用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)

考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等）

1．(13辽宁T16)

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加

该小组

的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本

数据中的

最大值为 .

【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10

【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知

2222212345

123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5

x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个

整数的平

方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可

得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.

2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取

值12319,,,

,x x x x ，则方差_______D ξ=.

【测量目标】方差. 【难易程度】中等

|d 【试题解析】

11219

1101918

19+2919

19

x d x x x E x d x ξ⨯+

++=

=

=+=… （步骤1） 222

22222(981019)3019

d D d ξ=++

++++

+=．（步骤2）

3.(13北京T16)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

JC113

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等

【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝

1

13

，且i j A A ＝∅(i ≠j )．

设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A .

所以P (B )＝P (5

8A A )＝P (5A )＋P (8A )＝

2

13

.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且

P (X ＝1)＝()()()()()3

67

1136711413

P A A A A P A P A P A P A =+++=

，

P (X ＝2)＝()()()()()1

212

131********

P A A A A P A P A P A P A =+++=

P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝

513

. 所以X 的分布列为：

（步骤2）

故X 的期望EX ＝0×

513＋1×413＋2×413＝1213

.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

4.(13江苏T6)抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【测量目标】数据平均数和方差的计算. 【难易程度】容易 【参考答案】2

【试题解析】由表中数据计算得90,90,x x ==甲乙且

2222221

[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45s =-+-+-+-+-=甲，

2222221

[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25

s =-+-+-+-+-=乙.（步骤1）

由于2

s

甲>

2s 乙，故乙的成绩较为稳定，其方差为2. （步骤2）

5.(13安徽T5)

某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

( )

A ．这种抽样方法是一种分层抽样

B ．这种抽样方法是一种系统抽样

C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】容易 【参考答案】C

【试题解析】五名男生成绩的平均数为

1

5

(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为1

5

(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为

2

1s ＝22222

869094908890929090905

(-)+(-)+(-)+(-)+(-)

＝8，

五名女生成绩的方差为2

2s

＝

22

288913939165

(-)+(-)=， 所以22

12s s >，故选C. （步骤2）

6.（12北京T17）

近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；