2006年广东省佛山市课改实验区

佛山市2006年高中阶段学校招生考试
数学试卷（课改实验区）
说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分130分，考试时间90分钟． 注意事项：
1． 试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上．
2． 要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签
字笔描黑．
3． 其余注意事项，见答题卡．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．4的平方根是（ ）
Ａ．2±
Ｂ．2
Ｃ．12± Ｄ．12
2．某天傍晚，北京的气温由中午的零上3℃下降了5℃，这天傍晚北京的气温是（ ） Ａ．零上8℃ Ｂ．零上2℃ Ｃ．零下8℃ Ｄ．零下2℃ 3．计算32()x x -·的结果是（ ）
Ａ．5x Ｂ．6x Ｃ．5x - Ｄ．6x - 4．在下面4个图案中，为中心对称图形的是（ ）
Ａ．①，② Ｂ．①，③ Ｃ．①，④ Ｄ．③，④ 5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ． 下列结论中正确的个数有（ ）
结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥， ④180BAD ABC ∠+∠=． Ａ．1个 Ｂ．2个
Ｃ．3个 Ｄ．4个
①
②
③
④
A C
第5题图
6．函数y x =-和2
y x
=
在同一坐标系中的图象大致是（ ）
7．如图，是一个比例尺1:100000000的中国地 图，则北京、佛山两地之间的实际直线距离大 约是（ ）
Ａ．31.810⨯km Ｂ．61.810⨯km Ｃ．31.610⨯km Ｄ．61.610⨯km
８．如图，平地上两棵不同高度、笔直的小树， 同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别 是AB DC ，，则（ ）
Ａ．四边形ABCD 是平行四边形 Ｂ．四边形ABCD 是梯形 Ｃ．线段AB 与线段CD 相交
Ｄ．以上三个选项均有可能
9．某人在做掷硬币实验时，投掷m 次，正面朝上有n 次（即正面朝上的频率是n p m =）．则下列说法中正确的是（ ） Ａ．p 一定等于
12
Ｃ．p 一定不等于
12
Ｃ．多投一次，p 更接近
12
Ｄ．投掷次数逐渐增加，p 稳定在
1
2
附近 10．如图，矩形草坪ABCD
中，10m AD AB ==，． 现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG ，扇环的圆心 分别是B D ，．若便道的宽为1m ，则这条便道的面积大约 是（ ）（精确到20.1m ）． Ａ．29.5m Ｂ．210.0m
Ｃ．210.5m Ｄ．211.0m
A
B
C
D
第8题图
A
第10题图
C
B
D G F
H E y y y y
x
x
x
x
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
O
O
O
O
第7题图
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中）．
11
2cos45-= ．
12．圆和圆有多种位置关系，与图中不同的 圆和圆的位置关系是 ．
13．为了解佛山市老人的身体健康状况，在以下抽样调查中，你认为样本选择较好的是 （填序号）．
①100位女性老人；
②公园内100位老人； ③在城市和乡镇选10个点，每个点任选10位老人．
14．如图，数轴上的两个点A B ，所表示的数分别 是a b ，，在a b a b ab a b +--，，，中，是正数的有 个．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a ，则图 中四个小正方形A B C D ，，，的面积之和是 ．
三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16～20题每小题6分，21~23题每小题10分，24题12分，25题13分，共85分）
16．化简：22
2xy x
x y x y +-+．
17．右图是一个正方体的展开图，标注了字母“a ”的 面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式
第12题图 第14题图
B O A x
第17题图
第15题图 A
B
C
D
a
的值相等，求x y ，的值．
18．某初级中学为了解学生的身高状况，在1500名学生中抽取部分学生进行抽样统计，结果如下．
请你根据上面的图表，解答下列问题： （1）m = ，n = ； （2）补全频数分布直方图； （3）指出“众数”、“中位数”各在哪一组？（不要求说明理由）
19．小明、小华用牌面数字分别为1，2，3，4的4张扑克牌玩游戏．他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面．若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜．
这个游戏公平吗？请说明理由．
第19题图
） 第18题图
20．已知：如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过点C 作O 的切线与AB 的延长线
交于点D ．若30CAB ∠=，30AB =，求BD 的长．
21．如图，D E ，分别为ABC △的边AB AC ，上的点，BE 与CD 相交于O 点．现有四个条
件：①AB AC =，②OB OC =，③ABE ACD ∠=∠，④BE CD =．
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 （均填序号）． （2）证明你写出的命题． 已知： 求证： 证明：
22．已知：Rt OAB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．
问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．
第21题图
B C
第20题图
A D
第22题图
x
23．某工厂现有甲种原料226kg ，乙种原料250kg ，计划利用这两种原料生产A B ，两种产品共40件，生产A B ，两种产品用料情况如下表：
设生产A 产品x 件，请解答下列问题：
（1）求x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；
（2）若甲种原料50元／kg ，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？
24．已知：在四边形ABCD 中，1AB =，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，上的点， 且AE BF CG DH ===．设四边形EFGH 的面积为S ，(01)AE x x =≤≤． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，
①求S 关于x 的函数解析式，并求S 的最小值0S ；
②在图2中画出①中函数的草图，并估计0.6S =时x 的近似值（精确到0.01）；
（2）如图3，当四边形ABCD 为菱形，且30A ∠=时，四边形EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，提示研究对象的本质特征． 比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：235222⨯=，347222⨯=，268
222⨯=，⇒…222m n m n +⨯=， ⇒…m
n m n a a a +=·（m n ，都是正整数）． 方格边长0.1 第24题图2 y x O A E
C G
D H 第24题图1 第24题图3 A B G D C
F
H E
我们亦知：
221331+<
+，222332+<+，223333+<+，224
334
+<+，…． （1）请你根据上面的材料归纳出(00)a b c a b c >>>，，，之间的一个数学关系式； （2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m 克糖水里含有
n 克糖，再加入k 克糖（仍不饱和）
，则糖水更甜了”； （3）如图，在Rt ABC △中，90()C CB a CA b AD BE c a b ∠=====>，，，．能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明．
佛山市2006年高中阶段学校招生考试数学试卷
参考答案及评分标准（课改实验区）
11．0 12．相切 13．③ 14．1 15．2a （注：12题填“外切”、“内切”、“外切或内切”、“外切和内切”均不扣分；13题填③给3分、填①或②均给1分）
三、解答题答案及评分标准：
16．解：原式2()
()()()()xy x x y x y x y x y x y -=++-+- ·····························································
··········· 2分
22()()()()()xy x xy x x y x x y x y x y x y x y
+-+===-+-+-．（1＋2＋1分） ······················································· 6分 A
B
E 第25题图
17．解：根据题意，得255 1.x y x y -=⎧⎨-=+⎩
，
········ 4分
解方程组，得3x =，1y =． ····················· 6分
18．解：（1）9m =，0.45n =； （2）如图；
（3）“众数”、“中位数”都在第3组．
（每个小题2分）
19．解：这个游戏不公平． ··································································································· 1分
理由：因为一次抽出两张牌的组合共有(1
2)(13)(14)(23)(24)(34)，，，，，，，，，，，，六种情况，其中有4组中的两数和是奇数． ··········································································································· 4分 所以421
()()633
P P =
==小明获胜小华获胜，． ······························································· 6分 因此，这个游戏不公平．
20．解：连结OC ． ··············································································································· 1分 CD 是O 的切线，
OC CD ∴⊥，且1
152
OC OA OB AB ===
=． ·
······································································ 3分 30CAB ∠=，
260COD CAB ∴∠=∠=，即30D ∠=． ················· 4分
∴在Rt OCD △中，230OD OC ==． ·
······················ 5分 15BD OD OB ∴=-=． ············································· 6分
（注：其他解法相应给分）
21．解：（1）①，③；②，④． ······························· 4分 （注：①④为题设，②③为结论的命题不给分， 其他组合构成的命题均给4分）
（2）已知：D E ，分别为ABC △的边AB ，AC 上的点， 且AB AC =，ABE ACD ∠=∠． 求证：OB OC BE CD ==，． ···································· 5分 证明：
AB AC =，ABE ACD ∠=∠，
ABC ACB ∴∠=∠，且ABE ACD △≌△．
BE CD ∴=． ··························································································································· 8分
第21题图
B C
第20题图
A D
） 第18题图
又BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∠=∠-∠=∠-∠=∠， BOC ∴△是等腰三角形． OB OC ∴=． ························································································································ 10分 22．解：过P 作1PC OA ⊥，垂足是1C ， 则1OC P OAB △∽△．
点1C 坐标是(30)，． ···················································· 2分
过P 作2PC AB ⊥，垂足是2C ， 则2PC B OAB △∽△．
点2C 坐标是(64)，． ··················································· 4分
过P 作3PC OB ⊥，垂足是P （如图），
则3C PB OAB △∽△，3BC BP
BO BA
∴
=
． ······················· 6分 易知1058OB BP BA ===，，， 3254BC ∴=
，3257844
AC =-=． ······························ 8分 37
(6)4
C ∴，． ···························································································································· 9分 符合要求的点C 有三个，其连线段分别是123PC PC PC ，，（如图）． ······························· 10分 23．解：（1）根据题意，得73(40)226410(40)250.
x x x x +-⎧⎨+-⎩，≤≤ ······························································ 3分
这个不等式组的解集为2526.5x ≤≤． 又x 为整数，所以25x =或26． ···························································································· 5分 所以符合题意的生产方案有两种：
①生产A 种产品25件，B 种产品15件； ②生产A 种产品26件，B 种产品14件． ············································································ 7分 （2）一件A 种产品的材料价钱是：750440510⨯+⨯=元． 一件B 种产品的材料价钱是：3501040550⨯+⨯=元． 方案①的总价钱是：2551015550⨯+⨯元． 方案②的总价钱是：2651014550⨯+⨯元．
2551015550(2651014550)55051040⨯+⨯-⨯+⨯=-=元． ··············································· 9分 由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优． ····························· 10分 24．（1）①解：在Rt AEH △中，AE x =， 1AH x =-，
则2222(1)221S HE x x x x ==+-=-+ 2
11222x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
． ················ 3分
∴当12x =
时，01
2
S =． ······ 4分 ②列表：
第24题图2
方格边长0.1
O
y x 1
1x
在直角坐标系中描点、画图（图2中粗线）． ······································································· 6分 （注：作图时，不列对应值表不扣分）
观察函数的图象，可知当0.6S =时，0.27x ≈和0.73x ≈． ················································ 7分 验证：当0.27x =时，0.6029S =；当0.28x =时，0.5984S =． 从而取0.28x ≈．同理取0.72x ≈． ······················································································· 8分 （2）四边形EFGH 的面积存在最小值． 理由如下：
由条件，易证AEH CGF △≌△，EBF GDH △≌△． ························································· 9分 作H M AE ⊥于M ，作FN EB ⊥且FN 交EB 的延长
线于N ．
AE x =，则1AH x =-，又在Rt AMH △中， 30HAM ∠=，
11(1)22HM AH x ∴==-．同理得11
22FN BF x ==． 11(1)24
AEH
S AE HM x x ∴==-△·， 11
(1)24EBF S EB FN x x ==-△·． ·
······························ 11分 又1
2
ABCD
S =，2
2111114(1)24224S x x x x x ⎛⎫∴=--=-+=-+ ⎪⎝⎭·． ∴当12
x =
时，四边形EFGH 的面积存在最小值1
4． ························································ 12分
25．（1）解：a b c ，，的数学关系式是b b c a a c
+<
+． ······························································· 4分 （2）解：因为n n k m m k +<
+，说明原来糖水中糖的质量分数n
m
小于加入k 克糖后糖水中糖的 质量分数
n k
m k
++，所以糖水更甜了． ····················································································· 6分 （3）证法一：在Rt ABC △和Rt DEC △中， tan tan b b c
ABC DEC a a c
+∠=∠=
+，． ··························· 8分 过A 点作AF CE ∥，交ED 于F 点，则DAF DCE △∽△． DC DA
EC FA
∴
=
． ···························································· 9分 DC DA AC EB BC EC =+<+=，
DA AF ∴<．
··············· ············································ 10分 而DA EB =，
AF EB ∴>．
···························································· 11分 如图1，过A 点作AG ED ∥，则AG 必与EB 的延长线交于G 点，
DEC AGC ABC ∴∠=∠>∠． ··································· 12分 tan tan DEC ABC ∴∠>∠． ······································ 13分 A
B
E
图1
A
B
E
图2
第24题图3
A
B
F
C G
D H
E M
N
b c b a c a
+∴>+． 另证一：用图2与上面同理说明，对应给分． 另证二：同证法一，知AF AD BE >=，且AF BE ∥，
故AB 与FE 的延长线的交点G 必 在BE 的下方（图3）．
DEC EBG ABC ∴∠>∠=∠． ··········································· ···················································· 12分 tan tan DEC ABC ∴∠>∠． ··································································································· 13分 b c b a c a +∴
>+．
A
G。