【2019秋人教必修2】6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
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平面向量数乘运算的坐标表示 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解：（2）如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，
有两种情况
1
P1 P PP2
2
P1P 2PP2 .
2 x1 x2 2 y1 y2
(
,
)
3
3
x1 2 x2 y1 2 y2
（
,
)
3
3
巩固新知
探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，
文字语言：实数与向量的积的坐标等于用这个实
数乘原来向量的相应坐标.
巩固新知
例1 已知 a (2,1), b ( 3,4),
解：
求
3a 4b 的坐标.
新知探究
向量与（ ≠ ）共线的充要条件是什么？
向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ，使 a b
如何用坐标表示两个向量共线的条件？a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
所以 AB // AC
y
因为有公共点A，
所以，A，B，C三点共线。
课堂练习
练习 已知点 A(0,1), B(1,0), C (1,2), D(2,1), 试判断 AB与
CD的位置关系，并证明.
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
x1 x2
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
即 1 1
即
2
2
y1 y2
整理得 x1 y2 x2 y1 0
这就是说，向量 a, b(b 0) 共线的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
有两种情况
1
P1 P PP2
2
P1P 2PP2 .
2 x1 x2 2 y1 y2
(
,
)
3
3
x1 2 x2 y1 2 y2
（
,
)
3
3
巩固新知
探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，
文字语言：实数与向量的积的坐标等于用这个实
数乘原来向量的相应坐标.
巩固新知
例1 已知 a (2,1), b ( 3,4),
解：
求
3a 4b 的坐标.
新知探究
向量与（ ≠ ）共线的充要条件是什么？
向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ，使 a b
如何用坐标表示两个向量共线的条件？a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
所以 AB // AC
y
因为有公共点A，
所以，A，B，C三点共线。
课堂练习
练习 已知点 A(0,1), B(1,0), C (1,2), D(2,1), 试判断 AB与
CD的位置关系，并证明.
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
x1 x2
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
即 1 1
即
2
2
y1 y2
整理得 x1 y2 x2 y1 0
这就是说，向量 a, b(b 0) 共线的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
高中数学人教版A(2019)必修第二册课件： 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
即
Ԧ = ( ， ).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
例6 已知Ԧ = (2 ， 1)， = (−3 ， 4)，求3Ԧ + 4的坐标.
解： 3Ԧ + 4 = 3(2 ， 1) + 4(−3 ， 4)
= (6 ， 3) + (−12 ， 16)
= (−6 ， 19).
D. Ԧ = (0 ， − 1) ， = (3 ，1)
解：若与
Ԧ
( ≠ 0)共线，则存在实数，使得Ԧ = . 经过验证，只有B
满足条件 = −2.故选B.
Ԧ
1
3
2
3
3. 已知(−1 ，2) ， (2 ，8)，若 = ， = − ，则
(1 , 2)
的坐标为__________.
是什么？
解：设点P是线段1 2 上的一点，1 (1 ，1 )，2 (2 ，2 )，( ，)，
那么 = 1 + 1 = 1 + 2 = 1 + (2 − ).
于是 1 + λ = 1 + 2 .
即 1 + λ ( ，) = 1 ，1 + λ 2 ，2 = (1 + λ2 ，1 + λ2 )，
3. 中点坐标公式的推导与应用.
解：（1）如图，由向量的线性运算可知
=
1
1 + 2
1 + 2
1 + 2 = (
，
).
2
2
2
所以，点P的坐标是
1 +2
2
，
1 +2
2
.
中点坐标公式：若点1 ，2 的坐标分别为(1 ，1 )，(2 ，2 ) ，
Ԧ = ( ， ).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
例6 已知Ԧ = (2 ， 1)， = (−3 ， 4)，求3Ԧ + 4的坐标.
解： 3Ԧ + 4 = 3(2 ， 1) + 4(−3 ， 4)
= (6 ， 3) + (−12 ， 16)
= (−6 ， 19).
D. Ԧ = (0 ， − 1) ， = (3 ，1)
解：若与
Ԧ
( ≠ 0)共线，则存在实数，使得Ԧ = . 经过验证，只有B
满足条件 = −2.故选B.
Ԧ
1
3
2
3
3. 已知(−1 ，2) ， (2 ，8)，若 = ， = − ，则
(1 , 2)
的坐标为__________.
是什么？
解：设点P是线段1 2 上的一点，1 (1 ，1 )，2 (2 ，2 )，( ，)，
那么 = 1 + 1 = 1 + 2 = 1 + (2 − ).
于是 1 + λ = 1 + 2 .
即 1 + λ ( ，) = 1 ，1 + λ 2 ，2 = (1 + λ2 ，1 + λ2 )，
3. 中点坐标公式的推导与应用.
解：（1）如图，由向量的线性运算可知
=
1
1 + 2
1 + 2
1 + 2 = (
，
).
2
2
2
所以，点P的坐标是
1 +2
2
，
1 +2
2
.
中点坐标公式：若点1 ，2 的坐标分别为(1 ，1 )，(2 ，2 ) ，
平面向量数乘运算的坐标表示课件高一下学期数学人教A版(2019)2
三 、新知巩固
2.证明三点共线问题
例 8 已知 A(1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，判断 A ， B ， C 三点之间的位置关系．
解：在平面直角坐标系中作出 A ， B ， C 三点，观察图形， 我们猜想 A ， B ， C 三点共线
因为 AB (1 (1), 3 (1)) (2, 4) ，
人教2019A版必修 第二册
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
懦夫从未启程，弱者死于路上，强者从不停下！
一 、复习引入
1、平面向量加、减运算的坐标表示
已知 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) ，
则 a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
2、向量共线定理
向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
，使
b
a
.
二 、新知探究
思考1 已知 a (x, y) ，你能得出 a 的坐标吗？ a (xi y j) xi y j ， 即 a (x,y).
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
练一练
O
x
三 、新知巩固
结论
若点 P1, P2 的坐标分别是 (x1, y1 ) ， (x2 , y2 ) ，线段 P1P2 的中点
为 P 的坐标为 (x, y) ，则
x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.
练一练（书P33练习4）
三 、新知巩固
（2）当 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标。
2019-2020学年度新人教A版必修第二册第6章 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课件
[思路探究] 法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝ λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；
法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同 向还是反向．
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[解] 法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k ＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以k2－k＋3＝ 2＝10－λ，4λ，
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2．下列各对向量中，共线的是( ) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝( 2，－1)，b＝(1， 2) D．a＝(1， 2)，b＝( 2，2) D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝ 2 a，两个向量共 线．]
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3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________. －4 [∵a∥b，∴－63＝2y，解得y＝－4.]
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2．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条 件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 _x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0__.
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思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成 xx12＝yy12吗？
[证明] A→B＝8－1，12＋3＝7，72，A→C＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0， ∴A→B∥A→C，且A→B，A→C有公共点A， ∴A，B，C三点共线.
法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同 向还是反向．
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[解] 法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k ＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以k2－k＋3＝ 2＝10－λ，4λ，
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2．下列各对向量中，共线的是( ) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝( 2，－1)，b＝(1， 2) D．a＝(1， 2)，b＝( 2，2) D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝ 2 a，两个向量共 线．]
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3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________. －4 [∵a∥b，∴－63＝2y，解得y＝－4.]
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2．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条 件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 _x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0__.
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思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成 xx12＝yy12吗？
[证明] A→B＝8－1，12＋3＝7，72，A→C＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0， ∴A→B∥A→C，且A→B，A→C有公共点A， ∴A，B，C三点共线.
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共17张ppt)
是存在实数 ，使 a b .
x1 x 2 ,
如果用坐标表示，可写为 ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ，即
，
y1 y 2 .
消去 ，得 x1 y 2 x 2 y1 0 .
a 与 b （ b 0 ）共线的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 .
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
新知探究
例6：已知Ԧ = (2,1)， = (−3,4)，求3Ԧ + 4的坐标.
解：3Ԧ + 4 = 3(2,1) + 4(−3,4)
= (6,3) + (−12,16)
= (−6,19).
已知＝(
Ԧ
Ԧ ± ＝(1 ±2 , 1 ± 2 )
又直线，直线有公共点，
所以，，三点共线.
y
5
C
4
3
B
2
1
-1 O 1 2 x
A
练习巩固
练习3：已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5, −3)，判断AB与CD是否共线？如果共线，
它们的方向是相同还是相反？
解： = (0,4) − (2,1) = (−2，3)， = (5, −3) − (1,3) = (4， − 6).
新知探究
向量平行
向量//
Ԧ
≠ 0 ⟺ Ԧ =
⟺ 1 Hale Waihona Puke 2 − 2 1 = 0＝(
Ԧ
1 , 1 )，＝(2 , 2 )
例7：已知Ԧ = (4,2)， = (6, y)，且//，求y.
Ԧ
解：因为//，所以4
Ԧ
− 2 × 6 =0.解得 = 3.
x1 x 2 ,
如果用坐标表示，可写为 ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ，即
，
y1 y 2 .
消去 ，得 x1 y 2 x 2 y1 0 .
a 与 b （ b 0 ）共线的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 .
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
新知探究
例6：已知Ԧ = (2,1)， = (−3,4)，求3Ԧ + 4的坐标.
解：3Ԧ + 4 = 3(2,1) + 4(−3,4)
= (6,3) + (−12,16)
= (−6,19).
已知＝(
Ԧ
Ԧ ± ＝(1 ±2 , 1 ± 2 )
又直线，直线有公共点，
所以，，三点共线.
y
5
C
4
3
B
2
1
-1 O 1 2 x
A
练习巩固
练习3：已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5, −3)，判断AB与CD是否共线？如果共线，
它们的方向是相同还是相反？
解： = (0,4) − (2,1) = (−2，3)， = (5, −3) − (1,3) = (4， − 6).
新知探究
向量平行
向量//
Ԧ
≠ 0 ⟺ Ԧ =
⟺ 1 Hale Waihona Puke 2 − 2 1 = 0＝(
Ԧ
1 , 1 )，＝(2 , 2 )
例7：已知Ԧ = (4,2)， = (6, y)，且//，求y.
Ԧ
解：因为//，所以4
Ԧ
− 2 × 6 =0.解得 = 3.
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 教案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示教学内容前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
一、教学目标1、掌握向量数乘的坐标运算法则及简单应用.2、体验向量的几何形式与坐标表示的数形转化，培养学生数学运算的核心素养.二、教学重点、难点重点：向量数乘的坐标运算法则难点：向量数乘的坐标运算法则的简单应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【向量a 的坐标表示为(,)a x y =.1212(,)a b x x y y +=++ 1212(,)a b x x y y -=--已知1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩【向量共线定理】向量(0)a a ≠与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b a λ=.【探究1】已知(,)a x y =，那么a λ=？（二）阅读精要，研讨新知【发现】()a xi y j xi y j λλλλ=+=+，即(,)a x y λλλ=【结论】实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【例题研讨】例6 已知(2,1),(3,4)a b ==-，求34a b +的坐标.解：34a b +3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)=+-=+-=-【探究2】如何用坐标表示两个向量共线（平行）的条件?【发现】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.因为向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ，使a b λ=.所以1122(,)(,)x y x y λ=1212x x y y λλ=⎧⇒⎨=⎩，消去λ，得12210x y x y -=【结论】向量,a b 共线（平行）的充要条件是12210x y x y -=.【例题研讨】阅读领悟课本31P 例7、例8、例9（用时约为1-3分钟，教师作出准确的评析.）例7 已知(4,2),(6,)a b y ==，且//a b ，求y .解：因为//a b ，所以4260y -⨯=，所以3y =例8已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --，判断,,A B C 三点之间的位置关系. 解：作图观察，猜想,,A B C 三点共线，然后证明. 因为(2,4),(3,6)AB AC == 因为26340⨯-⨯= 所以//AB AC又直线,AB AC 有公共点A所以,,A B C 三点共线.例9设P 是线段12P P 上的一点，点111222(,),(,)P x y P x y . （1）当P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； （2）当P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：（1） 如图6.3-16，P 是线段12P P 的中点所以1212121()(,)222x x y y OP OP OP ++=+= 所以点P 的坐标是1212(,)22x x y y ++---中点坐标公式（2）如图 6.3-17,当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，有两种情况，即1212PP PP =或122PP PP =.如果1212PP PP =，那么11OP OP PP =+11213OP PP =+1211()3OP OP OP=+- 1212122221(,)3333x x y y OP OP ++=+=，P 点坐标为121222(,)33x x y y ++. 同理，如果122PP PP =，那么P 点坐标为121222(,)33x x y y ++.【小组互动】完成课本33P 练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知向量(3,2),(5,1)OA OB =-=--，则向量12AB 的坐标是（ ） A.1(4,)2- B. 1(4,)2- C.3(1,)2-- D.(8,1) 解：1111()(53,12)(4,)2222AB OB OA =-=---+=-，故选A2. 已知向量(1,2),(2,3),(3,4)a b c ===,且12c a b λλ=+，则12,λλ的值分别为 ( ) A. 2,1- B. 12-， C. 21-，D. 1,2-解：因为12c a b λλ=+，所以121212(3,4)(1,2)(2,3)(2,23)λλλλλλ=+=++ 所以121223234λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,2λλ=-=。
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
数
.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x_1_y_2_－__x_2y__1 ＝0 时，向量a，b(b≠0)共线.
易错辨析
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则xy11＝xy22 ×.(
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线 的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练
已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A→B与A→C
→ 解 因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
→ AC＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，
→→→ AC＝OC－OA＝(1－2k，－3)，
→→ 由题意可知AB∥AC，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
解得 k＝－14(k＝1 不合题意，舍去).
反思感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
解析 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0，
解得 k＝－13.
→
→
→
(2)已知OA＝(k,2)，OB＝(1,2k)，OC＝(1－k，－1)，且相异三点
A，B，C
共线，则实数
k＝_－__14___.
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
2.理解了用坐标表示平面向量共线的充要条件，掌握了三点共
线的判断方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、逻
辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的
课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.
∴ = Ԧ + Ԧ = Ԧ + Ԧ
故 = ，
即“实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应
坐标.”
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例6 已知 = ， ， = −， ，求3+4
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
例8 已知 −, − , = , , = , ,
判断, , 三点的位置关系.
方法提示：这两道题考察了向量共线（平行）的坐标表示.
用坐标可表示为 , = , = ，
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
⇔ = ⇔ − =
五
探究新知2——平面向量共线的坐标表示（互学）
（二）平面向量共线的坐标表示
七
成果展示2(迁移变通)
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
解：∵已知 = ， ， = ， , 且 ∥
∴满足 = × （交叉相乘积相等）
线的判断方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、逻
辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的
课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.
∴ = Ԧ + Ԧ = Ԧ + Ԧ
故 = ，
即“实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应
坐标.”
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例6 已知 = ， ， = −， ，求3+4
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
例8 已知 −, − , = , , = , ,
判断, , 三点的位置关系.
方法提示：这两道题考察了向量共线（平行）的坐标表示.
用坐标可表示为 , = , = ，
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
⇔ = ⇔ − =
五
探究新知2——平面向量共线的坐标表示（互学）
（二）平面向量共线的坐标表示
七
成果展示2(迁移变通)
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
解：∵已知 = ， ， = ， , 且 ∥
∴满足 = × （交叉相乘积相等）
人教A版(2019)必修第二册 第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示 课件(31张)
内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
综上所述，点P的坐标为(
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x
y
x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2： 设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x
y
x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2： 设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3
人教版数学必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
①当1
1
＝
3
1 2时，
1
3
1
3
＝ 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 2 ＝ 1 ＋ (
－ 1 )＝
2
1
3
1
3
＋ 2 ＝
21 +2 21 +2
,
3
；
?
探究问题
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的
一个三等分点，则P点坐标是什么？
12
联立①②解得x＝
，y＝2，
12
故点M的坐标为( ,
2).
1
4
，
题型四
?
共线向量与线段分点坐标的计算
探究问题
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2
的中点P的坐标？
提示：如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴ 1 = 2 ，
∴ － 1 ＝ － ，
反思感悟
求点的坐标时注意的问题
平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
∵ ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，
∴ ∥ .
又 ＝(2,6)， ＝(2,4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
方法总结
1
4
1
2
1
4
＝ (0,5)＝(0,
1
2
5
)，所以C
4
(0,
3
2
5
).
4
1
＝
3
1 2时，
1
3
1
3
＝ 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 2 ＝ 1 ＋ (
－ 1 )＝
2
1
3
1
3
＋ 2 ＝
21 +2 21 +2
,
3
；
?
探究问题
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的
一个三等分点，则P点坐标是什么？
12
联立①②解得x＝
，y＝2，
12
故点M的坐标为( ,
2).
1
4
，
题型四
?
共线向量与线段分点坐标的计算
探究问题
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2
的中点P的坐标？
提示：如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴ 1 = 2 ，
∴ － 1 ＝ － ，
反思感悟
求点的坐标时注意的问题
平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
∵ ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，
∴ ∥ .
又 ＝(2,6)， ＝(2,4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
方法总结
1
4
1
2
1
4
＝ (0,5)＝(0,
1
2
5
)，所以C
4
(0,
3
2
5
).
4
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
P P1
y P2
P
P1
O
x
O
x
(2)
y P2
P P1
O
P1 x
y P2
P
O
x
（2）如图2.3 15，当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 有两种情况，即，P1P 1 或 P1P 2. PP2 2 PP2
).
•
a
•
(x
1
,y1
)
(x1 ,y1 ).
感悟: 由上述法则实现了由向量的作图法运算(形) 转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.
5.向量模的计算公式:
a
x12 y12 .
例1已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-
2),C(3,1),且 BC 2AD，则顶点D的坐标为
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1), (x2 , y2 )
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
若点P靠近p1点则有：P1P
=
1 2
PP
2,
OP
=
0P1
（ A）
7
A. （2，2 ）
B.（2，
1 2
）
C. （3，2）
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
P P1
y P2
P
P1
O
x
O
x
(2)
y P2
P P1
O
P1 x
y P2
P
O
x
（2）如图2.3 15，当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 有两种情况，即，P1P 1 或 P1P 2. PP2 2 PP2
).
•
a
•
(x
1
,y1
)
(x1 ,y1 ).
感悟: 由上述法则实现了由向量的作图法运算(形) 转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.
5.向量模的计算公式:
a
x12 y12 .
例1已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-
2),C(3,1),且 BC 2AD，则顶点D的坐标为
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1), (x2 , y2 )
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
若点P靠近p1点则有：P1P
=
1 2
PP
2,
OP
=
0P1
（ A）
7
A. （2，2 ）
B.（2，
1 2
）
C. （3，2）
6.3.4+平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
(
)
1
A.−
2
+
3
2
√
1
B.
2
[解析] 设 = x + y，
3
−
2
3
C.−
2
1
−
2
3
D.
2
+
1
2
x − y = 2,
即(2, −1) = x(1,1) + y(−1,1) = (x − y, x + y)，则
x + y = −1,
1
x= ,
1
3
2
解得
3 所以 = 2 − 2 .故选B.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
◆课前预习
◆课中探究
探究点一 向量的数乘运算
探究点二 向量共线的判定及应用
探究点三 三点共线的判定及应用
探究点四 线段定比分点的坐标及应用
【学习目标】
1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
AB = (−3, m + 1).
若AB与AC共线，则有−3(m − 1) = −1(m + 1)，解得m = 2，
所以若AB与AC不共线，则m ≠ 2，
故实数m的取值范围为(−∞, 2) ∪ (2, +∞).
课中探究
［素养小结］
三点共线的条件以及判定方法
（1）已知A，B，C三点共线时可转化为AB//AC，利用向量共线的
∵2×2−3×
4
(− )
3
= 4 + 4 = 8 ≠ 0，∴ ，不平行.故填①.
)
1
A.−
2
+
3
2
√
1
B.
2
[解析] 设 = x + y，
3
−
2
3
C.−
2
1
−
2
3
D.
2
+
1
2
x − y = 2,
即(2, −1) = x(1,1) + y(−1,1) = (x − y, x + y)，则
x + y = −1,
1
x= ,
1
3
2
解得
3 所以 = 2 − 2 .故选B.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
◆课前预习
◆课中探究
探究点一 向量的数乘运算
探究点二 向量共线的判定及应用
探究点三 三点共线的判定及应用
探究点四 线段定比分点的坐标及应用
【学习目标】
1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
AB = (−3, m + 1).
若AB与AC共线，则有−3(m − 1) = −1(m + 1)，解得m = 2，
所以若AB与AC不共线，则m ≠ 2，
故实数m的取值范围为(−∞, 2) ∪ (2, +∞).
课中探究
［素养小结］
三点共线的条件以及判定方法
（1）已知A，B，C三点共线时可转化为AB//AC，利用向量共线的
∵2×2−3×
4
(− )
3
= 4 + 4 = 8 ≠ 0，∴ ，不平行.故填①.
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件高一数学人教A版必修第二册
∵M 为 EC 的中点,∴M ,
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
第一分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满
足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,
利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平
行;(2)证明两个向量有公共点.
2.若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
第一分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满
足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,
利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平
行;(2)证明两个向量有公共点.
2.若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
例题讲解
例5 已知 A(1,1), B(1,3), C (2,5)，判断A,B,C三点之间的位置关系.
解析：
LOGO
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
√
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
√
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
√
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解 能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，
A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课本P31页
2023/3/3
教学目标
1.平面向量数乘运算的坐标表示
2.平面向量共线的坐标表示
2.数乘运算坐标表示的应用
复习引入入
1.向量 a 的坐标表示：
a x i y j ( x, y)
2.向量加、减法的坐标表示
的坐标为
( x，则
, y)
中点坐标公式
x1 , y1 , x2 , y线段
2 .
x1 x2
x
,
2
y y1 y2 .
2
的中点P
P1 P2
例题讲解
LOGO
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
例题讲解
例5 已知 A(1,1), B(1,3), C (2,5)，判断A,B,C三点之间的位置关系.
解析：
LOGO
巩固新知
例3.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
√
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
√
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
√
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解 能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，
A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课本P31页
2023/3/3
教学目标
1.平面向量数乘运算的坐标表示
2.平面向量共线的坐标表示
2.数乘运算坐标表示的应用
复习引入入
1.向量 a 的坐标表示：
a x i y j ( x, y)
2.向量加、减法的坐标表示
的坐标为
( x，则
, y)
中点坐标公式
x1 , y1 , x2 , y线段
2 .
x1 x2
x
,
2
y y1 y2 .
2
的中点P
P1 P2
例题讲解
LOGO
数学人教A版必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
2
2
y
P P1
O
P2
x
向量数乘运算的坐标表示
例题解析：
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是（x1，y1），
（x2，y2），当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标
解：
设点P(x,y)如果
P1P
1 2
PP2
y
P2
P
1
OP OP1 P1P OP1 3 P1P2
P1
OP1
向量数乘运算的坐标表示
例题解析：
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是（x1，y1），
（x2，y2），当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标
解① 设点P(x,y)
y
P2
： P1P
1 2
P1P2
(x
x1,
y
y1)
1 2
( x2
x1,
y2
y1)
P1
P
x
x1
1 2
x2
1 2
x1
x
x1
2
解 a∥b 4y 26 0 y 3
：
向量数乘运算的坐标表示
例题解析：
已知 A(1,1), B(1,3),C(2,5)，判断A,B,C三点之间的位置关系.
解 AB (1 (1),3 (1)) (2,4)
：
AC (2 (1),5 (1)) (3,6)
2643 0 AB ∥ AC
又直线AB，直线AC有公共点A， 所以 A，B，C三点共线
知识收获
STEP 1
STEP 3
方法收获
STEP 2
思想收获
思有所获便是成功
—
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示-新教材2019-2020学年高一数学人教A版必修第二册同步教学
=(4t，OP＝ 4tt)O-B(4，0)=(4t-4，4t)，
=(2，6)-(4，0)=(-2，6). 由 AP＝共OP线 O的A条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，
解AC得＝tO=C O.所A以 =(4t，4t)=(3，3). 所以P点坐标为(3，3).
AP，AC
3
4
OP
方法二：设P(x，y)，则 =(x，y)， =(4，4). 因为 共线，所以4x-4OyP=0.① OB 又 =(x-2，y-6)， =(2，-6)， 且向量OP，OB共线，所以-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解所①以CP②点组P的成坐的标方为程(组3，，C3A得).x=3，y=3，
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量(-1，3)与向量(-2，6)共线. ( ) (2)向量(2，3)与向量(-4，-6)同向. ( ) (3)如果x1y2-x2y1=0，那么向量a=(x1，y1)与向量b= (x2，y2)共线. ( )
提示：(1)√.因为(-2，6)=2(-1，3)，所以向量(-1， 3)与向量(-2，6)共线. (2)×.因为(-4，-6)=-2(2，3)，所以向量(2，3)与向 量(-4，-6)反向. (3)√.向量共线的条件.
(3) 1 a- 1 b= 1(-1，2)- 1(2，1)
2 32
3
＝( 1，1) ( 2，1)＝( 7，2). 2 33 63
【加练·固】
已知A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)，且
求点M，N及 的坐标.
CM
3CA，CN 2CB，
MN
【解析】因为A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)，
【素养·探】 向量共线的几何应用，主要是结合几何图形，利用向 量共线求点的坐标，体现了逻辑推理的核心素养. 本例2点A，B，C的坐标不变，说明A，B，C能构成三角 形.
2019-2020学年高中数学新教材人教版A必修第二册课件： 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标： 1. 掌握用坐标表示平面向量的数乘运算； 2. 理解用坐标表示两个向量共线的条件； 3. 明确中点坐标公式的推导过程及其应用. 教学重点： 平面向量数乘运算的坐标表示. 教学难点： 对用坐标表示两个向量共线的条件的理解与运用.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
问题3 如何用坐标表示两个向量共线向量数乘运算的坐标表示； 2. 用坐标表示向量共线的条件； 3. 中点坐标公式的推导与应用.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标： 1. 掌握用坐标表示平面向量的数乘运算； 2. 理解用坐标表示两个向量共线的条件； 3. 明确中点坐标公式的推导过程及其应用. 教学重点： 平面向量数乘运算的坐标表示. 教学难点： 对用坐标表示两个向量共线的条件的理解与运用.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
问题3 如何用坐标表示两个向量共线向量数乘运算的坐标表示； 2. 用坐标表示向量共线的条件； 3. 中点坐标公式的推导与应用.
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(3) a－ b＝ (－1，2)－ (2，1)＝ － ＝ .
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练1】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12)B.(23，12)
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
问题1 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
提示 横纵坐标均不为0时成比例.
两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0，故2错，3正确.
[微训练]
1.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A.(－2，－4)B.(－3，－6)
C.(－4，－8)D.(－5，－10)
解析பைடு நூலகம்由a∥b得到m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8).
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－ .
此时ka＋b＝ ＝－ (a－3b)，
∴当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
规律方法 1.向量共线的判定方法
2.利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
问题2 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
提示 能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
D.e1＝(2，－3)，e2＝
解析 A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝ e2，
∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
答案 B
(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
【例3】 (1)已知 ＝(k，2)， ＝(1，2k)， ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
6
课标要求
素养要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养.
教材知识探究
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
答案 C
2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.
解析 2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).
答案 (5，7)
3.已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.
解析 根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).
答案 (－1，3)
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.)
3.中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
C.(7，0)D.(－7，0)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)， ＝ ，则P点坐标为________.
解析 (1)由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12).
(2)设P(x，y)，∴ ＝(x－3，y＋2)， ＝(－8，1)，由 ＝ 得P .
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【训练2】 若a＝( ，cosα)，b＝(3，sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
解析 ∵a＝( ，cosα)，b＝(3，sinα)，a∥b，
∴ sinα－3cosα＝0，即tanα＝ ，
又0<α< ，故α＝ .
答案
题型三三点共线问题
向量共线的坐标表示是解决已知点共线求参数问题中列方程的重要依据
[微思考]
1.向量(共线)平行的用途是什么？
提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题.
2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？
提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A，B，P三点共线且| |＝3| |，如果知道点A，B的坐标就可以求出点P的坐标.事实上，由| |＝3| |且A，B，P三点共线，可知 ＝3 或 ＝－3 ，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P的坐标.
题型一 向量的坐标运算
【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；
(3) a－ b.
解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
,教材拓展补遗
[微判断]
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则 ＝ .(×)
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(×)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(√)
提示 1.当y1y2＝0时不成立.
答案(1)A (2)
题型二向量平行(共线)的判定
在利用向量共线的坐标表示进行判定时，易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况
【例2】 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练1】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12)B.(23，12)
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
问题1 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
提示 横纵坐标均不为0时成比例.
两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0，故2错，3正确.
[微训练]
1.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A.(－2，－4)B.(－3，－6)
C.(－4，－8)D.(－5，－10)
解析பைடு நூலகம்由a∥b得到m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8).
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－ .
此时ka＋b＝ ＝－ (a－3b)，
∴当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
规律方法 1.向量共线的判定方法
2.利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
问题2 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
提示 能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
D.e1＝(2，－3)，e2＝
解析 A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝ e2，
∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
答案 B
(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
【例3】 (1)已知 ＝(k，2)， ＝(1，2k)， ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
6
课标要求
素养要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养.
教材知识探究
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
答案 C
2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.
解析 2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).
答案 (5，7)
3.已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.
解析 根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).
答案 (－1，3)
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.)
3.中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
C.(7，0)D.(－7，0)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)， ＝ ，则P点坐标为________.
解析 (1)由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12).
(2)设P(x，y)，∴ ＝(x－3，y＋2)， ＝(－8，1)，由 ＝ 得P .
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【训练2】 若a＝( ，cosα)，b＝(3，sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
解析 ∵a＝( ，cosα)，b＝(3，sinα)，a∥b，
∴ sinα－3cosα＝0，即tanα＝ ，
又0<α< ，故α＝ .
答案
题型三三点共线问题
向量共线的坐标表示是解决已知点共线求参数问题中列方程的重要依据
[微思考]
1.向量(共线)平行的用途是什么？
提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题.
2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？
提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A，B，P三点共线且| |＝3| |，如果知道点A，B的坐标就可以求出点P的坐标.事实上，由| |＝3| |且A，B，P三点共线，可知 ＝3 或 ＝－3 ，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P的坐标.
题型一 向量的坐标运算
【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；
(3) a－ b.
解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
,教材拓展补遗
[微判断]
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则 ＝ .(×)
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(×)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(√)
提示 1.当y1y2＝0时不成立.
答案(1)A (2)
题型二向量平行(共线)的判定
在利用向量共线的坐标表示进行判定时，易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况
【例2】 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)