理论力学06静力学专题_3重心
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工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
工程力学-静力学专题-桁架·重心
三、组合图形的静矩和形心
静矩
S x S xi Ai yi S y S yi Ai xi
形心
x S y Ai xi
A
Ai
y Sx Ai yi
A
Ai
c x
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
y Sx 4R A 3
五、极惯性矩·惯性矩·惯性积
y
I x
y 2dA
A
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：
☻提高截面的弯曲截面系数；
☻降低梁的最大弯矩。
1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
十四、组合变形的概念
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基 本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形） 属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。
❖组合变形的分析方法
线弹性小变形范围内，采用叠加原理
1、横向力与轴向力共同作用
F2
z
x F1
强度条件
l
y
t max
FN A
M z max Wz
t
c max
FN A
- M z max Wz
c
2、偏心拉伸（压缩） 受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。
F Mez
z
F e (yF,zF)
y Mey
强度条件
t max
FN A
My Wy
这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可
由下式求出。
xC
Pi xi Pi
,
yC
Pi yi Pi
,
zC
Pi zi Pi
2、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物
lllx第六章静力学空间力系重心-精选文档
z
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
第06章 静力学专题-桁架、重心
yili li
yi L
li
zC
zili li
zi li
L
极限为：
xdl
ydl
xC
C
L
,
yC
C
L
,
zdl
zC
C
L
z
O x
Pi zi
yi yC
C
P zC
xi
xC y
本章小结
1. 了解桁架的构成、结构特点以及桁架杆件内力的求解 方法;
§6.1 桁架 基本三角形 三个铰链为节点连接的三根杆构成的三角形 平面简单桁架
平面简单桁架节点和杆件数的关系 桁架节点数为n，杆件数为m，则 m-3=2(n-3) 即 m=2n-3 或 m+3=2n
§6.1 桁架 无冗杆桁架 从桁架中抽出任何一根杆，原有的几何形状不能保持， 没有多余杆件的桁架 有冗杆桁架 从桁架中抽出一根杆或几根杆件，原有的几何形状能 保持，桁架有多余杆件
S
xdS
ydS
xC
S
S
,
yC
S
S
,
zdS
zC
S
S
z ds
Pi
C
zi
PzC
O
yi
xi
xC y
x
yC
§6.3 重心
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与 其长度 L 相比是很小的，则重心公式为
xC
xili li
xi li
L
yC
(3)、节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节 点上无外载荷，则第三根杆件为零杆
理论力学-空间力系与重心
右手螺旋法则：
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
静力学 第6章空间力系及重心
3
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
静力学第06章桁架、摩擦、重心
结论与讨论
桁架的坚固性
在平面桁架中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2j-3
m － 杆件数
j － 节点数
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
j=3, m=23-3=3
j=8, m=28-3=13
m2j-3
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
m = 2 j - 3 － 无冗余杆件 m < 2 j - 3 － 几何可变
二力杆—组成桁架的基本 构件。
力
学 中
基本假定：
的 1. 所有杆件只在端部连接；
桁 2. 所有连接处均为光滑铰链；
架 3. 只在连接处加载；
模 4. 杆的重量忽略不计。
型
桁架分类
平面桁架
平面结构，
载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
G G1tgf
f
tg
G
tg(
m
)
平衡范围应是
Qmin QQmax
49
[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩
擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做 受力图。
50
由 X 0, NB FA0(1)
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F' f 'N
（无平衡范围）
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反
定律： F' f 'N （f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
平面平行力系
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
静力学_重心与质心
L
[答案] 21
設原重心 O 之坐標為 0，斜線部分重心之坐標為 x2，
剩下部分重心之坐標為 x1 斜線部分重心 x2 與原重心 O 之
L2
LL
距＝ 2 － 3 × 4 ＝ 3
7
1
L
8 W（－x1）＋ 8 W（ 3 ）
L
W
＝0 x1＝ 21 。
範例 7 木塊堆疊問題
密度相同之木塊 A、B、C，長度分別為 10 cm
範例 3 平衡的種類
有關平衡的穩定度，下列敘述哪些正確？ (A)擾動後重心升高，屬於穩定平衡 (B)擾動後重心下降，屬不穩定平衡 (C)擾動後重心高度不變，屬於穩定平衡 (D)擾動後，若重心下降，則重力的力矩會使其回到原位 (E)擾動後，若重心上升，則重力的力矩使其偏離更遠
[答案] ＡＢ (1)擾動後，重心升高，重心的力矩使其回到原位，屬於穩定平衡。
(2)擾動後，重心下降，重力的力矩使其偏離更遠，屬於不穩定平衡。 (3)擾動後，重心不升不降者，屬於隨遇平衡。
右圖所示之軌道中，有三個 物體處於靜止平衡，試問何者為 不穩定平衡？（請以 1，2，3 回答）
█答： 3 。
3 质心
1. 定義： 系統中各質點質量的集中點，該點之運動可代表系統整體之運動，此代表點稱為質量 中心（center of mass），簡稱「質心」（CM）。
、8 cm、6 cm，若 x1＝2 cm 且截面積相同， 靜置如右圖所示，則 x2 之最大值為多少 cm？
19 [答案] 7
8 m（2＋x2＋4）＋6 m〔2＋x2＋4＋3〕 8 m＋6 m
19
x2 7
10
範例 4 重心興質心之概念
下列關於「重心」與「質心」的敘述，何者正確？ (A)重心是為物體重量集中的位置，故該位置必具有質量 (B)一個系統的質心與重心必在同一點上 (C)質心必在物體上 (D)兩質點的質心必在兩者之連線上，到兩者之距離會與質量成反比 (E)質心之運動可代表整個系統的運動 [答案] ＤＥ
工程力学课件第6章：静力学专题—桁架、摩擦、重心
yC
Pi yi P
ydV
yC V P
zC
Pi zi P
zdV
zC V P
1.均质物体
xdV
xC
V
V
ydV
yC
V
V
zdV
zC
V
V
2.均质等厚物体
xdS
ydS
xC
S
S
yC
S
S
zdS
zC
S
S
3.均质等截面细长杆
xdl
xC
l
l
ydl
yC
l
l
zdl
zC
内力等值、同性。
S1 S2
等力杆
S3 S4
且S1 S2
例： 已知 P d, 求：a.b.c.d 四杆的内力？ 解：由零杆判式
Sc Sd Sa 0
研究A点：
由Fy 0
Sb cos45o P0
Sb 2P
思考： 指出桁架中零杆
12 13
11 14
8F
4 97 5
10 6
31 2
1 2
3 M5 6
0.5 0.38 0 (0.35 0.33) 0 0 0.5 0.38 (0.35 0.33)
负面积法
yC
S1 y1 S1
S2 y2 S2
0.5 0.38 0.19 (0.35 0.33) 0.215 0.1500m 0.5 0.38 (0.35 0.33)
例： 求图示截面的形心。（单位：mm）
l
l
二、简单几何形体的重心
查阅有关工程手册得到
三、组合形体的重心
将组合形体分解为若干简单几何形体，应用重心坐标 公式求重心坐标。
静力学专题 摩擦和重心
梯子受平面任意力系作用而平衡， 其平衡方程为：
Fx 0, FNB FAmax 0
(1)
Fy 0, FNA FBmax P 0
(2)
MA 0,
P
l 2
cosmin
FBmax l
cosmin
FNB
l sin min
0
( 3)
A、B处有关摩擦的补充方程 FAmax f sNA (4)
主讲：黄永虎 土建学院工程力学研究所
滑动摩擦 摩擦角和自锁现象 考虑摩擦时物体的平衡问题 滚动摩擦 重心
工程和生活中的摩擦问题
梯子如何放置 才能保证安全？
工程和生活中的摩擦问题
如何确定砖夹的尺寸b？ 是大好还是小好？
工程和生活中的摩擦问题
如何设计材料拉伸试验 机夹头的倾角，才能保 证夹紧试件？
（2） 称重法
P xC F1 l 则
有
xC
F2 P
l
xC
F1 P
l
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
sin H cos l2 H 2
l
l
zC
r
F2
P
F1
l H
l2 H2
谢谢!
0 FS Fmax FS Fmax fS FN
Fd fFN
Fmax Fd
思考题：
已知物块重P=100N，用水平力F=500N压在一个铅直表面上， 其摩擦因数为fs=0.3，f=0.25，问此时物块所受的摩擦力是多 少？若P=150N或200N，问物块所受的摩擦力等于多少？
2 摩擦角和自锁现象
f与材料和表面情况有关，还与相对速度有关。一般随相对速
度增大而减小，相对速度不大时，一般可近似认为是一常数。
Fx 0, FNB FAmax 0
(1)
Fy 0, FNA FBmax P 0
(2)
MA 0,
P
l 2
cosmin
FBmax l
cosmin
FNB
l sin min
0
( 3)
A、B处有关摩擦的补充方程 FAmax f sNA (4)
主讲：黄永虎 土建学院工程力学研究所
滑动摩擦 摩擦角和自锁现象 考虑摩擦时物体的平衡问题 滚动摩擦 重心
工程和生活中的摩擦问题
梯子如何放置 才能保证安全？
工程和生活中的摩擦问题
如何确定砖夹的尺寸b？ 是大好还是小好？
工程和生活中的摩擦问题
如何设计材料拉伸试验 机夹头的倾角，才能保 证夹紧试件？
（2） 称重法
P xC F1 l 则
有
xC
F2 P
l
xC
F1 P
l
l ' l cos
xC ' xC cos h sin
sin H cos l2 H 2
l
l
zC
r
F2
P
F1
l H
l2 H2
谢谢!
0 FS Fmax FS Fmax fS FN
Fd fFN
Fmax Fd
思考题：
已知物块重P=100N，用水平力F=500N压在一个铅直表面上， 其摩擦因数为fs=0.3，f=0.25，问此时物块所受的摩擦力是多 少？若P=150N或200N，问物块所受的摩擦力等于多少？
2 摩擦角和自锁现象
f与材料和表面情况有关，还与相对速度有关。一般随相对速
度增大而减小，相对速度不大时，一般可近似认为是一常数。
理论力学 第2版 06静力学专题_3重心
的重心位置。设三角板底边 ABD
长
BD
b
h
解: 如图，将三角板分割成一系列平行于底边
的细长条，由于每一细长条的重心均在其 中点，因此整个三角板的重心 C 必位于中
线 AE 上。 显然，只要再求出
yC ，则三角板
ABD 的重心位置即定。
建立坐标系，取任一平行于底边 BD的细长条为微元，其面积
dA b dy
[例5] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a 。
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
图形可视为从大圆中切去了一个小圆 其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
A2 πr 2
x1 0
x2 a
R
y
I
O
a
r
II
x
根据平面图形形心坐标计算公式，得 该图形的形心坐标为
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为
式中，( x , y , z ) 为曲线 微元 dl 的形心坐标
第 i 小段曲线的长度
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
y
xC yC
3 a 4 3 b 10
a
b
O
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧 所对的圆心角为 2 。 解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
无限分割形式：
xC xdm
xC
m yi mi yC m zi mi zC m
x m
06静力学专题——桁架、摩擦、重心(打印版),6Pages
从1，2，3杆处截取左边部分
F
iy
0
0
F2 F1 F3
Fiy 0 FAD Fix 0 FAC
动笔又动脑
M
C
Fix 0
若再求４,５杆受力
已知如图所示桁架的载荷F和尺寸d。试用截面法求杆FK和 JO的受力。
d
FHI FFK FJO
J
取节点Ｄ
F1 F3 F2 cos 600 0
F ix 0
F5 F 0
' 2
FAy FBy P 1P 2 0 FBy 8kN
F ix 0
解得
F5 8.66kN (拉)
解得
解得
F3 9.81kN (拉)
例6-3 已知： 荷载与尺寸如图； 求： 每根杆所受力。 解： 取整体，画受力图。
China University of Mining & Technology
多媒体课堂教学课件
第6章 静力学专题—桁架·摩擦·重心
China University of Mining & Technology China University of Mining & Technology
第6章 静力学专题—桁架·摩擦·重心
《摩擦学》
二、摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
F RA
全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角。 摩擦角
tan f
Fmax fF s N fs FN FN
tan tan f f s
重心计算公式
重心计算公式重心计算是一个物理学概念，用于确定一个物体或系统的质量分布、形状和密度的中心位置。
在二维空间中，重心通常被表示为一个点，该点的坐标可以用来描述物体的整体平衡特性。
计算物体或系统的重心可以通过以下公式实现：重心横坐标 = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mᵢxᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)重心纵坐标 = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + mᵢyᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)其中，m₁、m₂、...、mᵢ表示物体或系统的每个质点的质量，而x₁、x₂、...、xᵢ和y₁、y₂、...、yᵢ表示每个质点的横、纵坐标。
重心计算公式的目的是找到物体质点的平均位置，以便更好地理解和描述物体的整体特征。
它在许多领域中有广泛应用，例如力学、建筑、航天等。
在一维情况下，重心的计算公式相对简单，可以简化为：重心位置 = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mᵢxᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)在三维情况下，重心的计算公式类似，只需要加上z坐标：重心横坐标 = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mᵢxᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)重心纵坐标 = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + mᵢyᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)重心高度 = (m₁z₁ + m₂z₂ + ... + mᵢzᵢ) / (m₁ + m₂ + ... + mᵢ)重心计算是物理学和工程学中的基础概念，它对于研究物体的平衡性、动力学、形状变换等方面都具有重要意义。
通过计算物体或系统的重心，可以更好地理解其特性，并为进一步的分析和设计提供基础。
理论力学(3)-----重心
A
C1
以及负面积的矩形B.
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
5
5m
B
x
12
例3-13
已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm
xC
Vi xi V
yC
Vi yi V
zC
Vi zi V
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
zC
Ai zi A
--称为重心或形心公式
均质物体的重心就是几何中心，即形心。
例3-12
已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解: 厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
2mm
yC
Ai y i A
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A1 A2 A3
27mm
计算物体形心的方法:分割法和负面积法 例题7-6.求图示平面图形的形心.
5m
15m
20m
10
5m
解:(1)分割法
取坐标如图且把平
y 5m
面图形分为 A和 B两
C1
15m
5m
部分.
l
l
zC
r
F2
P
F1
1 H
l2 H2
§3–6 重 心
一.平行力系中心
平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作
理论力学(大学)课件8.3 重心的计算
Fi × zi FR¢
空间任意力系及重心的计算
(2) 重心
3、重心的计算
物体各微小部分的重力近似组成一个空间平行力系， 此力系的合力大小称为物体的重量（重力），此力系 的中心称为物体的重心，亦即物体重力合力的作用点 称为物体的重心。
地球表面附近的刚体，其重心相对物体本身来说是 一个确定的几何点，不因物体的位置方位而变。
å - FR¢ × yC = - Fi × yi
C
O xC
yzC yzC
Fn
å 故： yC =
Fi × yi FR¢
å x 类似地：xC =
Fi × xi FR¢
zy
å 同时改变各力的方向：M x (FR¢ ) = M x (Fi )
å - FR¢ × zC = - Fi × zi
å 故： zC =
重心或形心公式
å å xC =
Ai xi A
yC =
Ai yi A
å zC =
Ai zi A
3、重心的计算
空间任意力系及重心的计算
例3 已知均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示, 单位为mm。求其
重心坐标。
y
解: 厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x, y
d 10
坐标即可.
10
C1
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与重
zC
=
r
+h
=
r+
F2 - F1 P
×
l H
×
l2 - H2
F1 磅秤
C zC xC
P
xC
l
rA FA
F2 磅秤
C xC
x'C
P l'
静力学车辆重心计算
静力学车辆重心计算
车辆重心的计算需要考虑车辆的整体重量、各部位的重量分布等因素。
以下是一种常用的车辆重心计算方法：
首先，在车辆水平时分别称量出它的前后轴荷和左右轮荷，计算出车辆水平方向的重心位置。
然后，将车体置于水平面上，在车身一侧方便位置画一平行于地面的直线，在车身后面作一条穿过整车重心的垂线。
设车身重心在点C，以点C为原点求力矩可得出：$C_y=P\times L_2/L_1$
其中，$C_y$为重心在Y轴方向的坐标，$P$为整车重量，$L_1$为直线的长度，$L_2$为垂线的长度。
这种方法可以较为准确地计算出车辆的重心位置，为车辆的设计和改进提供参考。
需要注意的是，实际情况中车辆的重心可能会因各种因素而发生变化，需要根据具体情况进行分析和调整。
理论力学静力学-重心
•
解：以机床为研究对象。设机床的形心
C ( xc , yc )
• 坐标为
，列平衡方程
mB 0
FT 2 . 4 cos - G cos x c G sin y c 0
• 将 0和 20及 F 其的值代入上式， • 得关于 x c , y c 的代数方程 84 - 50 x c 0 •
T
67 . 66 - 46 . 98 x c 17 . 1 y c 0
x c 1 . 68 m, y c 0 . 659 m
• 解得：
1、平行力系的中心
由合力矩定理：
m O ( R ) m O ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F 2 rn F n
1
令 R R P0 , F1 F1 P0
R rC F1 r1 F 2 r2 F n rn
rC
F1 r1 F 2 r2 F n rn R
li x i
l
,yC
li y i
l
,zC
li z i
l
6
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL R d
xC L
2 - R cos d
mi zi
M
5
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：
立体 : x C
Vi xi
V
,yC
Vi yi
V
,zC
Vi zi
工程力学第六章(重心)
yC
C
y
1 yC h 3 h 3 xC a 5
z
r
C
3 zC r 8
zC
z
y
a
C
x
h
C
yC
b
3 yC b 8
1 zC h 4
zC
xC
x
y
x
8
2、组合法
将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体 ， 用有限形式的重心坐标公式
9
10
例1 图示平面图形，求其形心。 解：分割成两部分：
S1 S 2 3010 300
1 4R 1 4R R12 1 R2 2 ( 2 ) 3 2 3 2 1 1 R12 R2 2 (R3 2 ) 2 2 2 (1003 503 ) 1 3 2 1 33 cm 2 2 ( 2 100 2 100 25 )
R1 R3
形心位置查表
V
yc V
ydV
V
zc V
zdV
V
5
体积重心
xc
V x
i 1
n
i i
V
yc
V y
i 1 i
n
i
V
zc
V z
i 1
n
i i
V
薄板
xc
Vi Si
z
Mi
zc
S x
i 1
n
i i
S
yc
S y
i 1 i
n
i
S z
i 1
n
C
y
i i
O
S
S
z zC Pi i x P yi
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解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
y
图形可视为从大圆中切去了一个小圆
其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
x1 0
A2 πr 2
x2 a
根据平面图形形心坐标计算公式，得
该图形的形心坐标为
Ia
R
r
O II
x
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
πR2 0
πR2
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
解： 二次抛物线方程
y
y b x2 a2
微元面积
dA
ydx
b a2
x2dx
y
曲边三角形面积
A
dA
A
a 0
b a2
x2dx
1 ab 3
a
dA
x
dx
b
x
y
b a2
x2
dA
b a2
x2dx
A 1 ab 3
xdA a b x3dx 1 a2b
有限分割形式：
无限分割形式：
xC
xiAi
A
பைடு நூலகம்
yC
yiAi
A
xC
xdA A
yC
ydA A
式中，( xi , yi) 为第 i 小块的 形心坐标； Ai 为第 i 小块 的面积。
式中，( x , y) 为微元 dA 的形心坐标。
五、曲线段的形心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
第六章 静力学专题
第三节 物体的重心
本节主要介绍利用重心坐标计算公式来确定物体的重心 基本概念 —— 重心： 物体的重力作用点 质心： 物体的质量分布中心 形心： 物体的几何形状中心
基本结论 —— 1）物体的重心与质心位置重合 2）对于匀质物体，重心与形心位置重合 3）形心位于物体的几何对称轴上
一、物体的重心坐标计算公式 有限分割形式：
的形心位置。
y
解：选取坐标轴， 将该图形分割成两个矩形
其面积和形心坐标分别为
A1 1.2 cm 12 cm 14.4 cm2
I
x1 0.6 cm
y1 6 cm
A2 6.8 cm 1.2 cm 8.16 cm2
x2 4.6 cm
y2 0.6 cm
II
O
x
由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为
xC
ximi
m
yC
yimi
m
zC
zimi
m
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的质心坐标；mi 为第 i 小块的质量。
无限分割形式：
xC
xdm m
yC
ydm m
zC
zdm m
式中，( x , y , z ) 为微元 dm 的质心坐标。
三、物体的形心坐标计算公式 有限分割形式：
解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
yC 0
以 d 表示微元弧长 dl 所对的圆心角
y
根据曲线段的形心坐标计算公式
xC
l
xdl l
2
0
r cos rd
2 rd
r sin
0
若为半圆弧，即有 = / 2，则得
r
dl
d
xx
xC
2r π
[例3] 如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形
xili
l
yC
yili
l
zC
zili
l
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为 第 i 小段曲线的长度。
无限分割形式：
xC
xdl l
yC
ydl l
zC
zdl l
式中，( x , y , z ) 为曲线
微元 dl 的形心坐标。
πr 2 πr 2
a
ar 2 R2 r2
A
0 a2
4
y
A
1 2
y
dA
a 1 b2 x4dx 1 ab2
0 2 a4
10
故得形心坐标
y
xC
A
xdA
1 4
a2b
3
a
A
1 ab 4
3
yC
A
1 2
y
dA
1 10
ab2
3
b
A
1 ab 10
3
a
dA
x
dx
b
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧
所对的圆心角为 2 。
xC
xiPi
P
yC
yiPi
P
zC
ziPi
P
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的重心坐标；Pi 为第 i 小块的重力。
无限分割形式：
xC
xdP P
yC
ydP P
zC
zdP P
式中，( x , y , z ) 为微元 dP 的重心坐标。
二、物体的质心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
xiVi
V
yC
yiVi
V
zC
ziVi
V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的形心坐标；Vi 为第 i 小块的体积。
无限分割形式：
xC
xdV V
yC
ydV V
zC
zdV V
式中，( x , y , z ) 为微元 dV 的形心坐标。
四、平面图形的形心坐标计算公式
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
14.4 0.6 8.16 4.6 14.4 8.16
cm 2.05 cm
yC
A1 y1 A2 y2 A1 A2
14.4 6 8.16 0.6 14.4 8.16
cm 4.05 cm
[例4] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a。