第4讲 圆锥曲线大题题型培优学生

第4讲 圆锥曲线大题题型

培优题型一 范围、最值问题

例1 (2020·开封质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23

－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．

例2 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点

M ，使QP →＝PM →.

(1)求点M 的轨迹E 的方程；

(2)过点C (m ,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．

1.(2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆

x 2＋y 24

＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．

2.已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．

(1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点；

(2)若直线l 与曲线M 相切，求P A →·PB →(点P 坐标为(1,0))的取值范围．

3.(2020·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．

(1)求实数m 的取值范围；

(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．

培优题型二 定点问题

例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合

且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点，并求此定点．

[题型练透]

1.(2020 ·聊城模拟)已知圆x 2＋y 2

＝4经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点和两个顶点，点A (0，4)，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且∠MAN 的平分线在y 轴上，|AM |≠|AN |.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)证明：直线MN 过定点．

培优题型三 定值问题

例4 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .

(1)求直线l 的斜率的取值范围；

(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ

为定值．

[题型练透]

1.已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．

培优题型四 证明与探索性问题

例5 (2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22

＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点

F .

例6 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24

与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点， (1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．

[题型练透]

1.已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63

，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN .

(1)求椭圆T 的方程；

(2)求证：PM ⊥PN .

2. (2018·广州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点Q ⎝

⎛⎭⎫1，－22，且离心率e ＝22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)判断是否存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →？若存在，求出直线l 的方

程；若不存在，请说明理由．