初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版
1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定 课件(共32张PPT)
（1） 猜想 与 之间的关系；
解： .
（2） 请证明你的猜想.
证明： 四边形 是平行四边形， ， . .又 ， 分别平分 ， ， . .同理可证 , , 四边形 为矩形. .
10.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，且 ，连接 ．
（第3题图）
3.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，且 , ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.如图，点 是 的中点，四边形 是平行四边形.若 ，求证：四边形 是矩形．
证明： 四边形 是平行四边形， ，且 ， ． 点 是 的中点， . ， 四边形 是平行四边形.
解： 四边形 是菱形， .由（1）得四边形 为矩形， ， .在 中，由勾股定理得 ，即 的长为 ．
完成学生用书对应课时练习
易错点 菱形的判定与矩形的判定相互混淆
6.已知平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是( )
D
A.当 时，四边形 是矩形B.当 时，四边形 是菱形C.当 时，四边形 是矩形D.当 时，四边形 是菱形
（第7题图）
7.如图，在 中， ， ．连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ．若 ，则四边形 的面积为_ ____.
（1） 求证：四边形 为矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
（1） 求证：四边形 为矩形.
证明： 四边形 是菱形， ， . . ， ， ， . 四边形 是平行四边形.又 ， 平行四边形 是矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
第一章 特殊平定
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的性质和判定课件
D
C
1 CD AB. 2
C
B A
C D
C
D B
例题欣赏
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. A D 求矩形对角线的长.
解: ∵四边形ABCD是矩形, 1 ∴AC=BD,且OA OC AC.
1 OB OD BD. 2 OA OD. 2
北师大版初三第一章
矩形的性质和判定
ZJM
1.请从边、角、对角线三个方面说一说平行四 边形有哪些性质？ 边：对边矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
二、矩形的性质
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的性质2
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD.
A D
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形 B ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90 ∵BC=CB ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.
C
如图，设矩形的对角线AC与BD相交 于点E，那么BE是Rt△ABC中的一条怎样 的特殊线段？它与AC有什么大小关系？ A D 为什么？
练习（二）
已知：如图所示，△ABC的 两条高为BD、CE，M为BC 的中点。 求证：DM=EM
矩形的性质与判定课件
求证：矩形的四个角都是直角，对角线相等
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，
对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1) ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°；
(2)AC=BD；
∠AOB=60°，AB=2，则矩形的边长BC的长是
（ C）
A．2
B.4
C.2 3
D.4 3
四、巩固练习
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，
OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长（ A）
A. 4 3 B. 2 C. 8 3
D. 8 3
四、巩固练习
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∠AOD=60°，AB=2 3 ，AE⊥BD于点E，则OE
二、探索性质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这 样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形特殊性质
二、探究矩形的性质 (1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴. (2)矩形有什么特殊性质？
且BO等于AC的一半
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,
求证：(1)BO是Rt△ABC斜边AC上的中线；
(2)
BO=
1 2
AC
证明:(1) ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴O是AC的中点
∴ BO是Rt△ABC斜边AC上的中线 B
O C
矩形的性质与判定复习课ppt课件
角： 直角三角形两锐角互余。
C
B
线段： 1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30°。
例1 一张四边形纸板ABCD形状如图，
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
再见
（1）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并
且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边
上，可怎样剪？ 解CD：、分D别A的取中AB点、EB、CF、、G、D
Ｇ
C
H，则剪的中点四边形
EFGH为平行四边形． Ｈ
Ｆ
⑵四边形ABCD满足什么情况
下，中点四边形EFGH为矩形？
并说明理由．
A
Ｅ
B
两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ
1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2， 那么这个矩形的面积是____3_2_______
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，
一边长为10，则另一边长为____________
3、请在横线上写出结论，在括号里填理由
∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴__________ (
) O
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ） A
7、在矩形ABCD中，P是AD上的一个动 点，PE⊥ AC于E，PF⊥ BD于F，AG⊥ BD 于G。试问，PE+PF与AG有什么关系？证明 你的结论。
九年级数学PPT 矩形的性质与判定课件
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90° B
C
,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
.∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
有三个角是直角的四边形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么 判断一个四边形是菱形呢？
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么 判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较
问题（1）:
随着 的变化两条对角线的长度将发生
怎样的变化？
问题（2）: 当两条对角线的长度相等时平行四边形有
什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形. A
D
O
M
B
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
布置作业
课本P16 1,2,3.
D
证明：
B
C
矩形判定方法一
对角线相等的平行四边形是矩形.
北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
人教版八年级数学矩形的判定和性质讲义(含解析)(2020年最新)
算即可得解．
解：∵ BE=BO，∠ BOE=7°5 ，
∴∠ OBE=18°0 ﹣ 2×75° =30°，
∴∠ ABO=∠ABC﹣∠ OBE=9°0 ﹣ 30° =60°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ OA=O，B
∴△ AOB是等边三角形，
∴ AB=BO，∠ BAO=6°0 ，
∵ BO=B，E
∴ AB=BE，
解：因为在矩形 ABCD中，所以 AO= AC= BD=BO，
又因为∠ AOB=6°0 ，所以△ AOB是等边三角形，所以 AO=AB=，2
所以 AC=2AO=．4 讲解用时： 2 分钟 解题思路： 本题难度中等，考查矩形的性质． 教学建议： 熟练掌握矩形的性质并应用 . 难度： 3 适应场景： 当堂练习 例题来源： 长沙
∴ BC=
=6，
故矩形 ABCD的面积为 6×8=48． 故答案为 48．
讲解用时： 3 分钟 解题思路： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 矩形面积的计算， 本题
中根据勾股定理求 BC的长是解题的关键． 教学建议： 熟练掌握矩形的性质以及用勾股定理进行解题 . 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 无 年份： 2018
【例题 4】
矩形 ABCD中， AB=8，对角线长为 10，则矩形的面积为
．
【答案】 48
【解析】 根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ ABC，已知 AC=10，AB=8，根
据勾股定理即可求得 BC的长，根据 AB， BC的值即可求得矩形 ABCD的面积． 解：矩形各内角为直角， ∴△ ABC为直角△ ABC， ∵ AC=10，AB=8，
∴另一条直角边长 =
=12．
讲解用时： 3 分钟 解题思路：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌
九年级数学 矩形的性质与判定 知识点精讲 教案 课件
九年级上数学矩形的性质与判定知识点精讲矩形的性质及判定一、矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
二、矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。
对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形三、矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。
四、黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。
如希腊的巴特农神庙等。
矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1知识链接矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2典例分析如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD=4,∠AOD=60°,求AB的长。
【分析】先证明OA=OD，于是可证明△AOD为等边三角形，求出DO，进而求出BD，根据勾股定理求得AB的长．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD,∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形∴DO=AD=4∴BD=8∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，△DAB为直角三角形，∴AB2=BD2-AD2=82-42=48∴AB=。
矩形的性质与判定复习课ppt
应用一：在几何作图中的应用
利用矩形性质进行精确的几何作图。
在几何作图中，可以利用矩形的性质进行精确的线段和 角度的绘制。例如，可以利用矩形的对角线长度相等且 互相平分这一性质，绘制出一个等腰直角三角形。
利用矩形性质进行实际工程和生活中的设计和操作。
应用二：在工程和生活中的实际应用
在工程和生活中，可以利用矩形的性质进行各种设计和 操作
总结与思考
对矩形性质与判定的总结
矩形的基本性质
矩形的四个角是直角，对角线相等，对边相等。这些性质在判定 矩形时非常重要。
矩形判定的方法
矩形的判定方法有两种，一种是使用定义，另一种是通过平行四 边形的性质进行转化。
矩形性质与判定的应用
矩形的性质和判定在实际生活中有着广泛的应用，如制作门窗、 桌面等。
在物理学中的应用
矩形在物理学中也有着广泛的应用 ，如力学中的刚体、电磁学中的电 磁波等。了解矩形的性质可以帮助 我们更好地理解这些物理现象。
VS
在工程学中，矩形的性质被广泛应 用于各种设计和制造过程中，如建 筑设计、机械制造等。了解矩形的 性质可以帮助工程师更好地进行设 计和制造。
在日常生活中的应用
已知矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积S=ab。 当已知矩形的长和宽时，可以直接利用矩形面积公 式求解面积。
技巧二：利用矩形性质证明相似图形
利用矩形性质以及相似图形的判定定理，证明 两个矩形相似。
当两个矩形的对应边成比例，且对应角相等时 ，这两个矩形相似。可以利用矩形的性质证明 两个矩形相似。
矩形性质在实际问题中的应用
矩形是特殊的平行四边形，因为它也满足平行四边形的所有 性质。
矩形的性质
对角线相等
矩形的对角线相等，并且对角 线互相平分。
矩形的定义及性质课件
矩形可以用于设计画布、画框 和展示板，提供稳定的支撑。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容，提高
视觉效果。
其他应用场景
在包装和运输中，矩形纸箱和托 盘被广泛使用，便于堆叠和搬运
。
在科学实验中，矩形玻璃器皿常 被用于盛放液体或气体。
近代的矩形研究
近代数学家对矩形的深入 研究
随着数学的发展，人们对矩形的研究更加深 入。例如，矩形的一些重要性质被发现，如 矩形的对角线相等、矩形的面积等于长乘以 宽等。
近代的应用
在工业生产和建筑设计等领域中，矩形的应 用更加广泛。例如，在制造机器时，人们会 使用矩形的零件来确保机器的稳定性和精度
。
特殊情况下矩形的判定
总结词
在特殊情况下，如矩形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形为矩形。
详细描述
如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形的两条对角线长度相等，因此该四边 形为矩形。此外，如果一个四边形的两条对角线互相平分且相等，则该四边形也一定是矩形。
04
矩形在实际生活中的 应用
详细描述
轴对称性意味着矩形沿一条垂直或水平的直线对折后两部分能够完全重合，而中 心对称性则意味着矩形关于其中心点对称。这两种对称性在建筑设计、图案设计 等领域有着广泛的应用，使得矩形成为一种非常受欢迎的几何图形。
03
矩形的判定
根据定义判定矩形
总结词
根据矩形定义，矩形是四个角都是直 角的平行四边形。
总结词
矩形的对角线长度相等，这是由矩形的基本性质推导出的一 个重要结论。
详细描述
由于矩形的两组相对边分别平行且等长，根据勾股定理，矩 形的两条对角线长度相等。这一性质在解决几何问题时非常 有用，特别是在证明和计算与矩形相关的定理和公式时。
(完整版)初三矩形的知识点总结
(完整版)初三矩形的知识点总结
1. 矩形的定义和性质
- 矩形是一种特殊的四边形，它的对边相等且平行，且所有四
个角都是直角。
- 矩形的性质包括：对角线相等、对角线相交于中点、对边相等、对边平行、对边垂直、四个角都是直角等。
2. 矩形的面积和周长
- 矩形的面积可以通过长度乘以宽度来计算：面积 = 长度 ×宽度。
- 矩形的周长是所有边长的和：周长 = 2 × (长度 + 宽度)。
3. 矩形的相关公式
- 矩形的面积公式：面积 = 长度 ×宽度。
- 矩形的周长公式：周长 = 2 × (长度 + 宽度)。
- 矩形的对角线长度公式：对角线长度= √(长度² + 宽度²)。
4. 矩形的特殊情况
- 正方形是一种特殊的矩形，其四边长相等且所有角都是直角。
- 正方形的面积和周长公式与矩形相同。
5. 矩形的应用
- 矩形的概念和性质在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
- 矩形可以用来表示房间的形状和计算地板面积。
- 矩形也可以用来计算物体的表面积和体积等。
以上是初三矩形的基本知识点总结。
通过掌握这些知识，你可以更好地理解和应用矩形的概念和性质，进而解决与矩形相关的问题。
8、八年级下册数学矩形性质与判定讲义
典型例题一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．练习：1、如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．(1)求证：B E BF'=；(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a b c、、之间有何等量关系，并给予证明．2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．考点二、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.考点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.典型例题二、矩形的判定3、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形．同步训练：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？考点三、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.典型例题三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．练习：1、如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A.21B.5C.1455 D.52课堂练习一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A.32cm或122cmcm D. 42cm B. 42cm C. 1223.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A.2B.3C.222 D.3A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．布置作业三.解答题13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝1BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．215.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．。
矩形的性质与判定课件初中数学北师大版九年级上册
∴△BEC≌△CFB(AAS)．∴BE＝CF.
知2－练
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知识点 3 直角三角形斜边上中线的性质定理图示知3－讲
数学表达式
如图，在Rt △ ABC 中，
直角三角形斜
边上的中线等
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知2－讲
知识点 2 矩形的性质
矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的
所有性质. 矩形的性质可以从边、角、对角线、对称性这
四个方面来研究. 总结如下表：
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知2－讲
图形
性质
对边平行
对边相等
数学表达式
AB∥CD，AD∥BC
边
AB=CD，AD=BC
∵四边形ABCD 是矩形，
矩形的四个
又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形.
∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC.
∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
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知1－练
1-1. 如图，在△ ABC中，D 是BC
的中点，E 是AD，BF 的中点，
AB=AC. 求证： 四边形ADCF
是矩形.
AC，CF ⊥ BD， 垂足分别为E，F．求证：BE=CF.
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证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
1
1
∴AC＝BD，OC＝2AC，OB＝2BD.
∴OB＝OC.∴∠FBC＝∠ECB.
∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEC＝∠CFB＝90°.
∠BEC＝∠CFB，
在△BEC 和△CFB 中，∠ECB＝∠FBC，
≌△COB.
AOB ≌ △ COD，△ AOD
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知2－练
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是初中数学中非常重要的一个几何图形，具有独特的性质和判定方法。
下面我们就来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，其中四个内角都是直角。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角相等且邻角互补。
而矩形的四个角都是直角，即 90 度。
2、矩形的对角线相等矩形的两条对角线将矩形分成了四个三角形。
通过全等三角形的证明可以得出矩形的对角线相等。
3、矩形的对边平行且相等这一性质继承自平行四边形。
矩形的对边相互平行，且长度相等。
4、矩形是轴对称图形矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线。
5、矩形的面积等于长乘以宽假设矩形的长为 a，宽为 b，那么其面积 S ＝ a×b。
6、矩形的周长等于 2×（长＋宽）即 C ＝ 2×（a ＋ b) 。
三、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形判定的最基本方法。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形的性质，它的对角相等，邻角互补，所以其他三个角也都是直角，从而该平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形中，如果对角线相等，通过全等三角形的证明可以得出相邻的两个角相等，而平行四边形的邻角互补，所以这两个角都是直角，从而该平行四边形为矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么根据四边形的内角和为360 度，第四个角也必然是直角，所以该四边形是矩形。
四、矩形性质与判定的应用矩形的性质和判定在实际生活和数学解题中都有广泛的应用。
在实际生活中，比如建筑设计、家具制作等领域，都需要用到矩形的性质和判定。
例如，在建造房屋时，要确保房间的形状是矩形，就需要通过测量角度和对角线的长度来判断。
在数学解题中，矩形的性质和判定可以帮助我们解决与几何图形相关的问题。
比如，已知一个四边形是矩形，我们就可以利用其对角线相等、四个角都是直角等性质来求解相关的边长、角度或面积等问题。
专题02矩形的性质与判定(4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题02矩形的性质与判定（4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义知识点2：矩形的性质（重难点）知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质（重点）知识点4：矩形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数题型2：利用矩形的性质求边的长度题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用题型4：利用矩形的性质证明题型5：矩形的判定题型6：矩形的实际应用题型7：矩形中的折叠问题题型8：计算矩形中阴影部分面积题型9：矩形中的动态问题【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用考法2矩形的判定考点3直角三角形斜边上的中线考法4矩形的性质与判定【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．知识点2：矩形的性质矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．知识点4：矩形的判定矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数例1.如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6题型2：利用矩形的性质求边的长度例2．已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC等于（）A．3B．5C．6D．11题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用例3.如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．题型4：利用矩形的性质证明例5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE AC⊥⊥于点E，CF BD 于点F，求证：BE=CF．A B CDEF O 例6.已知：若从矩形ABCD 的顶点C 作BD 的垂线交BD 于E ，交∠BAD 的平分线于F ．求证：△CAF 是等腰三角形．G例7.已知：矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE =BD ，F 为DE 中点，连接AF 、CF ．求证：AF ⊥CF ．A B CDE F题型5：矩形的判定例8.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ．求证：四边形ADCE为矩形；例9.如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．题型6：矩形的实际应用例10.如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．题型7：矩形中的折叠问题例11.如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，求折叠EF的长．例12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D'处，CD'交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________．题型8：计算矩形中阴影部分面积例13.矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为．题型9：矩形中的动态问题例14如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是．例15．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足1.下列命题中真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形；C．四条边都相等的四边形是矩形；D．四个内角都相等的四边形是矩形；2.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形⊥时，四边形ABCD是矩形B．当AC BDC．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补2．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．4．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．6．（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．考法2矩形的判定7．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等8．（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s9．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD10．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．11．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．12．（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．考点3直角三角形斜边上的中线14．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．415．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．考法4矩形的性质与判定16．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．17．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·河南平顶山·统考一模）下列叙述错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形3．（2023·四川泸州·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点O 连接OE，若菱形ABCD的面积为16，4OA=，则OE的长为（）A．3B．2.54．（2023·安徽·校联考一模）如图，菱形连接OH，点M是边AD的中点，连接A．53B．855．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在矩形A ．BECS 二、填空题7．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在长为半径画弧交AB 于点8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，矩形连接BF ，过F 作CE 的垂线交CD 的长是___________．9．（2023·天津·校联考一模）如图，矩形为CE 的中点，90EOF ∠=11．（2023·山东泰安·统考一模）如图，一点，且P不与B、C重合．过P12．（2023·河南周口·统考二模）如图，在部，3PC=，D是AB的中点，连接13．（2023·四川成都·统考模拟预测）三、解答题Y中，点E是AD的中点，延长BE交CD的延长14．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在ABCD线于F．(1)求证：AEB DEF△≌△；(2)连接CE，当CE BF⊥时，若3AB=，求BC的长．15．（2023·浙江温州·模拟预测）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在106⨯的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．(1)在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积等于8；(2)在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数．16．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知点E是矩形ABCD中BC边的中点，连接AE．(1)分别在CD、AE边上求作点P、点D¢，使得点D关于AP的对称点D¢恰好落在线段AE上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）(2)在（1）的条件下，若36AB=，30BC=，求CP．17．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD⊥于点E，延长BC至点F，Y中，AE BC=，连接DF，AF与DE交于点O．使CF E(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．18．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．19．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，6AB BC ==，点G 与点H 重合，则ECF ∠＝(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分ECF ∠，21AB =+，2BC =，求ECF ∠的度数及秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．问：(1)求t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？(2)四边形ABQP 可能是矩形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由；(3)四边形PQCD 可能是菱形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由．21．（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图①，在边长为5的等边ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AB 边上一点，且22BD BE ==，点P(1)直接写出B、C、D各点的坐标：B、C、D；P，10)，点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若(2)如图1，(3等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；(3)如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线FH∥x轴，BH∠=∠，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定的点，且HGF FAB值．。
第2讲 矩形的性质与判定-九年级数学上册同步精品讲义(北师大版)
第2讲 矩形的性质与判定 1. 理解矩形、概念和判定定理；2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算． 知识点01 矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【知识拓展】例1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF EC ⊥，且EF EC =．（1）求证：AEF DCE △≌△．（2）若5cm DE =，矩形ABCD 的周长为38cm ，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）7cm【详解】解：（1）证明：∵EF ⊥CE ，∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴∠AEF =∠EC D ．知识精讲目标导航在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=E C．∴△AEF≌△DCE（AAS）．（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．∴AE=C D．∴AD=AE+5．又∵矩形ABCD的周长为38cm，∴2（AE+AE+5）=38cm．∴AE=7cm．答：AE的长为7cm．知识点02 矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【知识拓展】例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=52，求四边形AEBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）18 【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB =AC ，AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC ．即∠ADB =90°．∴四边形ADBE 为矩形．（2）∵在矩形ADBE 中， AO =52， ∴DE =AB = 5．∵D 是BC 的中点，∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理223AD AB DB =-= ，∴1(84)3182AEBC S =+⨯=四边形． 知识点03 矩形折叠问题【知识拓展】例3．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．（1）求证：AFE CDE ≌；（2）若6AB =，8BC =，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）754【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F =∠B ，AB =AF ，∴AF =CD ，∠F =∠D ，在△AEF 与△CDE 中，F D AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE CDE ≌（AAS ）；（2）∵6AB =，8BC =，∴CF =BC =8，AF =CD =AB =6，∵AFE CDE ≌，∴AE =CE =8-DE ，∴在Rt △CDE 中，DE 2+CD 2=CE 2，即DE 2+62=（8-DE ）2， ∴DE =74， ∴AE =254， ∴图中阴影部分的面积=11257562244AE CD ⋅=⨯⨯=． 知识点04与矩形有关的面积问题【知识拓展】例4.[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S 矩形NFGD ＝()ADC ANF FGC S S S +△△△﹣，S 矩形EBMF ＝ABC S ﹣（ + ）．易知，ADC ABC S S △△＝， ＝ ， ＝ ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF（2）如图2，点P 是矩形ABCD 的对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，CD 于点E 、F ，连接PA ，PC ．若PE ＝5，DF ＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）AEF FMC ANF AEF FMC FGC SS S S S S ,,,,,；（2）20 【详解】 （1）解：S 矩形NFGD ＝S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF ＝S △ABC ﹣（S △AEF +S △FMC ）．易知，S △ADC ＝S △ABC ，S △ANF ＝S △AEF ，S △FMC ＝S △FGC ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF ；故答案为：S △AEF ，S △FMC ；S △ANF ，S △AEF ，S △FMC ，S △FGC ；（2）解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，如图2：则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴PM ＝DF ＝4，同（1）得：S 矩形AEPM ＝S 矩形CFPN ，∴S △AEP ＝S △AMP ，S △CFP ＝S △CNP ，∴S △AEP ＝S △CFP ＝12×PE ×PM ＝12×5×4＝10， ∴图中阴影部分的面积S 阴＝10+10＝20．知识点05直角三角形斜边上中线【知识拓展】例5.如图，在四边形ACBD 中，90ACB ∠=︒，AB AD =，E 是BD 中点，过点E 作//EF AD 交AB 于点F ，连接CF ．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．【答案】答案不唯一，如：BEF BDA ∠=∠ EF CF =【详解】解：∵E 是BD 中点，//EF AD∴F 是AB 的中点，EF 为△ABD 的中位线，BEF BDA ∠=∠ ∴12EF AD = ∵AB AD = ∴12EF AB =在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，∴AB 是Rt △ABC 的斜边∴12CF AB = ∴EF CF =故答案为：BEF BDA ∠=∠；EF CF =1.如图所示，菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得点P 、Q 、R 、S 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点．已知PB =15，BQ =20，PR =30，QS =40．求矩形ABCD 的周长．能力拓展【难度】★★ 【答案】5672． 【解析】∵CD AB ∥，∴CRP APR ∠=∠∵RQ SP ∥，∴QRP SPR ∠=∠∴QRP CRP SPR APR ∠-∠=∠-∠，即QRC APS ∠=∠∵QRC APS ∠=∠，C A ∠=∠，RQ SP =∴CQR ASP ≌△△∴CR AP CQ AS ==，也可证得：DRS BPQ ≌△△，∴PB DR BQ SD ==，设y AP x AS ==，∵PR 与SQ 互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中6个三角形的边长分别为15、20、25，而x AS CQ ==，y AP CR ==，则直角△ASP 和直角△CQR 的三边分别为25、、y x ，矩形面积等于8个直角三角形面积之和．所以()()xy y x 21215202161520⨯+⨯⨯⨯=++， 则有12043=+y x 而62522=+y x ，解得：20=x ，15=y 或544=x ，5117=y 当20=x 时，40=+=BQ x BC 与30=PR 不合，所以舍去；∴矩形的周长为()567220152=+++y x ． 【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用． 2.将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH =3，EF =4，求ADAB 的值．【难度】★★★【答案】2425． 【解析】由翻折的性质可得：MEH AEH ∠=∠，BEF MEF ∠=∠．∵︒=∠+∠+∠+∠180BEF MEF MEH AEH ，∴︒=∠90HEF ．同理可证得：︒=∠90HGF ，︒=∠90EHG ．∴四边形EFGH 是矩形，∴FG EH =．∵︒=∠+∠90BEF AEH ，︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠．∵︒=∠+∠90BFE BEF ，︒=∠+∠90CFG BFE ，∴CFG BEF ∠=∠，∴CFG AHE ∠=∠．∵C A ∠=∠，FG EH =，CFG AHE ∠=∠，∴CFG AHE ≌△△， ∴FN CF AH ==．又∵HN HD =，∴HF AD =在直角△HEF 中，43==EF EH ，，由勾股定理可得：5=HF ．∵EM HF EF HE ⋅=⋅，∴512=EM 又∵EB EM AE ==， ∴5242==EM AB ， ∴24525245AD AB ==：：：． 【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的运用，综合性较强，注意分析．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．42C ．222D ．322【答案】C 【分析】由矩形的性质和45DAE CBE ∠=∠=︒可证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形，进而求得DE 、CE 、CD 的长，由矩形的性质和勾股定理分别求得AB 、AE 、BE 的长，即可求得ABE △的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，1AD =，∴90ADE ∠=︒，1BC AD ==，CD AB =，∵45DAE ∠=︒，∴45AED ∠=︒，即45DAE AED ∠=∠=︒，∴ADE 为等腰直角三角形，1DE AD ==，分层提分∴2222112AE AD DE =+=+=，同理得BCE 为等腰直角三角形，1CE BC ==，2BE =，∴2AB CD DE CE ==+=，∴ABE △的周长222222AE BE AB =++=++=+，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形．2．（2021·河北保定市·九年级一模）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱了的证明过程：①∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠．②∵BC CB =③∵四边形ABCD 是矩形④∴AC DB =⑤∴ABC DCB ∆∆≌．证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③①②⑤④B ．②①③⑤④C ．③⑤②①④D ．②⑤①③④【答案】A 【分析】根据SAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠∵BC CB =∴ABC DCB ∆∆≌∴AC DB =所以正确顺序为③①②⑤④故答案为A【点睛】本题考查了全等三角形的证明，理清证明过程是排序的关键.3．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．中心对称图形B ．对边分别相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．4．（2021·重庆市育才中学九年级期末）下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．一组对边平行且相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形【答案】B【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案．【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意．B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意．C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意，D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意，故选：B【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键．5．（2021·广东广州市·九年级二模）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】解：直角三角形的斜边长为10，∴斜边上的中线长为1105 2⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．二、填空题6．（2021·河南九年级专题练习）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．【答案】13 【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∵OM=2，∴DC=4，∵AD=BC=6，∴AC=22AD CD +=213，∴BO=12AC=13， 故答案为：13【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．7．（2021·江苏南京市·九年级二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点得到四边形EFGH ，那么四边形EFGH 的面积为____．【答案】24【分析】根据矩形的性质推出BF =AH ，BF ∥AH 得到平行四边形BFHA ，推出AB ∥HF ，AB =HF ，同理得到BC =EG ，BC ∥EG ，推出HF ⊥EG ，据此利用面积公式求解即可．【详解】解：连接HF、EG，∵矩形ABCD，∴BC∥AD，BC=AD，∵H、F分别为边DA、BC的中点，∴BF=AH，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB=HF=6，AB∥HF，同理BC=EG=8，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×6×8=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．三、解答题8．（2021·新兴县环城中学九年级期中）如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:AE=CF.(2)求证:四边形BFDE为矩形.【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF；（2）由平行四边形的对边平行得到DC 与AB 平行，得到∠CDE 为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．【详解】(1)∵DE ⊥AB,BF ⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD=BC, ∠A=∠C,再在△ADE 和△CBF 中,AED CFB A CAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CBF(AAS)，∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD ∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°,∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形BFDE 为矩形.【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.9．（2021·河北唐山市·九年级期末）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ，CE=AC ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED 的周长．【答案】（1）详见解析；（2）16.【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．∴CE=BD．∵CE=AC，∴AC=BD．∴□ABCD是矩形．（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，∴∠DAB=90°，BC=AD=3，∴2222BD AB AD=+=+=．435∵四边形BCED是平行四边形，∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．故答案为（1）详见解析；（2）16.【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．10．（2021·全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．【分析】根据矩形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，∴ OA=OD，∴∠CAD=∠BDA．∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∴∠BDA =∠EDA【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．11．（2021·福建福州市·福州十八中九年级二模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点,O且//,//DE AC AE BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC BD⊥，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的定义得出四边形AODE是矩形．【详解】证明：四边形ABCD为菱形,AC BD∴⊥90,AOD∴∠=//,//,DE AC AE BD∴四边形AODE为平行四边形，∴平行四边形AODE是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角【答案】C【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，不符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解答本题的关键．2．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（）A．2 B．23C．43D．8【答案】C【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OA=AD，求出AC，然后根据勾股定理即可求出CD，进而得出矩形面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，OA =12AC ，OD =12BD ，AC =BD ， ∴OA =OD ，∵∠AOD =60°，∴△AOD 是等边三角形，∴OA =AD =2，∴AC =2OA =4，∴CD =22224223AC AD -=-=，∴矩形的面积=AD •CD =43；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．3．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．4AD AE =B ．2=AD ABC ．2AB AE =D ．3AB AE = 【答案】C【分析】设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =，由于四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，所以AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，根据()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ，化简后得()2a c x bc -+，F 为BC 上一动点，x 是变量，()2a c -是x 的系数，根据平EFGH S不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，x 的系数为0，bc 为固定值，20a c -=，进而可得点E 是AB 的中点，即可进行判断．【详解】解：∵四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，∴AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =， ∴()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ()()11222ab a c b x cx ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦ ()ab ab ax bc cx cx =---++ab ab ax bc cx cx =-++--()2a c x bc =-+∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，()2a c -是x 的系数，∵EFGH S 不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴20a c -=，∴2a c =，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE =，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．4．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图1，四边形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，AC AD =．动点Р从点B 出发，沿折线B A D C ---方向以a 单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．75B ．80C ．85D ．90【答案】D【分析】先结合函数图象求出3,5AB a AD a ==，从而可得5AC a =，根据等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质可得26CD AB a ==，再利用勾股定理可得4BC a =，然后根据点P 运动到点D 时，利用三角形的面积公式可得a 2的值，最后根据直角梯形的面积公式即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当3t =时，点P 运动到点A ；当8t =时，点P 运动到点D ， 3,(83)5AB a AD a a ∴==-=，AC AD =，5AC a ∴=，90B ∠=︒， 224BC AC AB a ∴=-=，//,90AB CD B ∠=︒，90BCD ∴∠=︒，即CD BC ⊥，如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABCE 是矩形，3CE AB a ∴==，,AC AD AE CD =⊥，26CD CE a ∴==（等腰三角形的三线合一），由函数图象可知，当点P 运动到点D 时，BCP 的面积为60，则1602BC CD ⋅=，即146602a a ⨯⋅=， 解得25a =， 则四边形ABCD 的面积是2364189022AB CD a a BC a a ++⋅=⋅==， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质、从函数图象获取信息等知识点，读懂函数图象是解题关键．二、填空题5．（2021·江苏镇江市·炎黄外国语学校九年级月考）如图，矩形纸片ABCD 中，已知16AD =，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且6EF =，则AB 的长为__________．【答案】12【分析】先根据矩形的性质求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =16，∴BC =16，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE =EF =6，AB =AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE =16-6=10，在Rt △CEF 中，CF =2222106CE EF -=-=8，设AB =x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x +8）2=x 2+162，解得x =12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．6．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 为BC 中点，F 为CD 上一动点，则AF EF +的最小值为______．【答案】35【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可【详解】解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM∵4BC=，E为BC中点，∴BE=CE=2，∴BM=6；在矩形ABCD中，3AB=，∴∠B=90°，∴22223536+===+A B BMM A；故答案为：35【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021·宁夏银川市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），M是OA的中点，点P在BC边上运动．当PO=PM时，点P的坐标为______．【答案】（2.5，4）【分析】过P点作PD⊥OA，垂足为D，根据M是OA的中点，求出OM＝5，又知PO＝PM，PD⊥OA，于是求出OD＝12OM＝2.5，P点的坐标即可求出．【详解】如图，过P点作PD⊥OA，垂足为D，∵M是OA的中点，故OM＝5，∵PO ＝PM ，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OM ＝2.5， 故P 点坐标为（2.5，4），故答案为：（2.5，4）．【点睛】本题主要考查矩形的性质和等腰三角形的性质的知识点，解题的关键是根据题意作图，利用等腰三角形的性质求解．8．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE >，连接BE ，将ABE △沿着BE 翻折得到BFE △，射线EF 交BC 于G ，若点G 为BC 的中点，1FG =，6DE =，则AE 的长______．【答案】1【分析】先设AE EF x ==，根据6DE =，1FG =，可得6AD x BC =+=，1EG x =+，再根据GEB GBE ∠=∠，可得EG BG =，进而得出方程612x x ++=，即可得到AE 的长． 【详解】解：设AE EF x ==， 6DE =，1FG =，6AD x BC ∴=+=，1EG x =+，又G 为BC 的中点，1622x BG BC +∴==， 由折叠可得，AEB GEB ∠=∠，由//AD BC ，可得AEB GBE ∠=∠，GEB GBE ∴∠=∠，EG BG ∴=，612x x +∴+=， 解得4x =，即4AE =，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，点E 、F 分别是AB 和CD 的中点，H 为BC 上的一点，现将△ABH 沿AH 折叠，使点B 落在直线EF 上的点G ．当△ADG 为等腰三角形时，AD ＝_______．【答案】133 【分析】分类考虑△ADG 为等腰三角形当DG=AG 时，利用矩形性质可得IG ＝AE ＝12AB ＝12，根据折叠性质可得AG ＝AB ＝1，结合勾股定理可求AI 3 当AG=DG 时利用折叠性质AD ＝AG ＝AB ＝1；当AD=AG 时； 由勾股定理EG 3AD ＝DG ＝x ，可得FG ＝x 3DG 2＝DF 2+GF 2，构造方程x 2＝14+（x ﹣322，可求AD 3 【详解】解：①AG ＝DG ，作GI ⊥AD ，∴I为AD中点，AD＝2AI，∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1，∴在矩形ABCD中，EF∥AD∥BC，即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°，四边形AEFD为矩形，∴IG＝AE＝12AB＝12，∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，∴AG＝AB＝1，∴AI2213 142AG AE-=-=，∴AD＝2AI3②AD＝AG，∴AD＝AG＝AB＝1，③AD＝DG，EG2213 14AG AE-=-=，设AD＝DG＝x，∴FG＝x3连接DG，∵DG2＝DF2+GF2，∴x2＝14+（x﹣32）2，化简得1﹣3x＝0，解得x＝33，∴AD＝33，故答案为：1或3或33．【点睛】本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键．10．（2021·湖北孝感市·九年级二模）如图，将矩形纸片ABCD（AD AB>）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．若3AB=，9BC=，则线段CE的最大值与最小值的和是_____．【答案】8【分析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF＝EC，又由GF//EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；当F 与D重合时，CE取最小值，可得CE＝CD＝AB＝3；当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴GF＝GE，∴GE ＝EC ，∴四边形CEGF 为平行四边形，∴四边形CEGF 为菱形；如图1，当F 与D 重合时，CE 取最小值，∴CE ＝CD ＝AB ＝3；如图2，当G 与A 重合时，CE 取最大值，由折叠的性质得AE ＝CE ，∵∠B ＝90°，∴AE 2＝AB 2＋BE 2，即C E 2＝32＋（9−CE ）2，∴CE ＝5，∴线段CE 的最小值为3，最大值为5，和为8故答案为：8．【点睛】本题考查了翻折变换−折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．11．（2021·安徽合肥市·九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠的大小为______．【答案】75°【分析】根据等腰直角三角形的性质得到45CAE AEC ∠=∠=︒，根据直角三角形的性质得到12CO BO AO AB ===，得到AOC △为等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，进一步计算即可得出结论． 【详解】解：∵90ACB ∠=︒，CE AC =，∴45CAE AEC ∠=∠=︒，∵15BAE ∠=︒，∴60CAB ∠=︒，∴=30B ∠︒，∵90ACB O ∠=︒，为AB 的中点，∴12CO BO AO AB ===， ∴AOC △是等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，∴AC OC CE ==，∴1(18030)752COE CEO ∠=∠=︒-︒=︒， 故答案为：75︒．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题12．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM AB =，且BN AM ⊥，垂足为N ．（1）求证：ABN MAD ≌；（2）若2,4AD AN ==，求四边形BCMN 的面积．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由矩形的性质可得∠D =90°，AB ∥CD ，从而得∠D =∠ANB ，∠BAN =∠AMD ，进而即可得到结论；（2）由ABN MAD ≌以及勾股定理得AN =DM =4，AB =【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∴∠D =90°，AB ∥CD ，∴∠BAN =∠AMD ，∵BN AM ⊥，∴∠ANB =90°，即：∠D =∠ANB ，又∵AM AB =，∴ABN MAD ≌（AAS ），（2）∵ABN MAD ≌，∴AN =DM =4，∵2AD =，∴AM ==∴AB =∴矩形ABCD 的面积= 又∵12442ABN MAD S S ==⨯⨯=，∴四边形BCMN 的面积．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS 证明三角形全等，是解题的关键．13．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OAB 是等边三角形，4AB =．（1）求证：ABCD 是矩形；（2）求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）43【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得11,22====OA OC AC OB OD BD ，再根据等边三角形的性质可得OA OB =，从而可得AC BD =，然后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等边三角形的性质可得4OB AB ==，从而可得8BD =，再根据矩形的性质可得90BAD ∠=︒，然后在Rt ABD △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OA OC AC OB OD BD ∴====， OAB 是等边三角形，OA OB ∴=，AC BD ∴=，ABCD ∴是矩形；（2）OAB 是等边三角形，4AB =，4OB AB ∴==，28BD OB ∴==，由（1）已证：ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，则在Rt ABD △中，22228443AD BD AB =--=【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．14．（2021·山东滨州市·九年级其他模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若13AD =，5EF =，求OE 和BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）6.51369- 【分析】（1）根据条件先判断四边形OEFG 为平行四边形，由EF AB ⊥即可证明四边形OEFG 是矩形；（2）由菱形的性质和三角形的中位线定理可直接得OE 的长，解Rt AEF 求得AF ，又FG OE =，根据BG AB AF FG =--即可求得．【详解】解:（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为ABD △的中位线，∴//OE FG ，∵//OG EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF AB ⊥，∴平行四边形OEFG 为矩形（2）∵点E 为AD 的中点，13AD =，∴ 6.5AE =∵90EFA ∠=︒，5EF =，∴在Rt AEF 中，2222696.552AF AE EF =-=-=∵四边形ABCD 为菱形，∴13AB AD ==，∴1 6.52OE AB == ∵四边形OEFG 为矩形，∴ 6.5FG OE ==， ∴13692BG AB AF FG =-=--． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键． 题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33B ．223+C ．23+D ．123+【答案】A 【分析】依次求出OE =OF =OG =OH ，利用勾股定理得出EF 和OE 的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ⊥BC ,EG ⊥AB ,∴∠BEO =∠BFO =90°，∵∠A =120°，∴∠B =60°，∴∠EOF =120°，∠EOH =60°，由菱形的对边平行，得HF ⊥AD ,EG ⊥CD ，因为O 点是菱形ABCD 的对称中心，∴O 点到各边的距离相等，即OE =OF =OG =OH ，∴∠OEF =∠OFE =30°，∠OEH =∠OHE =60°，∴∠HEF =∠EFG =∠FGH =∠EHG =90°，所以四边形EFGH 是矩形；设OE =OF =OG =OH =x ，∴EG =HF =2x ，()2223EF HG x x x ==-=，如图，连接AC ，则AC 经过点O ，可得三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AC =AB =2,∴OA =1,∠AOE =30°，∴AE =12， ∴x =OE =2213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴四边形EFGH 的周长为EF +FG +GH +HE =332322323322x x +=⨯+⨯=+, 故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．2．（2021·山东济宁市·九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，AD 2，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④AB ＝HF ，其中正确的有（ ）。
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知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定CDB A【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
即DF = .(写出一条线段即可)EFDCAB【例9】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【巩固】 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒，求BOE ∠=EODC BA【例10】 如图所示，在长方形ABCD 中，点M 是边AD 的中点，点N 是边DC 的中点，AN 与MC 交于点P ．若33MCB NBC ∠=∠+︒，求MPA ∠的度数．M PND CBA【例11】 如图，把矩形ABCD 的对角线AC 分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为P ，矩形ABCD 的周长为L ，则P 与L 的关系式DCBD EFCAB【例12】 如图，在矩形ABCD 中，点E F ，分别在边AB CD ，上，BF DE ∥，若12cm 7cm AD AB ==，，且:5:2AE EB =，则阴影部分EBPD 的面积为FE BD【例13】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．E ODC BA【巩固】 如图，在矩形ABCD 中，EF AB GH BC EF GH ∥，∥，，的交点在BD 上，图中面积相等的四边形有（ ）H G O FED CBAA ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【例14】 如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为DCB A【例15】 如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，在将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为ABDCBA【巩固】 如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为【例16】 如图在矩形ABCD 中，已知12AD =，5AB =，P 是AD 边上任意一点，PE BD PF AC ⊥⊥，，E 、F 分别是垂足，求PE PF +的值．O P ABCDEF【巩固】 如图，在矩形ABCD 中，2BC =，AE BD ⊥于E ，若30BAE ∠=︒，则ECDA S = ．E DCBA【例17】 如图，AB CD =，四边形ABDE 和CBFG 都是矩形，70BAC ∠=︒，则DBF ∠等于GFDECBA【例18】 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45︒角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则:AB BC=DCB AGFEDCBA【例19】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于E ，OF AD ⊥于F ，已知3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长O FEDCBA【例20】 已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在矩形ABCD 内时，试求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△P ABCD【例21】 如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是3、4、5，求PD 的长．PDCB A【例22】 如图，O 是矩形ABCD 的对角线交点，过点O 作EF AC ⊥分别交AD 、BC 于F 、E ，若2cm AB =，4cm BC =，求四边形AECF 的面积．OFEDCBA【例23】 （西城区抽样测试）如图，将矩形ABCD 沿AC 翻折，使点B 落在点E 处，连接DE 、CE ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ．⑴判断ACED 是什么图形,并加以证明； ⑵若8AB =，6AD =．求DE 的长；⑶四边形ACED 中，比较AE EC +与AC EH +的大小．DCBA E H【例24】 已知，如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ，求证：CF BD =．DABCEF1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．43ODC BA2. 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．3. 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。
课后练习交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．321FE D CBA5.已知，矩形ABCD 和点P ，当点P 如图位置时，求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△PABCD6.如图所示，在矩形ABCD 和矩形BFDE 中，若AB BF =，求证：MN CF ⊥．N MFEDCBA。