奥运会奖牌榜预测问题

2016年中国矿业大学数学建模模拟竞赛

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承诺书

我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

参赛学生基本信息

日期：年月日

里约奥运会奖牌榜预测

摘要

本文主要探讨了奥运会奖牌榜的预测问题，通过建立模型对2016年里约奥运会奖牌榜进行预测。本文主要通过建立比较时间序列模型、多远线性模型喝灰色预测模型，使用MATLAB和SPSS软件对历届奥运会奖牌榜进行分析并最终得到最优预测模型。

在模型一的建立中，我们假设奥运会奖牌榜之语往届奥运会奖牌榜有关，使用时间序列法来进行预测，通过对数据拟合建立回归模型。

由于模型一得预测结果与实际奖牌榜出入较大，在模型二的建立中，我们综合考虑了国家GDP、人口数量、经济发展水平、人口结构和东道主效应等因素建立多元回归模型。

关键词：

一、问题的重述

奥运会是竞技体育顶级盛会，其所获奖牌数及国家排名在一定程度上是衡量一个国家体育水平的尺度，也是一个国家的经济、政治和综合实力的具体体现之一。

2016年8月6日早上7:00在巴西的里约热内卢隆重开幕(以下简称里约奥运会)，对于正在举行的里约奥运会，大家普遍关心的问题就是奖牌榜的排名，奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。现请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2016里约奥运会的奖牌榜前十名。并据此对各国体育水平进行分类。

二、问题的分析

三、模型假设

俄罗斯队因为禁赛原因结果取预测值的2/3

世界银行和奥委会提供的资料真实可靠

今年奥运会共颁发302块金牌，960块奖牌

四、符号说明

i国家编号

t奥运会届数

M每个国家的金牌总数

y每个国家奖牌总数

POP国家的人口总数

GDP国民生产总值

Host奥运会主办国

社会制度

ys

S

Gen青少年在总人口总所占比例

五、建立模型及求解

5.1、模型一得建立与求解

5.1.1、模型一的建立：

最简单的增长模型就是马尔萨斯的指数增长模型，设某年的奖牌数为(0)M ,n 年后的奖牌数为()M n ，届增长率为常数k ，则有：

()(0)(1)n M n M k =∙+ （1）

虽然该模型可以较好的预当参赛国家较少时的奥运奖牌榜，但在实际中增长率k 并不是常数且由于各种原因增长率差别较大，所以此模型无法有效的预测本届奥运会奖牌榜。

时间序列模型是描述时间序列统一性的一种常用方法，在预测未来事件时，通过该事件的历史数据揭示事假未来的发展规律，从而对该事件的未来做出预测。时间序列模型强调时间因素在预测中的主体作用，暂不考虑外界因素的影响。所以在模型的建立中我们假设奥运会奖牌榜只与历届奥运会成绩相关，暂不考虑其他因素的影响。

因为每一届奥运会比赛项目都在发生变化，奖牌总数也随之变化，为了使任意两届奥运会奖牌数目具有可比性，本文采取奖牌数目的相对值来进行计算，从而消除奖牌数

目变化带来影响，即使用1,2,3i

i i

i M Ms M ==∑

来计算。

在模型的建立当中，我们使用线性回归模型来预测2016年奥运会奖牌榜。 奥运奖牌总数和时间之间的一元线性回归模型为：

01y t u αα=++

（2）

其中t 为时间，01αα、为待定参数，u 为随机变量，用MATLAB 拟合后得到总奖牌数目拟合曲线。

5.1.2、模型一的求解

以德国为例进行2016年奥运会奖牌榜排名： 表一： 1992-2012年德国奥运会奖牌数

年份 金牌数 金牌占比 奖牌总数 奖牌总数占比

1988

48 19.92% 142 17.91% 1992

33 12.69% 82 10.06% 1996

20 7.94% 65 8.82% 2000

13 4.36% 56 6.07% 2004

14 4.64% 48 5.16% 2008

16 5.30% 41 4.28% 2012

11 3.64% 44 4.57% 由于1988年德国分为联邦德国和民主德国进行参赛，数据不具有参考价值，拟合时不予考虑。

德国历届奥运会奖牌总数拟合结果：

图一：德国历届奖牌总数线性回归拟合曲线

表二：奖牌总数线性回归结果：

回归系数

回归系数值估计

0α

0.394

1α

-0.012

2R =0.877

F =28.649

ρ=0.006

德国奖牌总数线性回归结果为：

0.0120.394y t =-+

使用SPSS 软件预测德国队在今年奥运会中拿到的总奖牌占比为0.0649。使用同样方法对其他国家进行线性拟合结果如表三所示：、 表三：各国奖牌总数占比拟合结果：

国家 拟合方程

美国 0.0030.232y t =-+ 中国 0.1080.407y t =- 俄罗斯 0.0160.550y t =-+ 英国 0.0050.123y =- 澳大利亚 0.0020.032y t =-

法国 (6)0.001310^y t -=+⨯

日本

0.0030.052y t =-