ln x x a a x x >+对(0,1)x ∀∈恒成立，即ln e ln e x x a xa x >对(0,1)x ∀∈恒成立，设()()ln 0e xh x x x=<<，则()21ln '0x h x x -=>在()0,e 上恒成立， 所以函数()h x 在()0,e 上单调递增， 所以e x a x >对(0,1)x ∀∈恒成立，即ex xa >对(0,1)x ∀∈恒成立， 设()(),0,1e x x H x x =∈，则()(),0,1e xxH x x =∈， 所以()1'0e x x H x -=>在()0,1上恒成立，故函数()ex xH x =在()0,1上单调递增， 所以()()11eH x H <=，所以1e a ≥，因为(0,1)∈a ，所以11e a <≤，即实数a 的取值范围为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
天津市静海区第一中学2019-2020学年高一12月学生学业能力调研数学试卷
数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（100分）和第Ⅱ卷提高题（ 20分）两部分，共120分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷 基础题（共100分）一、选择题: （每小题4分，共36分）1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则=B A A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}2.．命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A.20,11x x ∀≥-<- B.20,11x x ∀<-<- C.20,1x x ∃≥-<-1 D.20,11x x ∃<-<- 3.已知2.01.1=a ，1.1log 2.0=b ，1.12.0=c ，则 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4.函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ） A.1(,4)2B.(1,3)C.1(,3)2D.(1,4)5.在下列个区间中，存在着函数932)(3--=x x x f 的零点的区间是（ ） A ．)0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2(6.()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22xf x x b =++（b 为实数），则(1)f 的值为( ) A.3-B.1-C.1D.37.已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要8.()()2ln 1xf x xe=++，则使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U9. (21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，实数a 的取值范围是( ) A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：（每小题4分，共20分）10已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 11.若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b++的最小值为______. 12.函数2()42xx f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．13.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______ 14.函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____三、解答题（64分） 16.化简求值：（12分） （1）(6分)1363470.001168- ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）（6分）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.17．（12分）函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）（5分）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）（7分）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 18．易错易混辨析题（20分）（1）（4分）若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，则a 的取值范围为（2）（4分）若函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则a 的取值范围为(3（4分）)54(log )(221++-=x x x f 在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m 的取值范围为 （4）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2,若()x f 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）（5）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2若()x f 的值域为R ，求a 的取值范围;（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）第Ⅱ卷 提高题（共20分）19．（20分）已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）（8分）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）（12分）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．数学1． C ．2.C. 3.C 4. B. 5.C 6. C 7.A 8.A 9. C 10.6 11.7 12.-4 13.-3/4 14.-2 16.（1）86π+；（2）12-. 17．(1)(2,4] (2)方法一：对称轴分三种情况讨论方法二：参变分离18．（1）(]0,1 （2）[-4,4] (3)[34，2] （4）a<-1 （5）a>=-1第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19．（1）2a =-（2）13k >-。
天津市静海县第一中学2020学年高二数学12月学生学业能力调研试题(无答案)
静海一中2020第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（ 15分）两部分，共120分，考试时间为120分钟。
2. 试卷书写要求规范工整，卷面整洁清楚，否则酌情减3-5分，并计入总分。
第Ⅰ卷 基础题（共105分）一、选择题: （每小题3分，共18分） 1. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为 25，则C 的渐近线方程为 （ ） A.x y 41±= B.x y 31±= C. x y ±= D. x y 21±= 2. 已知等差数列{}n a 中，299,161197==+S a a ，则 12a 的值是 （ ） A. 15 B. 30 C. 31 D.643. 已知23)(23++=x ax x f ，若4)1('=-f ，则a 的值是 （ ）A 319 B. 316 C. 313 D. 310 4. 已知三棱柱111C B A ABC - 的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为 3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面111C B A 所成角的大小为 （ ）A. 125πB. 3πC. 4πD. 6π 5 设),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 是右焦点为F 的椭圆 192522=+y x 上三个不同的点，则＂CF BF AF ,,成等差数列＂是＂821=+x x ＂的 ( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既非充分也非必要条件6. 如图，21,F F 是椭圆 14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 ( )A. 2B. 3C. 23D.26 二、填空题：（每小题3分，共24分）7. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同．则双曲线的方程为 ．8. 已知抛物线x y C 4:2=与点)1,1(-M ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于B A ,两点，若0=•MB MA ，则k = ．9. 在数列{}n a 中，2)1(,121=-+=+n n n a a a ，记 n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ．10. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则=++2021ln ln ln a a a Λ ．11. 点),(00y x A 在双曲线132422=-y x 的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．12. 已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ FP 4=，则QF =13. 若正项等比数列{}n a ，已知,41=a 且622516a a a =，则 =++++na n a a a Λ321321 ． 14. 已知1a >， 1b >，则 2211b a a b +--的最小值为 ．三、解答题（本大题共6题，共78分）15. （10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 21+-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12log +=n n a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T T T 11121+++Λ 16.(15分) 如图，在三棱锥ABC P -中，ABC PA 底面⊥，ο90=∠BAC ．点 N E D ,, 分别为棱BC PC PA ,,的中点，M 是线段AD 的中点，2,4===AB AC PA ．（1）求证：BDE MN 平面//；（2）求二面角N EM C --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为2173，求线段AH 的长．17.（10分） 已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=．（1）当2=a 时，求曲线)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）设函数x a x f x h ++=1)()(，求函数)(x h 的单调区间．18. （13分）已知首项为21的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且332211,,a S a S a S +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式16122≥++n T n 的最大n 值 19.(15分)如图，三棱柱DEF ABC -的侧面BEFC 是边长为 1 的正方形，侧面G DEB AB ADEB BEFC ,60,4,ο=∠=⊥侧面是DE 的中点．（1）求证：AGF CE 平面//；（2）求证：BEFC GB 平面⊥；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角B GE P -- 的大小为ο45?若存在，求 BP 的长；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷 提高题（共15分）20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为 55．（1）求直线BF 的斜率； （2）设直线 BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ），过点B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点 M ，MQ PM λ=． ① 求λ的值； ② 若 957sin =∠BQP PM ，求椭圆的方程．静海一中2020第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共105分）二、填空题（每题3分，共24分）7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.三、解答题（本大题共6题，共78分）15. （10分）16.（15分）17．（10分）18.（13分）19.(15分）第Ⅱ卷提高题（共15分）20. （15分）。
天津市静海区第一中学2020学年高一数学12月学生学业能力调研试题
天津市静海区第一中学2020学年高一数学12月学生学业能力调研试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（100分）和第Ⅱ卷提高题（ 20分）两部分，共120分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷 基础题（共100分）一、选择题: （每小题4分，共36分）1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则=B A IA ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}2.．命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A.20,11x x ∀≥-<- B.20,11x x ∀<-<- C.20,1x x ∃≥-<-1 D.20,11x x ∃<-<- 3.已知2.01.1=a ，1.1log 2.0=b ，1.12.0=c ，则 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4.函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ） A.1(,4)2B.(1,3)C.1(,3)2D.(1,4)5.在下列个区间中，存在着函数932)(3--=x x x f 的零点的区间是（ ） A ．)0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2(6.()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22xf x x b =++（b 为实数），则(1)f的值为( ) A.3-B.1-C.1D.37.已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件. A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要8.()()2ln 1xf x xe=++，则使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U9. (21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，实数a 的取值范围是( ) A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：（每小题4分，共20分）10已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 11.若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b++的最小值为______. 12.函数2()42xx f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．13.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______ 14.函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____三、解答题（64分） 16.化简求值：（12分） （1）(6分)1363470.001168- ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）（6分）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.17．（12分）函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）（5分）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B I ；（2）（7分）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 18．易错易混辨析题（20分）（1）（4分）若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，则a 的取值范围为（2）（4分）若函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则a 的取值范围为(3（4分）)54(log )(221++-=x x x f 在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m 的取值范围为（4）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2,若()x f 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）（5）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2若()x f 的值域为R ，求a 的取值范围;（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）第Ⅱ卷 提高题（共20分）19．（20分）已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）（8分）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）（12分）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．静海一中2020第一学期高一数学(12月)学生学业能力调研试卷答题纸试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案
静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。
天津市静海县第一中学2022届高三12月学生学业能力调研考试数学(理)试题 Word版含答案
静海一中2021-2022第一学期高三数学(理)12月 同学学业力量调研卷1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面洁净清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
学问技能学习力量习惯养成总分内容集合、规律 解析、立体函数导数 规律总结卷面洁净150分值25 25 47 33 20 3-5分第I 卷 基础题（共136分）一、选择题（每题5分，共40分）1.已知集合U R =，集合{|}A x y x ==-， 2{|1}B y y x ==-，那么集合()U C A B ⋂=（ ）A.(],0-∞ B. ()0,1 C. (]0,1 D. [)0,12.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤--004202x y x y x ，则22y x +的最小值为（ ）A. 4B. 516C.968D. 03.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A. 6 B.22log 31+ C. 22log 33+ D. 2log 31+4.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若()226c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A. 3 B. 932 C. 332D. 335.已知0,0a b >>，则()()2211b a ab+++的最小值为（ ）A. 4B. 7.5C. 8D. 16 6．下列选项中，说法正确的是( )A. 命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->” B. 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件 C. 命题“若22am bm ≤,则a b ≤”是假命题D. 命题“在ABC ∆中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题7.已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，设1213a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()ln b f π=， 12c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c a b <<B. a b c <<C. b c a <<D. b a c <<8.已知函数()()2,212,12x x x f x ln x x ⎧+-≤≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若()()()2g x f x a x =-+的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. 10,1e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ln21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ln21,33e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：（每题5分，共30分）9. 已知b 为实数， i 为虚数单位，若21bii +-为实数，则b =__________． 10.一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.11.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围为_____．12. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为___________．13.点()()2,0,0,2A B -，实数k 是常数， ,M N 是圆220x y kx ++=上两个不同点， P 是圆220x y kx ++=上的动点，若,M N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是___________．14.已知正三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD = λAB ，AE = λAC ．若点F 为线段BE 的中点，点O 为△ADE 的重心，则OF •CF = ．三、解答题：(共80分) 15.(13分)设函数()sin 3cos 1f x x x =++.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；（2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.16.(13分)各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足()()22210nn S n n S n n -+--+=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若221441n n n b a a +=++{}n b 的前n 项和为n T ，整数2017M T ≤，求M 的最大值. 17.(13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证： EF AB //.（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值.②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由.515S =，数列{}nb 18.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 22a =， 满足： 112b =， 112n nn b b n ++=， ()*n N ∈，数列{}n b 的前n项和为nT（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和； （2）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和；（3）记集合()22|,*2n n S T M n n N n λ⎧⎫-=≥∈⎨⎬+⎩⎭，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围. 19. （14分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为()3,0F -，右顶点为()2,0D ，设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值.第Ⅱ卷 提高题（共14分）20. 已知函数()21ln 2f x x bx x =++.（1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令()()212a g x f x bx x +=--， a R ∈，争辩函数()g x 的单调区间； （3）假如在（1）的条件下， ()221312f x x x x ≤+-+在(]0,1x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.静海一中2021-2022第一学期高三数学(理)12月同学学业力量调研卷答题纸学问与技能学法题卷面洁净总分得分框二、填空题（每题5分，共30分）9.___________ 10. ___________ 11.___________17（13分）12. ___________ 13. ___________ 14.___________三、解答题（本大题共6题，共80分）15.（13分）16（13分）18（13分）第Ⅱ卷提高题（共14分）20（14分）19（14分）参考答案：1．C 2．B 3．D 4．C【解析】由余弦定理可知：()22222222cos ,626c a b ab C c a b a b ab =+-=-+=+-+，2222,262cos33C a b ab a b ab ππ=∴+-+=+-⋅，即16222ab ab =-⋅， 6ab ∴=，1133sin 660222S ab C sin ∴==⨯⨯=，故选C. 5．C【解析】()()2222112211b a b a b a aba b ab a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222222b a b aa b a b ⋅+⋅12ab + 22242248ab ab ab ab =++≥++=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故选C.6．C 7．A【解析】∵函数()()1nf x m x =-为幂函数，∴11m -=, 解得2m =. ∴()nf x x =,由条件得点()2,8在函数()nf x x =的图象上， ∴()228nf ==，解得3n =.∴()3f x x =，∴函数()3f x x =在R 上单调递增。
天津市静海区第一中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题
天津市静海区第一中学2021-2021学年高一上学期12月月考数学试题天津市静海区第一中学2021-2021学年高一上学期12月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，则B中元素个数为A．4 B．5 C．6 D．72. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，3. “”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 方程的解所在的区间是A．B．C．D．5. 已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6. 设函数=ln（+1），则使得＞（-1）的的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（C．（-∞，）∪（1，＋∞）D．（）7. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知的值域为，那么的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题9. 已知函数，则____________．10. 在区间上，与角终边相同的角为__________．11. 已知函数，，则________．12. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则不等式的解集为__________．13. 已知，，且，则的最大值是_______．三、解答题14. 计算：（1)（2）15. 已知集合，（1）求集合；（2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16. 若函数，求方程的全部实根之和．17. 若函数在区间内有零点，求实数的取值范围．18. 已知函数，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围19. 已知关于的不等式．若时，不等式对都成立，求实数的取值范围．20. 已知函数，，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围．21. 若关于的不等式（且）在上恒成立，求实数的取值范围．。
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天津市静海区第一中学【最新】高一12月学业能力调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则AB =（ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4} 2．命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ）A ．20,11x x ∀≥-<-B ．20,11x x ∀<-<-C ．20,1x x ∃≥-<-1D ．20,11x x ∃<-<-3．已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 4．函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ）A ．1(,4)2 B ．(1,3)C ．1(,3)2D ．(1,4) 5．在下列各个区间中，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是 ( )A ．(1,0)-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22x f x x b =++（其中b 为实数），则(1)f 的值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．3 7．已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要8．设函数()()2ln 1x f x xe =++，则使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知函数()()21,11log ,013a a x x f x x x ⎧->⎪=⎨-<≤⎪⎩，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]3B ．11[,)32C ．1(0,)2D ．1(,]3-∞二、填空题10．已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 11．若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b++的最小值为______. 12．函数2()42x x f x +=-(12)x -≤≤的最小值为______．13．角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______． 14．函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____．三、解答题15．化简求值：（1）01363470.001168- ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.16．函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++. （1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围.17．（1）若()22f x x ax =-+与()1a g x x =+，在区间[]1,2是减函数，求a 的取值范围.（2）若函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，求a 的取值范围. （3）()()212log 45f x x x =-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增,求实数m 的取值范围. （4）已知函数()()2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）18．已知函数()121xa f x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B .【详解】 2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2．C【分析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，所以所给命题的否定为20,1x x ∃≥-<-1.故选C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】 0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4．B根据log 10a =列式，求得函数图像所过定点.【详解】当1x =时，211x -=，则log 13033a y =+=+=，∴函数log (21)3a y x =-+的图像必过点(1,3).故选：B.【点睛】本小题主要考查对数中log 10a =，属于基础题.5．C【解析】因为连续函数()3239f x x x =--，所以()170f -=-<，()090f =-<，()1100f =-<，()210f =>,所以，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是()1,2,故选C.6．C【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出1b =-，计算出(1)1f -=-，即可得出结果.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，1()()22x f x x b =++，则(0)10f b =+=，解得1b =-，则1()()212=+-x f x x ， 所以(1)1f -=-，因此(1)1f =.故选C【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.7．A【分析】解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得.因为2log (1)1x -<012x ⇔<-<13x ⇔<<;2230x x --<13x ⇔-<<,又{|13}x x << {|13}x x -<<,所以命题p 是q 的充分非必要条件,故选A .【点睛】本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题.8．A【分析】函数定义域为R ，先分析函数的奇偶性再分析函数的单调性，根据奇偶性和单调性将()()21f x f x -<转变为21x -与x 之间的关系，从而求解出x 的取值范围.【详解】因为函数定义域为R 且()()()()()22ln 1ln 1x xf x x e x e f x --=+-+=++=，所以()f x 是偶函数，又因为0x ≥时，()()2ln 1x f x x e =++是增函数，所以()f x 在(),0-∞上是减函数，因为()()21f x f x -<，所以21x x -<，所以()()3110x x --<，所以1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，难度一般.已知函数值之间的不等关系可通过单调性将其转变为自变量之间的关系，再通过奇偶性将取值范围的求解扩充到整个定义域.9．A【解析】【分析】先根据条件的函数单调性,再根据函数单调性列不等式,解得结果.因为当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 为定义域内单调性减函数, 因此2101{0103121log 13a a a a a -<<<∴<≤-≤-，选A. 【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.10．6【分析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得.【详解】设扇形的半径为r ,弧长为l ,依题意可得,4122l r l r ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,解得41l r =⎧⎨=⎩, 所以扇形的周长为2246r l +=+=cm .故答案为:6【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题.11．7【分析】根据已知条件把1用2+a b 替换,再由基本不等式,即可求解.【详解】11a a b ++=22()32723a a b b a a b a b a b +++=++≥⨯=+ 当且仅当13a b ==时,等号成立. 【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.【分析】换元，令2x t =，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，24y t t =-，再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】()2()242x x f x =-⋅，令2x t =，因为12x -≤≤， 所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则224(2)4y t t t =-=--， y 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当2t =时函数取得最小值.故答案为：4-.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值.属于较易题.13．34- 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=， 3y ∴=-，则3tan 44y θ==-， 故答案为34-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14．2-根据函数()f x 为幂函数列式，求得m 的可能取值，再根据函数()f x 为奇函数，确定m 的值.【详解】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，解得2m =-或3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意；当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意， ∴2m =-．故答案为2-.【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数且为奇函数，求参数的值，属于基础题.15．（1）86π+；（2）12-. 【分析】（1）根据指数的运算律可计算出结果；（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果.【详解】（1）原式()()6611133432340.112233101872386πππ-⎛⎫⎛⎫=-++⨯+-=-+++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）原式()3log 2212231lg5lg 23log 3log 22-=++-⨯()()31log 212311lg5lg 232log 3log 2lg10221222--=++-⨯⨯=+-=+-=-. 【点睛】 本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.16．（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-.【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围． 【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立， 即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min 因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号所以﹣m ≥1，解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（1）(]0,1（2）[-4,4] （3）[43,2）（4）1a ≤- 注意问题见解析 【分析】（1）根据二次函数的图像,区间[]1,2在对称轴右侧即可,再由反比例函数单调性由比例系数正负确定,即可求出a 的取值范围;（2）令23u x ax a =-+,根据复合函数的单调性关系,只需23u x ax a =-+在()2,+∞单调递增，且恒大于0，即可求出a 的取值范围;（3）先确定()()212log 45f x x x =-++单调递增区间，(3m -2,m +2)是单调递增区间的子集，即可求出a 的取值范围;（4）函数()()2lg 2f x x x a =--的定义域为R ，即220x x a -->在R 恒成立，即可求出a的取值范围.【详解】（1）()22f x x ax =-+对称轴为直线x a =, ()f x 在区间[]1,2是减函数,1a ∴≤,()1a g x x =+,在区间[]1,2是减函数, 0a ∴>, ∴a 的取值范围为(0,1];（2）2123,log u x ax a y u =-+=在(0,)+∞是减函数23u x ax a ∴=-+在()2,+∞单调递增，且恒大于02240a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得44a -≤≤, ∴a 的取值范围为[4,4]-;（3）函数()()212log 45f x x x =-++定义域需满足, 2450x x -++>,即2450x x --<解得15x -<<,()()212log 45f x x x =-++定义域是(1,5)-245y x x =-++对称轴为直线2x =()f x ∴单调递增区间是(2,5),()()212log 45f x x x ∴=-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增须,32232225m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩解得423m ≤<, ∴a 的取值范围为4[,2)3; （4）已知函数()()2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R , 220x x a --≥在R 上恒成立,440,1a a ∴∆=+≤≤-∴a 的取值范围为(,1]-∞-.解此类题目注意:（1）研究函数性质必须要使函数有意义,即定义域优先原则，凡是自变量的范围都得是定义域的子集;（2）一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数单调性要熟练掌握;（3）如何求对数函数的定义域;（4）复合函数的单调性求法.【点睛】本题考查函数的定义域以及函数的单调性,要注意在研究函数的单调性时,必须确保函数有意义,即单调区间是定义域的子集,属于中档题.18．（1）2a =-，证明见解析（2）13k >-【分析】(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.此时,221()12121x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．任取12,x x ∈R,且12x x <,则1222x x <,因为122112211222()()(1)(1)212122 21212(22) 0,(21)(21)x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++ 所以12()()f x f x <,所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空, 所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空,又()f x 在R 上单调递增,所以2222t t k t -<-的解集非空,即2320t t k--<在R 上有解,所以0∆>得13k >-. 【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式, 若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a <⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a >⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.。