柏努利方程应用例题

（1） 上式中的∑hf可由柏努利式 算出。分析题给数据应取截面A
及B作衡算范围，因二者间的垂
直距离为已知、压强差可由压 差计算出、速度相等、且无外
功加入，故可算出∑hf,AB,然后
由式（1）计算出管路中的流速。 以截面A为基准面： （2）
或 其中
（3）
由于左边压差计装在垂直管道上，故不能用式（1-6）计算，而应采用 例（1-8）中为倾斜管推导的但也适用于垂直管的式(2)来计算：
h f ,12 h f , A h f ,B h f ,C
式中hf,A、hf,B、hf,C分别为水流经水箱、管B及管C的摩擦阻力， 因水箱内的流速几乎等于零，故hf,A≈0，因此：
h f ,12 h f ,B h f ,C 15 30 45J / kg
取水的密度ρ＝1000kg/m3，将以上诸值代入式1：
p1=0(表压) u1≈0
p2=0(表压) u2≈0
∑hf,1-2=∑hf,a+∑hf,b=10+30=40J/kg
∴ We=20×9.81+40=236.2J/kg
由以上计算过程知：泵提供的能量用于将溶液提升至高位槽以 及克服流动过程中流动阻力。伯努利方程式是以1kg为基准推 导的，故We是1kg流体在流动过程中获得的能量，称为有效功， 故有效功率为： Ne=We.qm=236.2×(30×1200)/3600 =2632J/s=2632W 由于泵体内有各种损耗，泵轴消耗的功率为：
为5415Pa，水平放置时为2471Pa。
例4、 用离心泵将密度为1200kg/m3的水溶液由敞口贮槽A送至高位
槽B。已知离心泵吸入管路上各种流动阻力之和∑hf,a=10J/kg、压出 管路的∑hf,b=10J/kg。两槽液面维持恒定，其间垂直距离为20m。每 小时溶液的输送量为30m3。若离心泵效率为0.65，试求泵的轴功率。 解：根据题意画出本题附图所示的流程示意图。 本题属于有外功加如的不可压缩流体作定态 流动，故用式（1－12c）进行计算。 在有外功加入的系统中应用柏努利方程时，两个 界面必须选在泵的两侧，才能将泵向系统输入的 能量计入。这两个截面的具体位置视具体情况而
柏努利方程应用例题
河北科大化原
例1、如图所示，水从储水箱A经异径水平管段B及C流至大气中。 已知水箱内液面与管子中心线间的垂直距离为5.5m，保持恒定， 管段B的直径为管段C的两倍。水流经B、C段的摩擦阻力分别为 ∑hf,B=15J/Kg及∑hf,C=30J/Kg有水箱至管段B及有管段B至管段C 的突然缩小损失可以忽略，而管段C至外界的出口损失不能忽略。 试求： 1、水在管段c中的流速； 2、水在管段B中的流速 ；
将以上各式值代入式1：
h
f,1- 2
5415 4.2462 0.73722 0.3 9.81 11.22J/kg 1000 2
2．管子改为水平放置时压差计上的读数 将柏努利方程式中各物理
量加注上“′”表示水平放置的情况。仍在前述条件下列柏努利方程式：
或
其中
因为管子水平放置，故可直接用式（1-6）求p1’-p2’：
1．1-1′与2-2′面间的摩擦阻力；
2．若流量不变，而将输水管水平放置，计算压差计上指示剂读数； 3．分析倾斜放置时1-1′与2-2′面间能量变化情况； 4．由两种放置情况下的指示剂读数数值分析两截面间的压强差。
解： 1．1-1′与2-2′面间的摩擦阻力 本题属于无外功加入的不可压缩流体定 态流动情况，故应采用式（1－12a）进行计算。在1-1′与2-2′面间列柏 努利式，以过1-1′面中心的水平面0-0′为基准面。
N=2362/0.65=3634W≈3.7KW
例3、 如本题附图所示，每小时有 12×104kg的水在倾斜放置的变径管 内从下向作定态流动已知细管直径 d1=100mm，粗管直径d2=240mm； 图中2-2′面比1-1′面高H2=300mm；
1-1′面与2-2′面间有软管与水银压差
计相连，其上指示剂读数R=20mm， 试求：
2 p3 u 3 u12 gz1 gz3 h f ,13 2 2
p1
其中
u3 u B 1.058m / s
h
f ,13
h f ,B 15J / kg
∴
p3 1.0582 9.81 5.5 15 1000 2
解得：管B出口表压强p3=3.84×104Pa
算出的We与选1-1’及2-2’时算出的是一样，但3-3’及4-4’面上各种
机械能与其间的摩擦阻力∑hf,3-4均未可知，且在本题条件下又缺 乏计算数据，故不能选用3-3’及4-4’两个面。
选贮槽液面1-1’及高位槽液面2-2’为衡算范围，以1-1’面为
基准面：
2 p1 u12 p2 u 2 z1 g + + + we = z2 g + + + Σh f ,1 ρ 2 ρ 2 其中z1=0 z2=20m 2
例2、用离心泵将密度为1200kg/m3 的水溶液由敞口贮槽A送至 高 位 槽 B. 已 知 离 心 泵 吸 入 管 路 上 各 种 流 动 阻 力 之 和
∑hf,a=10J/kg、压出管路的∑hf,b=30J/kg,两槽液面维持恒定，
其间垂直距离为20m,每小时液面的输送量为30m3.若离心泵的效 率为0.65，试求泵的轴功率。 解：根据题意画出如本题附 图所示的流程示意图。
2－2'面 z2g=0.3×9.81 =2.943J/kg
u 2 0.73722 2 2 2 0.2717J/kg
由1-1'面到2-2'面能量 变化情况 位能升高＝2.943-0＝ 2.943J/kg 动能减少＝9.0140.2717＝8.742J/kg
静压能
摩擦阻力
－
－
－
－
前面已算出：静压能 减少＝5.415J/kg 前面算出：
的管长（即垂直距离）为6m。管路中摩擦系数为0.02。当地大气压强为
1.0133×105Pa。试求： 水在管路中的流速；
截面A上的压强。
解：令Pa＝大气压强。取水的密度为ρH2O=1000kg/m3、水银的密度 ρHg＝13600kg/m3。 水在管路中的流速 水在管路中的流速或流量直接影响流动的阻力，故 可用式（1-19）计算流速：
由于泵体内有各种损耗，泵轴消耗的功率为：
例5、用泵将水从贮槽送至敞口高位槽，两槽液面均衡定不变。输送管路
尺寸为φ57×3.5mm，泵出口垂直管段A、B截面上的测压口有软管与两
支液柱压差计相连，其上指示剂水银柱的读数分别为R=40mm及 R′=1200mm。右边压差计的左侧指示剂液面与截面A的垂直距离H＝ 1000mm，右侧开口水银面上灌有一段R″=20mm的清水。A、B两截面间
定，本题以选A槽液面1－1′及B槽液面2－2′为宜，
因这两个面上机械能以及其间的∑hf,1-2均为已知或 可算出。若选图中3－3′及4－4′两个
面，虽然算出的We与选1－1′及2－2′时算出的是一样，但3－3′及4－
4′面上各种机械能与其间的摩擦阻力∑hf,3-4均为已知，且在本题条件下 又缺乏计算数据，故不能选用3－3′及4－4′两个面。 选贮槽液面1－1′及高位槽液面2－2′为衡算范围，以1－1′面为基准面：
（1）
来自百度文库
p1=0 (表压)
u1≈0 （因水箱截面很大，故u1很小，可认为u1≈0） z2=0
p2=0 （2－2´面在管口内侧，接近外界大气压，故可认为
p2与外界大气压相等，其表压为零） u2=uc=待求值
题意忽略水箱至管B、由管B至管C的突然缩小损失可以忽略，
故由1－1´至2－2´两面间的总摩擦力为：
h
f,1 2
11.22J/kg
由上表看出，水由1－1'面流到2－2'面位能升高，同时又有能量损失，而 两面间无外功加入，故这些能量只能由两截面间的动能及静压能来供给， 也就是说1－1'面上一部分动能与一部分静压能当流体流到2－2'面时转变 为位能和用于克服摩擦阻力。 4．由两种放置情况的压差计读数分析两截面间的压强差 由前面计 算结果知两种放置情况时压差计读数均为0.02m，而倾斜放置时压强差
3、管段B末段内侧的压强。
解：水箱上方有水补充，侧面有溢流管，箱内液位恒定，故本题 为无外加功的不可压缩流体作定态流动。计算所要求各项目时， 可采用无外功加入的柏努利式。 水在管路 C中的流速uC 在水箱1－1´面及管 C出口内侧2－2´面间列柏努利式，以水平 管中心线为基准面： 2 p1 u12 p2 u 2 z1 g z2 g h f ,12 2 2 其中：z1=5.5m
其中，z1=0 p1=0(表压) u1≈0
z2=20m p2=0(表压) u1≈0
∴
We=20×9.81+40=236.2J/kg
由以上计算过程可知:泵提供的能量用于将溶液提升至高位槽以及 克服流动过程中的流动阻力。柏努利方程式是以1kg流体为基准推导 的，故We是1kg流体在流动过程中获得的能量，称为有效功，故有效 功率为：
（1） 或 其中
本题输水管是倾斜放置的，故不能采用根据水平管导出的式（16）进行计算（p1-p2）,应另行推导计算式。 在附图的压差计上取等压参考面m及n，则pm=pn，参考图可以写出：
整理得
p1 - p2 HH 2Og R( Hg - H 2O )g
（2）
上式为倾斜管路上液柱压差计读数与两侧压面间压强差的关系 式，该式也适用于垂直管路。取ρH2O=1000kg/m3，ρHg＝13600 kg/m3，故
将以上诸值代入式（3）：
上式中∑hf,AB即式（1）中的∑hf，故：
解得管路中流速 u＝2.029m/s 2、截面A上的压强 前项已算出pA-pB的值，此处再利用右边压差计的
数据算出截面B上的压强pB后，即可算出pA。在右边压差计上作等压参
口面T及S，pT=pS,参考图知：
整理之
例6、实验室测定离心泵性能时，采用本题附图所示的定态流动流程。
流量及管径没有变化，故流速及摩擦阻力也无变化：
解得 :
R’=0.02m=20mm
由此看出水平放置后压差计读书没有变化。
3．倾斜放置时1-1′与2-2′面间能量变化情况 化情况列于本例附表中。 项目 位能 动能 1－1'面 z1g=0
2 u1 4.2462 2 2 9.014J/kg
1-1′与2-2′面间能量变
本题属于由外功加入的不可
压缩流体坐定态流动。 在由外功加入的系统中应用伯努 利方程式时，两个截面必须选在 泵的两侧，才能将泵向系统输入 的能量计入，这两个截面的具体
位置视具体情况而定，本题以选
槽液面1-1’及B槽液面2-2’为宜，因这两个面上机械能以及其 间的∑hf,1-2均为已知或可算出。若选图中3-3’及4-4’两个面，虽然
每小时以45m3、20℃的清水为工作介质。泵的出口管直径为 φ85×4mm，出口管直径为φ75×4mm。在泵的进口和出口附近分别装 有真空表及压强表，已测得真空表上读数为2.6×104Pa、压强表读数为 2.6×105Pa，两测压口中心线间的垂直距离为0.5m，因其间管路较 短，故流体在两表间的摩擦阻力可以忽略。泵由 电动机直接带动，传动效率可视为1，已测得电
dC u B uC d B
1 4.232 1.058m / s 2
2
2
3、管B出口内侧压强 管B出口内侧压强可以在1－1´及3－3´（管B出口内侧）面 或3－3´及2－2´面间列柏努利式，算出的结果是一致的。今在1 －1´及3－3´面间列柏努利式，仍以管中心线为基准面，取水的 密度ρ＝1000kg/m3：
动机输出功率为5.5kW，试求泵的效率。 解：本题属于有外功加入的不可压缩流体作定态 的流动。已知泵的轴功率，要求计算泵的效率η， 因η＝Ne／N，故应先采用式（1-12b）求出泵的 有效功We，进一步算出有效功率Ne。前已述及， 计算泵的有效功率时，作为衡算范围的两个截面 应在泵的两侧，在本题条件下，只能选过两测压 口中心的截面1－1'及2－2'，因这两个面上的机械 能
2 uC 9.81 5.5 45 2
解得
uC=4.232m/s
2、水在管路B中的流速uB 水是不可压缩流体，故可用连续性方程式求uB：
u B AB uC AC
简化之 或
2 2 u B d B uC d C
uB dC d uC B
2
上式说明不可压缩流体在管道中的流速与直径的平方成反比。