理论力学06静力学专题_3重心

[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
解： 二次抛物线方程
y
y b x2 a2
微元面积
dA
ydx
b a2
x2dx
y
曲边三角形面积
A
dA
A
a 0
b a2
x2dx
1 ab 3
a
dA
x
dx
b
x
y
b a2
x2
dA
b a2
x2dx
A 1 ab 3
xdA a b x3dx 1 a2b
πr 2 πr 2
a
ar 2 R2 r2
解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
yC 0
以 d 表示微元弧长 dl 所对的圆心角
y
根据曲线段的形心坐标计算公式
xC
l
xdl l
2
0
r cos rd
2 rd
r sin
0
若为半圆弧，即有 = / 2，则得
r
dl
d
xx
xC
2r π
[例3] 如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形
xili
l
yC
yili
l
zC
zilቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为 第 i 小段曲线的长度。
无限分割形式：
xC
xdl l
yC
ydl l
zC
zdl l
式中，( x , y , z ) 为曲线
微元 dl 的形心坐标。
xC
ximi
m
yC
yimi
m
zC
zimi
m
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的质心坐标；mi 为第 i 小块的质量。
无限分割形式：
xC
xdm m
yC
ydm m
zC
zdm m
式中，( x , y , z ) 为微元 dm 的质心坐标。
三、物体的形心坐标计算公式 有限分割形式：
第六章 静力学专题
第三节 物体的重心
本节主要介绍利用重心坐标计算公式来确定物体的重心 基本概念 —— 重心： 物体的重力作用点 质心： 物体的质量分布中心 形心： 物体的几何形状中心
基本结论 —— 1）物体的重心与质心位置重合 2）对于匀质物体，重心与形心位置重合 3）形心位于物体的几何对称轴上
一、物体的重心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
xiPi
P
yC
yiPi
P
zC
ziPi
P
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的重心坐标；Pi 为第 i 小块的重力。
无限分割形式：
xC
xdP P
yC
ydP P
zC
zdP P
式中，( x , y , z ) 为微元 dP 的重心坐标。
二、物体的质心坐标计算公式 有限分割形式：
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
y
图形可视为从大圆中切去了一个小圆
其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
x1 0
A2 πr 2
x2 a
根据平面图形形心坐标计算公式，得
该图形的形心坐标为
Ia
R
r
O II
x
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
πR2 0
πR2
有限分割形式：
无限分割形式：
xC
xiAi
A
yC
yiAi
A
xC
xdA A
yC
ydA A
式中，( xi , yi) 为第 i 小块的 形心坐标； Ai 为第 i 小块 的面积。
式中，( x , y) 为微元 dA 的形心坐标。
五、曲线段的形心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
14.4 0.6 8.16 4.6 14.4 8.16
cm 2.05 cm
yC
A1 y1 A2 y2 A1 A2
14.4 6 8.16 0.6 14.4 8.16
cm 4.05 cm
[例4] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a。
xC
xiVi
V
yC
yiVi
V
zC
ziVi
V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的形心坐标；Vi 为第 i 小块的体积。
无限分割形式：
xC
xdV V
yC
ydV V
zC
zdV V
式中，( x , y , z ) 为微元 dV 的形心坐标。
四、平面图形的形心坐标计算公式
的形心位置。
y
解：选取坐标轴， 将该图形分割成两个矩形
其面积和形心坐标分别为
A1 1.2 cm 12 cm 14.4 cm2
I
x1 0.6 cm
y1 6 cm
A2 6.8 cm 1.2 cm 8.16 cm2
x2 4.6 cm
y2 0.6 cm
II
O
x
由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为
A
0 a2
4
y
A
1 2
y
dA
a 1 b2 x4dx 1 ab2
0 2 a4
10
故得形心坐标
y
xC
A
xdA
1 4
a2b
3
a
A
1 ab 4
3
yC
A
1 2
y
dA
1 10
ab2
3
b
A
1 ab 10
3
a
dA
x
dx
b
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧
所对的圆心角为 2 。