对一道测动摩擦因数实验设计题的误差分析-江苏省新海高级中学

对一道测动摩擦因数实验设计方案的误差分析

江苏省新海高级中学 李庆 222006

测定动摩擦因数是高中物理的一个设计性实验，根据不同的原理可以有许多设计方案。下面针对利用动能定理所设计的一个方案作误差分析。

如图1所示，小滑块从斜面顶点A 由静止沿ABC 滑至水平部分C 点而停止。已知斜面高为h ，滑块运动的整个水平距离为S ，设滑块在转角B 处无动能损失，

斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。 滑块从A 点滑至C 点，只有重力

和摩擦力做功。设滑块质量为m ，动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，斜面底

边长S 1，水平部分长S 2，S = S 1 + S 2。由动能定理得：

0cos cos 21=-⋅-m gS S m g m gh μθ

θμ （1） 化简得：021=--S S h μμ 得：S

h S S h =+=21μ。 （2） 从计算结果可以看出，只要测出斜面高度h 以及整个水平部分长度S ，即可计算出动摩擦因数，而且动摩擦因数与斜面的倾角θ无关。若将起点A 与终点C 连接起来，测出连线AC 与水平方向之间的夹角α，可得：μ= tan α。于是，上面的设计方案就可变为下面的试验操作题：

如图2所示的器材：木制轨道，其倾斜部分倾角较大，水平部分足够长，还有小铁块、两枚图钉、一条细线、一个量角器。设转角处无

动能损失，斜面和水平部分与小铁块的动摩擦因数相

同。用上述器材，测定小铁块与木质轨道间的动摩擦因数。请你设计实验步骤，并推导出最后表达式。

实验步骤是这样的：

（Ⅰ）将小铁块从倾斜轨道上的某点A 由静止释放，让其下滑，最后停止在水平面上的C 点（这一过程可参见图1）

（Ⅱ）用图钉把细线固定在释放点A 与铁块最后静止点C 之间，并使线绷直 （Ⅲ）用量角器测量细线与水平面之间的夹角，记为α。

借助上例思路，得出最后结果为：μ= tan α。

这一设计方案有一个前提条件，就是滑块在转角处无动能损失，最后的结果与斜面的倾角无关。其实，正是由于滑块在转角处的动能损失，才是该实验误差的主要来源。同时，要想滑块能从斜面上滑下来，斜面倾角θ必须大于摩擦角θ0，结果应该与θ有关。所谓摩擦角θ0是这样定义的：设想滑块恰能沿斜面匀速下滑，此时斜面的倾角称为摩擦θ 图

2

图1

角，所以有：tan θ0 =μ。

设滑块下滑到转角B 处时的速度为v ，进入水平轨道后，竖直方向的分

速度变为零，只保留水平方向的分速

度：v x = v cos θ。

A →

B 过程： 02

1cos cos 21-=⋅-mv S mg mgh θθμ （3） B →C 过程：θμ2222cos 21210mv mv mgS x -=-

=- （4） 解上述两式，得：θ

μ221cos /S S h +=。 （5） 显然，（2）式为动摩擦因数的测量值，（5）式为真实值。测量值大于真实值，相对误差为：

θ

θμμμη22122121cos /cos /S S h S S h S S h ++-+=-=真真测2

122tan S S S +=θ （6） 从（6）式粗略地看，要使相对误差取最小，斜面倾角θ应尽量取小，接近摩擦角θ0为最好。但在取不同的θ角时，S 1、S 2都是变化的，所以相对误差何时取最小，还需要进一步讨论。就实验的实际操作来说，最好控制的是让滑块从斜面上的同一个位置无初速地释放，即图1中的AB 距离为一定值，记AB = L ，则有：h = L sin θ，S 1 = L cos θ，分别代入（2）、（5）、（6）式得：

2

cos sin S L L +=θθμ测 （7） θ

θθμ22cos /cos sin S L L +=真 （8） 2

22cos tan S L S +=θθη （9） 将（5）式变为：θθμθ

322cos cos sin L L S -= （10）

y 图3

代入（9）式并整理得：θ

θμθθθμθηcos sin cos cos sin sin 22+-= 1cos sin cos 12-+=θ

θμθ12sin 2cos 12-++=θμθ ()12cos 112

02--++=θθμ（其中：μθ=0tan ，即μθarctan 0=）

显然，当2θ=θ0，即θ=θ0 / 2 时，相对误差最小，当然，还与动摩擦因数μ有关。因此，在实验时尽可能选择动摩擦因数大一些的材料，调节好斜面的倾角，使其比摩擦角θ0 = arctan μ略微大一些，只要滑块能在斜面上滑下即可。则动摩擦因数为：

21

22122/cos /cos sin S L S S h S L L +=+=θθθμ。 此时，测量值于与真实值之间的相对误差才能尽可能小。

此文发表在《中学物理》2007.12期