现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据

二次型函数为负定。 (3)
10 1 − 2 ⎡ 10 1 − 2⎤ 10 1 ⎥ ⎢ 4 − 1 ⎥, ⇒ 10 > 0, = 39 > 0 1 4 − 1 = 17 > 0 P=⎢ 1 1 4 ⎥ ⎢ 2 1 1 2 1 1 − − − − ⎦ ⎣
二次型函数正定。 4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
【解】 ： （1） 设
v( x) = 0.5 x1 2 + 0.5 x 2 2
⎧ ( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1x2 − x1x2 − x2 2 = − x2 2 ⎨ v =0 ⎩≤ 0 ( x = 0) 为半负定。 ( x ≠ 0)
( x) ≡ 0 时，有 x 2 ≡ 0 , 又因为 v 2 ≡ 0 ，代入状态方程得： x1 ≡ 0 . 则x ( x) 不恒为零。 所以系统在 x ≠ 0 时， v
0.5 1
= 0.75 > 0 ， 0.5 0.5
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k )
3 0⎤ ⎡1 3 0⎤ ⎡1 − 3 1⎤ ⎡ 1 0.5 0.5⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢− 3 − 2 − 3⎥ − ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ ⎢0.5 1 G T PG − P = ⎢ 3 − 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1⎥ 0 0⎥ 0 0⎥ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎢ ⎣1 ⎦⎢ ⎣0.5 0 ⎦⎢ ⎣0 − 3 0 ⎥ ⎡ 8 4.5 7 ⎤ ⎥ =⎢ ⎢4.5 6 1.5⎥ ⎢ 7 1.5 8 ⎥ ⎦ ⎣ 8 4.5 7
P12 P22 P23
⎡ P13 ⎤ ⎢0 ⎢ P23 ⎥ ⎥ ⎢0 P33 ⎥ ⎦ ⎢0 ⎣
12 4−k
2
1 0 k 2
⎤ 0⎥ ⎡ P11 P12 1⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎣ P13 ⎦
12 4−k2
⇒ P11 = 1, P12 = 0, P13 = 0, P23 = 0
P22 = − 1, P33 =
4-3
(1)
试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
⎡0 1⎤ ⎡− 1 1 ⎤ =⎢ =⎢ x ⎥ x; ⎥ x; (2) x − 1 − 1 ⎣ ⎦ ⎣ 2 − 3⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡− 1 1 ⎤ =⎢ =⎢ (3) x ⎥ x; ⎥ x; (4) x − − 1 1 ⎣0 − 1⎦ ⎣ ⎦
( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1 (− x1 + x2 ) + x2 (− x1 − x2 ) = − x12 − x2 2 v
= xT ⎢
⎡− 1 0 ⎤ ⎥x ⎣ 0 − 1⎦
= x T Px
P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（4） 两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。 ⎧≥ 0 (x ≠ 0) 1 = x1 v( x1 ) = 0.5 x1 2 ⇒ v ( x1 ) = x1 x 1 = x1 2 ⎨ x ⎩= 0 ( x = 0 )
2 = −x2 x v( x 2 ) = 0.5 x 2 2 ⎧≤ 0 ( x 2 ) = x 2 x 2 = −x2 2 ⎨ ⇒ v ⎩= 0
(x ≠ 0) (x = 0)
所以系统不稳定。 4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。
3 0⎤ ⎡1 ⎢ x(k + 1) = ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ x(k ) ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣1
因为 8>0，
8 4.5
4.5 6
= 27.75 > 0 ， 4.5 6 1.5 = 4.5 > 0 ，所以 P 正定。 7 1.5 8
∆v(k ) 为正定，所以系统在原点不稳定。
4-5
⎡ ⎢0 设离散系统状态方程为 x(k + 1) = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣
1 0 k 2
⎤ 0⎥ 1⎥ x(k ) ⎥ 0⎥ ⎦
3
第四章
Lyapunov 稳定性理论
3 0⎤ ⎡1 ⎢ G = ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥。 ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣1
设
⎡ 1 0.5 0.5⎤ P=⎢ 0⎥ ⎥ ⎢0.5 1 ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣0.5 0 1 0.5 0.5 1 0 0 = 0.5 > 0 ，所以 P 正定。 1
因为 1>0，
1 0.5
1 − 1⎤ 1 1 −1 ⎡1 1 1 ⎥ ⎢ 4 − 3⎥, ⇒ 1 > 0, = 3 > 0, 1 4 − 3 = −4 < 0 P=⎢1 1 4 ⎥ ⎢ −1 − 3 1 ⎣− 1 − 3 1 ⎦
二次型函数不定。 (2)
0⎤ −1 3 0 ⎡− 1 3 ⎥, ⇒ − 1 < 0, − 1 3 = 1 > 0, 3 − 10 1 = −3 < 0 3 10 1 P=⎢ − ⎥ ⎢ 3 − 10 ⎥ ⎢ 0 1 0 1 4 −4 − ⎦ ⎣
k > 0 ，求平衡点 x e = 0 渐近稳定
时 k 值范围。 【解】 ： 方法wk.baidu.com： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
4
第四章
Lyapunov 稳定性理论
−1 0 z −1 = 0 f ( z ) = zI − A = 0 z 0 −k/2 z
z1 = 0.5 2k z 2 = -0.5 2k z3 = 0
x =0
sI − A =
s −1 −1
1 s −1
= s 2 − 2s + 2 = 0
系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。 （2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：
A= ∂f ∂x
T
x =0
⎡ ∂f 1 ⎢ ∂x =⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣ 1
∂f 1 ⎤ ⎡− 1 + 3x1 2 + x 2 2 ∂x 2 ⎥ ⎥ =⎢ ∂f 2 ⎥ ⎢ ⎣ − 1 + 2 x1 x 2 ∂x 2 ⎥ ⎦ x =0
Q=I A P + PA = − I
T
求矩阵 P ，即
⎡0 − 2 ⎤ ⎡ P11 ⎢1 − 1.5⎥ ⎢ P ⎣ ⎦ ⎣ 21 P12 ⎤ ⎡ P11 +⎢ P22 ⎥ ⎦ ⎣ P21 P12 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎢− 2 − 1.5⎥ = ⎢ 0 − 1⎥ P22 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦⎣
= xT ⎢
− 1 1.5 ⎡ − 1 1.5⎤ ⎥ x ⇒ − 1 < 0, 1.5 − 3 > 0 1 . 5 3 − ⎦ ⎣
2
第四章
Lyapunov 稳定性理论
= x T Px
P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（3） 设
v( x) = 0.5 x1 2 + 0.5 x 2 2
± 0.5 2k < 1 ⇒ 0 < k < 2 时平衡点渐近稳定。
方法二：
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k ) ∆v(k ) = x T (k )Qx(k )
令
Q = −I
⎡ P11 Q = G PG − P ，设 P = ⎢ ⎢ P12 ⎢ ⎣ P13
⎧ 1 = − x1 + x 2 + x1 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪x (2) ⎨ 2 = − x1 − x 2 + x 2 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪ ⎩x
【解】 ： （1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：
A= ∂f ∂x T ⎡ ∂f 1 ⎢ ∂x =⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣ 1 ∂f 1 ⎤ ⎡1 − 3 x1 2 ⎡1 − 1⎤ −1 ⎤ ∂x 2 ⎥ ⎥ =⎢ =⎢ ⎥ 2⎥ ∂f 2 ⎥ 1 − 3x 2 ⎦ ⎢ 1 ⎥ x = 0 ⎣1 1 ⎦ ⎣ ∂x 2 ⎥ ⎦ x =0
t − t0 = − 1 1 0.05 v ( x, t ) =− ln = 10.955 v( x0 , t0 ) λ2 100
ηmin
ln
4-7
试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
6
第四章
Lyapunov 稳定性理论
⎧ 1 = x1 − x 2 − x1 3 ⎪x (1) ⎨ 2 = x1 + x 2 − x 2 3 ⎪ ⎩x
T
P12 P22 P23
P13 ⎤ P23 ⎥ ⎥ P33 ⎥ ⎦ P12 P22 P23 P13 ⎤ ⎡− 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ P23 ⎥ ⎥ = ⎢ 0 −1 0 ⎥ P33 ⎥ ⎦ ⎣ 0 0 − 1⎥ ⎦ ⎢
⎡0 0 ⎢ T G PG − P = ⎢1 0 ⎢0 1 ⎣
0 ⎤ ⎡ P11 k ⎥⎢ ⎥ P12 2 ⎥⎢ 0 ⎦⎢ ⎣ P13
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 （2） 设
v( x) = 0.5 x1 2 + 0.5 x 2 2
( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1 (− x1 + x2 ) + x2 (2 x1 − 3x2 ) = − x12 − 3 x2 2 + 3 x1x2 v
⎡ a1 1 − 1 ⎤ ⎥ =x ⎢ ⎢ 1 b1 − 2⎥ x ⎢ ⎦ ⎣− 1 − 2 c1 ⎥
T
a1 > 0,
a1 1
1 b1
a1
1
−1
> 0, 1 b1 − 2 > 0 − 1 − 2 c1
满足正定的条件为：
⎧a1 > 0 ⎪ ⎨a1b1 > 1 ⎪a b c + 4 > b + 4 a + c 1 1 1 ⎩ 1 1 1
⇒
⎡ 5.5 ⎢ P=⎢ 4 1 ⎢ ⎣ 4
1⎤ 4⎥ 1⎥ ⎥ 2⎦
所以李氏函数为：
v( x ) = 5.5 2 x1 + 0.5 x1x2 + 0.5 x2 2 4
( x) = −( x12 + x2 2 ) v
QP −1 − λI = P −1 − λI = 0
I − λP = 0
则
λ1 = 2.3062 ， λ 2 = 0.6938
4-6
⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡x 设系统的状态方程为 ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然 x − − 2 1 .5⎥ ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
后再求从封闭曲线 v( x) = 100 边界上的一点到封闭曲线 v( x) = 0.05 内一点的响应时间上 限。 【解】 ： 令
1 + 2 x1 x 2
2
− 1 + x1 + 3 x 2 ⎦ ⎥ x =0
2⎥
⎤
⎡− 1 1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣− 1 − 1⎦
sI − A =
s +1 1
−1 s +1
= s 2 + 2s + 2 = 0
系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。 4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数 a 、 b 的取值范围（其中二者均大于 或等于零，但二者不同时为零） 。
【解】 ： 方法一： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z −1 f ( z ) = zI − A =
−3
0
3 −1
z+2 3 =0 0 z
z1 = 0.1173 + 2.6974i z 2 = 0.1173 - 2.6974i z 3 = − 1.2346
特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。 方法二： 采用第二方法，
第四章
Lyapunov 稳定性理论
第四章
4-1 试确定下列二次型是否正定。
Lyapunov 稳定性理论
(1) v( x) = x1 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 + 2 x1 x 2 − 6 x 3 x 2 − 2 x1 x 3 (2) v( x) = − x1 2 − 10 x 2 2 − 4 x 3 2 + 6 x1 x 2 + 2 x 3 x 2 (3) v( x) = 10 x1 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 + 2 x1 x 2 − 2 x 3 x 2 − 4 x1 x 3 【解】 ： （1）
v( x) = a1 x1 2 + b1 x 2 2 + c1 x3 2 + 2 x1 x 2 − 4 x3 x 2 − 2 x1 x3
【解】 ：
v( x) = a1 x1 2 + b1 x 2 2 + c1 x3 2 + 2 x1 x 2 − 4 x3 x 2 − 2 x1 x3
1
第四章
Lyapunov 稳定性理论
所以
⎡ ⎢ ⎢1 P = ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ 12 0 ⎥ −1 ⎥ 4−k2 12 ⎥ 0 ⎥ 4−k2 ⎦
5
第四章
Lyapunov 稳定性理论
⎧ 12 −1 > 0 ⎪ 2 ⎪ P 为正定，则 ⎨ 4 − k ⇒ 0 < k < 2 时系统渐近稳定。 12 ⎪ > 0 ⎪ ⎩ 4−k2