第六章二次型总结

第六章二次型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第六章 二次型（一般无大题）

基本概念

1. 二次型: n 个变量12,,

,n x x x 的二次齐次函数

212111121213131122222

232322(,,

,)222222n n n

n n nn n

f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x

=+++

++++

++

+

称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则

()2

1211112121313112

21212222323222

11223311121121

22221

2

1

2

(,,

,)2n n n n n

n n n n n n nn n

n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax

=+++

+++++

++

+++++⎡⎤⎛⎫

⎪⎢⎥ ⎪

⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

=

因此，二次型也记AX X f T

=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）

2.合同矩阵的定义及性质

2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与

T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)

合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =；

（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T

A C BC --=；

（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T

A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.

2.2 合同矩阵的性质

性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.

例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若

()()r A r B =,问在F 上是否合同？

证 若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.

反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫

⎪⎝⎭

，

B =110

1⎛

⎫ ⎪

⎝⎭

的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫

⎪⎝⎭，B =1

200B B ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则

A 与

B 合同.

证 由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，

2222T B C A C =，于是令1

200

C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则有T B C AC =，即A 与B 合同.

2．3 合同矩阵的判定

定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件

定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同.

定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.

定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00

A

C ⎛⎫

⎪⎝⎭与00

B

D ⎛⎫ ⎪⎝⎭

相似且合同.

例

5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵

相似，哪些矩阵合同？

分析 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.

解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.

又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.

所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.

3.二次型的标准型, 规范性

标准型: 二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =经过合同变换x Cy =化为

21

r T T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑

称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯

一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)

规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形2222

2121p p r f z z z z z +=+++---,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。 4.化二次型为标准型方法

(1) 配方法（任何二次型都可可由此化为标准型）

①如果二次型中至少含有一个平方项,不妨设110a ≠,则对所有含有1x 的项配方,经配方后所余各项中不再含有1x , 如此继续, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量

12,,,n y y y ,由1y C x -=, 得2221122T n n x Ax d y d y d y =+++

例：p 书131例6.4

②如果二次型中不含平方项,只有混合项,不妨设120a ≠, 则可令112x y y =+, 212x y y =-,33x y =,,n n x y =,然后按①的方法继续做. 例：p 书131例6.5