现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据

合集下载

现代控制理论第四章答案

G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2

现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )

现代控制理论试题

《现代控制理论》复习题3
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（×）1.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统；
（×）2.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上；
（×）4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（√）5.状态反馈不改变系统的能控性。
二、（20分）已知系统的传递函数为
（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；
（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。
答:（1）将G(s)写成以下形式：
解：能控标准形为
能观测标准形为
对角标准形为
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是，它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值的特征向量是
取变换矩阵，则
因此，
从而，
由期望极点可得期望的闭环特征多项式
通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K。
②变换法
验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。
将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵
设期望的特征多项式为
而能控标准型的特征多项式为
通过
可得
由此方程组得到
因此，要设计的极点配置状态反馈控制器
六、（20分）给定系统状态空间模型

第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题

第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案5.1 判断下列函数的正定性1) 2221231213()2322V x x x x x x x =++-+x 2) 222123121323()82822V x x x x x x x x x =++-+-x 3) 22131223()2V x x x x x x =+-+x解1) T T 211()130101V A -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x x x , 因为顺序主子式2120,50,13->=>- 2111302011--=> 所以0>A ，()V x 为正定函数。

2) T T 841()421111V -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x Ax x x , 因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--841421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。

3) T T 1212110()1001V -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x Ax x x , 因为顺序主子式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解方程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ⎧-+++=⎨--++=⎩只有一个实孤立平衡点（0，0）。

在（0，0）处将系统近似线性化，得**1111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，由于原系统为定常系统，且矩阵1111-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦的特征根1s i =-±均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间

第5章“控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案.doc

2) T T 841()421111V -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x Ax x x , 因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--841421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。

3) T T 1212110()1001V -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x Ax x x , 因为顺序主子式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解方程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ⎧-+++=⎨--++=⎩只有一个实孤立平衡点（0，0）。

离散条件下的李雅普诺夫稳定判据

离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。

在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。

而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。

2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。

它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。

3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。

这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。

而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。

4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。

对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。

5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。

一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。

常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。

不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。

6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。

通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。

7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。

希望本文的介绍对您有所帮助。

基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。

4.3 李雅普诺夫稳定判据

xT (t ) AT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) A(t ) x(t )
xT (t )[ AT (t )P(t ) P(t ) P(t ) A(t )]x(t )
令
AT (t ) P(t ) P(t ) P(t ) A(t ) Q(t )
P 12 P22 Pn 2

Pn 1 P2n Pnn
( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即:
1 0
2 0 ……
n 0
(4.34)
二次型标量函数 V ( x ) 为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子式满足：
i
=
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f ( x, t )
ex
(4.36)
不失一般性 , 设系统的平衡状态为 xe 0 。如果 x e 0 ，可以通过变换为零。连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数 V ( x) ，对所有 x(t ) 的有连续的一阶偏导数，且 V ( x) 是正定的，则
1
2
2 1
2 2
例4.15 分析系统
x1 x1 x 2 x 2 x1 x 2
的稳定性。
解则平衡点为
x e 0 0T
2 ，取 V ( x) x12 x2
2 V ( x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1 ( x1 x2 ) (x1 x2 ) 2( x12 x2 )

现代控制理论试卷及答案

现代控制理论试卷一、简答题（对或错，10分）（1）描述系统的状态方程不是唯一的。

（2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

（3）对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

（4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

（5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

（6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

（8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

（9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

（10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。

对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。

二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。

（15分）1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12(0)0,(),0(0)1tx u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、设系统的传递函数为()10()(1)(2)y s u s s s s =++。

试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。

（15分）四、已知系统传递函数2()2()43Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。

（15分）五、已知系统的动态方程为[]211010a x x uy b x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

【解】（1）平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2）平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间接法/第一法）
1 2

x1 x2

x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】系统平衡状态为： xe 0 0 T

现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

克拉索夫斯基法 (1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
� 设非线性定常连续系统的状态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
� 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
� 对上述非线性系统 ,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。
0
1
x1
x2
0
(x1 , x2 ,0,⋯ ,0)
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,⋯, x ) dxn
0
1 2
xn
n
变量梯度法 (5/10)
� 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
⎡ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + ⋯ + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ grad V = ⎢ 21 1 ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ a x + a x + ⋯ + a x ⎣ n1 1 2n 2 nn n ⎦
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
� 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 � 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。 � 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。 � 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
̇1 = x2 ⎧x ⎨ ̇2 = − x2 − x13 ⎩x

自动控制理论第10章李雅普诺夫稳定性分析

２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时，不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言，至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ，则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统传递函数为：系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

现代控制理论-第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析-566

26
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）线性定常系统渐近稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部。
定的初始条件扩大为整个状态空间，则称此时
系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。
20
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
即：对 x0 s( )
都有
lim
t
x(t; x0, t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
• 当与 t0无关一致大范围渐近稳定。
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
三个平衡状态
0
xe1
0
0 xe3 1
0 xe2 1
9
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对于平衡状态而言的。
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
15
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
若 δ 与t0 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。

现代控制理论课后习题及答案

《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

5现代控制理论5李雅普诺夫稳定性分析报告

6
对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
7
对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如
值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。
1. 线性定常系统定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
x f (x,t)
f(x, t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状态为xe = 0，则在平衡状态xe = 0处可将f(x, t)展成泰勒级数，则得
x Ax R(x)
19
f1
A

f ( x,t) x T

x1 f2

x1
f1
x2 f2
解:
v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0；当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0；当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0；当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
27
例5-1 已知v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2 ，试判定 v(x)是否正定。

现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总

状态稳定性
两个推论：
线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定是输出稳定的。
线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未必是状态稳定的。
参见例4.1
4.3 李雅普诺夫第二法无需求解微分方程，直接判断系统稳定性。
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定。反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。
mx kx
选
x
x1
x2
x
x
0 xe 0
状态方程
x1
x2
x2
k m
x1
系统能量正定
能量不变恒等于0
V
(x)
1 2
kx12
1 2
mx22
V (x) kx1x1 mx2x2 0
李雅普诺夫意义下的稳定
定理4
时变系统 x f (x,定t)常, t 系 t统0 ：
x f (x), t 0
+
S
R
C
uc
E
解：选择电容电压uc为状态变量x1
RCx1 x1 0
t
x1(t) x1(0)e RC
V (x)
1 2
CU
2 c
1 2
Cx12
1 2
Cx12
(0)e
2t RC
0
V(x) 2 V (x) 0 RC
渐近稳定！
4.3.1 预备知识 1、标量函数的符号性质
在零平衡状态 xe 0的邻域内
仅有数学方程，没有物理意义的系统
虚构一个与时间有关的能量函数（李雅普诺夫
函数）V (x,t) ——标量函数。求出能量随时间变化率 V(x,t)。