初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版

知识点 A 要求 B 要求

Ｃ要求

矩形 会识别矩形

掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．

关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．

一、矩形的判定

【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH

⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形

例题精讲

重、难点

中考要求

中考要求

矩形的性质 及判定

C

D

B A

【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）

A ．对角线相等

B ．对角相等

C ．对角线互相平分

D ．对边相等

【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四

边形EFGH 是矩形．

H

G O

F

E

D

C

B A

【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，

求证：四边形ABCD 是矩形．

M

C

D

B A

【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的

平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．

N

M

Q

P

D

C

B

A

【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长

线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．

⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．

F

E

D C

B

A

【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的

平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =

（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！

N

M

F

E

D

C

B

A

【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E

在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；

⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

A

B C

D

G

E

F

【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，

16EF =，求AM 的长．

M

F E D

C B

A

【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．

A

B

C

E F

D

【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中

的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF = .(写出一条线段即可)

E

F

D

C

A

B

【例9】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，

则DAE ∠=

F

E

D C

B

A

【巩固】 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒，求

BOE ∠=

E

O

D

C B

A

【例10】 如图所示，在长方形ABCD 中，点M 是边AD 的中点，点N 是边DC 的中点，AN 与MC 交于点

P ．若33MCB NBC ∠=∠+︒，求MPA ∠的度数．

M P

N

D C

B

A

【例11】 如图，把矩形ABCD 的对角线AC 分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平

行，设这四个小矩形的周长和为P ，矩形ABCD 的周长为L ，则P 与L 的关系式

D

C

B