3静磁场.
电动力学三一(矢势及其微分方程)
15 8
2a2
(z2 a2
)2
取A的旋度，得
B
A z
30Ia 2z
4(z2 a2 )5/ 2
1
O
z
2
2 a
2
45
BZ
1
(
A
)
4( z 2
0I a2 a2)3/2
1
2
z2 a2
15 a2 4(z2 a2
)
3
O
2
z2 a2
2
上式对任意z处的近轴场成立。若求 近原点处的场,z<<a ，可把上式再 对z/a展开，得
]
此式的适用范围是 2Ra sin R2 a2
包括远场 R a
和近轴场 Rsin a
44
我们计算近轴场。这种情况下用柱坐
标(,,z) 较为方便。展开式实际上是
对 2 /(z2 a2 ) 的展开式。 取至3项，有
A
(
,
z)
0Ia 2
4(z2 a2 )5/
2
1
3 2
2(z2 a2
)
B
30 Iz
4a 3
BZ
0I
2a
1
3 4a
(2z2
2 )
46
磁场边值关系可以化为矢势A的边值
关值系关，系对为于非铁磁介质， 矢势的边 n ( A2 A1 ) 0
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
26
上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。
在分界面两侧取 一狭长回路，计
算A对此狭长回路
的积分。回路短 边长度趋于零
27
A dl ( A2t A1t )l
4.3 静磁场的基础知识.
4.3 静磁场的基础知识电学 基本物理量基本定理电场强度 电势高斯定理 环路定理磁学 基本物理量 基 本定律 基本定理磁感应强度比奥-萨伐尔定律高斯定理 环路定理§4-3-1 真空中的静磁场一、 基本磁现象中国在磁学方面的贡献：最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁 司南勺东汉王充《论衡》描述： 司南勺⎯最早的指南器具 十一世纪沈括发明指南针，发现地磁偏角， 比欧洲的哥伦布早四百年十二世纪已有关于指南针用于航海的记载早期的磁现象包括: (1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。
(2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。
任一磁铁 总是 两极同时存在，在自然界不存在独立的N极、S 极。
同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
磁单极子虽理论预言存在，至今尚未观察到。
(3)地球本身为一个大磁体，地 球磁体N、S极与地理南北极不是 同一点。
存在磁偏角。
在历史上很长一段时期里,人 们曾认为磁和电是两类截然不同 的现象。
1819年,奥斯特实验首 次发现了电流与磁铁间有力的作 用，才逐渐揭开了磁现象与电现 象的内在联系。
I1820年7月21日，奥斯特 以拉丁文报导了60次实 验的结果。
N S11820年底安培在数学上给出了两平 行电流相互作用力的公式。
1820年12月毕奥、萨伐尔提出 毕奥-萨伐尔定律1821年法拉第提出“磁能否产生 电”的假设1831年法拉第发现了电磁感应现象安培的分子电流假说（1822年）磁铁的磁性是分子电流产生的N+ S一个分子所有运动着的电子激发的磁场，从总的效果看，相当于一个环形电流所激发的NS 磁场，此环形电流～分子电流磁场：由运动电荷(或电流)产生,在空间连续分布的一 种物质, 它能对处于其中的运动电荷有力的作用.二、 磁感应强度设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于磁 场中，实验发现：（1）当运动试探电荷以同一速率v沿不同方向通 过磁场中某点 p 时，电荷所受磁力的大小是不同的，但磁力的方向却总是与电荷运动方向（v）垂直； （2）在磁场中的p点处存在着一个特定的方向，当电荷沿此方向或相反方向运动时，所受到的磁力 为零，与电荷本身性质无关;（3）在磁场中的p点处，电荷沿与上述特定方向 垂 直 的 方 向 运 动 时 所 受 到 的 磁 力 最 大 ( 记 为 Fm) ， 并且Fm与qv的比值是与q、v无关的确定值。
第三章静磁场
ur f
1 r
f z
f z
ur er
fr z
f z r
uur e
1 r
r
rf
1 r
fr
ur ez
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
本章内容
在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解 稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求 解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般 是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入 磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁 场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁 标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
r
4
r3
Idl
r
4 r 3
以上形式正是比奥萨法 尔定律的形式。
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
目录
§3.1 矢势及其微分方程 一，稳恒电流磁场的矢势 二，矢势满足的方程及方程的解 三，稳恒电流磁场的能量 四，应用举例
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （一）稳恒电流磁场的基本方程
基本方程
边值关系
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （二）矢势
第三章 静磁场
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
静磁场
W
1 2
(A
1 2
(
Ae
Ae ) (J J e
J e )dV
1 2
)dV
(A
Je
1 2
( A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
( A J e )dV
2．矢势的形式解
A
J(
x)dV
4 V r
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分
布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
3．B 的解
B
A
4
V
(
J
(x))dV r
4
V
1 r
W 1
B
HdV
1
(
A
H
)dV
1
A JdV
2
2
2
1
A JdV
2
2. 电流分布在外磁场中的相 互作用能
设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
势；J 为处于外磁 场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A 。总能量：
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
磁共振成像 静磁场的作用
（3）与γ成正比：γ大的核种，宏观磁化效应M0大。
原子核的自旋与磁矩 原子组成？核组成？ ➢ 电子、质子、中子有自旋特性。
1．自旋：原子核不停地绕其自身轴进行旋转（spin）(象地球高速绕自转轴旋 转)。 ➢ 这种旋转与圆线圈中的电流类似，会产生磁场； ➢自旋(spin) 原子核具有磁矩的原因。
• 地球自转产生磁场
• 原子核的质子带正电荷，其自旋产生的磁场称为核磁，因而以前把磁共振成 像称为核磁共振成像（NMRI）。
称为磁化强度。
• 依照量子物理学原理，原子核磁矩μN （μ）进入B0后其空间取向
发生量子化，即只能取一些确定的方向。
• μ在B0方向的投影是一些不连续的数值。 μ的不同取向，形成它与 B0相互作用能不同。μ与B0的相互作用能称为位能。在B0中μ的位
能为：
E B0 h B0 IZ / 2
• 取Z轴沿着B0方向， 设μ与B0间的夹角为θ， μ的各坐标分量如图所
示。
• μZ为常数，说明μ在Z
轴上的投影是不变的。
• 质子的进动过程，Z轴代表B0磁力线方向，箭头代表某一方向的自旋 质子的矢量即质子的μ ，其长短代表μ的大小。
• 质子进动的频率非常快，每秒进动的次数称“进动频率”（precession frequency）。
3．原子核的自旋角动量
• 人体有1H、13C、19F、23Na、31P等百余种元素。 • 生物组织中，1H占原子数量的2/3，1H为磁化最高的原子核，目前生物组织的磁共振成像主
要是1H成像。
1．具有较高的组织对比度和组织分辨力； 2．多方位成像； 3． 多参数成像； 4．能进行形态学、功能、组织化学和生物化学方面的研究； 5．多种特殊成像； 6．以射频脉冲作为的能量源，对人体安全、无创； 7． 流动测量。
静磁场的主要作用
静磁场的主要作用一、静磁场的定义静磁场是指不随时间变化的磁场。
它由静止的电荷和电流所产生，与电荷和电流的运动速度无关。
二、静磁场的产生静磁场的产生有两种方式：一是由静止的电荷所产生的电场，当电荷运动时，会产生磁场；二是由电流所产生的磁场。
根据安培定律，电流通过导线时会形成环绕导线的磁场。
三、静磁场的特性1.磁场线：静磁场的磁力线是闭合曲线，从南极指向北极，形成环绕磁体的磁场。
2.磁感应强度：磁感应强度（B）是描述磁场强弱的物理量，单位是特斯拉（T）。
3.磁力：磁场中的物体会受到磁力的作用，磁力的大小与物体所带电流的大小和方向有关。
4.磁场的方向：磁场的方向由磁力线的方向确定，磁力线指示了磁场的方向。
5.磁场的分布：磁场的分布与磁体的形状和大小有关，磁场强度随距离的增加而减小。
1.磁力对物体的作用：静磁场中的物体会受到磁力的作用。
例如，磁铁可以吸引铁磁性物体，这是由于磁力的作用。
2.电磁感应：静磁场可以引起电磁感应现象。
当磁场发生变化时，会在电路中产生感应电动势，从而产生电流。
这是电力变压器、电动机等电器工作的基础。
3.磁场对运动带电粒子的影响：静磁场对运动带电粒子有力场和做功的作用。
例如，质子在磁场中受到洛伦兹力的作用，使得质子做圆周运动。
4.磁场的导向作用：静磁场可以导向带电粒子的运动轨迹。
利用这一特性，可以制造磁聚焦装置，如电子显微镜中的电子透镜，将电子束聚焦到一点上，提高分辨率。
5.磁场的屏蔽作用：静磁场可以被屏蔽，通过在磁场周围放置磁屏蔽材料，如铁、钴等，可以减弱或屏蔽磁场的影响。
总结：静磁场是不随时间变化的磁场，由静止的电荷和电流所产生。
它具有磁场线、磁感应强度、磁力、磁场的方向和分布等特性。
静磁场的主要作用包括磁力对物体的作用、电磁感应、磁场对运动带电粒子的影响、磁场的导向作用和磁场的屏蔽作用。
这些作用在日常生活和科学研究中都有重要应用，深入理解和研究静磁场的主要作用对于推动科学技术发展具有重要意义。
静磁场
h
R1 r
R2
dr
m
BdS
R2 Bhdr
R1
R2 0 NI R1 2r
hdr
0 NIh 2
ln
R2 R1
运动电荷的磁场
如右图，设导线中的载流 子电荷为q，数密度为n， 运动速度为v，则
I
S
r
l
I qnSvt qnSv t
导线在r处的磁感应强度为：
在轴上的分量为
dB
xr
dl
O
dB轴
0 4
Idl r2
sin
I
于是
B dB轴
导线
0 导线 4
Idl r2
sin
0 I 4r 2
sin dl
导线
0 RI
2r 2
sin
0 R2 I
2r 3
方向用右手判断。
讨论 1、在圆心O，磁场为
B 0I
2R
B
0 4
Il rˆ
r2
0 4
qnSvl r2
rˆ
0 4
qnSlv
rˆ
r2
0 4
qNv
rˆ
r2
于是，单个运动电荷 产生的磁感应强度为：
B
0 4
qv
rˆ
r2
例，氢原子中，处于基态的电子绕核作半径为a0作匀 速圆运动。求电子在核处的磁感应强度大小。
尽管电荷与磁极有某些类似之处，但在过去很 长时间内它们是独立在发展的。直到十九世纪 初发现了磁现象和电现象之间的密切联系后， 才逐渐认识到磁性起源于电荷的运动。
静磁场
∇·B =0
(4)
B = µ0(H + M ) = f (H)
(5)
将(5)式带入(4)式可得：
∇ · H = −∇ · M
★将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，与∇ · P = −ρp对 应，假想磁荷分布为：
ρm = −µ0∇ · M
铁磁介质的磁标势方程（续）
∇ · H = ρm µ0
H · dS = 0
L
S
★ 举例：无限长直导线：H的旋度仅在r = 0点不为零，但任一绕原点的闭 合曲线环量不为零；
★ 这也就是说：∇ × H是局域的，仅和当地J有关；但H并不是局域的；
★ 同理：∇ · E是局域的，仅和当地ρ有关；但E并不是局域的：∇ · E ? ⇒ E · dS = 0
★ 同理：∇ × A = B = 0 (r = 0)，但： A · dl = B · dS? = 0
L
S
★ 考虑如何选取适当的条件，解决该矛盾。
§ 2.2 关于环量积分的讨论
★ 对于任一点x ∈ L有H(x) = 0，则 H · dl = 0
L
★ 对于任一点x ∈ L有∇ × H(x) = 0，未必 H · dl = 0
L
★ 事实上应该为：对于任一点x ∈ S有∇×H(x) = 0，则 H ·dl = ∇×
+
15 8
r3a3 sin3 θ (r2 + a2)7/2
eφ
在远场条件下(r a)取第一项：
A(r, θ)
=
µ0 4π
I πa2 ez r3
×r
=
µ0 4π
m×r r3
★上式(3)相当于磁偶极子产生的矢势；
静磁场的空间特性
静磁场的空间特性王礼祥【摘要】由静磁场在空间点、线、面、体上的性质,逐一从局域(场点)到整体(场域)揭示静磁场的力的性质(施力特性)和能量的性质(做功本领),阐释静磁场的基本规律,即高斯定理和安培环路定理,并给出静磁场的两个重要制约依赖关系——唯一性定理和互易定理.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2017(017)012【总页数】4页(P106-109)【关键词】磁体(永磁体);静磁场;磁感应强度;磁通量;磁场环路定理;磁场高斯定理;磁场互易定理【作者】王礼祥【作者单位】西南民族大学预科教育学院,四川成都610041【正文语种】中文【中图分类】O44静磁场是存在于静止永磁体、稳恒电流周围的特殊物质，其基本的特征是能对磁针、磁体、电流、运动电荷施力和对磁针、磁体、电流、运动电荷做功，静磁场在空间的分布不时间变化；简而言之静磁场也跟静电场一样具有力的性质和能量的性质；静磁场与静电场的最大区别是静磁场为非保守力场，磁力做功必然伴随有能量损耗.类似于《静电场的空间特性研究》[1]，本文研究静磁场在空间点、线、面、体上的性质和遵循的规律.1 静磁场在“点”上的力性质静止永磁体（磁极N和S）、稳恒电流都能在自己的周围空间激发产生静磁场（磁场空间分布与强弱都不随时间变化），静磁场是特殊的物质，它的特殊性表现为能对磁针、磁体、电流、运动电荷施力或做功；本质上讲静磁场是由运动电荷激发产生的，也仅能对运动电荷施力或做功，即磁现象存在电本质——运动电荷产生磁场（动态时变化电场也能激发磁场），磁场也只对运动电荷施力或做功.静磁场既然是特殊的三维物质空间，则肯定由点、线、面组成，先从点出发考察静磁场的力性质.静磁场最基本的特征是能对磁针、磁体、电流、运动电荷施力并且场点不同、电流强度不同（运动电荷电量不同）、电流方向不同（运动电荷运动方向不同）受力也不同（磁针、磁体只能定性检验，实现不了定量描述），为定量描述静磁场在空间点上的力性质，必须引入在空间范围上可视为点的电流元Idℓ（有大小有方向的线元）或可视为点的运动试探电荷q0（速度为υ），又或者线度可忽略载流小线圈（电流I，面积dS），于是引出描述静磁场在空间点上力性质的物理量——磁感应强度矢量B，它有以下三种定义[3]：磁感应强度矢量B的方向沿Fmax×Idℓ的方向（小磁针在静磁场场点处静止时北极N指向也是磁场方向）.磁感应强度的单位是特斯拉（T），1 T=1 N(A∙M).（2）用静磁场对运动电荷的作用力来定义当试探电荷q0以速度υ通过静磁场中的场点时，该处存在一个特殊方向，不管电荷量多速度多快q0始终受力为0；而当试探电荷沿垂直此特殊方向上运动过场点时受磁力最大Fmax，则静磁场中场点处的磁感应强度大小为（1）用静磁场对电流元的作用力来定义当置试探电流元Idℓ于静磁场中场点处时，它受到的磁力（安培力）与试探电流元的取向有关，在某个特殊方向以及与之相反的方向上受磁力恒为零，将电流元转到与该方向垂直位置处所受磁力最大Fmax，则静磁场所点的磁感应强度大小定义为式中I、dS分别是载流小线圈中的电流强度和线圈面积，方向由Mmax×dS决定.B的单位是特斯拉（T），1 T=1(N∙M)(A∙M)=1 N(A∙M).磁感应强度矢量B的三种定义完全等效，只是各自使用的试探元不同.事实上磁感应强度矢量B与试探元无关，磁感应强度矢量B准确完备揭示了静磁场空间力的性质，即知道静磁场的B分布，任何运动电荷、任何电流元、任何载流小线圈置于静磁场空间中的任意位置它们所受力和所受力矩完全唯一确定，磁感应强度矢量B的空间分布完备描述了静磁场的力性质.静磁场条件下B仅是空间点的函数与时间t无关，即B不随时间变化.B的方向沿Fmax×υ的方向，也是静止小磁针北极指向.B的单位是特斯拉（T），1 T=1 N(C∙M∙S-1)=1 N(A∙M).（3）用静磁场对载流小线圈的作用力矩来定义当置载流小线圈于静磁场中的场点时，小线圈将受磁力矩作用，存在一个特殊方向载流小线圈不论电流多强面积多大都不受磁力矩作用（规定此时线圈正法向为磁场方向），而当线圈法向与该方向垂直时载流小线圈受到最大磁力矩Mmax作用，则静磁场中场点处的磁感应强度大小为由力的迭加原理，可自然导出静磁场的迭加原理：即多个静磁场分布于同一空间时，总静磁场等于各分磁场的矢量和.多个静磁场可以同时占据同一空间，这是场物质与实物物质的最大区别.为直观形象反映静磁场的空间分布引入磁感应线（磁力线）：它是被赋予以下特性的虚拟有向曲线，曲线上每一点的正切向表示该点处磁场方向，曲线在空间的分布疏密程度反映了磁感应强度的强弱，曲线的方向与电流方向（正电荷运动方向）满足右手螺旋关系.磁感应线（磁力线）是无头无尾的有向闭合曲线，预示磁场的无源性；磁感应线又互不相交，揭示静磁场在空间分布的唯一性，即静磁场在同一空间点上不存在两个方向；事实上静磁场是无源有旋场.2 静磁场在“线”上的性质与静电场一样，对静磁场的描述也存在局域性即静磁场中的场点也是宏观小微观大的邻域，并非真正意义的几何点；静磁场中的线元、面元和体元也是宏观小微观大的邻域，也就是说在线元、面元和体元内非均匀静磁场都可视为均匀场.2.1 静磁场在线元上的能量性质由于静磁场对电流、运动电荷的作用力是非保守力，所以不存在与磁力对应的静磁势，但静磁场的确是一种特殊的物质具有储能本领，能对外做功或吸收外界能量.2.1.1 静磁场对运动电荷做功静磁场对运动电荷的作用力称为洛仑兹力根据功的定义，洛仑兹力对运动电荷做功为由矢量矢积与标积运算恒等式(A×B)∙C=(A×C)∙B有式（7）说明洛仑兹力对运动电荷始终不做功，没有能量转移或转化.静磁场只改变运动电荷的运动方向不改变其运动快慢（速率），也正因为如此，所以在大型粒子加速器中用磁场改变带电粒子的运动方向用电场实现加速增能，磁镜中用磁场汇聚（聚焦）运动带电粒子.2.1.2 静磁场对电流元做功静磁场对载流导线的作用力称为安培力，电流元所受安培力是在安培力作用下电流元移动dr（线元）位移时，安培力对电流元做功为[4]上式中I是标量，可以提到括号外，dℓ×dr大小是电流元在线位移dr上移动扫过的面积（即面积元），方向即是叉乘右手螺旋指向，以面积元矢量表示为dS=dℓ×dr，故式（9）中dΦ=dS∙B，是磁感应强度B在dS上的通量，可见磁通量确实是从能量的角度描述静磁场的物理量，磁通改变反映了静磁场的做功本领，磁通变化是电磁感应精髓.2.1.3 静磁场对载流小线圈做功匀强静磁场对S载流线圈的作用力矩是设在此力矩作用下载流线圈的转动角位移为dθ，则此磁力矩对载流线圈所做的功是上式表明匀强静磁场对载流线圈所做的功直接由穿过刚性载流线圈的磁通改变量决定，再次说明磁通量的确是从能量角度描述了静磁场的物理量.非匀强静磁场对截流线圈既有磁力作用又有磁力矩作用，即因此非匀强静磁场对对截流线圈做功要复杂一些，但最终还是由磁通变化决定能量转移和转化.2.2 静磁场在闭合曲线上的性质当静磁场由稳恒电流激发产生时，由毕奥—萨伐尔定律有并对（12）式两边做任取回路L的线积分（即求环流）得应用斯托克斯定理化线积分为面积积分，从而有上式即为稳恒电流的安培环路定理[5]，说明B矢量在闭合曲线上的环流简单地等于闭合回路所围电流强度与真空导磁率的乘积.一般地由稳恒多载流导线激发产生的稳恒磁场的安培环路定理是可见，静磁场是有旋场，静磁场的磁感应强度B矢量的旋度在存在电流分布空间处不为零，在有电流分布的地方静磁场呈旋涡状.这一点与静电场完全不同，静电场是无旋场，在静电场空间中不存在旋涡分布.3 静磁场在“面”上的性质3.1 静磁场在面元上的性质静磁场在面元上的性质由磁感应通量简称磁通量来反映，磁通量的改变揭示了磁力做功过程，因此磁通量是从能量角度反映磁场性质的物理量.静磁场中面元dS上的磁通量定义为直观地说它就是穿过dS的磁感应线（磁力线）数，因此磁感应强度就是磁通数密度（单位面积上的磁力线数）.磁通量改变的快慢程度反映了静磁场做功的强弱或快慢，即功率的大小.3.2 静磁场在闭合曲面上的性质静磁场在闭合曲面S上的总通量应是对稳恒电流磁场，代入（12）易导出一般地由奥—高公式转化闭合曲面积分为体积分，可简化（16）式为所以得即静磁场的磁感应强度矢量在任意选取的闭合曲面上通量始终恒等于零，称此结论为静磁场高斯定理[6].也即静磁场B的散度恒等于零，静磁场是无源场.4 静磁场中的几个重要定理4.1 静磁场高斯定理静磁场的高斯定理的内容是：在静磁场空间中任取一闭合曲面S，磁感应强度B矢量穿过S的磁感应通量（磁通量）恒等于零，即定理揭示静磁场无源，磁感应线（磁力线）无头无尾，始终是闭合曲线；静磁场中闭合曲面上各点的B整体满足磁高斯定理.4.2 静磁场环路定理静磁场的环路定理[7-8]，其内容可表述为：真空中静磁场的磁感应强度沿任意闭合回路L的环流等于穿过L的所有稳恒电流强度代数和的μ0倍，即式（20）说明稳恒电流产生的静磁场B的环流仅由穿过L回路的电流强度代数和决定（电流强度的正负根据回路绕行方向和电流方向满足右手螺旋为正，反之为负），静磁场B在有电流分布之处其旋度不为零，即∇×B≠0.4.3 静磁场唯一性定理静磁场唯一性定理[9-10]的表述：真空中在静磁体系的研究区域V内，已知自由电流分布j(r)和V边界S上磁感应强度B的切向分量Bt|S，则V中静磁场的B唯一地确定.表明V内B由V内自由电流和界面上的B的切向分量Bt|S共同决定，界面上的B 的切向分量Bt|S等效代替了界面外自由电流对V内B的贡献.4.4 静磁场的互易定理静磁场的互易定理[12-14]内容：设真空中有n个形状任意、位置固定又互相耦合的载流线圈，如果使用它们通过的电流强度及相应磁通匝链数从一组确定状态：变到位另一组新状态则存在式（21）与静电场互易定理[15]非常相似.参考文献：[1]王礼祥.静电场的空间特性研究[J].西南民族大学学报(自然科学版),2013(2):216-221.[2]科学出版社名词室.物理学词典(上册)[M].北京:科学出版社,1998.[3]陈鹏万.大学物理手册[M].济南:山东科学技术出版社,1985.[4]郑荣曾.磁力做功问题的研究[J].华中师范大学学报,1987(1):142-147.[5]张慧琨,张俊玲.安培环路定理的表述及其证明方法[J].山西师范大学学报(自然科学版),2007(1):69-71.[6]张志荣,周佐.稳恒磁场高斯定理和安培环路定理的证明[J].河西学院学报,2009(2):28-29.[7]于连波,邹宁.安培环路定理的简便证明方法[J].大学物理实验,2003(2):30-31.[8]付静,姜广军,袁明霞.普通物理学中磁场安培环路定理的证明[J].长春工业大学学报(自然科学版),2012(6):709-711.[9]于少英,李子军.稳定磁场的唯一性定理及其证明[J].内蒙古民族师院学报(自然科学版),1994(2):27-28.[10]宋福,罗世彬.静磁场唯一性定理[J].大学物理,1996(9):1-3.[11]文盛乐.关于稳定磁场唯一性定理的再讨论[J].大学物理,1991(10):23-24.[12]凌瑞良,袁广宇.静磁场中的格林互易定理及其推证[J].淮北煤师院学报,1992(3):63-66.[13]谭博学,魏佩瑜,饶明忠.直流磁场的互易定理[J].山东工程学院学报,1998(2):7-10.[14]饶明忠,谭博学,魏佩鲤.广义电磁互易定理及其在涡流无损检测中的应用[J].电工技术学报,1999(2):47-50.[15]王礼祥.静电格林互易定理和静电独立情况下的格林互易定理[J].大学物理,1995(2):5-6.。
北大电动力学课的作业～
电动力学习题（2008年9月）第一章 电磁现象普遍规律1.1. 设 u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：∇f (u ) = ,df u du ∇ (),d u u du ∇=∇A A ()d u u du∇⨯=∇⨯A A 1.2. 根据算符 ∇ 的微分性和矢量性，推导下列公式∇(A ∙B ) = B ⨯(∇⨯ A ) + (B ∙∇) A + A ⨯(∇⨯ B ) + ( A ∙∇)B ,A ⨯(∇⨯ A ) =12∇ A 2-( A ∙∇) A .1.3. 设 R =x ' 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商()x y z x y z∂∂∂'∇=++'''∂∂∂e e e 与对场变量求微商()x y z x y z∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 的关系： ,R R R '∇=-∇=R 311,R R R'∇=-∇=-R 30,R ∇⨯=R 330.(0)R R R '∇=-∇=≠R R (2) 求∇∙R, ∇⨯R , (a ∙∇)R , ∇(a ∙ R ), ∇∙ [E 0sin(k ∙r )] 以及 ∇⨯[E 0sin(k ∙r )]， 其中 a , k 及E 0 均为常矢量。
1.4. 若m 是常矢量，证明除 R=0 点外，矢量 3R ⨯=m R A 的旋度等于标量 3R ϕ=m R 的梯度的负值，即 ϕ∇⨯=-∇A 。
其中 R 为原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
1.5. 应用高斯定理证明,V S dv d ∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰f s f 利用斯托克斯定理(用曲面积分来表示曲线积分) ,L S d d =∇⨯⎰⎰⎰f l f s 证明 S Ld d ϕϕ⨯∇=⎰⎰⎰s l 1.6. 球心为O 半径为 R 的均匀带电球，电荷密度为ρ，在O' 处挖去一个半 径为R/2的空洞，OO'=R/2，试算出空洞内的电场强度。
第三章 静磁场
ds1
e1
17
4、静磁场的唯一性定理 设区域V内电流分布Jf 及磁介质分布给定，在V 内 B=μH 成立，在V的边界S上A或H的切向分量给 定，则V内磁场唯一确定。
第三章 静磁场
18
5、静磁场的能量
磁场的能量密度
1 w BH 2
磁场的总能量
1 W B HdV 2V
i B A x Ax
j y Ay
k z Az
Az Ay B1 0 y z
Ax Az B2 0 z x
Ax B3 B0 x y Ay
第三章 静磁场
8
（3）规范条件 由于A的任意性，可以对它加上一定的限制条件，该条件 称为规范条件。例如规定A的散度为零总是可以做到的。
D f E 0 B 0 H J f
D f E 0
B 0 H J f
静磁场的问题 在给定自由电流分布和介质分布情况下，如何 求解空间中的静磁场微分方程边值问题的解。
在静磁场中，可以用矢势A和电流 J表示总能量，即 B H ( A) H ( A H ) A ( H ) ( A H ) A J 即有
1 W ( A H ) A J dV 2 1 1 1 ( A H ) ds A JdV A JdV 2 2 2 S
证明: 若
A u 0
A A
A A 2 u 2
取ψ 满足泊松方程 则有
静磁场知识点总结
静磁场知识点总结一、静磁场的产生静磁场是由电流所产生的。
根据安培定律，电流会在其周围产生磁场。
当电流通过一根直导线时，它所激发的磁场呈螺旋状环绕导线，在导线附近产生磁场。
此外，当电流通过一圈导线（螺线管）时，也会产生磁场，这种磁场的方向垂直于导线平面。
更一般地，当电流通过空间中的导线环路时，会产生磁场。
根据比奥-萨伐尔定律，通过空间中的任意闭合导线环路所围成的面积内的磁感应强度的环绕线积分等于通过该闭合环路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
因此，电流通过闭合环路所产生的磁场是与该闭合环路所围成的面积的大小和方向有关的。
静磁场也可由磁体所产生。
当通电线圈时，线圈内部会产生均匀的磁场。
这种磁场与电流所激发的磁场有类似的性质，可以用比奥-萨伐尔定律来描述。
二、静磁场的性质静磁场具有一系列的独特性质，这些性质对于理解磁场的行为与应用具有重要意义。
1. 磁感应强度的方向规律静磁场中的磁感应强度的方向可以用安培定则来描述。
根据安培定则，通过导线上的电流方向与其所围成的磁场方向之间存在着一定的规律。
具体来说，当通过一根右手螺旋已知电流方向（即螺旋螺距方向）的导线时，右手握住该导线的右手螺旋部分，使四指指向电流方向，则大拇指所指的方向即为磁场的方向；当通过一圈导线时，大姆指所指的方向即垂直于圈面的方向。
当电流方向为正电流时，磁感应强度的方向与通过导线的垂直向量方向相同；当电流方向为负电流时，磁感应强度的方向与通过导线的垂直向量方向相反。
这种规律为我们理解电磁现象提供了一种便捷的方法，也为我们设计和应用磁场提供了一些指导原则。
2. 磁感应强度的大小规律磁感应强度的大小与电流强度和导体空间位置有关。
通常情况下，当电流强度增加时，磁感应强度也会随之增加；当电流强度减小时，磁感应强度也随之减小。
此外，磁感应强度还与导体所处的空间位置有关。
电流距导线中心线越近，磁感应强度就越大；反之，距离越远，磁感应强度越小。
因此，磁感应强度的大小受电流的影响，并且与导体所处的空间位置相关。
第三章 静磁场-3
2、磁偶子项
A(1)(x) 0 J (x)x 1 dV
4
R
(3.4)
一个闭合电流管就相当于一个线圈，设线圈中有电流I， J(x′)dV′=Idl′
A(1) (x) 0I
4
(x 1 ) dl 0I
R
4
x
R R3
dl
(3.5)
一、矢势的多级展开
场点P一旦选定， R 就是一个恒矢量，与积分变量无关。
Be(0)]
m
Be(0)
i
I
i
dS [x
S
Be(0)]
W (1) m Be (0)
(3.16)
与电偶极子在外电场中的能量公式比较
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
We(1) p Ee
负号说明，电场力矩的作用使pe转到外电场的方向上。
在 We(1) pe Ee 中的负号说明，电场力对电偶极 子做功，相互作用能要减少。
W
1 2
(Ie
I e)
(3.18)
其中Φ是线圈L上的电流I 产生的磁场对Le的磁通量；
Φe是线圈Le上的电流Ie产生的磁场对L的磁通量。
我们把Φ和Φe叫做互感磁通.
E
d e dt
,Ee
d dt
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
E与Ee的出现，将导致L 和Le 中的电流发生改变， 要想保持I 和Ie 不变，必须由电源提供能量，以抵抗 感应电动势所作的功。
在δt 时间内感应电动势所作的功为
EI
t
EeIe
t
I
d e dt
t
Ie
d
dt
t
I
e
Ie
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
第三章 静磁场
A 0
分量形式为：
2 Ai Ji , i 1,2,3
结论：库仑规范下，矢势矢势也满足Poisson 方程
3、全空间的矢势解
① 若J已知，求A
对比
2
的解
(x)
1
4
(
x)dV
.
r
Jx'
方程 2 Ai Ji , (i 1,2,3) 的解应为： dV
Ai
(
x)
第三章 静磁场
➢ 本章主要讨论在给定稳定电流分布和磁介质分 布后如何求解空间的磁场分布。
➢ 在物理图像和解法上，稳恒磁场和静电场有许 多类似的地方。
稳定电流和稳恒电场
• 电荷守恒定律 • 稳定电流满足
J
0.
t
J 0.
J 0.
恒定电流体系的特点： ① 稳定电流的流动不会引起电荷的堆积； ② 导体的内部和周围空间存在一定的电场； ③ 对于通常的导体，由于损耗的存在，为保持 电流恒定流动，必须有电源提供外来电动势
0I 4
lim ln Z
1 1
1 R Z 2 1 R Z 2
ln
1 1
1 R0 Z 2 1 R0 Z 2
或者
Az
0I 2
ln
R R0
利用 B A
B
f z R
e
0I 2R
e
Az
0I 2
ln
R R0
在柱坐标系中，
f
1 r
f z
f z
er
fr z
f z r
e
1 r
rf r
1 r
Jx'dV
'
0
4
J r
三章静磁场Staticmagneticfield
1、矢势 稳恒电流磁场的基本方程是
B
0
H j
由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋 的，即引入标势 来描述。而磁场是有旋的，一般不 能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场 是无源的，可以引入一个矢量来描述它。
即若
B 0
则
B A
A称为磁场的矢势。
根据
r
Ò B
，dS可r 得0到
即在两介质分界面上A ，2S 矢 势A 1 AS 是连续的。
(7
4、静磁场的能量 磁场的总能量为
1rr
W
2
V
B
HdV
在静磁场中，可以用矢势 A和电流 表 j 示总能量，即
B H(A) H
(AH)A(H)
(AH)A j
即有：
W
1 2
rr
( A H )
r A
r j dV
1 2
Ò S
I 2
1 R
eR
ez
I 2R
ez
eR
I 2R
e
结果与电磁学求解一致。
[例2]半径为a的导线园环载电流为I，求空间的矢势和 磁感应强度。
Solution:
首先求解矢势
A
P(r,θ,φ)
z
R
r
A
0
r j
(
xr )
dV
4 V
r r
0 4
Ñ
I
d r
l
x
r
θ
o
y
φ' a
Idl (a,φ',o)
布 的情况，所以无法从（1）式求场，只有从（2）
式出发： 即
j c ( E E 外 ) 0
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=
1 2
(E
·
D
+
H
·
B)
★磁场的总能量：
W
=
1 2
H · B dV
★用矢势和电流来表示总能量：
W
=
1 2
=1 2
=
1 2
=
1 2
H · B dV
=
1 2
(∇ × A) · H dV
[∇ · (A × H) + A · (∇ × H)] dV
(A
×
H)
·
dS
+
1 2
A · J dV
A · J dV
(1)
E
∝
1 r2
↔ϕ∝
1 r
II
E
∝
1 r
↔ ϕ ∝ ln r
◆
静磁场：B ∝
1 r
↔ A ∝ ln r
★ 注意公式A = −
µI 2π
ln
r R0
ez中，当r → ∞时A → ∞
★ 由∇ × A = B与∇ × B = µ0J 方程的相似性：安培环路定理
★
两个常用公式：∇
×
(
eθ r
)
=
0
(r = 0),
只有横向，没有纵向方 程，当然不确定
可不可以加这个条件？
§ 1.4 库仑规范条件存在性
【求证】 总可以找到一个A，既满足B = ∇ × A，又满足库仑规范条 件。
【证明】 设某一解A符合B = ∇ × A，但不满足∇ · A = 0
∇·A=u=0
设A = A + ∇ψ，故： ∇ · A = ∇ · A + ∇2ψ = u + ∇2ψ
A · dl = ∇ × A dS = B dS
L
S
S
★正是由于B的无源性，决定了A环量的唯一性。
只有环量才有物理意义
附图：不同曲面上B的面 积分相同。与静电场E的 线积分相似。
1
§ 1.3 矢势A的不确定性
【举例】 沿z轴方向的均匀磁场可以用多个A来描述：
Bx = By = 0
,
Bz = B0
∂Ay ∂x
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A
(∇ · A = 0)
∇2A = −µJ
∇2Ai = −µJi
,
(i = 1, 2, 3)
★对比静电势的方程∇2ϕ
=
−
ρ ε0
，可得
A(x)
=
µ 4π
J
(x r
)
dV
★由于在第一章中已经证明过∇ · A = 0，故此上式确为矢势方程的解。
2
矢势的微分方程（续）
让方程右端为零
取ψ为如下泊松方程的解
∇2ψ = −u
并带回到A 的表达式，所得到A 的满足库仑规范条件∇ · A = 0。
确定了 A ，就可以用矢 势方程描述静磁场
§ 1.5 矢势的微分方程
★在均匀线性介质中有B = µH，联立B = ∇ × A以及∇ × H = J可 得：
∇ × (∇ × A) = µJ
∇ × (reθ) = 2ez
§ 1.11 例二
【问题】 半径为a的导线圆环载电流I，求矢势和磁感应强度。
【解】
书上用A(x)
1
5
9
14
15
第一节 静磁场的矢势
§ 1.1 静磁场矢势的引入
★描述恒定电流磁场的基本方程： ∇×H =J ∇·B =0
B = µ0(H + M ) ★由静电场的无旋性引入静电标势⇒静磁场的无源性引入矢势
∇·B =0⇒B =∇×A ★A称为磁场的矢势。
§ 1.2 矢势A的物理意义
【意义】 沿任一闭合回路A的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的 磁通量。
★对于非铁磁介质H
=
B µ
，矢势的边值关系为：
n · (∇ × A2 − ∇ × A1) = 0
n
×
(1∇ µ2
×
A2
−
1∇ µ1
×
A1)
=
αf
★当 A · dl = B · dS → 0时，式(1)可以简化为：
★即A的切向分量连续。
A2t = A1t
§ 1.7 静磁场的能量
★各向同性线性介质中电磁场能量密度：ω
第三章 静磁场
内容提要
1 静磁场的矢势 2 静磁标势 3 磁多极矩 4 阿哈罗诺夫–玻姆(Aharonov–Bohm)效应 5 超导体的电磁性质
本章的学习方法：比较静 电场和静磁场的异同 静电场和静磁场的差别： 没有自由磁荷存在，基本 单元为磁偶极子； 尽管导体内部存在纵向电 场，由导体表面带电导致 横向电场，但由于恒定情 况下，电磁场不发生直接 联系，可以分开求解。
由给出的A的表达式，可以求出B为：
B =∇×A=∇× µ 4π
J(x ) dV r
=µ 4π
∇ 1 × J(x )dV r
=µ 4π
J
(x ) r3
×
r
dV
★也就是毕奥—萨伐尔定律。
§ 1.6 矢势的边值关系
上述给出的是无界空间的 解
n · (B2 − B1) = 0
n × (H2 − H1) = αf
−
∂Ax ∂y
=
B0
,
∂Az − ∂Ay = ∂Ax − ∂Az = 0 ∂y ∂z ∂z ∂x
Ay = Az = 0 , Ax = −B0y
也可以是：
Ax = Az = 0 , Ay = B0x
★事实上A + ∇ψ与A对应着同一个B：∇ × (A + ∇ψ) = ∇ × A ★这种任意性决定了只有A的环量才有意义，A本身无直接意义 ★库仑规范条件：∇ · A = 0
★所以可得电流J 在外磁场中的相互作用能：
书上P104公式？ 注意与静电能比较
Wi =
Ae · J dV
§ 1.10 例一
【问题】 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。
【解】
书上用A(x)
=
µ 4π
【讨论】
J (x r
) dV
积分求解，略去不讲；
★ 用量纲分析的方法看此题：
4
◆
静电场：I
这是一个重要条件。反 例：螺线管
书上关于An 的讨论不合 适
(2)
与静电能比较 自能？互能？
3
§ 1.8 静磁场能量的讨论
★ 公式(2)仅是在静磁场下才成立；
★
电磁场的能量是分布在场中的，
1 2
A
·
J
决不是能量密度；
★
用能量密度可以计算某区域内的电磁场能量，
1 2
A
·
J
仅在求总能量时有
意义。
★ 在式(2)中，矢势A是由电流分布J本身激发的。
§ 1.9 电流在外磁场中的能量
【已知】 某电流分布J 在给定外磁场中，外磁场的矢势为Ae，产生该外 磁场的电流分布为Je；
【求解】 电流在外磁场中的相互作用能。
【解】 总电流分布为J + Je，总磁场矢势为A + Ae，故磁场的总能量
为：
W
=
1 2
(A + Ae) · (J + Je) dV
★电流分布Je及J 产生磁场的自能分别为：
W1
=
1 2
Ae · Je dV
,
W2
=
1 2
A · J dV
★故相互作用能为
Wi
=
W
−
W1
−
W2
=
1 2
(A · Je + Ae · J ) dV
电流在外磁场中的能量（续）
★由于：
Ae
=
µ 4π
Je(x ) dV r
,
A
=
µ 4π
J
(x r
)
dV
故此：
1 2
(A · Je) dV
=
1 2Leabharlann (Ae · J ) dV