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吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类

吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．三．反比例函数的应用（共1小题）3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．四．二次函数综合题（共2小题）4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．五．四边形综合题（共3小题）6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC 或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为．8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．七．解直角三角形的应用（共2小题）10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O 作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB× （填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400× （填相应的三角函数值）≈ （km）（结果取整数）．八．条形统计图（共1小题）12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是．（3）下列推断合理的是（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．九．折线统计图（共1小题）13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 %．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为　万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．一十．列表法与树状图法（共1小题）14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．【答案】每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．【解答】解：设每箱A种鱼的价格每箱x元，B种鱼的价格每箱y元，由题意得，，解得，答：每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【答案】（1）0.5，40．（2）y＝x+15（40≤x≤100）．（3）5万人．【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．三．反比例函数的应用（共1小题）3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【答案】（1）ρ＝；（2）该气体的密度为1kg/m3．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．四．二次函数综合题（共2小题）4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x﹣．（2）y最小值为﹣2，y最大值为．（3）①m＜．②﹣2≤m＜，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当m＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）或．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），∴c＝1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，∴2m＝1，解得：；（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，x Q＝2m＝2，∴m＝1，则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，∴P（1，2），Q（2，1），∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，x P＝m＝2，x Q＝2m＝4，则﹣42+2×4+1＝﹣7，∴P（2，1），Q（4，﹣7）；∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，则0＜2m＜1，∴0＜m，∵P（m，﹣m2+2m+1），∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），∴＝﹣m2+2m，h2＝y Q﹣y A＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，解得：或m＝0（舍去）；②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则2m≥1，m≤1，即，则h2＝2﹣1＝1，∴1+m2﹣2m＝m 1，解得：（舍去）或（舍）；③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝0 方时，即1＜m＜2，∵h1＝2﹣1＝1，，∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，解得：或m＝0（舍去）；④当p在直线y＝1上或下方时，即m≥2，，∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，解得：m＝1（舍去）或m＝0（舍去），综上所述，或．五．四边形综合题（共3小题）6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）1cm．（2）（x﹣3）．（3）y＝．【解答】解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1cm．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤2时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD 于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1cm．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠BDC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1）cm，∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2）cm，∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2）cm2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+ x﹣）cm2（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x）cm，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是　两组对边分别相平行的四边形是平行四边形　．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为　80　．【答案】【操作发现】两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】80．【解答】【操作发现】解：如图①，四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；故答案为：两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】证明：∵四边形纸条ABCD和EFGH是平行四边形，∴MN∥EF，EN∥FM，∴四边形EFMN是平行四边形，∵∠B＝∠FEH，∴AB∥NF，∵AN∥BE，∴四边形ABEN是平行四边形，∴AB＝EN，∵AB＝EF，∴EN＝EM，∴▱EFMN是菱形；【结论应用】解：∵将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，∴四边形GFCP是平行四边形，∴PG＝CF，PG∥CF，∵DM∥CF，∴DM∥PG，∴四边形PDMG是平行四边形，∵MD＝MG，∴四边形PDMG是菱形，∴PG＝PD，由【探究提升】知▱EFMN是菱形，∴FM＝EF，∴EF＝CD，∴CE＝CP，∴四边形ECPH是菱形，∵四边形ECPH的周长为40，∴HE＝PC＝10，∴FG＝HE＝10，过G作GQ⊥BC于Q，∵sin∠EFG＝＝，∴GQ＝8，∴四边形ECPH的面积为CE•GQ＝10×8＝80．故答案为：80．8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．【答案】（1）a；（2）四边形ADFC是菱形，理由见解答；（3）45°或135°．【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解答．【解答】解：如图：图①△ABC即为所求锐角三角形；图②△ABD即为所求直角三角形；图③△ABCF为所求钝角三角形．七．解直角三角形的应用（共2小题）10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】点A到CD的距离AE的长度约88cm．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（　两直线平行，内错角相等　）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×　cos B　（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×　0.72　（填相应的三角函数值）≈　27648　（km）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．【解答】解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．八．条形统计图（共1小题）12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是　833.6　亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是　28.0%　．（3）下列推断合理的是　②　（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．【答案】（1）833.6；（2）28.0%；（3）②．【解答】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．九．折线统计图（共1小题）13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是　62.71　%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为　141260×64.72%　万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是　①　（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【答案】（1）62.71；（2）141260×64.72%；（3）①．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．一十．列表法与树状图法（共1小题）14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．第31页（共31页）【答案】．【解答】解：根据题意列表如下：AB C AAA BA CA BAB BBCB C AC BC CC共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员有3情况，∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为：＝．。

2010年中考数学试题分类(精选版)：函数与一次函数

2010年中考数学试题分类汇编函数与一次函数10．（2010年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）【关键词】函数的意义【答案】A1、（2010年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。

（2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系;(A) (B) (C) (D)1题（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【关键词】函数与实际问题【答案】解：（1）15，154 （2）由图像可知，s 是t 的正比例函数设所求函数的解析式为kt s =（0≠k ）代入（45，4）得：k 454= 解得：454=k ∴s 与t 的函数关系式t s 454=（450≤≤t ）（3）由图像可知，小聪在4530≤≤t 的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为n mt s +=（0≠m ）代入（30，4），（45，0）得：⎩⎨⎧=+=+045430n m n m解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=12154n m∴12154+-=t s （4530≤≤t ）令t t 45412154=+-，解得4135=t当4135=t 时，34135454=⨯=S 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米。

5．(2010年安徽省芜湖市)要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（） A ．a ≠0 B．a ＞－2且a ≠0 C．a ＞－2或a ≠0 D．a ≥－2且a ≠0 【关键词】函数自变量的取值范围【答案】D9．(2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。

历年吉林省中考数学试卷(含答案)

2017年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab24．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB 交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为．8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克元（用含x的代数式表示）．9．（3分）分解因式：a2+4a+4=．10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为m．13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b 与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：原式=+（第一步）=（第二步）=．（第三步）（1）该学生解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC 重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．2017年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017•吉林）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据有理数乘方的定义计算即可．【解答】解：原式=1．故选A．【点评】本题考查有理数的乘方，记住乘方法则是解题的关键．2．（2分）（2017•吉林）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】根据正六棱柱的俯视图为正六边形，即可得出结论．【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．故选B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记正六棱柱的三视图是解题的关键．3．（2分）（2017•吉林）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；（B）原式=a5，故B错误；（D）原式=a2b2，故D错误；故选（C）【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．（2分）（2017•吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1．故选A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（2分）（2017•吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．6．（2分）（2017•吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得OB==13，CB=OB﹣OC=13﹣5=8，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，利用勾股定理得出OB的长是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2017•吉林）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为8.4×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：84 000 000=8.4×107，故答案为：8.4×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（3分）（2017•吉林）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克0.8x元（用含x的代数式表示）．【分析】按8折优惠出售，就是按照原价的80%进行销售．【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．故答案是：0.8x．【点评】本题考查了列代数式．解题的关键是理解“按8折优惠出售”的含义．9．（3分）（2017•吉林）分解因式：a2+4a+4=（a+2）2．【分析】利用完全平方公式直接分解即可求得答案．【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2．故答案为：（a+2）2．【点评】此题考查了完全平方公式法分解因式．题目比较简单，注意要细心．10．（3分）（2017•吉林）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是同位角相等，两直线平行．【分析】关键题意得出∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；故答案为：同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了复杂作图以及平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．11．（3分）（2017•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为1．【分析】B′C=5﹣B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以B′D===4，所以B′C=5﹣B′D=1．故答案是：1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=5是解题的关键．12．（3分）（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为9m．【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：∵OD=4m，BD=14m，∴OB=OD+BD=18m，由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9，即旗杆AB的高为9m．故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键．13．（3分）（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．【分析】由五边形ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用弧长公式可求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴==•πAB=π，=++BC=π+1．∴C阴影故答案为：π+1．【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出、的长度是解题的关键．14．（3分）（2017•吉林）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为1．【分析】根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，解得，，故答案为：1．【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2017•吉林）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：原式=+（第一步）=（第二步）=．（第三步）（1）该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是分式的基本性质；（2）请写出此题正确的解答过程．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；（2）原式=+==故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．（5分）（2017•吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．【分析】设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意得：，解得：．答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．17．（5分）（2017•吉林）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．（5分）（2017•吉林）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D．【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2017•吉林）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．【分析】（1）根据算术平均数、众数、中位数的定义解答；（2）根据平均数意义进行解答．【解答】解：（1）=（7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；中位数为9.7万元．丙中出现次数最多的数为9.9万元．故答案为：8.7，9.7，9.9；（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．【点评】本题考查了众数、中位数、加权平均数的定义，学会分析图表是解题的关键．20．（7分）（2017•吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握等腰三角形的定义和平行四边形的判定是解题的关键．21．（7分）（2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt△AOC中，∵tan34°=，∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴OB=OC=5km，∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，答：求A，B两点间的距离约为1.7km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（7分）（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x ＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由点A的纵坐标为2知OC=2，由OD=OC知OD=1、CD=3，根据△ACD的面积为6求得m=4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代入函数解析式求得n；（2）作BE⊥AC，得BE=2，根据三角形面积公式求解可得．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，∴OC=2，AC⊥y轴，∵OD=OC，∴OD=1，∴CD=3，∵△ACD的面积为6，∴CD•AC=6，∴AC=4，即m=4，则点A的坐标为（4，2），将其代入y=可得k=8，∵点B（2，n）在y=的图象上，∴n=4；（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，∴S=AC•BE=×4×2=4，△ABC即△ABC的面积为4．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积求得点A的坐标及待定系数法求函数解析式是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2017•吉林）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长AB=AD=，即可得到四边形ABC'D′的周长为4；（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，又∵∠ADB=60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD=AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB=AD=，∴四边形ABC'D′的周长为4，故答案为：4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+或2+3．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．24．（8分）（2017•吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为10cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长；（2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x 的取值范围；（3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出t的值．【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10cm；故答案为：10；（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，∵图象过A（12，10），B（28，20），∴，解得：，∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）；（3）∵28﹣12=16（s），∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用函数图象获取正确信息是解题关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2017•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ 与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为x cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．【分析】（1）国际已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；（3）如图②，当0＜x≤时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，得到x=，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，故答案为：x ；（2）如图①，延长FE 交AB 于G ，由题意得AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，∴GP=2x ，∴2x +x +2x=4，∴x=；（3）如图②，当0＜x ≤时，y=S 正方形DEFQ =DQ 2=x 2，∴y=x 2；如图③，当＜x ≤1时，过C 作CH ⊥AB 于H ，交FQ 于K ，则CH=AB=2，∵PQ=AP=2x ，CK=2﹣2x ，∴MQ=2CK=4﹣4x ，FM=x ﹣（4﹣4x ）=5x ﹣4，∴y=S 正方形DEFQ ﹣S △MNF =DQ 2﹣FM 2，∴y=x 2﹣（5x ﹣4）2=﹣x 2+20x ﹣8，∴y=﹣x 2+20x ﹣8；如图④，当1＜x ＜2时，PQ=4﹣2x ，∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =DQ 2，∴y=（2﹣x ）2，∴y=x 2﹣2x +2；（4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，即2x=2，∴x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，PB=1，∴AP=3，∴2x=3，∴x=，∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．26．（10分）（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．【解答】解：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=，故答案为：；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x 增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，=DE•h≥1，∵S△PDE∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结合的思想和分类讨论的思想，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边的长和确定高的取值是关键．。

精品解析：2023年吉林省中考数学真题(解析版)

吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（） A. +150C ° B. 150C −°C. +276C °D. 276C −°【答案】B 【解析】【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C −°，故选：B ．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高，故选A ．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3. 下列算式中，结果等于5a 的是（） A. 23a a + B. 23a a ⋅C. 23()aD. 102a a ÷【答案】B 【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ×=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a −=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 4. 一元二次方程2520x x −+=根的判别式的值是（） A. 33 B. 23 C. 17D.【答案】C 【解析】24b ac =−△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b −，2c =， ∴()224541172b ac =−=−××−= ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5. 如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AEAC的值是（）的A.25B.12C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE ADAC AB=，即可求解．【详解】解：∵ABC 中，DE BC ∥， ∴AE ADAC AB=， ∵23AD BD ==， ∴22235AE AD ACAD BD ===++，故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．6. 如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=°，则BPC ∠的度数可能是（）A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°【答案】D 【解析】【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=∠=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，70BAC ∠=°， ∴2140BOC BAC ∠=∠=°， ∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥°， ∴BPC ∠的度数可能是155° 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. .．【解析】【分析】根据负数绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：|．8. 不等式480x −>的解集为__________．【答案】2x > 【解析】【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：480x −>48x >解得：2x >，故答案为：2x >．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 9. 计算：(3)a b +=_________．【答案】3ab a + 【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．【详解】解：(3)3a b ab a +=+．故答案为：3ab a +．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键． 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性【解析】的【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 11. 如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC ∠°，则BAE ∠的大小为__________度．【答案】55 【解析】【分析】首先根据题意得到AD 是BAC ∠角平分线，进而得到1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°．【详解】∵由作图可得，AD 是BAC ∠的角平分线∴1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．【答案】54573x x +=+ 【解析】【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，根据题意列方程54573x x +=+；故答案为：54573x x +=+．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．的13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=°，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）【答案】10π 【解析】分析】利用弧长公式π180n rl =直接计算即可．【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB ∠=°， ∴ AB120π1510π180××=，故答案为：10π．【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n rl =，并规范计算是解题的关键． 14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC ∠=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．若点B ′刚好落在边AC 上，303CB E CE ′∠=°=，，则BC 的长为__________．【答案】9 【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ′===，即可求解．【详解】解：∵将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．点B ′刚好落在边AC 上，在Rt ABC△中，90C BC AC ∠=°<，，303CB E CE ′∠=°=，， ∴26B E BE CE ′===，∴369BC CE BE =+=+=，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【三、解答题（每小题5分，共20分）15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】M a =，11a −，99100，过程见解析【解析】【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可．【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴()()2111M a a a a a M a a ⋅==+++， ∴M a =，原式()()2111a a a a a −++()211a a a −=+ ()()()111a a a a +−=+1a a −=11a=−，当100a =时，原式1991100100=−=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．【答案】13【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠= ∠=∠∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【解析】【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y += +=，解得700300x y == ，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解析【解析】【分析】根据勾股定理可得AB = 【详解】解：如图所示，如图①，AC AB ===，则ABC 是等腰三角形，且ABC 是锐角三角形，如图②，AD AB ===，BD ==，则222AD AB BD +=，则ABD △是等腰直角三角形，如图③，AE AB ===ABE 是等腰三角形，且ABE 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长λ与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f （MHz ） 10 15 50 波长λ（m ） 30206（1）求波长λ关于频率f 的函数解析式．（2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长λ．【答案】（1）300fλ=；（2）4m 【解析】【分析】（1）设解析式为kfλ=()0k ≠，用待定系数法求解即可；（2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．【小问1详解】解：设波长λ关于频率f 的函数解析式为kfλ=()0k ≠，把点()10,30代入上式中得：3010k=，解得：300k =，300fλ∴=；【小问2详解】解：当75MHz f =时，300475λ==，答：当75MHz f =时，此电磁波的波长λ为4m ．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．α=________．1.54m AB =．请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．【答案】40°，9.9m CD = 【解析】【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得α的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为50°， ∴905040α=°−°=°，∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，CE AE ⊥， ∴90ABD EDB AED ∠=∠=∠=°，∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54m ED AB ==在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE α==， ∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=≈．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．22. 为了解20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：-=100%×本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．（2）20182022−年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（）②如果将20182022−年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022−年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（）【答案】（1）161.3 （2）3877.9 （3）①×；②√ 【解析】【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，作差即可求解．（2）根据中位数的定义，即可求解．（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高； ②根据中位数的定义可得3877.94039.23877.92b +>，即可求解．【小问1详解】解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3−=（万吨）；故答案为：161.3．【小问2详解】将20182022−年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8； ∴20182022−年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨故答案为：3877.9．【小问3详解】①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高．故答案为：×．②依题意，3877.9a =，3877.94039.23877.92b +>∴b a >，故答案为：√．【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】（1）30 （2）()312060y x x =+30<≤ （3）10天【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，603030−=（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，将()30,210和()60,300两个点代入，可得2103030060k b k b =+=+ ，解得3120k b = =，∴()312060y x x =+30<≤ 【小问3详解】解：甲组每天挖30021036030−=−（千米）甲乙合作每天挖210730=（千米） ∴乙组每天挖734−=（千米），乙组挖掘的总长度为304120×=（千米）设乙组己停工的天数为a ，则()330120a +=，解得10a =，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC ≤），其中AB EF =，B FEH ∠=∠EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG ∠=（EFG ∠为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8 【解析】【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ⊥于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥， ∴四边形EFMN 是平行四边形， ∵B FEH ∠=∠， ∴NE AB ∥，又AN BE ∥，∴四边形ABEN 是平行四边形， ∴EF AB NE ==，∴平行四边形EFMN 是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移， ∴MD GP ∥，PD MG ∥，∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形， ∵MD MG =，∴四边形PGMD 是菱形， ∵四边形EFMN 是菱形， ∴四边形ECPH 是菱形， ∵四边形ECPH 的周长为40， ∴10FH GF ==，作GQ BC ⊥于Q ， ∵4sin 5EFG ∠=， ∴45GQ GF =， ∴8GQ =，∴四边形ECPH 的面积为10880×=．故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD −向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB −于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】（1）()4x −；x（2）()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤ （3）43x =或83x = 【解析】【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，24x <≤两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【小问1详解】解：依题意，1AP x x =×=()cm ，则()4PB AB AP x cm =−=−， ∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB DCB ∠=∠=°∥， ∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴,OM OPOQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形， ∴MQ PN =，MQ NP ∥，∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠， ∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠∠=∠ =， ∴ANP CQM ≌，∴()cm MCAP x == 故答案为：()4x −；x ．【小问2详解】解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =−==，42QC x =−，则222MCQ BPQ y AB S S =−− ()()164242x x x x =−−×−−241216x x =−+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==−=−，()244PN AP AN x x x =−=−−=−+，∴()44416y x x =−+×=−+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤；【小问3详解】依题意，①当四边形PQMN 是矩形时，此时PB QB = 即42x x −= 解得：43x =，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，∴()()()22224242x x x x −+=+−，解得：0x =（舍去）； ②如图所示，当PB CQ =时，424x x −−，解得83x =，当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x −+=，解得：0x =（舍去），综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83x =．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =−++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．【答案】（1）221y x x =−++（2）12m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8（4）13m =或54m = 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m −=建立方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y xx c =−++经过点(0,1)A ． ∴1c =∴抛物线解析式为221y x x =−++；【小问2详解】解：∵221y x x =−++()212x =−−+，顶点坐标为()1,2，∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m∴21m =，解得：12m =；【小问3详解】①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，22Qx m ==， ∴1m =，则212112−+×+=，222211−+×+=， ∴()1,2P ，Q ()2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211−=；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，∴2P x m ==，24Qx m == 则242417−+×+=−∴()2,1P ，()4,7Q −；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178−−=；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；【小问4详解】①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，则021m << ∴102m << ∵()2,21P m m m −++，()()()22,2221Q m m m −++即()22,441Q m m m −++ ∴()21211P A h y y m m =−=−++−22m m =−+； 222441144Q A h y y m m m m =−=−++−=−+∵21h h m −=∴22442m m m m m −++−= 解得：13m =或0m =（舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ≥≤，，即112m ≤≤，则2122,211h m m h =−+=−=， ∴212m m m +−=，解得：m =； ③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，1211h =−=，()2222441441h m m m m =−−++=−+∴24411m m m −+−= 解得：54m =或0m =（舍去）； ④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ≥，，()22122121h m m m m =−−++=−+，()2222441441h m m m m =−−++=−+，()2244121m m m m m ∴−+−−+=解得：1m =（舍去）或0m =（舍去）综上所述，13m =或54m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2024年吉林长春中考数学试题及答案

2024年吉林长春中考数学试题及答案本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据有理数加法法则，计算()23+-过程正确的是（）A ．()32++B ．()32+-C ．()32-+D ．()32--2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（）．A ．主视图B ．俯视图C ．左视图D ．右视图3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（）A ．54oB ．60C ．70D ．724．下列运算一定正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．236a a a ⋅=C ．()222ab a b =D ．()235a a =5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）A ．若a b >，则a c b c+>+B ．若a b >，b c >，则a c >C ．若a b >，0c >，则ac bc >D ．若a b >，0c >，则a b c c>6．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（）A ．sin a θ千米B ．sin a θ千米C ．cos a θ千米D ．cos a θ千米7．如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（）A ．AOM B∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB =8．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =，则点B 的坐标是（）A ．(B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．单项式22a b -的次数是．10= ．11．若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．12．已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是．（写出一个即可）13．一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为 cm ．（结果保留π）14．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG上述结论中，正确结论的序号有．三、解答题：本题共10小题，共78分．15．先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =．16．2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A 、B 、C 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．17．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18．如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，O 是边AB 的中点，AOD BOC ∠=∠．求证：四边形ABCD 是矩形．19．某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x ≤<，78x ≤<，89x ≤<，910x ≤≤）b ．高中部20名学生所评分数在89x ≤<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：平均数中位数初中部8.38.5高中部8.3m根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m 的值为________；(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．21．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．(1)a 的值为________；(2)当112x a ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP ∠的大小为度，线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．23．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）24．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m -，点C 的横坐标为5m -，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB ∠的值始终为2；(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．1．D【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．【详解】解：()()2332+---=．故选D ．2．B【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．故选B ．3．D【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．【详解】解：(52)180180725α-⨯︒∠=︒-=︒，故选：D ．4．C【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ．【详解】解：A ．2236a a a ⋅=，故本选项不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5．A【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意．故选：A ．6．A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL AL AR a θ==∴sin AL a θ=千米故选：A7．D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B ∠=∠，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C ∠+∠= ，根据平行线分线段成比例得出1AM AO CM OB==，即可得出AM CM =．【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B ∠=∠一定成立，故A 不符合题意；B ．∵AOM B ∠=∠，∴OM BC ∥，∴180OMC C ∠+∠= 一定成立，故B 不符合题意；C ．∵O 是边AB 的中点，∴AO BO =，∵OM BC ∥，∴1AM AO CM OB==，∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意；D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意．8．B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE ∠、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE ∠=∠，进而根据sin sin CD DBC OAE BC∠==∠求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA =∴sin OE OAE OA ∠===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ，∴OA BC ∥，∴OAE BOA ∠=∠，∵AE y ∥轴，∴DBC BOA ∠=∠，∴DBC OAE ∠=∠，∴sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=2CD =，即点C 的横坐标为2，将2x =代入8y x=，得4y =，∴C 点的坐标为()2,4，∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =-=-=,∴()0,3B 故选：B ．9．3【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式22a b -的次数是：213+=，故答案为：3．10【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．11．14c >【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c -+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线2y x x c =-+与x 轴没有交点，∴20x x c -+=没有实数根，∴2141140c c ∆=-⨯⨯=-<，14c >．故答案为：14c >．12．2（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =-，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小，∴0k <，当1k =-时，11b =-+，解得：2b =，∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13．203π【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，∴60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，∴点A 经过的路径长至少为12010201803ππ︒⋅⋅=︒．故答案为：203π．14．①②③【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD ∠=∠、ADE DAC ∠=∠可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明 ∽ADG BDA 可得AD GD BD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =，再结合AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC ∠=∠=︒，从而证明,AOD ODC 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC ∠=∠=︒，再解直角三角形可得DG =ADG S = 【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是 AC 的中点，∴ AD DC =,∴ABD DAC ∠=∠，即①正确；∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DAC AGD ∠+∠=︒，∵DE AB⊥∴90BDE ABD Ð+Ð=°,∵ABD DAC ∠=∠，∴BDE AGD ∠=∠，∴DF FG =，∵90BDE ABD Ð+Ð=°，90BDE ADE ∠+∠=︒,∴ADE ABD ∠=∠，∵ABD DAC ∠=∠，∴ADE DAC ∠=∠，∴AF FD =，∴AF FG =,即②正确；在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴ ∽ADG BDA ，∴AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD =+,∴223AD AD=+，即AD =∴AG ==∵AF FG =，∴12FG AG ==如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，∵ 2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点，∴ 1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒，∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC 是等边三角形，∴6OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形，∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒，∵90ADB ∠=︒，∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=6DG =，解得：DG =∴11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯= ，∵AF FG=∴12DFG ADG S S == ，即④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．15．2x ，2【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x x x x x x x --===--∵x =，∴原式2=16．13【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：A B CA A ，A A ，B A ，CB B ，A B ，B B ，CC C ，A C ，B C ，C共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为3193=．17．共33人合伙买金，金价为9800钱【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B ∠=∠=︒得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点，∴OA OB =，在AOD △和BOC 中，90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOD BOC ≌△△，∴AD BC =，∵90A B ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵90A B ∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)8.3(2)①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+⨯，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==，故答案为：8.3；（2）①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3，∴a b >，故答案为：>；②解：∵45 80036020+⨯=，∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【详解】（1）解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（2）解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（3）解：如图③：四边形ABCD 即为所求；（不唯一）．21．(1)15(2)11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭(3)没有超速【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答；（2）利用待定系数法求解即可；（3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：10020a =，解得：15a =．故答案为：15．（2）解：设当11125x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，则：11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：902k b =⎧⎨=⎩，∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．（3）解：当112x =时，19029.512y =⨯+=，∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12÷=（千米时），∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速．22．问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可；（2）先证明30CAP MPA Ð=Ð=°，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH Ð=°，进而得45DAH ∠=︒，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，∴四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC\==，AM NC= AM MP ∴=；（2）在等边ABC 中，60ACB ∠=︒，MP CN∥60PMC ACB \Ð=Ð=°AM MP= 30CAP MPA \Ð=Ð=°；当CP AP ⊥时，CP 最小，此时MN 最小，在Rt ACP 中，3,30AC CAP =Ð=°13322CP \=´=，∴线段MN 长度的最小值为32；方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，∴四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED\==，∥AM ND= AM MH ∴=，四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \Ð=°∥BC MH\∥30ACB CMH \Ð=Ð=°AM MH= 15MAH \Ð=°3m,120AC CD ACD ACB BCD ==Ð=Ð+Ð=°30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ⊥于点R ，在Rt ACR 中，3,30AC CAR =Ð=°13322CR \=´=，AR \2AD AR \==在Rt ADH 中，45AD DAH =Ð=°DH AH \=，∴线段MN 米．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23．(1)4(2)85(3)177(4)256或259【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ ∽，得到CE CD NQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯，求得3345525x x +⨯=，解方程即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知： 5AB AC ==，ABC ∴ 为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ⊥；在Rt ADC 中，4AD ====；（2）根据题意作DH AC ⊥，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ ，解得：85h =；（3）如图，当NP AC ⊥时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-，()44655DQ CD x ==-()44655AQ DQ CD x ===-，AQ CQ AC += ，()()3466555x x ∴-+-=解得：177x =故177=AP ，所以正方形APMN 的边长为177；（4）如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m=ANQ ∴ 三边的比值为3:4:5，AQN C ∴∠=∠，CAD C ∴∠=∠，∴CDE ANQ∽CE CDNQ AQ=∴5525326CD =⨯=当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO ∴三边比为2:AQD ∴三边比为2:设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯=解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或25924．(1)222y x x =+-(2)见详解(3)①9ADCE S =菱形；②3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【分析】（1）将()2,2--代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +----，则4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，因此tan 2BH CAB AH∠==；（3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m -+-，而对称轴为直线=1x -，则512m m -+=-，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DM CAB AM ∠===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F --，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，由CAD FCQ ∠=∠，得到()()2223215m m m +---=---，解得：4m =或4m =+（舍），故04m <≤，当4m >侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，故10m -≤<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意，过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，()222321m m m +---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m ≤-，故m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【详解】（1）解：将()2,2--代入22y x x c =++，得：442c -+=-，解得：2x =-，∴抛物线表达式为：222y x x =+-；（2）解：过点B 作BH AC ⊥于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +----，∴4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，∴在Rt AHB △中，4tan 22m BH CAB AH m∠===；（3）解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m -+-，由2122b a -=-=-，得：对称轴为直线：=1x - ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==，∵DE 与此抛物线的对称轴重合，∴512m m -+=-，解得：12m =，∴12A x =，∴()13122AM =--=∴3AC =，∵tan 232DM DM CAB AM∠===，∴3DM =，则6DE =，∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形；②记抛物线顶点为点F ，把=1x -代入222y x x =+-，得：=3y -，∴()1,3F --，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，∵四边形ADCE 是菱形，∴DA DC =，∴CAD FCQ ∠=∠，∴tan tan 2FQ FCQ CAD CQ∠=∠==，∴()()2223215m m m +---=---，解得：4m =4m =（舍），∴04m <≤，当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，符合题意，如图：∴10m -≤<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，tan 2FQ FAQ AQ ∠==，∴()222321m m m+---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m ≤-，综上所述，m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。

2023年吉林省长春市中考数学真题(解析版)

2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A. aB. bC. cD. d【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.【详解】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c \，\这四个数中绝对值最小的是b .故选：B 【点睛】本题考查了绝对值意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）.的A. 80.3810´ B. 63.810´ C. 83.810´ D. 73.810´【答案】D【解析】【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：10n a ´，1<10a £，n 为整数的位数减1．【详解】解：738000000 3.810=´，故选：D ．【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3. 下列运算正确的是（）A. 32a a a-= B. 23a a a ×= C. ()325a a = D. 623a a a ¸=【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B. 23a a a ×=，故该选项正确，符合题意；C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 624a a a ¸=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥【答案】C【解析】【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B ¢¢的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证()SAS AOB A OB ¢¢V V ≌，根据证明方法即可求解．【详解】解：O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，AOB A OB ¢¢Ð=ÐQ （对顶角相等），\在AOB V 与A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB =ìïÐ=Ðíï=¢¢î¢，()SAS AOB A OB ¢¢\△≌△，AB A B ¢¢\=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即25BAC Ð=°）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（）A. 32sin 25°米B. 32cos 25°米C. 32sin 25°米D. 32cos 25°米【答案】D【解析】【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.【详解】解：Q AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC \^，ABC \V 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB \==°°（米）.故选：D .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7. 如图，用直尺和圆规作MAN Ð的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A. AD AE= B. AD DF = C. DF EF = D. AF D E^【答案】B 【解析】【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ^，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A e 与x 轴相切、B e 与y 轴相切时，连结AB ，AB =k 的值为（）A. 3B.C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =-=-，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为ED ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB Ð=°，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9. 分解因式：21a -=____．【答案】()()11a a +-．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．10. 若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．【答案】1m <【解析】【分析】根据根的判别式求出2(2)41440m m D =--´´=->，再求出不等式的解集即可．【详解】解：Q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m \D =--´´=->解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数，0)a ¹，①当240b ac D =->时，方程有两个不相等的实数根，②当240b ac D =-=时，方程有两个相等的实数根，③当24<0b ac D =-时，方程没有实数根．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）【答案】()7.510x -【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．12. 如图，ABC V 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA ¢上．若12OA AA ¢=::，则ABC V 和A B C ¢¢¢V 的周长之比为__________．【答案】1:3【解析】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA ¢=Q ::，:1:3OA OA ¢\=，设ABC V 周长为1l ，设A B C ¢¢¢V 周长为2l ，ABC QV 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA \==¢．12:1:3l l \=．ABC \V 和A B C ¢¢¢V 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ¢，折痕为AF ，则AFB ¢Ð的大小为__________度．【答案】45【解析】【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508-´°=°，根据折叠的性质求得,,BAM FAB ¢ÐÐ在AFB ¢V 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-´°=°，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE Ð=Ð=´°=°，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ¢，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM ¢Ð=Ð=´°=°，108AB F B ¢Ð=Ð=°，在AFB ¢V 中，1801801082745AFB B FAB ¢¢Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．14. 2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A ¢、B ¢到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H ¢距地面__________米．【答案】19【解析】【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y \=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中a =【答案】31a +1【解析】【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当a =311==【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．【答案】49【解析】【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．17. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】【分析】设原计划平均每天制作x 个，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）已知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】（1）见解析；（2）18【解析】【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE Ð=Ð=°即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC Ð=°；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA Ð=Ð=°，再由三角形外角和易证BCD CDA Ð=Ð即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE Ð=Ð=°，AC DF \∥，\四边形AFDC 地平行四边形；【小问2详解】如图，在Rt ACB △中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，6cm BC =，212cm AB BC \==，60ABC Ð=°，四边形AFDC 是菱形，AD \平分CDF Ð，30CDA FDA \Ð=Ð=°，ABC CDA BCD Ð=Ð+ÐQ ，603030BCD ABC CDA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，BCD CDA \Ð=Ð，6cm BC BD \==，18cm AD AB BD \=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=»．中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24£<为正常；24BMI 28£<为偏胖；BMI 28³为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进而补全统计图即可求解；（2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解；（3）设小张体重需要减掉kg x ，根据BMI 计算公式，列出不等式，解不等式即可求解．小问1详解】抽取了735%20¸=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，【【小问2详解】8320011020+´=（人）【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是55´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC V ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC V 的面积为92；（2）在图②中，ABC V 的面积为5（3）在图③中，ABC V 是面积为52的钝角三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得19·22ABC S AB h ==V ，解得3h =，即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可；（2）由网格可知，AB ==AB AB 边上的高为h ，依题意得1·52ABC S AB h ==V ，解得h =，将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ；（3）作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，连接A 、B 、C 即可．【小问1详解】解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h ==V 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；【小问2详解】由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==V解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，【小问3详解】如图所示，作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，BD AB ===，AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD^∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD ==V ．【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ££时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为460y x =+()2560x ££，联立12180y x =-()1540x ££，即可求解．【小问1详解】解：设乙距山脚垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=ìí+=î，解得：12180k b =ìí=-î，∴12180y x =-()1540x ££；【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ££将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=ìí+=î解得：11460k b =ìí=î，∴460y x =+()2560x ££；联立12180460y x y x =-ìí=+î解得：30180x y =ìí=î∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22. 【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O e 上，90AOB Ð=°，则锐角APB Ð的大小为__________度．的【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O e 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．ABC QV 是等边三角形．BA BC \=，(SAS)PBC EBA \V V ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O e 是ABC V 的外接圆，90ABC AB BC Ð=°=，，点P 在O e 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =，则PB PC 的值为__________．【答案】感知：45【解析】【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA V V ≌，可推得PBE 是等边三角形，进而得证；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA V V ≌得，可推得PBE 是等腰直角三角形，结合PE PA PC =+与PE =可得3PC PA =，代入PB PC即可求解．【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB Ð=Ð=°，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．ABC QV 是等边三角形．BA BC \=，(SAS)PBC EBA \V V ≌，∴PB EB =，PBC EBA Ð=Ð，60EBA ABP PBC ABP ABC \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，PBE \V 是等边三角形，PB PE \=，PB PE PA AE PA PC \==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．AB CB =Q ，(SAS)PBC EBA \V V ≌，∴PB EB =，PBC EBA Ð=Ð，90EBA ABP PBC ABP ABC \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，PBE \V 是等腰直角三角形，222PB BE PE \+=，222PB PE \=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+Q ，PA PC \+=，PB =Q ，4PA PC PA \+==，3PC PA \=，PB PC \==．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA V V ≌，进行转换求解．23. 如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ Ð=°，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE Ð；（3）当点P 在边AD 上运动时，PQE V 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；（4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1（2）23（3）见解析（4）0t <£176t =或7t =【解析】【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD V V ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD Ð===；（3）过点P 作PH BC ^于点H ，证明PHE ECQ V V ≌得出PE QE =，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE Ð=Ð=°∵90PEQ Ð=°，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，BQ ===，．【小问2详解】如图所示，∵90PEQ Ð=°，90PBE ECD Ð=Ð=°，∴1290,2390Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴13Ð=Ð∴PBE ECD V V ∽，∴PE BE DE CD=，∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD Ð===；【小问3详解】如图所示，过点P 作PH BC ^于点H ，∵90PEQ Ð=°，90PHE ECQ Ð=Ð=°，∴1290,2390Ð+Ð=°Ð+Ð=°，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQV ≌∴PE QE=∴PQE V 是等腰直角三角形；【小问4详解】①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，AF ===则3BF =∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，Rt PBF V 中，222PF PB FB =+，∴(()22232t t =+-解得：t =当t <F 在矩形内部，符合题意，∴0t <£符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，在则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，0t <£或176t =或7t =．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ^轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =-或2m =-（4）2m =-+或2m =-或12m =-【解析】【分析】（1）将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；（2）当0y =时，2220x x -++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <，得出m =，即可求解；（3）①如图所示，当111m <-<，即0m <<时，②当11m -³m £时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2m -，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B 在x 轴的上方，得出m <<E 是AC 的中点，②同理当F 为AO 的中点时，③12AOC CDF S S =V V ，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，【小问2详解】解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1211x x =-=+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴11m -=+解得：m =，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；【小问3详解】①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -³+m £时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），综上所述，1m =-或2m =-；【小问4详解】解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴111m -<-<+∴m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S =V V ∵AOBC AOC BOC S S S =+V V ,BOC BCD CODS S S =+V V V ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E æö-+ç÷èø代入222y x x =-++，即22322222m m m -+æö=-+´+ç÷èø，解得：2m =-（舍去）或2m =-+；②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S =V V ，BCD COD S S =V V ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =-，解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S =V ，则12DBC S S =V ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D∴12CDF FDB AOC S S S S +=+V V V 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+V V V ∴12AOC CDF S S =V V ， ∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-或2m =-或12m =-．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

吉林中考数学试题含答案及解析

2018年吉林省中考数学试卷一、选择题共6小题;每小题2分;满分12分1．2.00分计算﹣1×﹣2的结果是A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣32．2.00分如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形;它的主视图是A．B．C．D．3．2.00分下列计算结果为a6的是A．a2 a3B．a12÷a2C．a23D．﹣a234．2.00分如图;将木条a;b与c钉在一起;∠1=70°;∠2=50°;要使木条a与b平行;木条a旋转的度数至少是A．10° B．20° C．50° D．70°5．2.00分如图;将△ABC折叠;使点A与BC边中点D重合;折痕为MN;若AB=9;BC=6;则△DNB的周长为A．12 B．13 C．14 D．156．2.00分我国古代数学着作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼;上有三十五头;下有九十四足;问鸡兔各几何．”设鸡x只;兔y只;可列方程组为A．B．C．D．二、填空题共8小题;每小题3分;满分24分7．3.00分计算：= ．8．3.00分买单价3元的圆珠笔m支;应付元．9．3.00分若a+b=4;ab=1;则a2b+ab2= ．10．3.00分若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根;则m的值为．11．3.00分如图;在平面直角坐标系中;A4;0;B0;3;以点A为圆心;AB长为半径画弧;交x轴的负半轴于点C;则点C坐标为．12．3.00分如图是测量河宽的示意图;AE与BC相交于点D;∠B=∠C=90°;测得BD=120m;DC=60m;EC=50m;求得河宽AB= m．13．3.00分如图;A;B;C;D是⊙O上的四个点;=;若∠AOB=58°;则∠BDC= 度．14．3.00分我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”;记作k;若k=;则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题共12小题;满分84分15．5.00分某同学化简aa+2b﹣a+ba﹣b出现了错误;解答过程如下：原式=a2+2ab﹣a2﹣b2第一步=a2+2ab﹣a2﹣b2第二步=2ab﹣b2第三步1该同学解答过程从第步开始出错;错误原因是；2写出此题正确的解答过程．16．5.00分如图;在正方形ABCD中;点E;F分别在BC;CD上;且BE=CF;求证：△ABE≌△BCF．17．5.00分一个不透明的口袋中有三个小球;上面分别标有字母A;B;C;除所标字母不同外;其它完全相同;从中随机摸出一个小球;记下字母后放回并搅匀;再随机摸出一个小球;用画树状图或列表的方法;求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．18．5.00分在平面直角坐标系中;反比例函数y=k≠0图象与一次函数y=x+2图象的一个交点为P;且点P的横坐标为1;求该反比例函数的解析式．19．7.00分如图是学习分式方程应用时;老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息;解答下列问题．1冰冰同学所列方程中的x表示;庆庆同学所列方程中的y表示；2两个方程中任选一个;并写出它的等量关系；3解2中你所选择的方程;并回答老师提出的问题．20．7.00分如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格;每个小正方形的顶点叫做格点;点A;B;C;D均在格点上;在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．1请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；2所画图形是对称图形；3求所画图形的周长结果保留π．21．7.00分数学活动小组的同学为测量旗杆高度;先制定了如下测量方案;使用工具是测角仪和皮尺;请帮助组长林平完成方案内容;用含a;b;α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤1用测得∠ADE=α；2用测得BC=a米;CD=b米．计算过程22．7.00分为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g奶粉的情况;质检员进行了抽样调查;过程如下;请补全表一、表二中的空白;并回答提出的问题．收集数据：从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋;测得实际质量单位：g如下：甲：400;400;408;406;410;409;400;393;394;395乙：403;404;396;399;402;402;405;397;402;398整理数据：表一质量g 频数393≤x＜396396≤x＜399399≤x＜402402≤x＜405405≤x＜408408≤x＜411种类甲30013乙0150分析数据：表二种类平均数中位数众数方差甲401.540036.85乙400.84028.56得出结论：包装机分装情况比较好的是填甲或乙;说明你的理由．23．8.00分小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发;沿同一条路相向而行;小玲开始跑步中途改为步行;到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家;两人离家的路程ym与各自离开出发地的时间xmin之间的函数图象如图所示1家与图书馆之间的路程为m;小玲步行的速度为m/min；2求小东离家的路程y关于x的函数解析式;并写出自变量的取值范围；3求两人相遇的时间．24．8.00分如图①;在△ABC中;AB=AC;过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E;以E为顶点;ED为一边;作∠DEF=∠A;另一边EF交AC于点F．1求证：四边形ADEF为平行四边形；2当点D为AB中点时; ADEF的形状为；3延长图①中的DE到点G;使EG=DE;连接AE;AG;FG;得到图②;若AD=AG;判断四边形AEGF的形状;并说明理由．25．10.00分如图;在矩形ABCD中;AB=2cm;∠ADB=30°．P;Q两点分别从A;B同时出发;点P沿折线AB﹣BC运动;在AB上的速度是2cm/s;在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动;过点P作PN⊥AD;垂足为点N．连接PQ;以PQ;PN为邻边作 PQMN．设运动的时间为xs; PQMN与矩形ABCD 重叠部分的图形面积为ycm21当PQ⊥AB时;x= ；2求y关于x的函数解析式;并写出x的取值范围；3直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时;直接写出x的值．26．10.00分如图;在平面直角坐标系中;抛物线y=ax2+2ax﹣3aa＜0与x轴相交于A;B两点;与y轴相交于点C;顶点为D;直线DC与x轴相交于点E．1当a=﹣1时;抛物线顶点D的坐标为;OE= ；2OE的长是否与a值有关;说明你的理由；3设∠DEO=β;45°≤β≤60°;求a的取值范围；4以DE为斜边;在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设Pm;n;直接写出n 关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．2018年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共6小题;每小题2分;满分12分1．2.00分计算﹣1×﹣2的结果是A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3分析根据“两数相乘;同号得正”即可求出结论．解答解：﹣1×﹣2=2．故选：A．点评本题考查了有理数的乘法;牢记“两数相乘;同号得正;异号得负;并把绝对值相乘”是解题的关键．2．2.00分如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形;它的主视图是A．B．C．D．分析找到从正面看所得到的图形即可;注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答解：从正面看易得第一层有3个正方形;第二层最右边有一个正方形．故选：B．点评本题考查了三视图的知识;主视图是从物体的正面看得到的视图．3．2.00分下列计算结果为a6的是A．a2 a3B．a12÷a2C．a23D．﹣a23分析分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．解答解：A、a2 a3=a5;此选项不符合题意；B、a12÷a2=a10;此选项不符合题意；C、a23=a6;此选项符合题意；D、﹣a23=﹣a6;此选项不符合题意；故选：C．点评本题主要考查幂的运算;解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．4．2.00分如图;将木条a;b与c钉在一起;∠1=70°;∠2=50°;要使木条a与b平行;木条a旋转的度数至少是A．10° B．20° C．50° D．70°分析根据同位角相等两直线平行;求出旋转后∠2的同位角的度数;然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．解答解：如图．∵∠AOC=∠2=50°时;OA∥b;∴要使木条a与b平行;木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．故选：B．点评本题考查了旋转的性质;平行线的判定;根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．5．2.00分如图;将△ABC折叠;使点A与BC边中点D重合;折痕为MN;若AB=9;BC=6;则△DNB的周长为A．12 B．13 C．14 D．15分析由D为BC中点知BD=3;再由折叠性质得ND=NA;从而根据△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD可得答案．解答解：∵D为BC的中点;且BC=6;∴BD=BC=3;由折叠性质知NA=ND;则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12;故选：A．点评本题主要考查翻折变换;解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换;它属于轴对称;折叠前后图形的形状和大小不变;位置变化;对应边和对应角相等．6．2.00分我国古代数学着作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼;上有三十五头;下有九十四足;问鸡兔各几何．”设鸡x只;兔y只;可列方程组为A．B．C．D．分析根据题意可以列出相应的方程组;从而可以解答本题．解答解：由题意可得;;故选：D．点评本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组;解答本题的关键是明确题意;列出相应的方程组．二、填空题共8小题;每小题3分;满分24分7．3.00分计算：= 4 ．分析根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根;即为这个数的算术平方根;由此即可求出结果．解答解：∵42=16;∴=4;故答案为4．点评此题主要考查了算术平方根的定义;算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．8．3.00分买单价3元的圆珠笔m支;应付3m 元．分析根据总价=单价×数量列出代数式．解答解：依题意得：3m．故答案是：3m．点评本题考查列代数式;解答本题的关键是明确题意;列出相应的代数式．9．3.00分若a+b=4;ab=1;则a2b+ab2= 4 ．分析直接利用提取公因式法分解因式;再把已知代入求出答案．解答解：∵a+b=4;ab=1;∴a2b+ab2=aba+b=1×4=4．故答案为：4．点评此题主要考查了提取公因式法分解因式;正确找出公因式是解题关键．10．3.00分若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根;则m的值为﹣1 ．分析由于关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根;可知其判别式为0;据此列出关于m的不等式;解答即可．解答解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根;∴△=b2﹣4ac=0;即：22﹣4﹣m=0;解得：m=﹣1;故选答案为﹣1．点评本题考查了根的判别式;解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．11．3.00分如图;在平面直角坐标系中;A4;0;B0;3;以点A为圆心;AB长为半径画弧;交x轴的负半轴于点C;则点C坐标为﹣1;0 ．分析求出OA、OB;根据勾股定理求出AB;即可得出AC;求出OC长即可．解答解：∵点A;B的坐标分别为4;0;0;3;∴OA=4;OB=3;在Rt△AOB中;由勾股定理得：AB==5;∴AC=AB=5;∴OC=5﹣4=1;∴点C的坐标为﹣1;0;故答案为：﹣1;0;点评本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用;解此题的关键是求出OC的长;注意：在直角三角形中;两直角边的平方和等于斜边的平方．12．3.00分如图是测量河宽的示意图;AE与BC相交于点D;∠B=∠C=90°;测得BD=120m;DC=60m;EC=50m;求得河宽AB= 100 m．分析由两角对应相等可得△BAD∽△CED;利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．解答解：∵∠ADB=∠EDC;∠ABC=∠ECD=90°;∴△ABD∽△ECD;∴;;解得：AB=米．故答案为：100．点评此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13．3.00分如图;A;B;C;D是⊙O上的四个点;=;若∠AOB=58°;则∠BDC= 29 度．分析根据∠BDC=∠BOC求解即可；解答解：连接OC．∵=;∴∠AOB=∠BOC=58°;∴∠BDC=∠BOC=29°;故答案为29．点评本题考查圆周角定理;圆心角、弧、弦之间的关系等知识;解题的关键是熟练掌握基本知识;属于中考常考题型．14．3.00分我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”;记作k;若k=;则该等腰三角形的顶角为36 度．分析根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C;根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°;求出即可．解答解：∵△ABC中;AB=AC;∴∠B=∠C;∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”;记作k;若k=;∴∠A：∠B=1：2;即5∠A=180°;∴∠A=36°;故答案为：36．点评本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质;能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°是解此题的关键．三、解答题共12小题;满分84分15．5.00分某同学化简aa+2b﹣a+ba﹣b出现了错误;解答过程如下：原式=a2+2ab﹣a2﹣b2第一步=a2+2ab﹣a2﹣b2第二步=2ab﹣b2第三步1该同学解答过程从第二步开始出错;错误原因是去括号时没有变号；2写出此题正确的解答过程．分析先计算乘法;然后计算减法．解答解：1该同学解答过程从第二步开始出错;错误原因是去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；2原式=a2+2ab﹣a2﹣b2=a2+2ab﹣a2+b2=2ab+b2．点评考查了平方差公式和实数的运算;去括号规律：①a+b+c=a+b+c;括号前是“+”号;去括号时连同它前面的“+”号一起去掉;括号内各项不变号；②a﹣b ﹣c=a﹣b+c;括号前是“﹣”号;去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉;括号内各项都要变号．16．5.00分如图;在正方形ABCD中;点E;F分别在BC;CD上;且BE=CF;求证：△ABE≌△BCF．分析根据正方形的性质;利用SAS即可证明；解答证明：∵四边形ABCD是正方形;∴AB=BC;∠ABE=∠BCF=90°;在△ABE和△BCF中;;∴△ABE≌△BCF．点评本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识;解题的关键是熟练掌握基本知识;属于中考常考题型．17．5.00分一个不透明的口袋中有三个小球;上面分别标有字母A;B;C;除所标字母不同外;其它完全相同;从中随机摸出一个小球;记下字母后放回并搅匀;再随机摸出一个小球;用画树状图或列表的方法;求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．分析列表得出所有等可能的情况数;再找出两次摸出的小球所标字母相同的情况数;即可求出其概率．解答解：列表得：A B CA A;A B;A C;AB A;B B;B C;BC A;C B;C C;C由列表可知可能出现的结果共9种;其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种;所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率==．点评此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果;适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．5.00分在平面直角坐标系中;反比例函数y=k≠0图象与一次函数y=x+2图象的一个交点为P;且点P的横坐标为1;求该反比例函数的解析式．分析先求出P点的坐标;再把P点的坐标代入反比例函数的解析式;即可求出答案．解答解：∵把x=1代入y=x+2得：y=3;即P点的坐标是1;3;把P点的坐标代入y=得：k=3;即反比例函数的解析式是y=．点评本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标特征;能求出P点的坐标是解此题的关键．19．7.00分如图是学习分式方程应用时;老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息;解答下列问题．1冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度;庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间；2两个方程中任选一个;并写出它的等量关系；3解2中你所选择的方程;并回答老师提出的问题．分析1根据两人的方程思路;可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间；2根据题意;可找出：冰冰甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；庆庆乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米；3选择两个方程中的一个;解之即可得出结论．解答解：1∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程;∴x表示甲队每天修路的长度；∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程;∴y表示甲队修路400米所需时间．故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间．2冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米选择一个即可．3选冰冰的方程：=;去分母;得：400x+8000=600x;移项;x的系数化为1;得：x=40;检验：当x=40时;x、x+20均不为零;∴x=40．答：甲队每天修路的长度为40米．选庆庆的方程：﹣=20;去分母;得：600﹣400=20y;将y的系数化为1;得：y=10;经验：当y=10时;分母y不为0;∴y=10;∴=40．答：甲队每天修路的长度为40米．点评本题考查了分式方程的应用;找准等量关系;正确列出分式方程是解题的关键．20．7.00分如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格;每个小正方形的顶点叫做格点;点A;B;C;D均在格点上;在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．1请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；2所画图形是轴对称对称图形；3求所画图形的周长结果保留π．分析1利用旋转变换的性质画出图象即可；2根据轴对称图形的定义即可判断；3利用弧长公式计算即可；解答解：1点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：2观察图象可知图象是轴对称图形;故答案为轴对称．3周长=4×=8π．点评本题考查作图﹣旋转变换;弧长公式、轴对称图形等知识;解题的关键是理解题意;正确画出图形;属于中考常考题型．21．7.00分数学活动小组的同学为测量旗杆高度;先制定了如下测量方案;使用工具是测角仪和皮尺;请帮助组长林平完成方案内容;用含a;b;α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤1用测角仪测得∠ADE=α；2用皮尺测得BC=a米;CD=b米．计算过程分析在Rt△ADE中;求出AE;再利用AB=AE+BE计算即可；解答解：1用测角仪测得∠ADE=α；2用皮尺测得BC=a米;CD=b米．3计算过程：∵四边形BCDE是矩形;∴DE=BC=a;BE=CD=b;在Rt△ADE中;AE=ED tanα=a tanα;∴AB=AE+EB=a tanα+b．点评本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解题的关键是学会添加常用辅助线;构造直角三角形解决问题．22．7.00分为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g奶粉的情况;质检员进行了抽样调查;过程如下;请补全表一、表二中的空白;并回答提出的问题．收集数据：从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋;测得实际质量单位：g如下：甲：400;400;408;406;410;409;400;393;394;395乙：403;404;396;399;402;402;405;397;402;398整理数据：表一质量g 频数种类393≤x＜396396≤x＜399399≤x＜402402≤x＜405405≤x＜408408≤x＜411甲30 3 013乙0 3 15 1 0分析数据：表二种类平均数中位数众数方差甲401.5400 40036.85乙400.8402402 8.56得出结论：包装机分装情况比较好的是乙填甲或乙;说明你的理由．分析整理数据：由题干中的数据结合表中范围确定个数即可得；分析数据：根据众数和中位数的定义求解可得；得出结论：根据方差的意义;方差小分装质量较为稳定即可得．解答解：整理数据：表一质量g 频数种类393≤x＜396396≤x＜399399≤x＜402402≤x＜405405≤x＜408408≤x＜411甲303013乙031510分析数据：将甲组数据重新排列为：393、394、395、400、400、400、406、408、409、410;∴甲组数据的中位数为400；乙组数据中402出现次数最多;有3次;∴乙组数据的众数为402；表二种类平均数中位数众数方差甲401.540040036.85乙400.84024028.56得出结论：表二知;乙包装机分装的奶粉质量的方差小;分装质量比较稳定;所以包装机分装情况比较好的是乙．故答案为：乙．点评本题考查了众数、中位数以及方差;掌握众数、中位数以及方差的定义及数据的整理是解题的关键．23．8.00分小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发;沿同一条路相向而行;小玲开始跑步中途改为步行;到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家;两人离家的路程ym与各自离开出发地的时间xmin之间的函数图象如图所示1家与图书馆之间的路程为4000 m;小玲步行的速度为200 m/min；2求小东离家的路程y关于x的函数解析式;并写出自变量的取值范围；3求两人相遇的时间．分析1认真分析图象得到路程与速度数据；2采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；3两人相遇实际上是函数图象求交点．解答解：1结合题意和图象可知;线段CD为小玲路程与时间函数图象;折现O﹣A ﹣B为为小东路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m;小玲步行速度为2000÷10=200m/s故答案为：4000;2002∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家;则xmin时;∴他离家的路程y=4000﹣300x自变量x的范围为0≤x≤3由图象可知;两人相遇是在小玲改变速度之前∴4000﹣300x=200x解得x=8∴两人相遇时间为第8分钟．点评本题是一次函数实际应用问题;考查了对一次函数图象代表意义的分析和从方程角度解决一次函数问题．24．8.00分如图①;在△ABC中;AB=AC;过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E;以E为顶点;ED为一边;作∠DEF=∠A;另一边EF交AC于点F．1求证：四边形ADEF为平行四边形；2当点D为AB中点时; ADEF的形状为菱形；3延长图①中的DE到点G;使EG=DE;连接AE;AG;FG;得到图②;若AD=AG;判断四边形AEGF的形状;并说明理由．分析1根据平行线的性质得到∠BDE=∠A;根据题意得到∠DEF=∠BDE;根据平行线的判定定理得到AD∥EF;根据平行四边形的判定定理证明；2根据三角形中位线定理得到DE=AC;得到AD=DE;根据菱形的判定定理证明；3根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．解答1证明：∵DE∥AC;∴∠BDE=∠A;∵∠DEF=∠A;∴∠DEF=∠BDE;∴AD∥EF;又∵DE∥AC;∴四边形ADEF为平行四边形；2解： ADEF的形状为菱形;理由如下：∵点D为AB中点;∴AD=AB;∵DE∥AC;点D为AB中点;∴DE=AC;∵AB=AC;∴AD=DE;∴平行四边形ADEF为菱形;故答案为：菱形；3四边形AEGF是矩形;理由如下：由1得;四边形ADEF为平行四边形;∴AF∥DE;AF=DE;∵EG=DE;∴AF∥DE;AF=GE;∴四边形AEGF是平行四边形;∵AD=AG;EG=DE;∴AE⊥EG;∴四边形AEGF是矩形．点评本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定;掌握它们的判定定理是解题的关键．25．10.00分如图;在矩形ABCD中;AB=2cm;∠ADB=30°．P;Q两点分别从A;B同时出发;点P沿折线AB﹣BC运动;在AB上的速度是2cm/s;在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动;过点P作PN⊥AD;垂足为点N．连接PQ;以PQ;PN为邻边作 PQMN．设运动的时间为xs; PQMN与矩形ABCD 重叠部分的图形面积为ycm21当PQ⊥AB时;x= s ；2求y关于x的函数解析式;并写出x的取值范围；3直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时;直接写出x的值．分析1当PQ⊥AB时;BQ=2PB;由此构建方程即可解决问题；2分三种情形分别求解即可解决问题；3分两种情形分别求解即可解决问题；解答解：1当PQ⊥AB时;BQ=2PB;∴2x=22﹣2x;∴x=s．故答案为s．2①如图1中;当0＜x≤时;重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中;当＜x≤1时;重叠部分是四边形PQEN．y=2﹣x+2tx×x=x2+x③如图3中;当1＜x＜2时;重叠部分是四边形PNEQ．y=2﹣x+2×x﹣2x﹣1=x2﹣3x+4；综上所述;y=．3①如图4中;当直线AM经过BC中点E时;满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB;∴=;解得x=．②如图5中;当直线AM经过CD的中点E时;满足条件．此时tan∠DEA=tan∠QPB;∴=;解得x=;综上所述;当x=s或时;直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．点评本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识;解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题;学会用方程的思想解决问题;属于中考压轴题．26．10.00分如图;在平面直角坐标系中;抛物线y=ax2+2ax﹣3aa＜0与x轴相交于A;B两点;与y轴相交于点C;顶点为D;直线DC与x轴相交于点E．1当a=﹣1时;抛物线顶点D的坐标为﹣1;4 ;OE= 3 ；2OE的长是否与a值有关;说明你的理由；3设∠DEO=β;45°≤β≤60°;求a的取值范围；4以DE为斜边;在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设Pm;n;直接写出n 关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．分析1求出直线CD的解析式即可解决问题；2利用参数a;求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；3求出落在特殊情形下的a的值即可判断；4如图;作PM⊥对称轴于M;PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题；解答解：1当a=﹣1时;抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;∴顶点D﹣1;4;C0;3;∴直线CD的解析式为y=﹣x+3;∴E3;0;∴OE=3;故答案为﹣1;4;3．2结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a;∴C0;﹣3a;D﹣1;﹣4a;∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a;当y=0时;x=3;∴E3;0;∴OE=3;∴OE的长与a值无关．3当β=45°时;OC=OE=3;∴﹣3a=3;∴a=﹣1;当β=60°时;在Rt△OCE中;OC=OE=3;∴﹣3a=3;∴a=﹣;∴45°≤β≤60°;a的取值范围为﹣≤a≤﹣1．4如图;作PM⊥对称轴于M;PN⊥AB于N．∵PD=PE;∠PMD=∠PNE=90°;∠DPE=∠MPN=90°;∴∠DPM=∠EPN;∴△DPM≌△EPN;∴PM=PN;PM=EN;∵D﹣1;﹣4a;E3;0;∴EN=4+n=3﹣m;∴n=﹣m﹣1;当顶点D在x轴上时;P1;﹣2;此时m的值1;∵抛物线的顶点在第二象限;∴m＜1．∴n=﹣m﹣1m＜1．点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识;解题的关键是灵活运用所学知识解决问题;学会利用参数解决问题;学会添加常用辅助线;构造全等三角形解决问题;属于中考压轴题．。

(免费)2010年部分省市中考数学试题分类汇编操作探究(含答案)

2010年部分省市中考数学试题分类汇编操作探究(2010年安徽省B 卷)10．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能．．．是下列数中的（）A ．5【关键词】图形的变换【答案】D ．23（2010年浙江省东阳县）如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸。

A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元。

探究1：如果木板边长为2米，FC ＝1米，则一块木板用墙纸的费用需元；探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究3：设木板的边长为a （a 为整数），当正方形 EFCG 的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，要求每块木板A 型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板块。

【关键词】操作探究【答案】（1）220 （2）y=20x 2—20x+60 当x=21时，y 小=55元。

（3）y=20x 2—20ax+60a 2当x=21a 时，21块23．（2010年山东省青岛市）问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角. 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+= ，整理得：238x y +=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩ ．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广O请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：.验证3：结论3：.【关键词】【答案】解：3个；················ 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60120360a b+=．整理得：26a b+=，可以找到两组适合方程的正整数解为22ab=⎧⎨=⎩和41ab=⎧⎨=⎩．························· 3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？······························ 6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：6090120360m n c++=，整理得：23412m n c++=，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121mnc=⎧⎪=⎨⎪=⎩. ······························ 8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）1.（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .A. 669B. 670C.671D. 672【关键词】正方形、实验操作、规律探索答案：B；22．(2010年北京崇文区) 正方形A B C D 的边长为a ，等腰直角三角形F A E 的斜边A E b = （a b 2<），且边A D 和A E 在同一直线上．小明发现：当b a =时，如图①，在B A 上选取中点G ，连结F G 和C G ,裁掉F A G ∆和C H D ∆的位置构成正方形F G C H ．（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足=AEBG ．【关键词】正方形的剪拼、【答案】（1）（2）21．(2010年浙江省绍兴市)分别按下列要求解答：（1）在图1中,将△ABC 先向左平移5个单位,再作关于直线AB 的轴对称图形,经两次变换后得到△A 1B 1 C 1.画出△A 1B 1C 1；（2）在图2中,△ABC 经变换得到△A 2B 2C 2.描述变换过程.1211 10 9 8 76 5 4 32 AC2B 2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 C【答案】(1) 如图．(2) 将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移2个单位,得到△A2B2C2．（变换过程不唯一）2.（2010年宁德市）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋10B．2＋210C．12 D．18【答案】B27．（2010江苏泰州，27，12分）如图，二次函数cxy+-=221的图象经过点D⎪⎭⎫⎝⎛-29,3，与x轴交于A、B两点．⑴求c的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）第18题图1 第18题图2第18题图②4【答案】⑴ ∵抛物线经过点D (29,3-)∴29)3(212=+-⨯-c∴c=6.⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为6212+-=x y∴A （0,32-）、B （0,32）∵M 是BD 的中点 ∴M （49,23）设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-4923032b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==591033b k ∴直线AC 的解析式为591033+=x y.⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN=，于是以A 点为圆心，AB =为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运。

中考数学试题经典大题

中考数学经典大题1.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ△ACB；（2）当△PQB是等腰三角形时，求AP的长.2.如图，对称轴为的抛物线与轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与轴的交点.①若点P是抛物线上第三象限的点，是否存在点P，使得S△POC=4S△BOC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.②设点Q是线段AC上的动点，作QD轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.③若M是轴上方抛物线上的点，过点M作MN轴于点N，若△MNO与△OBC相似，求M点的坐标.3.如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径.4.如图，已知函数与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C.（1）求△BAD的面积；（2）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的接四边形，点A、B在轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。

过点M作直线与轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分.（1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若，求的值.7.已知抛物线经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若S△PFN=4S△PFM，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由.8.如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF.（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；（2）若BC=16，⊙O的半径的长为17，求的值；（3）若OD：DP=1：3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为？9.将抛物线C1：平移后的抛物线C2与轴交于A、B两点（点A在点B的左边）与轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），.（1）求抛物线C2的解析式；（2）若点P是抛物线C2上的一点，连接PB，PC.求S△BPC=S△CAB时点P的坐标；（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d1，d2，试求出d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标.10.如图1，AB为⊙O的直径，TA为⊙O的切线，BT交⊙O于点D，TO交⊙O于点C、E.（1）若BD=TD，求证：AB=AT；（2）在（1）的条件下，求的值；（3）如图2，若，且⊙O的半径r=，则图中阴影部分的面积为？11.如图，过A（1，0），B（3，0）作轴的垂线，分别交直线于C、D两点.抛物线经过O、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为抛物线上的一点，连接PD，PC.求S△PCD=S△CDB时点P的坐标.（4）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.12.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若=，求的值.13.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长交CD于F点.（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.（1）直接写出点A的坐标，并求出直线l的函数表达式（其中k、b用含的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.15.如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.（1）求证：PA·BC=AB·CD.（2）若PA=10，=，求PE的长.16.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF；（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时.①若转到如图2的位置，线段CF、AE、OE之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关系式.（不用证明）②若转到图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请予以证明.17.已知如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=2，OC=4.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时，点M 的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，若BC=9,CA=12，求的值.19.如图，在正方形ABCD中，AB=5,P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF AP，使PF=PA，连接CF、AF，AF交CD边于点G，连接PG.（1）求证：∠GCF=∠FCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，请说明理由.20.已知抛物线与轴交于点C，与轴的两个交点分别为A（-4,0），B（1，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E在轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.21.如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，AE相交于点F，若=2，求的值.22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.23.如图，抛物线的开口向下，与轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）.与轴交于点C，顶点为D.（1）求顶点D的坐标（用含的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3.①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式.。

2024年吉林省中考数学真题卷含答案解析

吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2 B.1 C.0 D.1-2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,26.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．11.正六边形的每个内角等于______________°．12.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中3a =．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．（2）在图②中，画出经过点E的O20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21.中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多（1）20192023少元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：x16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发，/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时，求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．（1）直接写出k ，a ，b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2B.1C.0D.1-【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==，故本选项不符合题意．故选：B ．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．【答案】a （a ﹣3）【解析】【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．【答案】23x <<##32x >>【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．【答案】两点之间，线段最短【解析】【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．【答案】()22220.5x x +=+【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．【答案】11π【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360Sππ-==阴影，故答案为：11π．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中3a =．【答案】22a ，6【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当3a =原式223=⨯6=．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．【答案】13【解析】【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．（2）在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；、，作直线GH，则直线GH即为所求．（2）如图所示，取格点G H【小问1详解】解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD【小问2详解】、，作直线GH，则直线GH即为所求；解：如图所示，取格点G H．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）．（2）当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】（1）36I R=（2）12A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R =≠，把()94，代入()0U I U R =≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；【小问2详解】解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21.中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多（1）20192023少元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5②20192023年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【小问1详解】-=元，解：39218307338485-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485答：20192023元．【小问2详解】-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128解：20192023元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；【小问3详解】解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）【答案】218.3m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DG AG DG EAD===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DG AG DG EAD===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmx 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mmy 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+（2）36mm【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【小问1详解】，解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；【小问2详解】解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．【答案】（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题。

2010沈阳中考数学试题(word版)

AB Ca α数学试卷一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1.73是 ( ) A ．无理数B ．有理数C ．整数D ．负数2.某电视台报道，截止到2010年5月5日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款 15510000元．将15510000用科学记数法表示为 ( ) A. 8101551.0⨯ B. 4101551⨯ C.710551.1⨯ D.61051.15⨯ 3.某反比例函数的图象经过点(-2,3)，则此函数图象也经过点（） A ．(2,-3)B ．(-3,-3)C ．（2，3）D ．（-4，6）4.已知等腰三角形的一个内角为040，则这个等腰三角形的顶角为（） A.040 B.0100 C.040或0100 D.070或050 5.使分式12-x x有意义，则x 的取值范围是（） A.21≥x B.21≤x C. 21>x D.21≠x6. 张家界国际乡村音乐周活动中，来自中、日、美的三名音乐家准备在同一节目中依次演奏本国的民族音乐，若他们出场先后的机会是均等的，则按“美—日—中”顺序演奏的概率是（） A 、61 B 、 31 C 、 121 D 32 7．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ， ∠ACB ＝α，那么AB 等于（）A 、a ²sin αB 、a ²tan αC 、a ²cos αD 、αtan a8、已知相内含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距是（） A 、8 B 、 4 C 、2 D 59. 不等式组2133x x +⎧⎨>-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（）10．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t-31 0 A ．-31 0 B ．-31 0 C ．-31 0 D ．AB OC xyPFEDCBAABCD FE的函数，其图像可能是（）二．填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是． 12. 因式分解：x 3-x=___ ____13．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是． 14、如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= __ __度．15．阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b = n ，可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 = ．16．如图，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6）， A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC ＝m ，已知点D 在第一象限，且是两直线y 1＝2x ＋6、y 2＝2x －6中某条上的一点，若△APD 是等腰Rt △，则点D 的坐标为三．解答题（本题有8小题，共66分）17（6分）计算： 00145tan )21(4)31(--++--18（6分）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．（1）请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论．（2）连接BF 、CE ，若四边形BFCE 是菱形，则△ABC 中应添加一个条件(A) (B) (C) (D)A B72yOBCD1M x24AＰ19（6分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）如果建立直角坐标系，使点B 的坐标为（－5，2），点C 的坐标为（－2，2），则点A 的坐标为； (2) 画出ABC △绕点Ｐ顺时针旋转90后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并求线段BC 扫过的面积.20（8分）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于83，求EDF ∠的度数.21（8分）如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取734≈）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应FOEAD BCGADE 再向前跑多少米？（取562 ）22（10分）我市中考体育测试中，1分钟跳绳为自选项目．某中学九年级共有50名女同学选考1分钟跳绳，根据测试评分标准，将她们的成绩进行统计后分为A B C D ，，，四等，并绘制成下面的频数分布表（注：6~7的意义为大于等于6分且小于7分，其余类似）和扇形统计图（如图）．频数分布表等级分值跳绳（次/1分钟）频数 A9~10150~170 48~9 140~150 12 B7~8130~140 176~7 120~130 mC5~6110~120 04~5 90~110 nD3~470~90 1 0~30~70（1）等级A 人数的百分比是；（2）求m n ，的值；（3）在抽取的这个样本中，请说明哪个分数段的学生最多？请你帮助老师计算这次1分钟跳绳测试的及格率（6分以上含6分为及格）．23（10分）如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸。

2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十七·反比例函数

35．（2010湖北十堰）（本小题满分8分）如图所示，直线AB与反比例函数图像相交于A，B两点，已知A（1，4）.（1）求反比例函数的解析式；（2）连结OA，OB，当△AOB的面积为15y=kx∵点A（1，4）在反比例函数的图象上∴4=1k，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=4x.（2）设直线AB的解析式为y=ax+b（a>0，b>0），则当x=1时，a+b=4即b=4－a.联立4yxy ax b⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得ax2 +bx－4=0，即ax2 +（4－a）x－4=0，方法1：（x－1）（ax+4）= 0，解得x1=1或x=－4a，设直线AB交y轴于点C，则C（0，b），即C（0，4－a）由S△AOB=S△AOC+S△BOC=11415(4)1(4)222a aa-⨯+-⨯=，整理得a2+15a－16=0，∴a=1或a=－16（舍去）∴b=4－1=3∴直线AB的解析式为y=x+3方法2：由S△AOB=12|OC|·|x2－x1|=152而|x2－x14||aa+=4(0)aaa+>，|OC|=b=4－a，可得1415(4)()22aaa+-=，解得a=1或a=－16（舍去）. 36．（2010 重庆江津）如图，反比例函数kyx=的图像经过点()4,A b，过点A作AB x⊥轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数3y ax =-的图象经过点A ，求这个一次函数的解析式．【答案】解：（1）(4)AB BO A b ⊥，， 122AOB S AB BO ∴=⋅=△ 即1422b ⋅= 1b ∴=……………………………………………………………4分又点A 在双曲线ky x=上144k ∴=⨯=……………………………………………………7分（2）点A ()4,1又在直线3y ax =-上 143a ∴=- 1a ∴=3y x ∴=-……………………………………………………………10分 37．（2010广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，点A (10，0)，∠OBA =90°，BC ∥OA ，OB =8，点E 从点B 出发，以每秒1个单位长度沿BC 向点C 运动，点F 从点O 出发，以每秒2个单位长度沿OB 向点B 运动，现点E 、F 同时出发，当F 点到达B 点时，E 、F 两点同时停止运动。

2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题(五)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题(五)28．（江苏省无锡市本题满分10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD （如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．解:（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=151302AMAB==,∴∠DAB=30°．（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，C 图甲图1图3A将图甲种的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图乙中的平行四边形ABCD ，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD 由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×cos 30CD =︒∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+cm ．28．（江苏省宿迁市本题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=2交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ，交y 轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2 ……3分(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE ∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE ∥BD∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，（第28题）（第28题2）OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF∴OD= BE∴四边形ODBE 是等腰梯形 ……………7分(3) 存在， ……8分由题意得：29332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分设点Q 坐标为（x ，y ），由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形 ∴1±=y当y=1时，即1342=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) …………11分当y=-1时，即1342-=+-x x ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1）使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形31． ………………12分EFQ 1 Q 3Q 226．(湖南省长沙市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OAcm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．解：(1) ∵CQ ＝t ，OPt ，CO =8 ∴OQ =8－t∴S △OPQ＝21(8)222t t -=-+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △PAB －S △CBQ＝1188)22⨯⨯-⨯⨯＝………… 5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90°又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分8=解得：t ＝4经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（0）∵B （8）且抛物线214y x bxc =++经过B 、P 两点，第26题图∴抛物线是212284y x x =-+，直线BP 是：28y x =- …………………8分设M （m , 28m -）、N (m ，212284m m -+)∵M 在BP 上运动 ∴4282m ≤≤ ∵2112284y x x =-+与228y x =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P ∴当4282m ≤≤时，12y y > ………………………………9分 ∴12MN y y =-＝21(62)24m --+ ∴当62m =时，MN 有最大值是2 ∴设MN 与BQ 交于H 点则(62,4)M 、(62,7)H ∴S △BHM ＝13222⨯⨯＝32 ∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝32:(32232)-＝3:29 ∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． ……10分28.（南京市8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG 。

历年全国中考数学试题及答案(完整详细版)

班级姓名学号成绩一、精心选一选1．下列运算正确的是（）Ａ．()11a a --=-- Ｂ．()23624aa -=Ｃ．()222a b a b -=-Ｄ．3252a a a +=2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（）3．下列事件中确定事件是（）Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（）Ａ．123180++=∠∠∠ Ｂ．123360++=∠∠∠Ｃ．1322+=∠∠∠Ｄ．132+=∠∠∠5．已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（）Ａ．112k -<<-Ｂ．102k <<Ｃ．01k <<Ｄ．112k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（）Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4y x=的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（）Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >>Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >>8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（）Ａ．21185580x = Ｂ．()211851580x -= Ｃ．()211851580x-=Ｄ．()258011185x +=9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．4Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A B DC32 1 第4题图10．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（）Ａ．1小时Ｂ．0.9小时Ｃ．0.5小时Ｄ．1.5小时11．如图，I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF =∠，则A ∠的度数为（）Ａ．76Ｂ．68Ｃ．52Ｄ．38当输入数据是时，输出的数是（）Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．869二、细心填一填 13．化简21111mm m ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是_______________． 14．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．第10题图第11题图 ab15．把一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新一组数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数据的平均数和方差分别为_______________．16．在平面直角坐标系中，已知()24A ，，()22B -，，()62C -，，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_______________．17．实验中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的42改为36．已知原来设计的楼梯长为4.5m ，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面_____________m ．（精确到0.01m ）三、用心用一用18．用配方法解方程：2210x x --=．答案:二、填空题 13．1m + 14．()()22a b a b a b -=+-15．81.2，4.416．()41，17．0.80三、解答题18．解：两边都除以2，得211022x x --=．移项，得21122x x -=．配方，得221192416x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，第17题图219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 1344x ∴-=或1344x -=-． 11x ∴=，212x =-数学试题库2注意事项：1．试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共6页，全卷 150分，考试时间120分钟． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在本试卷上无效．3．答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案写在答题卡上指定的位置．答案写在试卷上火答题卡上规定的区域以外无效． 4．作图要用2B 铅笔，加黑加粗，描写清楚． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣3的相反数是A ．﹣3B ．13- C ．13D ．3 2．地球与太阳的平均距离大约为150 000 000km ，将150 000 000用科学记数法表示应为 A ．15×107B ．1.5×108C ．1.5×109D ．0.15×1093．若一组数据3、4、5、x 、6、7的平均数是5，则x 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．若点A(﹣2，3)在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值是 A ．﹣6 B ．﹣2 C ．2 D ．65．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是 A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A ．20B ．24C ．40D ．487．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 8．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠AOC ＝140°，则∠B 的度数是 A ．70° B ．80° C ．110° D ．140°第II 卷（选择题共126分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9．计算：23()a ＝．10．一元二次方程x 2﹣x ＝0的根是．11．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：该射手击中靶心的概率的估计值是（明确到0.01）．12．若关于x ，y 的二元一次方程3x ﹣ay ＝1有一个解是32x y =⎧⎨=⎩，则a ＝．13．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于．14．将二次函数21y x =-的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝5，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y ＝x 的图像，点A 1的坐标为(1，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1；过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2；过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3；…；按此规律操作下去，所得到的正方形A n B n C n D n 的面积是．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）（1）计算：02sin 45(1)1822π︒+--+-；（2）解不等式组：35131212x x x x -<+⎧⎪⎨--≥⎪⎩．18．（本题满分8分）先化简，再求值：212(1)11aa a -÷+-，其中a ＝﹣3．19．（本题满分8分）已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ，求证：AE ＝CF ．20．（本题满分8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．21．（本题满分8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A 的纵坐标．（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；（2）求点A 落在第四象限的概率．22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(﹣2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图像交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求k 、b 的值；（2）若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．23．（本题满分8分）为了计算湖中小岛上凉亭P 到岸边公路l 的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A 处，测得凉亭P 在北偏东60°的方向上；从A 处向正东方向行走200米，到达公路l 上的点B 处，再次测得凉亭P 在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P 到公路l 的距离．（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）24．（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为A ，BC 交⊙O 于点D ，点E 是AC 的中点．（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．26．（本题满分12分）+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互如果三角形的两个内角α与β满足2αβ余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC的长．27．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数243y x=-+的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值．参考答案三、解答题17．（1）1；（2）13x ≤<． 18．化简结果为12a -，计算结果为﹣2． 19．先证△AOE ≌△COF ，即可证出AE ＝CF ．20．（1）50；（2）在条形统计图画出，并标数据15；（3）450名．21．（1）六种：（1，﹣2）、（1，3）、（﹣2，1）、（﹣2，3）、（3，1）、（3，﹣2）；（2）点A 落在第四象限的概率为13． 22．（1）k 的值为﹣1，b 的值为4；（2）点D 坐标为（0，﹣4）．23．凉亭P 到公路l 的距离是273米．24．（1）先根据“SSS ”证明△AEO ≌△DEO ，从而得到∠ODE ＝∠OAE ＝90°，即可判断出直线DE 与⊙O 相切；（2）阴影部分面积为：241059π-． 25．（1）180；（2）2[20010(50)](40)10(55)2250y x x x =---=--+，∴当每件的销售价为55元时，每天获得利润最大为2250元．26．（1）15°；（2）存在，BE 的长为95（思路：利用△CAE ∽△CBA 即可）；（3）20，思路：作AE ⊥CB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，先根据△FCB ∽△FAC 计算出AF ＝16，最后运用勾股定理算出AC ＝20．27．（1）（4，0）；（2）22233,01439418,1434312,23t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）OT ＋PT．。

1999年吉林省中考数学试卷

1999年吉林省中考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是．2．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为．3．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是．4．（3分）函数y的自变量x的取值范围是．5．（3分）某共青团小组5名成员的年龄分别是15，23，17，18，22，则他们的平均年龄是岁．6．（3分）已知点A在反比例函数y的图象上，且点A的纵坐标是2，则点A的横坐标是．7．（3分）已知直线y＝2x+b经过点（6，3），则b＝．8．（3分）某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y （万元）与年数x的函数关系式是．9．（3分）如图，圆心角∠AOB＝100°，则圆周角∠ACB＝度．10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC＝2cm，∠CAB＝30°，则AB＝cm．11．（3分）两圆的半径之比为1：3，则小圆与大圆的面积之比为．12．（3分）两圆相内切，大圆的半径长为5cm，圆心距为3cm，则小圆半径为cm．13．（3分）半径为6cm的圆，60°圆周角所对弧的弧长为cm．14．（3分）正六边形的边长为2cm，则它的面积为cm2．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）15．（4分）一组数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，2，4，6，2，众数和中位数分别为（）A．9和5B．6和6C．2和4D．2和716．（4分）平面直角坐标系内与点（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）17．（4分）如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC ⊥AB）测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15tan50°米C．15tan40°米D．15cos40°米18．（4分）用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，四个工件中哪一个肯定是半圆环形（）A．B．C．D．19．（4分）已知反比例函数，在第一、三象限中，当x值增大时，y值（）A．增大B．减小C．不增也不减D．可能增大也可能减小20．（4分）若两圆相外切，则它们公切线的条数是（）A．1B．2C．3D．427．（4分）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是（）A．3.5B．3C．0.5D．﹣328．（4分）如图，P A是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（）A．cm B．cm C．13cm D．cm 29．（4分）吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距P地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（）A．9.2米B．9.1米C．9米D．5.1米30．（4分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（）A．﹣3B．5C．5或﹣3D．﹣5或3三、解答题（共10小题，满分68分）21．（5分）计算cos245°+tan60°•cos30°﹣3tan230°+4sin230°22．（5分）已知关于x的方程x2+mx+2m﹣n＝0根的判别式的值为0，1为方程的根．求m、n的值．23．（5分）如图，⊙O的直径为12cm，AB、CD为两条互相垂直的直径，连接AD．求图中阴影部分的面积．24．（5分）一定质量的二氧化碳，当它的体积V＝5m3时，它的密度p＝1.98kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝9m3时二氧化碳的密度ρ．25．（7分）已知：如图，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．26．（7分）如图，从一块长80厘米、宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．31．（7分）如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米．斜坡AB的坡度为1：2（AR：BR）．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少土方．32．（7分）如图，在矩形ABCD中，BC＝acm，AB＝bcm，a＞b，且a、b是方程的两个根．P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP＝PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS．点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm2．（1）求a和b；（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4，y与x之间的函数关系式；（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象．33．（9分）如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y 轴于R．请分别按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．（1）若m+n＝10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？（2）若S△AOC＝S△COD＝S△DOB，求n的值；（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x＝1时，矩形PROQ的面积是多少？34．（11分）关于图形变化的探讨：（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC＝CF．②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1＝C2F．③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论．证明结论成立或说明不成立的理由（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2＝PC2．②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论．证明结论成立或说明不成立的理由：（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律．1999年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0．【解答】解：一元二次方程3x2＝5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0．故答案为：3x2﹣5x﹣2＝0．2．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5．【解答】解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；则其和为2+4﹣1＝5；故答案为5．3．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是﹣3或1．【解答】解：x2+2x﹣3＝0（x+3）（x﹣1）＝0x1＝﹣3；x2＝1故本题的答案是﹣3或1．4．（3分）函数y的自变量x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．5．（3分）某共青团小组5名成员的年龄分别是15，23，17，18，22，则他们的平均年龄是19岁．【解答】解：平均年龄19．故答案为19．6．（3分）已知点A在反比例函数y的图象上，且点A的纵坐标是2，则点A的横坐标是﹣3．【解答】解：∵反比例函数y的图象上的点符合xy＝﹣6，∵点A的纵坐标是2，∴点A的横坐标是3．故答案为﹣3．7．（3分）已知直线y＝2x+b经过点（6，3），则b＝﹣9．【解答】解：把点（6，3）代入直线y＝2x+b得：3＝2×6+b，解得b＝﹣9．故填﹣9．8．（3分）某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y （万元）与年数x的函数关系式是y＝15+2x．【解答】解：∵每年增加的年产值是2万元，∴x年增加的年产值是2x，∴y＝15+2x．9．（3分）如图，圆心角∠AOB＝100°，则圆周角∠ACB＝130度．【解答】解：在优弧AB上取点D（不与A、B重合），连接AD、BD；则∠ADB∠AOB100°＝50°；∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC＝2cm，∠CAB＝30°，则AB＝4cm．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，BC＝2cm，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2×2＝4cm．11．（3分）两圆的半径之比为1：3，则小圆与大圆的面积之比为1：9．【解答】解：两圆的半径之比为1：3，两个圆的面积的比等于相似比的平方，因而小圆与大圆的面积之比为1：9．12．（3分）两圆相内切，大圆的半径长为5cm，圆心距为3cm，则小圆半径为2cm．【解答】解：∵两圆相内切，大圆的半径长为5cm，圆心矩为3cm，∴小圆半径为5﹣3＝2cm．13．（3分）半径为6cm的圆，60°圆周角所对弧的弧长为4πcm．【解答】解：4πcm．14．（3分）正六边形的边长为2cm，则它的面积为6cm2．【解答】解：∵此多边形为正六边形，∴∠AOB60°；∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2cm，∴OG＝OA•cos30°＝2，∴S△OAB AB×OG2cm，∴S六边形＝6S△OAB＝66cm．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）15．（4分）一组数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，2，4，6，2，众数和中位数分别为（）A．9和5B．6和6C．2和4D．2和7【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：1，2，2，2，3，4，4，5，6，6，7，8，9．位于最中间的数是4，∴这组数的中位数是4．这组数出现次数最多的是2，∴这组数的众数是2．故选：C．16．（4分）平面直角坐标系内与点（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【解答】解：关于y轴对称的点的横坐标为﹣3，纵坐标为﹣5，∴所求点的坐标为（﹣3，﹣5），故选：C．17．（4分）如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC ⊥AB）测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15tan50°米C．15tan40°米D．15cos40°米【解答】解：因为AC＝15，∠ACB＝50°，在直角△ABC中tan50°，所以AB＝15•tan50°．故选：B．18．（4分）用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，四个工件中哪一个肯定是半圆环形（）A．B．C．D．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径，得D是正确的．故选D．19．（4分）已知反比例函数，在第一、三象限中，当x值增大时，y值（）A．增大B．减小C．不增也不减D．可能增大也可能减小【解答】解：∵k＝5＞0，∴y随x的增大而减小．故选：B．20．（4分）若两圆相外切，则它们公切线的条数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：两圆相外切，则它们公切线的条数是3条．故选C．27．（4分）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是（）A．3.5B．3C．0.5D．﹣3【解答】解：求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，即使总和减少了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是3．故选：D．28．（4分）如图，P A是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（）A．cm B．cm C．13cm D．cm【解答】解：连接PH，OH，∵H是的中点，∴∠HPC＝∠APH，∠AOH＝∠APC，∴OH∥BC，即OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；∵PB是⊙O的割线，HB＝6cm，BC＝4cm，∴HB2＝BC•BP，∴36＝4BP，∴BP＝9，∴PH；∵在Rt△BPH与Rt△HP A中，∠HPC＝∠APH，∴Rt△BPH∽Rt△HP A，∴，∴AP13cm；故选：C．29．（4分）吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距P地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（）A．9.2米B．9.1米C．9米D．5.1米【解答】解：已知如图所示建立平面直角坐标系：设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，又已知抛物线经过（﹣4，0），（4，0），（﹣3，4），（3，4），可得，求出a，b＝0，c，故y x2，当x＝0时，y≈9.1米．故选：B．30．（4分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（）A．﹣3B．5C．5或﹣3D．﹣5或3【解答】解：由勾股定理可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5．又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜，∴m＝﹣3，故选：A．三、解答题（共10小题，满分68分）21．（5分）计算cos245°+tan60°•cos30°﹣3tan230°+4sin230°【解答】解：原式234×（）21＝3．22．（5分）已知关于x的方程x2+mx+2m﹣n＝0根的判别式的值为0，1为方程的根．求m、n的值．【解答】解：∵a＝1，b＝m，c＝2m﹣n，∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（2m﹣n）＝m2﹣8m+4n＝0，∵1为方程的根，代入方程x2+mx+2m﹣n＝0得1+3m﹣n＝0，n＝3m+1，把n＝3m+1代入m2﹣8m+4n＝0中，得（m+2）2＝0，解得m＝﹣2，n＝﹣5．答：m、n的值分别是﹣2，﹣5．23．（5分）如图，⊙O的直径为12cm，AB、CD为两条互相垂直的直径，连接AD．求图中阴影部分的面积．【解答】解：阴影部分的面积6×6÷2＝9π﹣18（cm2）．24．（5分）一定质量的二氧化碳，当它的体积V＝5m3时，它的密度p＝1.98kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝9m3时二氧化碳的密度ρ．【解答】解：（1）设二氧化碳质量为mkg．将V＝5，ρ＝1.98代入ρ＝m/V，得m＝9.9（kg）．（2分）所求函数关系式为ρ＝9.9/V①（3分）（2）将V＝9代入①得ρ＝1.1（kg/m3）．（5分）25．（7分）已知：如图，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．【解答】证明：∵，∴∠ABC＝∠APC＝60°．同理∠BAC＝∠CPB＝60°，故△ABC是等边三角形．26．（7分）如图，从一块长80厘米、宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．【解答】解：设这个宽度为x厘米，由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝80×60÷2，解得x＝10或x＝60；经检验是原方程的解，但是铁片的宽为60cm，因此x＝60不合题意舍去，所以x＝10．答：这个小长方形的宽度是10厘米．31．（7分）如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米．斜坡AB的坡度为1：2（AR：BR）．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少土方．【解答】解：∵在Rt△ABR中，坡AB的坡度为1：2，且AR＝10，∴BR＝20米，∵梯形ABCD是等腰梯形，那么BC＝2BR+AD＝46米，∴S梯形ABCD＝（AD+BC）×AR÷2＝260平方米，∵改造前后AB的坡度没变化，过点E作EH⊥BC于点H，根据题意得：EH＝10+2＝12（米），∴PH＝2EH＝24（米），∴改变后梯形的底长为：2×24+6＝54米∴梯形的面积为：（54+6）×12÷2＝360平方米．∴改造后多出的面积为S梯形EPCF﹣S梯形ABCD＝360﹣260＝100平方米，那么需要的土方数是100×50＝5000立方米．答：需要5000立方米．32．（7分）如图，在矩形ABCD中，BC＝acm，AB＝bcm，a＞b，且a、b是方程的两个根．P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP＝PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS．点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm2．（1）求a和b；（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4，y与x之间的函数关系式；（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象．【解答】解：（1）去分母得8﹣4x+x（2x+3）＝x（x+5）解得x＝2或4，经检验x＝2或4是原方程的解．∵a＞b，∴a＝4，b＝2（2）0≤x≤2时y＝x2；2≤x≤4时，y＝2（4﹣x）（3）如图．33．（9分）如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y 轴于R．请分别按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．（1）若m+n＝10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？（2）若S△AOC＝S△COD＝S△DOB，求n的值；（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x＝1时，矩形PROQ的面积是多少？【解答】解：（1）∵，又∵m+n＝10，∴∴．∴n＝5时，△AOB面积最大，最大值为．（2）分别过D，C作y轴平行线与x轴交于M，N两点，则DM⊥x轴，CN⊥x轴．由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．∴BD＝CD＝CA．又∵BO∥DM∥CN，∴．∴D点的横坐标为．又∵点D在函数的图象上，∴点D纵坐标为．∴点D坐标为，．同样可求得C点坐标为，．设直线AB解析式为y＝kx+b（k≠0），把A，B两点坐标代入，得解得∴直线AB解析式为．把D点坐标代入，得．∵m≠0，∴．∴．（3）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把O，D，C三点坐标分别代入，得解得，，c＝0．∴抛物线解析式为．由已知，得．解得或m＝0（不合题意，舍去）．设P点坐标为（a，b），∵点P在双曲线上，则．即ab＝m．．∴矩形34．（11分）关于图形变化的探讨：（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC＝CF．②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1＝C2F．③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论EC1＝C2F．证明结论成立或说明不成立的理由（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2＝PC2．②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论PM2＝PC1•PC2．证明结论成立或说明不成立的理由：（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．．【解答】解：（1）结论为EC1＝C2F．证明：过O作OM⊥C1C2于M，则AE∥OM∥BF，∵AO＝OB，根据平行截割定理，得EM＝MF，又∵C1O＝OC2，∴EC1＝C2F；（2）结论为PM2＝PC1•PC2．证明：连接ON，∵PN是切线，O是圆心，∴∠MNP+∠ONB＝90°．又∠ONB＝∠B，BC⊥l，∴∠NMP+∠B＝∠BMC3+∠B＝90°，∴∠MNP＝∠NMP，∴PM＝PN．由PM＝PN，由切割线定理得PN2＝PC1•PC2，∴PM2＝PC1•PC2．（3）在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．。

人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)

∴ME=MC+EC= 。
19.（1）；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了行，则共有（）行，（）列，
根据题意：，，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为，

吉林省历年中考数学试卷习题精选(丰富)

吉林省10年中考数学试卷一．选择题1. 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）2. 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．极差3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ．点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则整个阴影部分图形的周长为（）A ．18cmB ．36cmC ．40cmD ．72cm4. 如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（）A ．B ． 2C ．D ．A ．B ．C ．D ．A EBC FD A 1D 15. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC ．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A ． 40°B ． 50°C ． 80°D ． 100°6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝108°，则∠D 的大小为（）A ．54°B ．62°C ．72°D ．82°7. 将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（）A ．23√3cmB ．43√3cmC ．√5cmD ．2cm8. 如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α＝120°，β＝60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（）A ．π3B ．π6C ．5π3D ．5π6二．填空题1.如图，在▱ABCD中，BC=4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG= m．2.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝度．b＜a＜b．将此矩形纸3.如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中23片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为（用含a、b的代数式表示）．4.如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．6.在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．7.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．8.我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．9.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．10.如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．11.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是．三．网格题4．在5×5的正方形网格①中，用三张长为3，宽为1的矩形纸片拼接成阴影部分．（1）阴影部分的周长为多少；（2）请用三张纸再拼接两种，（全等的属于同一种）与阴影部分周长相等，但不全等的图形，分别画在网格②，③中．5．如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出△ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形．（2）图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形．（3）图③中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等．6．图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．7．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图：（1）在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个正方形，使其内部已标注的格点只有3个，且边长为无理数．8．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；（2）图1中所画的平行四边形的面积为．9．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．10．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．11．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．12．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．13．如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ，使DF ＝AD ，连接BC 、BF ．（1）求证：△CBE ∽△AFB ；（2）当BE FB=58时，求CBAD的值．14．两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE ＝2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG （如图②），求点D 到AG 的距离；（2）当α＝45°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．15．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，点D 落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．17．如图，在△ABC中，AB＝BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE＝60°，∠F＝15°，解答下列问题．（1）求证：直线FB是⊙O的切线；（2）若BE=√3cm，则AC＝cm．18．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O 于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝3，CD＝4，求平行四边形OABC的面积．19．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=kx（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．20．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，反比例函数y=k x（x＞0）的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ ⊥OP，且OP＝2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．21．如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360，由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2360=12•nπR 180•R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，AB̂的长为l1，CD̂的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=12×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？22．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC 的位置关系为；（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=23BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为．23．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C 处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°＝0.56，cos34°＝0.83，tan34°＝0.67．）24．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=12OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．25．如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．26．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．27．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．28．如图①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为；（3）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．29．墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，（参考数据：sin43°与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）30．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．31．性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．32．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为．33．如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ 与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式．34．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP＝xcm，FQ＝ycm．解答下列问题：（1）直接写出当x＝3时y的值；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．35．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，CE ⊥AD 于点E ，AD ＝8cm ，BC ＝4cm ，AB ＝5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm /s ，动点P 沿A ﹣B ﹣C ﹣E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B ﹣C ﹣E ﹣D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为xs ，△P AQ 的面积为ycm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x ＝2s 时，y ＝ cm 2；当x =92s 时，y ＝ cm 2．（2）当5≤x ≤14 时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出y =415S 梯形ABCD 时x 的值．（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．（备用图）（备用图）（备用图）36．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s 的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t＝s时，点P与点Q重合；（2）当t＝s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点D、E、F分别是边AB、BC、AC 的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F →D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）（1）当点P运动到点F时，CQ＝cm；（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B 运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．（1）填空：AB＝cm，AB与CD之间的距离为cm；（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．39．两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x＝cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N 之间距离的最小值．40．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8√2cm，AD⊥BC于点D，点P从点A 出发，沿A→C方向以√2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC 于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x＝；（2）当点M落在AD上时，x＝；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．动点题+二次函数题一．解答题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，∠ADB＝30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2√3cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x＝；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．3．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ=54cm时，直接写出x的值．（备用图）C BED A4．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（﹣1，0），将矩形OABC绕原点O 顺时针方向旋转90度，得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N点．解答下列问题：（1）设直线BB′表示的函数解析式为y＝mx+n，求m，n；（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；（3）在抛物线上求出使S△PB′C′＝S矩形OABC的所有点P的坐标．6．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△P AG=34S△PEH？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线l1：y＝﹣x2平移得到抛物线l2，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l2的顶点为点B，它的对称轴与l2相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标．（2）求点C的坐标，并直接写出S的值．（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA=12S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−b2a，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）】．8．问题情境如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为y E，y F．特例探究填空：当m＝1，n＝2时，y E＝，y F＝；当m＝3，n＝5时，y E＝，y F＝．归纳证明对任意m，n（n＞m＞0），猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用（1）若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出y E与y F的大小关系；（2）连接EF，AE．当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写m与n的大小关系及四边形OFEA的形状．9．如图①，在平面直角坐标系中，点P （0，m 2）（m ＞0）在y 轴正半轴上，过点P 作平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 1：y =14x 2于点A 、B ，交抛物线C 2：y =19x 2于点C 、D ．原点O 关于直线AB 的对称点为点Q ，分别连接OA ，OB ，QC 和QD ．【猜想与证明】填表：m1 2 3 AB CD由上表猜想：对任意m （m ＞0）均有AB CD = ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB 与△CQD 面积比为；（2）当△AOB 和△CQD 中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD 与△AOB 面积之差；【联想与拓展】如图②过点A 作y 轴的平行线交抛物线C 2于点E ，过点D 作y 轴的平行线交抛物线C 1于点F ．在y 轴上任取一点M ，连接MA 、ME 、MD 和MF ，则△MAE 与△MDF 面积的比值为．10．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y＝mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=√10，直接写出l，P表示的函数解析式．11．如图①，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m＝﹣1，n＝4时，k＝，b＝；当m＝﹣2，n＝3时，k＝，b＝；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m＝﹣3，n＞3时，求S△ACOS四边形AOED的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m＝，n＝．12．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y＝ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m＝2时，a＝，当m＝3时，a＝；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．13．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2−43经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a＝．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a＝﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE＝；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．15．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C （0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．。

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