华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题 不定积分)【圣才出品】
解：f（x）的原函数为
．当 x≤1 时，有
当 x＞1 时，有
所以 f（x）的原函数为
．
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un
n1
收敛，从而 un
0 ，即
f
(xn )
0 ，也即
f (xn ) 0 ，故对上述的 ，存在 N N¢ ，使得
当 n N 时，
f (xn )
2
.
取 X a N ，则当 x X 时，因
x a, Ua (k 1) ,a k k 0
故存在惟一的 k N¢ ，使得 x a (k 1) , a k ，易见 k N ，且
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第 8 章 不定积分
1．设 f (x) d x 收敛,且 f (x) 在 a,上一致连续，证明 lim f (x) ＝ 0. [上海
a
x
交通大学 2004 研]
证明：因 f (x) 在 a,上一致连续，故对于 0 ， 0 ，使得当
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4．求不定积分 解：
[华东师范大学研]
5．求不定积分 解：令 t＝lnx，则
[四川大学研]
6．求
（a 为常数）．[西安交通大学研]
解：（1）当 a＝－1 时，
（2）当 a≠－1 时，
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x2
x台2 )
dx
ln(1 x2 )d 1 x
ln(1 x2 )
1
2x dx
x
x 1 x2
ln(1 x2 ) 2 1 dx
x
华东师范大学数学分析第10章
(5)r a sin3 3 (a 0,0
3 );
(6)r a ( a 0),0
2.
解
(1)s
b 1
y '2 ( x)dx
a
s
4 1
0
9 4
xdx
8 27
(10
10
1)
(2) x cos4 (t ), y sin4 t
s 2 x 't2 y '2t dt 0
2 4sin t cost cos4 t sin4 tdt 0
a 64
2
3
(3)
'( y)
[a
1
] y2
b2
a b
(1
) y2
1 2
b2
y,
[ '( y)]2
[
b a
(1
) y 2
b2
y]2
(1 a2
b2
y2 b2 )
1
y2
a2 b2
b2 y2 ( b ,
b
S2
( y) 1
b
'2 ( y)dy 2
b
y2
a1 b
b2
a2 y2 1 b2 y2 dx
5 10
x
1 2
x
从而它的面积为
1 2
x
1 2
x
xOz平面上椭圆方程为
1 4
x2
x2 10
z2 42
1
则 PQR 面积为 25 1
Z2 42
于是所求体积
V
4 2 25 1
0
dz z2
42
2 | 25z 100 z2 4
16
30
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(微分中值定理及其应用)
则存在 ξ∈（a，b），使得
（6-4）
2.丌定式极限
（1） 型丌定式极限
若函数 f 和 g 满足：
①
②在点 的某空心邻域
上两者都可导，且
③
（A 可为实数，也可为
）；
则
（2） 型丌定式极限
若函数 f 和 g 满足：
①在 的某邻域
上两者ห้องสมุดไป่ตู้导，且
；
②
；
lim f x lim g x
xx0
xx0
③
（2）拉格朗日型余项 （6-7）式称为泰勒公式，它的余项为
（6-7）
称为拉格朗日型余项，所以（6-7）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式． （3）n＝0 时，泰勒公式（6-7）在 x＝0 时的特殊形式为
称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式．
四、函数的极值不最大（小）值 1．极值判别 （1）极值的第一充分条件 设 f 在点 x0 连续，在某邻域 U0（x0；δ）上可导，
（2）推论
设函数在区间 I 上可微，若 f′（x）＞0（f′（x）＜0），则 f 在 I 上严格递增（严格递减）．
（3）达布（Darboux）定理
若函数 f 在[a，b]上可导，且 f′＋（a）≠f′－（b），k 为介于 f′＋（a），f′－（b）乊间的
仸一实数，则至少存在一点 ξ∈（a，b），使得
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①若当
时 f′（x）≢0，当
时 f′（x）≣0，则 f 在点 x0
取得极小值．
②若当
时 f′（x）≣0，当
时 f′（x）≢0，则 f 在点
x0 取得极大值．
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 实数的完备性)【圣才出品】
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
数学分析上册-华东师范大学数学系
数学分析上册(第三版)华东师范大学数学系 编高等教育出版社内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.内容包括实数集和函数,数列极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实数完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录为微积分学简史,实数理论,积分表.本书可作为高等师范院校或其他类型学校数学专业的教材使用. 图书在版编目(CIP)数据 数学分析.上册华东师范大学数学系编.—3版.北京:高等教育出版社,2000 ISBN7-04-009137-2 Ⅰ.数… Ⅱ.华… Ⅲ.数学分析—高等学校—教材 Ⅳ.017 中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第75486号数学分析 上册 第三版华东师范大学数学系 编出版发行 高等教育出版社社 址 北京市东城区沙滩后街55号 邮政编码 100009电 话 010-********传 真 010-********网 址 http: http:经 销 新华书店北京发行所印 刷 开 本 787×960 116版 次 1981年4月第1版印 张 22 年 月第 版字 数 400000印 次 年 月第 次印刷定 价 18.70元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。
版权所有 侵权必究责任编辑 高尚华封面设计 张 楠责任绘图 郝 林版式设计 马静如责任校对 马桂兰责任印制 第三版前言华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第二版使用基础上进行修订.此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见,召开了使用教材情况的座谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情况,以适应对21世纪新教材的需求.关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原理.在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密.积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿—莱布尼茨公式,这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要选用.根据使用院校意见,反常积分和含参量积分各自独立成章.二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节.在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用.对于加“＊”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求.2第三版前言附录Ⅰ 微积分学简史.由张奠宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积分学发展的线索.附录Ⅱ 实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近,在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应.附录Ⅲ 积分表.在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好符合教学的需要.这次修订由吴良森任主编.上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改.下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强负责编写组织.最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件.程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿,并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢.郑英元教授对修订提了许多积极的建议.高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教授对本书修改提供了宝贵的意见.陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致以深切的谢意.华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表示感谢.第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正.编者1999年9月再版的话本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择性,以期适应各类学校师生的需要.修改的主要内容有:在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些内容,如有界集,确界和确界原理等.在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来采用柯西列定义实数,虽有不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整.对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章.在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理(小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体.在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印).压缩了反常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中.为便于重积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节.2再版的话关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论.张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录Ⅰ).我们认为,知道一点微积分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的.在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计算题答案.在新版中,用记号表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ“积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索.这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持.在此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正.编 者上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿.下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿.编者的话(初版)本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分析》大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及其他高等院校有关专业的教学参考书.关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用ε-δ定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用.本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进行练习.书末并附有计算题的答案.本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有:陈昌平、陈美廉、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等同志也参加过一些工作.北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大学、贵阳师范学院、徐州师范学院、新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等.甘肃师范大学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见.在审查过程中,大家对原稿提出了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示衷心的感谢.由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正.编者1979.11又及,本书最后定稿时,曾照一九八年五月在上海举行的高等学校理科数学教材编审委员会审订的《数学分析》大纲作了修订.编者1980.9目 录第一章 实数集与函数§1 实数1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 实数及其性质1………………………………………………………………… 二 绝对值与不等式3§2 数集·确界原理4………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 区间与邻域5………………………………………………………………… 二 有界集·确界原理5§3 函数概念10………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 函数的定义10 二 函数的表示法11……………………………………………………………………………………………………………………………………… 三 函数的四则运算11………………………………………………………………………… 四 复合函数12…………………………………………………………………………… 五 反函数13………………………………………………………………………… 六 初等函数14§4 具有某些特性的函数16…………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 有界函数16………………………………………………………………………… 二 单调函数17………………………………………………………………… 三 奇函数和偶函数19………………………………………………………………………… 四 周期函数19第二章 数列极限§1 数列极限概念23…………………………………………………………………§2 收敛数列的性质28………………………………………………………………§3 数列极限存在的条件35…………………………………………………………第三章 函数极限§1 函数极限概念42………………………………………………………………… 一 x趋于∞时函数的极限42………………………………………………………… 二 x趋于x0时函数的极限43………………………………………………………§2 函数极限的性质48………………………………………………………………§3 函数极限存在的条件52…………………………………………………………§4 两个重要的极限56……………………………………………………………… 一 证明limx→0sin xx=156……………………………………………………………… 二 证明limx→∞1+1xx=e56…………………………………………………………§5 无穷小量与无穷大量59………………………………………………………… 一 无穷小量59………………………………………………………………………… 二 无穷小量阶的比较60……………………………………………………………… 三 无穷大量62………………………………………………………………………… 四 曲线的渐近线64……………………………………………………………………第四章 函数的连续性§1 连续性概念69…………………………………………………………………… 一 函数在一点的连续性69…………………………………………………………… 二 间断点及其分类71………………………………………………………………… 三 区间上的连续函数72………………………………………………………………§2 连续函数的性质74……………………………………………………………… 一 连续函数的局部性质74…………………………………………………………… 二 闭区间上连续函数的基本性质75………………………………………………… 三 反函数的连续性78………………………………………………………………… 四 一致连续性79………………………………………………………………………§3 初等函数的连续性82…………………………………………………………… 一 指数函数的连续性82……………………………………………………………… 二 初等函数的连续性83………………………………………………………………第五章 导数和微分§1 导数的概念87…………………………………………………………………… 一 导数的定义87……………………………………………………………………… 二 导函数90…………………………………………………………………………… 三 导数的几何意义91…………………………………………………………………§2 求导法则95………………………………………………………………………… 一 导数的四则运算95…………………………………………………………………2目 录 二 反函数的导数97…………………………………………………………………… 三 复合函数的导数98………………………………………………………………… 四 基本求导法则与公式101…………………………………………………………§3 参变量函数的导数103…………………………………………………………§4 高阶导数106………………………………………………………………………§5 微分110…………………………………………………………………………… 一 微分的概念110…………………………………………………………………… 二 微分的运算法则112……………………………………………………………… 三 高阶微分113……………………………………………………………………… 四 微分在近似计算中的应用114……………………………………………………第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性119…………………………………………… 一 罗尔定理与拉格朗日定理119…………………………………………………… 二 单调函数123………………………………………………………………………§2 柯西中值定理和不定式极限125……………………………………………… 一 柯西中值定理125………………………………………………………………… 二 不定式极限127……………………………………………………………………§3 泰勒公式134……………………………………………………………………… 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式134……………………………………………… 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式138…………………………………………… 三 在近似计算上的应用140…………………………………………………………§4 函数的极值与最大(小)值142………………………………………………… 一 极值判别142……………………………………………………………………… 二 最大值与最小值144………………………………………………………………§5 函数的凸性与拐点148…………………………………………………………§6 函数图象的讨论154……………………………………………………………… ＊§7 方程的近似解155…………………………………………………………………第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理161…………………………………………… 一 区间套定理与柯西收敛准则161………………………………………………… 二 聚点定理与有限覆盖定理163…………………………………………………… ＊三 实数完备性基本定理的等价性166……………………………………………§2 闭区间上连续函数性质的证明168……………………………………………3目 录 ＊§3 上极限和下极限172………………………………………………………………第八章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式176…………………………………………… 一 原函数与不定积分176…………………………………………………………… 二 基本积分表179……………………………………………………………………§2 换元积分法与分部积分法182………………………………………………… 一 换元积分法182…………………………………………………………………… 二 分部积分法187……………………………………………………………………§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分190……………………………… 一 有理函数的不定积分190………………………………………………………… 二 三角函数有理式的不定积分194………………………………………………… 三 某些无理根式的不定积分195……………………………………………………第九章 定 积 分§1 定积分概念200…………………………………………………………………… 一 问题提出200……………………………………………………………………… 二 定积分的定义201…………………………………………………………………§2 牛顿—莱布尼茨公式204………………………………………………………§3 可积条件207……………………………………………………………………… 一 可积的必要条件207……………………………………………………………… 二 可积的充要条件208……………………………………………………………… 三 可积函数类209……………………………………………………………………§4 定积分的性质213………………………………………………………………… 一 定积分的基本性质213…………………………………………………………… 二 积分中值定理217…………………………………………………………………§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)220…………………………………… 一 变限积分与原函数的存在性220………………………………………………… 二 换元积分法与分部积分法224…………………………………………………… 三 泰勒公式的积分型余项227……………………………………………………… ＊§6 可积性理论补叙231……………………………………………………………… 一 上和与下和的性质231…………………………………………………………… 二 可积的充要条件233………………………………………………………………4目 录第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积239………………………………………………………………§2 由平行截面面积求体积243……………………………………………………§3 平面曲线的弧长与曲率247…………………………………………………… 一 平面曲线的弧长247……………………………………………………………… 二 曲率250……………………………………………………………………………§4 旋转曲面的面积253……………………………………………………………… 一 微元法253………………………………………………………………………… 二 旋转曲面的面积254………………………………………………………………§5 定积分在物理中的某些应用255……………………………………………… 一 液体静压力255…………………………………………………………………… 二 引力256…………………………………………………………………………… 三 功与平均功率257………………………………………………………………… ＊§6 定积分的近似计算259………………………………………………………… 一 梯形法260………………………………………………………………………… 二 抛物线法260………………………………………………………………………第十一章 反常积分§1 反常积分概念264………………………………………………………………… 一 问题提出264……………………………………………………………………… 二 两类反常积分的定义265…………………………………………………………§2 无穷积分的性质与收敛判别270……………………………………………… 一 无穷积分的性质270……………………………………………………………… 二 比较判别法271…………………………………………………………………… 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273……………………………………………§3 瑕积分的性质与收敛判别276…………………………………………………附录Ⅰ 微积分学简史281……………………………………………………………附录Ⅱ 实数理论289………………………………………………………………… 一 建立实数的原则289……………………………………………………………… 二 分析290…………………………………………………………………………… 三 分划全体所成的有序集292……………………………………………………… 四 R中的加法294…………………………………………………………………… 五 R中的乘法295…………………………………………………………………… 六 R作为Q的扩充297………………………………………………………………5目 录6目 录 七 实数的无限小数表示299………………………………………………………… 八 无限小数四则运算的定义300……………………………………………………附录Ⅲ 积分表303……………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 含有x n的形式303…………………………………………………………… 二 含有a+bx的形式303 三 含有a2±x2,a>0的形式304…………………………………………………… 四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304………………………………………… 五 含有a+bx的形式304………………………………………………………… 六 含有x2±a2,a>0的形式305………………………………………………… 七 含有a2-x2,a>0的形式306………………………………………………… 八 含有sin x或cos x的形式306…………………………………………………… 九 含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式307……………………………………… 十 含有反三角函数的形式308……………………………………………………………………………………………………………………… 十一 含有e x的形式308 十二 含有ln x的形式309……………………………………………………………习题答案310………………………………………………………………………………索引330……………………………………………………………………………………人名索引334……………………………………………………………………第一章 实数集与函数§1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述实数的有关概念.一 实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式pq(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…a n时,其中0≤a i≤9,i=1,2,…,n,a n≠0,a0为非负整数,记x=a0.a1a2…(a n-1)9999…,而当x=a0为正整数时,则记x=(a0-1).9999…,例如2.001记为2．0009999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7．9999…;又规定数0表示为0．0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…, y=b0.b1b2…b n…,其中a0,b0为非负整数,a k,b k(k=1,2,…)为整数,0≤a k≤9,0≤b k≤9.若有a k=b k,k=0,1,2,…,则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得a k=b k(k=0,1,2,…,l)而a l+1>b l+1,则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下定义.定义2 设x=a0.a1a2…a n…为非负实数.称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似,而有理数x n=x n+1 10n称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….对于负实数x=-a0.a1a2…a n…,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n=-a0.a1a2…a n-110n与x n=-a0.a1a2…a n. 注 不难看出,实数x的不足近似x n当n增大时不减,即有x0≤x1≤x2≤…,而过剩近似x n当n增大时不增,即有x0≥x1≥x2≥….我们有以下的命题 设x=a0.a1a2…与y=b0.b1b2…为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得x n>y n,其中x n表示x的n位不足近似,y n表示y的n位过剩近似.关于这个命题的证明,以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足x<r<y. 证 由于x<y,故存在非负整数n,使得x n<y n.令r=12(x n+y n),则r为有理数,且有x≤x n<r<y n≤y,即得x<r<y.为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即R={x x为实数}. 实数有如下一些主要性质:1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个2第一章 实数集与函数实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, a=b,a>b.3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a<b+ε,则a≤b.证 用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b.令ε=a -b,则ε为正数且a=b+ε,但这与假设a<b+ε相矛盾.从而必有a≤b.关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ.二 绝对值与不等式实数a的绝对值定义为a=a,a≥0,-a,a<0.从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.2.-|a|≤a≤|a|.3.|a|<h-h<a<h;|a|≤h-h≤a≤h(h>0).4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式:a-b≤a±b≤a+b. 5.|ab|=|a||b|.6.ab=|a||b|(b≠0).下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明.由性质2有3§1 实 数-a≤a≤a,-b≤b≤b.两式相加后得到-(a+b)≤a+b≤a+b.根据性质3,上式等价于a+b≤a+b.(1)将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得|a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b|,据(1)式有a≤a-b+b.从而得a-b≤a-b.(2)将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b|≤|a+b|.性质4得证.习 题1.设a为有理数,x为无理数.证明: (1)a+x是无理数; (2)当a≠0时,ax是无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)|x-1|<|x-3|; (3)x-1-2x-1≥3x-2.3.设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b.4.设x≠0,证明x+1x≥2,并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合).证明a2+b2-a2+c2≤b-c.你能说明此不等式的几何意义吗?7.设x>0,b>0,a≠b.证明a+xb+x介于1与ab之间.8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则p是无理数.9.设a、b为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|x-b|; (2)|x-a|<x-b; (3)|x2-a|<b.§2 数集·确界原理本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集4第一章 实数集与函数并给出确界定义和确界原理.一 区间与邻域设a 、b ∈R ,且a <b .我们称数集{x |a <x <b}为开区间,记作(a ,b);数集{x |a ≤x ≤b}称为闭区间,记作[a ,b];数集{x |a ≤x <b}和{x |a <x ≤b}都称为半开半闭区间,分别记作[a ,b)和(a ,b].以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看,开区间(a ,b)表示a 、b 两点间所有点的集合,闭区间[a,b]比开区间(a ,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[a ,+∞),这里符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.类似地,我们记(-∞,a]={x x ≤a},(a ,+∞)={x x >a},(-∞,a)={x x <a},(-∞,+∞)={x-∞<x <+∞}=R ,其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a ∈R ,δ>0.满足绝对值不等式|x -a |<δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域,记作U (a;δ),或简单地写作U(a ),即有U(a;δ)={xx -a <δ}=(a -δ,a +δ).点a 的空心δ邻域定义为U °(a;δ)={x 0<x -a <δ},它也可简单地记作U °(a).注意,U °(a;δ)与U(a;δ)的差别在于:U °(a;δ)不包含点a .此外,我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U +(a;δ)=[a ,a +δ),简记为U +(a);点a 的δ左邻域U -(a;δ)=(a -δ,a],简记为U -(a);(U -(a )与U +(a )去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为U °-(a)与U °+(a).)∞邻域U(∞)={x |x |>M},其中M 为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x |x >M};-∞邻域U(-∞)={x |x <-M}.二 有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ),使得对一切x ∈S ,都有x ≤M (x ≥L ),则称S 为有上界(下界)的数集,数M (L )称为S 的一个上界(下界).5§2 数集·确界原理6第一章 实数集与函数若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S 为无界集.例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.证 显然,任何一个不大于1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0(∈N+),使得n0>M.事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+1①,则n0∈N+,且n0>M.这就证明了N+无上界.读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S是R中的一个数集.若数η满足:(i)对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;(ii)对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即η又是S的最小上界,则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S②. 定义3 设S是R中的一个数集.若数ξ满足:(i)对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;(ii)对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界,则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S. 上确界与下确界统称为确界.例2 设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证: sup S=1,inf S=0.解 先验证sup S=1:(i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(ii)对任何α<1,若α≤0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0>α.类似地可验证inf S=0.读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.①②sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.。
华东师大数学分析答案完整版
又
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这 两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中
## 为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些 !
*" 确界原理)设 ’ 是非空数集#若 ’ 有上界#则 ’ 必有上确界*若 ’ 有下界#则 ’ 必有下确界!
确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!
3" 单调性
设 -%,!$$#$#.#若 对 ,$! #$$ #.#$! %$$ #有
!!$,!$!$$,!$$$#则称 , 在. 上是递增函数! !$$,!$!$%,!$$$#则称 , 在. 上是严格递增函数!
类似可定义递减函数与严格递减函数!
4" 奇偶性
设 . 是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.! !!$若,$#.#都有 ,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数! !$$若 ,$#.#都 有 ,!($$% (,!$$#则 称 ,!$$是 奇 函 数 !
分析 !本题主要考察函数 的 有 界 性#要 充 分 利 用 已 知 条 件 给 出 的 不 等 式 #积 极 构 造 出 类 似 的 不 等
%$ %
第一章!实数集与函数
式 #以 证 出 结 论 !
证 明 ! , (%#;’.:#,$# !%#;$#则 存 在’# !##!$#使 $%%&’!;(%$
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《数学分析》（华师大版）课本上习题
《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 定积分)【圣才出品】
第9章 定积分§1 定积分概念1．按定积分定义证明：证明：对于[a ，b]的任一分割，任取，f （x ）＝k 相应的积分和为从而可取δ为任何正数，只要使，就有根据定积分定义有2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：解：（1）因f （x ）＝x 3在[0，1]上连续，所以f （x ）在[0，1]上可积．对[0，1]进行n 等分，记其分割为，取为区间的右端点，i ＝1，2，…，n ，得（2）同（1），有（3）由在[a，b]上连续知，f（x）在[a，b]上可积，对[a，b]进行n等分，记其分割为，则，取为区间的右端点，i＝1，2，…，n，得（4）同（3），取，得§2 牛顿-莱布尼茨公式1．计算下列定积分：解：（7）先求原函数，再求积分值：2．利用定积分求极限：解：（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：这是函数在区间[0，1]上的一个积分和的极限．这里所取的是等分分割，，而恒为小区间的右端点，i＝1，2，…，n．所以有（2）不难看出，其中的和式是函数在区间[0，1]上的一个积分和．所以有（3）（4）3．证明：若f在[a，b]上可积，F在[a，b]上连续，且除有限个点外有F'（X）＝f（x），则有证明：对[a，b]作分割，使其包含等式F'（x）＝f（x）不成立的有限个点为部分分点，在每个小区间上对F （x ）使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使于是因为f 在[a ，b]上可积，所以令，有§3 可积条件1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则证明：设T 增加p 个分点得到T '，将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T ，都同样得到T '，所以我们只需证p ＝1的情形．在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作与．但T 的其他小区间（i≠k）仍旧是新分割T 1所属的小区间，因此，比较的各个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的一项换为后者中的两项．又因函数在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有．故即一般的，对增加一个分点得到，就有这里，故2．证明：若f（x）在[a，b]上可积，[α，β][a，b]，则f（x）在[α，β]上也可积．证明：已知f（x）在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在对[a，b]的某分割T，使得，在T上增加两个分点α，β，得到一个新的分割T'，则由上题结论知分割T'在[α，β]上的部分，构成[α，β]的一个分割，记为T*，则有故由可积准则知，f（x）在[α，β]上可积．3．设f、g均为定义在[a，b]上的有界函数．证明：若仅在[a，b]中有限个点处f（x）≠g（x），则当f在[a，b]上可积时，g在[a，b]上也可积，且证明：设f（x）与g（x）在[a，b]上的值仅在k个点处不同，记，由于f （x ）在[a ，b]上可积．存在，使当时，有令，则当时，有当时，，所以上式中至多仅有k项不为0，故这就证明g（x）在[a，b]可积，且。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十章
第十章 定积分的应用一、填空题1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2． 曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5． 曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是7． 曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln （B ）⎰ba e ex dx e（C ）⎰baydy e ln ln （D ）⎰ba e exdx ln2．曲线x y xy ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ）（A ）dx x x )1(21-⎰（B ）dx xx )1(21-⎰（C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ） （A ）dx ex e x )(10-⎰ （B ）dy y y y e)ln (ln 1-⎰（C ）dx xe e exx )(1⎰- （D ）dy y y y )ln (ln 1-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ）（A ）()θθπd a 220cos 221⎰ （B ）θθππd a ⎰-2cos 221 （C ）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰ 5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A ）⎰πθθ02221d e a （B ）⎰πθθ20222d e a （C ）⎰-ππθθd ea 22 （D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d（C ）()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ）（A ）dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 （B ）⎰-+2102211dx x x （C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a （B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a （D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t（D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V （ ）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =（ ）（A ）⎰-adx x a 022)(4（B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-adx x a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰hahdh 0 （B ）⎰aahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+hdy y h H S 0)( （B ）⎰-+Hdy y h H S 0)(（C ）⎰-hdy y H S 0)( （D ）⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰h dy y dh d 02π （B ）⎰--h dy a y a dh d 022])([π （C ）⎰hdy y dh db2π （D ）⎰-hdy y ay dh d b2)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m 为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ） （A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。
华东师范大学数学系数学分析第4版上册知识点总结笔记课后答案
第1章实数集与函数1.1复习笔记一、实数实数的性质封闭性、有序性、大小的传递性、阿基米德性、稠密性、与数轴上的点一一对应。
三角不等式二、确界原理设S为非空数集。
若S有上界必有上确界；若S有下界必有下确界。
三、函数概念函数的表示法主要有三种，即解析法（或称公式法）、列表法和图像法。
复合函数设有两函数y＝f（u），u∈Du＝g（x），x∈E式中的u为中间变量，函数f和g的复合运算也可简单地写作。
反函数设y＝f（x），x∈D对于任意的一个y∈f（D），D中存在唯一的x，使得f（x）＝y。
则按此对应法则得到的函数称为反函数，记作x＝f－1（y），y∈f（D）初等函数图1-1-1四、具有某些特性的函数（见表1-1-1）表1-1-1 具有某些特性的函数1.2课后习题详解§1 实数设a为有理数，x为无理数。
证明：（1）a＋x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数。
证明：（1）用反证法。
假设a＋x是有理数，那么（a＋x）－a＝x也是有理数。
这与x是无理数矛盾。
故a＋x是无理数。
（2）用反证法。
假设ax是有理数，因为a是不等于零的有理数，所以ax/a＝x是有理数。
这与x是无理数矛盾。
故ax是无理数。
试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x（x2－1）＞0；（2）|x－1|＜|x－3|；（3）。
解：（1）由原不等式得或不等式组① 的解是x＞1，不等式组② 的解是－1＜x＜0。
故x（x2－1）＞0的解集是{－1＜x＜0或x＞1}。
在数轴上表示如图1-2-1所示。
图1-2-1（2）原不等式同解于不等式（x－1）2＜（x－3）2。
由此得原不等式的解为x＜2。
在数轴上表示如图1- 2-2所示。
图1-2-2（3）原不等式的解x首先必须满足不等式组解得x≥1。
原不等式两边平方得即当x≥1时，不可能成立，故原不等式无解。
设a，b∈R。
证明：若对任何正数ε有|a－b|＜ε，则a＝b。
证明：用反证法。
假设a≠b，那么a－b≠0。
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。
(完整word版)数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编(word文档良心出品)
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是aaxx =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差 大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba之间。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(章节题库 定积分的应用)【圣才出品】
3．求曲线
的全长．
解：将曲线改写成参数方程，并计算微弧：
因此
4．已知抛物叶形线 作 M．求
如图 10-3 所示，其中当 0≤x≤3 时的叶形部分记
（1）M 的面积；
（2）M 的周长；
（3）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
（4）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积
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图 10-1 则
的切线，切线与 x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
（2）所求的旋转体的体积为
切线方程是
Hale Waihona Puke 2．求圆的渐伸线和连接
两个端点：起点 A（a，0）与终点 B（a，-2πa）的直线段 AB 所围成图形的面积，并求
渐伸线的弧长
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第 10 章 定积分的应用
1．过点（4，0）作曲线
的切线．
（1）求切线的方程；
（2）求由这条切线与该曲线及 x 轴所围成的平面图形（如图 10-1 所示）绕 x 轴旋转
一周所得的旋转体的体积．
解：（1）令 过点（4，0）作曲线
（5）M 的重心．
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解：（1）由对称性，只要求出 果，即
图 10-3 与 x 轴所围成的面积，两倍即得结
（2） 由此即得
（3） （4） （5）由对称性，
5．求抛物体
的重心和绕 z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为 1）．
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华东师范大学数学系《数学分析》讲义定积分【圣才出品】
第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。
数学分析(华东师大)第十章定积分的应用
∫ ∫ ∫∫∫第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y = f ( x) (≥0) , 以及直线x = a, x = b( a <b) 和 x 轴所围曲边梯形的面积为b bA =∫ f ( x ) d x =∫y d x .aa如果 f ( x)在[ a , b]上不都是非负的, 则所围图形的面积为b b A=f (x)d x =aay d x .一般地,由上、下两条连续曲线y = f 2 ( x )与y = f 1 ( x )以及两条直线x = a与 x = b( a <b) 所围的平面图形 ( 图 10 - 1) , 它的面积计算公式为bA=[ f 2( x) - f 1 ( x) ] d x. (1)a图 10 -1图 10 - 2例 1 求由抛物线 y 2= x 与直线 x - 2 y - 3 = 0 所围平面图形的面积 A . 解 该平面图形如图 10 - 2 所示 .先求出抛物线与直线的交点 P(1 , - 1 ) 与Q(9 , 3 ) .用 x = 1 把图形分为左、右两部分, 应用公式(1 ) 分别求得它们的面积 为1A 1 =x -- xd x =∫2x d x = 4 , 39 A 2 =1x - x - 32d x = 28 .31 01 ∫ ∫ ∫ ∫∫3240第十章 定积分的应用所以 A = A 1 + A 2 = 32.3本题也可把抛物线方程和直线方程改写成x = y 2= g ( y) , x = 2 y + 3 = g 2 ( y) , y ∈ [ - 1 , 3].并改取积分变量为y , 便得3A=[ g 2(y)-g 1 ( y)] d y - 1=(2 y +3 -y 2) d y = 32.-13设曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β] (2)给出,在[α,β]上y(t)连续,x(t)连续可微且x ′(t)≠0(对于y(t)连续可微且 y ′( t )≠0的情形可类似地讨论) .记a = x(α), b = x(β)(a <b 或b <a),则由 曲线 C 及直线 x = a , x = b 和 x 轴所围的图形 ,其面积计算公式为βA=y( t) x ′( t )d t. (3)α例 2 求由摆线 x = a( t - sin t ) , y = a( 1 - cos t ) ( a > 0 ) 的一 拱与 x 轴所 围平面图形( 图10 - 3 ) 的面积 .图 10 - 3解 摆线的一拱可取 t ∈[ 0 , 2π] .所求面积为2πA=a(1 - co s t )[a( t - s in t)]′d t 0 = a∫22π( 1 - cos t ) 2d t = 3πa2.如果由参数方程(2 ) 所表示的曲线是封闭的, 即有x(α) = x (β) , y(α) = y(β),且在(α, β) 内曲线自身不再相交, 那么由曲线自身所围图形的面积为βA=y( t ) x ′( t ) d t α●∫∫∫§1 平面图形的面积241β或x ( t ) y ′( t)d t . (4)α此公式可由公式(1)和(3)推出,绝对值内的积分,其正、负由曲线(2)的旋转方向 所确定.2 2 例3 求椭圆 x+ y = 1 所围的面积 .a 2b 2解 化椭圆为参数方程x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0 , 2π] .由公式(4 ) , 求得椭圆所围面积为2πA=b s in t (a co s t)′d t 0 = a ∫b2πsin2t d t = πab .显然, 当 a =b = r 时, 这就等于圆面积πr 2.设曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]给出, 其中 r(θ) 在[α, β] 上连续, β- α≤2π.由曲线 C 与两条射线θ= α, θ= β所围成的平面图形, 通常也称为扇形( 图 10 -4).此扇形的面积计算公式为βA = 1 2 αr 2 (θ)d θ. (5)图 10 -4图 10 - 5这仍可由定积分的基本思想而得 .如图 10- 5 所示, 对区间[α, β] 作任意分 割T :α= θ0 <θ1 <<θn-1 <θn = β,射线θ=θi (i =1,2, , n -1)把扇形分成n 个小扇形.由于r (θ)是连续的,因 此当‖T ‖很小时,在每一个Δi =[θi - 1 ,θi ]上r (θ)的值变化也很小.任取ξi ∈ Δi ,便有r(θ) ≈r (ξi ),θ∈Δi , i = 1,2,, n .这时, 第 i 个小扇形的面积242第十章 定积分的应用Δ A i ≈12于是r 2 (ξi )Δθi ,nA ≈ ∑1 r 2(ξ)Δθ .i ii = 1由定积分的定义和连续函数的可积性, 当‖T ‖→0 时, 上式右边的极限即为公 式(5 ) 中的定积分 .例 4 求双纽线 r 2= a 2cos 2θ所围平面图形的面积. 解 如图10 - 6所示,因为r 2≥0,所以θ的取值范围是 -π,π与 4 43π 5π 4,4 .由图形的对称性及公式(5),得 到π A =4·1 4 a 2cos2θd θ 2∫π = a 2 sin 2θ 4 0= a 2 .图 10 - 6习 题1 . 求由抛物线 y = x 2与 y = 2 - x 2所围图形的面积 .2 . 求由曲线 y = | ln x | 与直线 x = 1, x = 10 , y = 0 所围图形的面积.10 3 . 抛物线 y 2= 2 x 把圆 x 2+ y 2≤8 分成两部分 , 求这两部分面积之比. 4 . 求内摆线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a > 0 ) 所 围图 形的 面积( 图 10 - 7).5 . 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0) 所围图形的面积 .6 . 求三叶形曲线 r = a sin 3θ( a >0) 所围图形的面积.7.求由曲线x a+ y b= 1 ( a 、b > 0 ) 与坐标轴所围 图形的面积 .8 . 求由曲线 x = t - t 3, y = 1 - t 4所围图形的面积.9 . 求二曲线 r = sin θ与 r = 3 cos θ所围公共部分的面图 10 - 7积 .2 2 2 2 10 . 求两椭圆x + y = 1 与 x+ y = 1( a > 0 , b > 0 )所围公共部分的面积.a2b 2b2a 22§2 由平行截面面积求体积243§2 由平行截面面积求体积设Ω为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b).为方便起见称Ω为位于[a,b]上的立体.若在任意一点x ∈[a,b] 处作垂直于x 轴的平面,它截得Ω的截面面积显然是x 的函数,记为A(x),x∈[a,b] ,并称之为Ω的截面面积函数(见图10-8).本节将导出由截面面积函 数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.图 10 - 8设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数.对[a,b]作分割 T :a=x 0 < x 1 << x n = b.过各个分点作垂直于 x 轴的平面 x = x i , i = 1 , 2 ,, n , 它们把 Ω 切割成 n 个薄 片.设A( x )在每个小区间Δi =[x i - 1 , x i ]上的最大、小值分别为M i 与m i ,那么 每一薄片的体积ΔV i 满足m i Δx i ≤ΔV i ≤M i Δx i ①.n于是, Ω的体积 V = ∑ΔV i 满足i = 1n∑ i = 1nm iΔ xi≤ V ≤ ∑M i Δx i .i = 1因为 A ( x)为连续函数, 从而在[ a, b] 上可积, 所以当‖T ‖足够小时, 能使nn∑ωiΔx i=∑(Mi- m i )Δ x i <ε,i=1i =1其中ε为任意小的正数 .由此知道① 严格地说, 这里对 Ω的形状需作如下假设: 把 Ω的上述平行截面正投影到某一垂直于 x 轴的平 面上, 它们永远是一个含在另一个的里面( 这时能保证此处的不等式成立) .一般还可推广到 Ω由满足这 种假设的若干个立体相加或相减而得的情形.∫0 2 2 a2 244第十章 定积分的应用nnV=lim ∑M i Δx i或 lim ∑ m i Δx i‖ T ‖ →0 i =1‖ T ‖ →0 i = 1n= lim ∑A(ξi )Δx i ,‖ T ‖ →0 i = 1其中A(ξi )= M i (或m i ),所以有bV=A ( x )d x. (1)a 例 1 求由两个圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 与 z 2 + x 2= a 2所围立体的体积 .解图10-9所示为该立体在第一卦限部 分的图象(占整体的八分之一).对任一x 0∈ [0 , a] , 平面 x = x 0 与这部分立体的截面是一个 边长为 a 2- x 2的正方形,所以A(x)= a 2- x 2,x ∈[0 , a].由公式( 1) 便得aV =∫8 (a 2 - x 2) d x = 16 a 3 . 0 3例2 求由椭球面 x a 2 y 2+ 2 b + z c 2= 1 所围立图 10 - 9体( 椭球) 的体积 .解 以平面 x =x 0 ( |x 0 | ≤a) 截椭球面, 得椭圆( 它在 yOz 平面上的正投影):y2z22+ 2= 1 .b 21 - x 0a 2所以截面面积函数为(根据§1例3): c 2 1 - x 0a22于是求得椭球体积A( x ) = πbc 1 - xa2 , x ∈[-a , a] .V =∫πbc 1- x d x = 4πabc.- a a 23 显然, 当 a =b =c = r 时, 这就等于球的体积4πr 3 .3设ΩA ,ΩB 为位于同一区间[a,b]上的两个立体,其体积分别为V A , V B .若 在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续,且A(x)=B(x),则由 公式(1)推知V A = V B .这个关于截面面积相等则体积也相等的原理,早已为我国齐梁时代的数学家祖¹3(祖冲之(429—500)之子,生卒年代约在公元5世纪末∫§2 由平行截面面积求体积245至6 世纪初) 在计算球的体积时所发现 .在 《九章算术》一书中所记载的祖¹3原理是“: 夫 叠絔成立积,缘幂势既同则积不容异”,其中 幂就是截面面积,势就是高.这就是说,等高 处的截面面积既然相等,则两立体的体积不 可能不等(图10-10).17世纪意大利数学家 卡伐列利(Cavalieri)也提出了类似的原理,但 要比祖¹3晚一千一百多年.下面讨论旋转体的体积 .设 f 是[ a,b] 上的连续函数, Ω是由平 面图形图 10 - 100≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤b绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 .那么易知截面面积函数为 A ( x ) = π[ f ( x ) ] 2, x ∈ [ a , b] .由公式(1 ) , 得到旋转体Ω的体积公式为bV =∫π [ f ( x) ]2d x. (2)a例3 试用公式( 2) 导出圆锥体的体积公式 .解 设正圆锥的高为 h , 底圆半径为 r .如图 10- 11 所示, 这圆锥体可由平面图形0≤| y | ≤ rx ,x ∈[ 0 , h]绕 x 轴旋转一周而得 .所以其体积为 hV = π0 r x h d x = 1πr 2 h, 3这个结果读者在中学课程里便已熟知了 .又因同底同高的两个圆锥, 在相同高程 处的截面为相同的圆, 即截面面积函数相同, 所以任一高为 h , 底半径为 r 的圆锥( 正或斜) , 其体积恒为1 πr 2h .3例 4 求由圆 x 2+ ( y - R) 2≤ r 2(0 <r <R ) 绕 x 轴旋转一周所得环状立体 的体积 .解如图10- 12所示,圆x 2+(y - R )2= r 2 的上、下半圆分别为y= f 2 ( x ) = R+ r 2- x 2, x ≤ r.y= f 1 ( x ) = R -r 2- x 2,故圆环体的截面面积函数是A ( x) =π[ f 2 ( x ) ] 2 - π[ f 1 ( x ) ] 2=4πRr 2- x 2, x ∈ [ - r , R].h 22∫∫246第十章 定积分的应用图 10 -11 图 10 - 12由此得到圆环体的体积为V = 8πRr 2 - x 2d x = 2π2 r 2 R .如果把上述结果改写成 V = 2πR ·πr 2, 读者不难看出这相当于一个圆柱体 的体积 .习 题1. 如图10 - 13 所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的 体积 .2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体 积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;(2 ) x = a ( t - sin t ) , y = a ( 1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴;( 3) r = a(1 + cos θ) ( a > 0 ) , 绕极轴;2 2( 4) x + y= 1 , 绕 y 轴.ab2图 10 - 13 3 . 已知球半径为 r , 验证高为 h 的球缺体积V =πh 2r - h3( h ≤ r ) .4 . 求曲线 x = a cos 3 t , y = a sin 3t 所围平面图形 ( 图 10 - 7 )绕 x 轴旋转所得立体的体积 . 5. 导出曲边梯形0≤y ≤ f ( x) , a ≤x ≤b 绕 y 轴旋转所得立体的体积公式为bV =2πx f ( x) d x. a6 . 求 0≤ y ≤sin x , 0≤ x ≤π所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积.r∫§3 平面曲线的弧长与曲率247§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长 先建立曲线弧长的概念 .设平面曲线 C = AB .如图 10 - 14 所 示 , 在 C 上从 A 到 B 依次取分点:A = P 0 , P 1 ,P 2,, P n - 1 , P n = B,它们成为对曲线 C 的一个分割, 记为 T .然后用线 段联结 T 中每相邻两点, 得到 C 的 n 条弦P i - 1 P i ( i = 1 , 2 , ,n) , 这 n 条弦又成为 C 的一条内接折 线 .记n图 10 - 14‖ T ‖ = max 1 ≤ i ≤ nP i -1 P i, s T =∑ i = 1P i -1 P i,分别表示最长弦的长度和折线的总长度 .定义 1 对于曲线 C 的无论怎样的分割T , 如果存在有限极限lim ‖ T ‖→ 0s T = s ,则称曲线 C 是可求长的, 并把极限 s 定义作为曲线C 的弧长 .定义 2 设平面曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β](1)给出.如果x (t)与y (t)在[α,β]上连续可微,且x ′( t)与y ′( t)不同时为零(即 x ′2( t)+ y ′2(t)≠0, t ∈[α,β]),则称C 为一条光滑曲线.定理10.1 设曲线 C 由参数方程( 1 ) 给出 .若 C 为一光滑曲线① , 则 C 是 可求长的, 且弧长为βs =x ′2 (t) + y ′2 (t)d t .(2)α证 如前所述 , 对 C 作任意分割 T = { P 0 ,P 1 , , P n } , 并设 P 0 与 P n 分别对应 t = α与t = β, 且P i ( x i , y i ) = ( x( t i ) , y( t i ) ) , i = 1 ,2,, n - 1. 于是, 与 T 对应地得到区间[α, β] 的一个分割T ′:α= t 0 <t 1 <t 2 < < t n-1 <t n = β.在T ′所属的每个小区间Δi =[t i - 1 , t i ]上,由微分中值定理得①这是曲线可求长的一个充分条件,而连续曲线不一定是可求长的.i i i248第十章 定积分的应用Δx i = x(t i ) -x(t i-1 ) = x ′(ξi )Δt i ,ξi ∈Δi ;Δy i = y (t i ) - y ( t i-1 ) = y ′(ηi )Δt i ,ηi ∈Δi .从而曲线 C 的内接折线总长为n2 2s T =∑ i = 1 Δx i + Δy in= ∑x ′2(ξ) + y ′2(η)Δt .iiii = 1又因 C 为光滑曲线, 当 x ′( t ) ≠0 时, 在 t 的某邻域内 x =x ( t ) 有连续的反 函数, 故当Δx →0 时Δt →0; 类似地, 当 y ′( t ) ≠0 时, 亦能由Δy →0 推知Δt → 0 .所以当 | P i - 1 P i |=Δx 2 +Δy 2→0时,必有Δt i→0.反之, 当Δt i →0 时, 显然有|P i - 1 P i |→0 .由此知道:当C 为光滑曲线时,‖T ‖→0与‖T ′‖→0是等价 的.由于 x ′2( t ) + y ′2(t)在[α,β]上连续从而可积,因此根据定义1,只需证明:nlim s T =lim∑x ′(ξi ) + y ′(ξi )Δt i ,(3)‖ T ‖ →022‖T ′‖→0 i= 1而后者即为(2 ) 式右边的定积分 .为此记2 22 2ζi =x ′(ξi ) + y ′(ηi ) -x ′(ξi ) + y ′(ξi ),则有ns T = ∑i = 1x ′2 (ξi ) + y ′2(ξi ) +ζi Δt i .利用三角形不等式易证ζi ≤ | y ′(ηi ) |-| y ′(ξi ) |≤ y ′(ηi ) -y ′(ξi ) ,i = 1 ,2, , n.由y ′(t)在[α,β]上连续,从而一致连续,故对任给的ε>0,存在δ>0,当‖T ′‖<δ时,只要ξi 、ηi ∈Δi ,就有ζ <ε , i = 1 , 2, , n. β - α因此有n22ii in∑ζΔti = 1n≤∑ i = 1ζi Δt i <ε.iii = 1即(3 ) 式得证, 亦即公式(2 ) 成立 .∫2∫∫∫2π ∫π ∫§3 平面曲线的弧长与曲率249若曲线 C 由直角坐标方程y= f ( x ) , x ∈ [ a ,b]表示, 把它看作参数方程时, 即为x = x ,y= f ( x ) , x ∈ [ a , b].所以当 f ( x)在[ a , b]上连续可微时, 此曲线即为一光滑曲线 .这时弧长公式为bs=1 + f ′( x ) d x.(4)a又若曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]表示, 把它化为参数方程, 则为 x = r (θ) cos θ,y= r(θ) sin θ, θ∈ [α, β].由于x ′(θ) = r ′(θ)co s θ- r (θ)s in θ, y ′(θ)= r ′(θ)s in θ+ r (θ)co s θ, x ′2(θ) + y ′2 (θ) = r 2 (θ) + r ′2 (θ),因此当r ′(θ)在[α,β]上连续,且r (θ)与r ′(θ)不同时为零时,此极坐标曲线为 一光滑曲线.这时弧长公式为βs =r 2 (θ) + r ′2(θ)d θ.(5)α例1 求摆线 x = a(t - sin t ) ,y = a(1- cos t ) ( a > 0 ) 一拱的弧长( 见图 10 - 3) .解x ′(t)= a(1- co s t),y ′(t)= a s in t,由公式(2)得2π2πs =x ′2 (t) + y ′2( t )d t=2 a 2( 1 - cos t ) d t = 2∫as in td t = 8a .2x - x例 2 求悬链线 y =e+e从 x = 0 到 x = a > 0 那一段的弧长.2x- x x- x 2解y ′=e- e ,1+ y ′2 =(e +e ),由公式(4)得24 aax- xa - as =∫ 1+ y ′2d x =∫e +ed x =e-e .22例 3 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0 ) 的周长 .解 由公式 (5 ) 得2ππs =r 2 + r ′2d θ= 2 02 a 2 ( 1 + cos θ) d θ= 4∫a co s θθ= 8a . 0 2d∫250第十章 定积分的应用注意 若把公式(2)中的积分上限改为t,就得到曲线(1)由端点P 0 到动点 P( x ( t ) ,y( t ) ) 的弧长, 即ts( t )=αx ′2(η) + y ′2(η)d η.由于被积函数是连续的, 因此d sd t =d x 2d t+d y 2d t ,d s= d x 2+ d y 2. (6)特别称 s( t ) 的微分 d s 为弧微分 .如图 10-15 所示, PR 为曲线在点 P 处的切 线, 在直角三角形 PQR 中, PQ 为d x ,QR 为d y , PR 则为 d s .这个三角形称为 微分三角形 .图 10 -15图 10 - 16二 曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志 .考察图10-16中由参数方程(1)给出的光滑曲线 C.我们看到弧段PQ 与QR 的长度相差 不多而其弯曲程度却很不一样.这反映为当动点沿曲线C 从点P 移至Q 时,切线转过的角度 Δα比动点从Q 移至R 时切线转过的角度Δβ要大得多.设α( t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角,Δα=α( t +Δt) -α( t)表示动点由 P 沿曲线移至 Q( x( t + Δx) , y( t + Δt) ) 时切线倾角的增量 .若PQ 之长为Δs, 则称珡K =为弧段PQ 的平均曲率 .如果存在有限极限 K= lim ΔΔt →0 Δ则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 处的曲率.由于假设 C 为光滑曲线, 故总有y ′( t )=lim ΔαΔs →0 Δsα( t) = arctanx ′(t) 或 α(t) = a r ccot x ′(t) . y ′(t )又若 x ( t) 与 y( t )二阶可导, 则由弧微分(6) 可得=§3 平面曲线的弧长与曲率251所以曲率计算公式为d α d s = α′(t ) s ′(t) = x ′( t )y ″( t ) - x ″( t )y ′( t ) [x ′2 (t) + y ′2 (t)]362/ .K=(x ′2+ y ′2 )362/. (7)若曲线由 y = f ( x) 表示, 则相应的曲率公式为K=(1+ y ′2 )362/ . (8)例 4 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t , 0≤ t ≤2π上曲率最大和最小的点 .解 由于 x ′= - a sin t , x ″= - a cos t , y ′= b cos t , y ″= - b sin t , 因此按 公式 (7 ) 得椭圆 上任意点处的曲率为K= ab =( a 2sin 2t + b 2cos 2 t )362/ ab[ ( a 2 - b 2 ) sin 2 t + b 2 ]362/ .3π 当 a >b >0 时,在t =0,π(长轴端点)处曲率最大,而在t =π、 ( 短轴端点) 处曲率最小, 且K max = a b2 , K min = 2 2 ba 2. 若在例 4 中 a = b = R , 椭圆成为圆时, 显然有K = 1 ,R即在圆上各点处的曲率相同, 其值为半径的倒数 .容易知道, 直线上处处曲率为零 .设曲线 C 在其上一点P 处的曲率 K ≠0 .若过点 P 作一个半径为ρ=1的圆, 使它在点 KP 处与曲线C 有相同的切线, 并在点 P 近旁与曲线位于切线的同侧(图 10 - 17).我们把这个圆称为曲线 C 在点 P 处的曲率圆或密切圆 .曲率圆的半径 ρ= 1 K和圆心( P 0) 称为曲线 C在点 P 处的曲率半径和曲率中心 .由曲率圆的定义可以知道, 曲线在点 P 与曲率圆既有相同 的切线, 又有相同的曲率和凸性 .例5 (铁路弯道分析) 如图10 - 18 所示, 火车轨道从直道进入到半径为 R 的圆弧形 弯道时, 为了行车安全, 必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示者) , 使得曲率由零连续地增加到 1 R,以保证火车的向心加速度 a =v 2ρ 不发生跳跃性的突变.图 10 -17 图 10 - 18y ″3 0 0 252第十章 定积分的应用图中 x 轴( x ≤0) 表示直线轨道, AB 是半径为 R 的圆弧形轨道( 点 Q 为其圆心) , OA 为 缓冲轨道 .我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线其中 l 是OA 的弧长 .对曲线(9)应用曲率公式(8),求得y = x,(9)6 R l2 2K= 8 R l x .(4 R 2 l 2 + x 4 )362/ 当 x 从 0 变为 x 0 时 , 曲率 K 从0 连续地变为K 0 = 8 R 2 l 2 x 0 (4 R 2 l 2 + x 4 )362/1 = R· 8 l 2 x 0 x 44 l 2362/ . R2x 0 1 1当 x 0 ≈l , 且 缓冲作用 .R 很小时, K 0 ≈ R .因此曲线段OA 的曲率从0 逐渐增加到接近于 R, 从而起了习 题1 . 求下列曲线的弧长: (1) y = x 362/,0≤x ≤4; (2)x +y =1;( 3) x = a cos 3t , y = a sin 3t ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 4) x = a( cos t + t sin t ) , y = a( sin t - t cos t ) ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 5) r = a sin 3 θ( a > 0) , 0≤θ≤3π;3( 6) r = a θ( a >0) , 0≤θ≤2π.2 . 求下列各曲线在指定点处的曲率: (1) xy = 4 , 在点( 2 , 2) ; (2) y = ln x , 在点( 1 , 0 ) ;(3) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a >0) , 在 t = π的点; 2(4) x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a >0) , 在 t =π 的点.43 . 求 a 、b 的值 , 使椭圆 x = a cos t , y = b sin t 的周长等 于正弦曲线 y = sin x 在 0≤x ≤ 2π上一段的长 .4 . 设曲线由极坐标方程 r = r(θ) 给出, 且二阶可导, 证明它在点( r, θ)处的曲率为22K =r + 2 r ′ - rr ″.(r 2 + r ′2)362/ *5.用上题公式,求心形线r = a(1+co s θ)(a >0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.**∫∫∫§4 旋转曲面的面积253* 6 . 证明抛物线 y = ax 2 + bx + c 在顶点处的曲率为最大 . *7 . 求曲线 y = e x 上曲率最大的点 .§4 旋转曲面的面积定积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤导 出所求量的积分形式.但为简便实用起见,也常采用下面介绍的“微元法”.本节 和下一节将采用此法来处理.一 微元法x在上一章我们已经熟知,若令Φ(x) =f(t)d t,则当f 为连续函数时, aΦ′( x ) = f ( x) , 或d Φ= f ( x) d x ,且bΦ( a) = 0 , Φ(b)=f ( x) d x. a现在恰好要把问题倒过来:如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的,或 者说它是该区间端点x 的函数,即 Φ=Φ(x),x ∈[a,b],而且当x =b 时, Φ( b) 适为最终所求的值.在任意小区间[ x ,x + Δx ] Ì[ a , b]上, 若能把 Φ的微小增量ΔΦ近似表示 为Δx 的线性形式ΔΦ≈f(x)Δx,(1) 其中 f 为某一连续函数, 而且当Δx →0 时,ΔΦ- f ( x )Δx =o(Δx) , 亦即d Φ= f ( x) d x, (2)b那么只要把定积分 f(x)d x 计算出来,就是该问题所求的结果.a上述方法通常称为微元法 .在采用微元法时, 必须注意如下两点: 1) 所求量 Φ 关于分布区间必须是代数可加的.2)微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似表达式(1 ) .在一般情况下, 要严格 检验ΔΦ-f ( x)Δx 是否为Δx 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事 .因此对 (1 ) 式的合理性需特别小心.对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长, 改用微元法来处 理, 所求量的微元表达式分别为ΔA ≈ y Δx , 并有 d A=y d x; Δ V ≈ A( x )Δx , 并有 d V = A ( x) d x ;Δs ≈1 + y ′2Δx,并有d s =1+ y ′2d x .§2 导出体积公式(1) 和 §3 导出弧长公式(2) 的过程, 实际上就是在验证 ΔΦ-∫222 1 2 2∫254第十章 定积分的应用bf(x)Δx= o(Δx).如果把弧长增量的近似表达式改取为Δs ≈Δx,将导致s=d x a= b - a 的明显错误 .其根本原因就在于Δs - Δx 并非是Δx 的高阶无穷小量 .二 旋转曲面的面积①设平面光滑曲线 C 的方程为y= f ( x ) , x ∈ [ a , b] ( 不妨设 f ( x) ≥ 0 ).这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面( 图10 - 19).下面用微元法导出它的面 积公式 .通过 x 轴上点 x 与 x + Δx 分别作垂直于 x 轴的平面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带 .当 Δx 很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积, 即 ΔS ≈π[ f(x)+ f(x+Δx)]Δx 2 + Δy 2= π[ 2 f ( x )+Δy]1+Δy 2 Δx, Δx图 10 - 19其中 Δy = f ( x + Δx ) - f ( x ) .由于lim Δy = 0,lim1+Δy 2= 1 + f ′( x),Δx →0Δx →0Δx因此由 f ′( x )的连续性可以保证π[2 f ( x)+Δy]1+所以得到Δy 2ΔxΔx - 2πf(x)1 + f ′( x)Δx = o(Δx ).d S = 2πf(x) 1 + f ′( x ) d x, bS =2π af(x)1 + f ′( x ) d x .(3)如果光滑曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [ α,β]给出, 且 y( t ) ≥0 , 那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的 面积为S = 2∫π βy ( t) x ′2(t) + y ′2( t)d t .(4)α例 1 计算圆 x 2+ y 2= R 2在 [ x , x ] Ì [ - R , R] 上的弧段 绕 x 轴旋转所①关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在下册重积分章节里给出.2 ∫ ∫§5 定积分在物理中的某些应用255得球带的面积 .解 对曲线y =R 2 - x 2 在区间 [ x 1 , x 2 ] 上应用公式(3 ) , 得到S=2π2 x1R 2 - x21+xd xR 2 - x2= 2π∫Rx 2d x = 2πR ( x2- x 1 ) .x1特别当 x 1 = - R , x 2 = R 时 , 则得球的表面积 S 球 = 4πR .例 2 计算由内摆线 x = a cos 3t , y = a sin 3t ( 见 图 10 - 7 ) 绕 x 轴旋 转所得 旋转曲面的面积 .解 由曲线关于 y 轴的对称性及公式(4 ) , 得π S = 4π 2 0a sin 3 t( - 3 a cos 2 t sin t )2 + (3 a sin 2 t cos t ) 2d t = 12πa ∫2π sin4t cos t d t=12 a 2.π 05习 题1 . 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;( 2) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴 ;2 2 ( 3) x + y= 1 , 绕 y 轴;a 2 b2( 4) x 2 + ( y - a) 2 = r 2 ( r <a) , 绕 x 轴.2 . 设平面光滑曲线由极坐标方程r = r(θ) ,α≤ θ≤ β ( [α, β] Ì [0 ,π] , r(θ) ≥0)给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式 .3 . 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) 心形线 r = a(1 + cos θ) ( a >0) ; ( 2) 双纽线 r 2 = 2 a 2 cos 2θ( a > 0) .§5 定积分在物理中的某些应用定积分在物理中有着广泛的应用, 这里介绍几个较有代表性的例子 . 一 液体静压力例1 如图10 - 20所示为一管道的圆形闸门( 半径为 3 米).问水平面齐及x 2∫2 = ∫ ∫ 256第十章 定积分的应用直径时, 闸门所受到的水的静压力为多大?解 为方便起见, 取 x 轴和y 轴如图, 此时圆的方 程为x 2+ y 2= 9 .由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水 的比重(ν)与深度(x)的乘积,故当Δx 很小时,闸门上 从深度 x到 x + Δx 这一狭条ΔA 上所受的静压力为 ΔP ≈ d P=2νx9 - x 2d x .从而闸门上所受的总压力为图 10 - 203P=2νx9 - x 2 d x= 18ν.二 引力例2 一根长为 l 的均匀细杆, 质量为 M , 在其中垂线上相距细杆为 a 处 有一质量为 m 的质点 .试求细杆对质点的万有引力. 解 如图10 - 21 所示, 细杆位于 x 轴上的 l l 2,2,质点位于y 轴上的点a.任取[x, x +Δx ]Ì - l2 , l 2 , 当Δx 很小时可把这一小段细杆看作一质点 , 其质量为 d M = Md x .于l是它对质点 m 的引力为图 10 - 21d F = km d M r km a 2 + x 2 · Ml d x.由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同, 因此不能直接对 d F 进行积分 ( 不符合代数可加的条件) .为此, 将d F 分解到x 轴和y 轴两个方向上, 得d F x = d F · sin θ, d F y = - d F ·cos θ.由于质点 m 位于细杆的中垂线上, 必使水平合力为零, 即l 62/F x =- 6l 2/ d Fx= 0.又由cos θ=a ,得垂直方向合力为a 2+ x 2l 62/F y =- 6l 2/d Fy= -∫2l 2 km Ma ( a 2+ x 2 ) - 362/d x 0l-∫§5 定积分在物理中的某些应用257= -2kmMa 1 6l 2/xl·a2 · =- 2kmM,a 4 a 2+ l2负号表示合力方向与 y 轴方向相反 .a 2 + x 2例3设有一半径为 r 的圆弧形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心正 上方距圆弧所在平面为 a 的地方有一电量为q 的点电荷 .试求圆弧形导线与点 电荷之间作用力( 引力或斥力) 的大小 .解 如图10 - 22 所示, 把点电荷置于原点,z 轴 垂直向下 , 圆弧形导线置于水平平面 z = a 上.根据库仑定律, 电量为 q 1 , q 2 的两个点电荷之间 的作用力( 引力或斥力) 的大小为kq 1 q 2F = ρ2, 其中ρ是两点电荷之间的距离,k 是库仑常数.图 10 - 22 把中心角为d θ的一小段导线圆弧看作一点电荷, 其电量为 d Q = δd s = δr d θ .它对点电荷 q 的作用力为d F = k · q d Q = ρ2k δrq a2 +r 2 d θ.把 d F 分解为 z 轴方向的垂直分力d F z 和水平方向的分力d F t .由于点电荷 位于圆弧导线的对称轴 Oz 上, 且导线上的电荷密度恒为常数, 因此水平分力 d F t 各向抵消.而d F z = d F ·cos θ =d F ·aa 2 + r 2= k δraq(a 2 + r 2 ) - 362/ d θ,于是垂直方向的合力为2πF z =d F z= 02πk δraq.( a 2+ r 2)362/这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小 .三 功与平均功率例4一圆锥形水池, 池口直径30 米, 深10 米, 池中盛满了水 .试求将全部 池水抽出池外需作的功 .解 为方便起见, 取坐标轴如图 10-23 所示 .由于抽出相同深度处单位体 积的水需作相同的功( 等于水的比重×深度) , 因此首先考虑将池中深度为 x 到V2V ∫2258第十章 定积分的应用x + Δx 的一薄层水ΔΩ抽至池口需作的功ΔW.当Δx 很小时, 把这一薄层水的 深度都看作 x , 并取ΔΩ的体积这时有Δ V ≈π 15 1 - x102Δx ,2Δ W ≈d W =πνx 15 1 - x10d x .从而将全部池水抽出池外需作的功为1 0 W = 225πν 0x 1 -x d x 10= 1 875πν.例5 在纯电阻电路( 图10 - 24) 中, 已知交流电压为V = V m sin ωt.图 10 -23图 10 - 24求在一个周期[0,T] T =2πω内消耗在电阻 R 上的能量W , 并求与之相当的直 流电压 .解 在直流电压 ( V = V 0 ) 下 , 功率 P =0 T2R, 那么在时间 T 内所作的功为W= PT = R.现在 V 为交流电压, 瞬时功率为V 2m 2P( t) = Rsin ωt .这相当于: 在任意一小段时间区间[ t ,t +Δt]Ì[ 0 ,T ] 上, 当Δt 很小时, 可把 V 近似看作恒为 V m sin ωt 的情形 .于是取功的微元为d W = P( t ) d t .并由此求得T 2π 22 W =∫ P (t)d t =∫ωVmπVmsin 2ωt d t =.0 RR ω而平均功率则为πV V m∫m *§6 定积分的近似计算259P = 1 2P( t )d t= ω· mT 0 2π R ω2( V 6/2)2= 2R = R. 上述结果的最末形式 , 表示交流电压 V = V m sin ωt 在一个周期上的平均功率与V m 直流电压珡V =的功率是相等的.故称珡V 为该交流电压的有效值.通常所说的2220 伏交流电 , 其实是V =220 2 sin ωt 的有效值.习 题1 .有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长为10米和6米,高为20米.计算当水面 与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.2 .边长为 a 和b 的矩形薄板,与液面成α(0<α<90°)角斜沉于液体中.设 a >b,长边平 行于液面,上沿位于深h 处,液体的比重为ν.试求薄板每侧所受的静压力.3. 直径为 6 米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10 米处, 求球面上所受静压力 .4. 设在坐标轴的原点有一质量为 m 的质点, 在区间[ a , a +l] ( a > 0 ) 上有一质量为 M 的均匀细杆 .试求质点与细杆之间的万有引力 .5. 设有两条各长为 l 的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离 c, 每根细杆的质量为 M .试求它们之间的万有引力 .( 提示: 在第4 题的基础上再作一次积分 .)6. 设有半径为 r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心处有一单位正电荷 .试 求它们之间作用力的大小 .7. 一个半球形( 直径为 20 米) 的容器内盛满了水 .试问把水抽尽需作多少功?8. 长10 米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为 8 千克, 问将此铁索提出地面 需作多少功?9. 一物体在某介质中按 x =ct 3作直线运动, 介质的阻力与速度d x的平方成正比 .计算d t物体由 x = 0 移至 x = a 时克服介质阻力所作的功 .10 . 半径为 r 的球体沉入水中, 其比重与水相同 .试问将球体从水中捞出需作多少功?*§6 定积分的近似计算利用牛顿—莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于 被积函数的原函数能够求得的情形 .如果这点办不到或者不容易办到, 这就要考 虑近似计算的方法 .在定积分的很多应用问题中, 被积函数甚至没有解析表达式 (只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值),这时只能采用近似方法去Tb260第十章 定积分的应用计算相应的定积分 .其实, 根据定积分的定义, 每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值, 例如bnn∫f(x)d x ≈∑f(x i)Δxi或∑ f ( x i - 1)Δx i. (1)ai = 1i = 1在几何意义上,这是用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似算法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细很细时,矩形法 才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数, 那么可以期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物 线法就是这一想法的产物.一 梯形法将积分区间[ a , b] 作 n 等分, 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x n = b,Δ x i =b - a.n相应的被积函数值记为y 0 , y 1 ,y 2, , y n (y i = f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2, , n ). 并记曲线 y = f ( x ) 上相应的点为P 0 , P 1 ,P 2 ,, P n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n ).将曲线上每一段弧 P i - 1 P i 用弦 P i - 1 P i 来替代, 这使得每个小区间[ x i - 1 , x i ] 上的曲边梯形换成了真正的梯形( 图 10 - 25) , 其面积为y i - 1 + y i2Δ x i , i = 1 ,2, , n. 于是, 各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, 即bn∫f ( x) d x ≈∑ y i - 1 + y i Δx i , a i=12 亦即∫f ( x) d x ≈b- a y 0 + y + y + + y y n+ . (2)a n 2 1 2 n-1 2称此近似式为定积分的梯形法公式 .二 抛物线法由梯形法求定积分的近似值, 当 y = f (x) 为凸曲线时偏大, 为凹曲线时偏 小 .如果每段曲线改用与它的凸性相接近的抛物线来近似时, 就可减少上述缺●2∫∫( x ) d x =∫(α 122 ∫∫1 *§6 定积分的近似计算261点 .下面介绍抛物线法 .图 10 -25图 10 - 26将积分区间[ a , b] 作2 n 等分( 图10- 26 ) , 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x 2 n = b,Δ x i =b- a.2 n对应的被积函数值为y 0 , y 1 ,y 2,, y 2 n (y i =f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2,, 2 n ). 曲线 y = f ( x ) 上的相应点为P 0 , P 1 ,P 2, , P 2 n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n).现把区间[ x 0 , x 2 ] 上的曲线 y = f ( x ) 用通过三点P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 )的抛物线p 1( x ) =α1 x +β1 x +γ1 来近似替代,便有xx x2f ( x)d x ≈2p2xxx0 0x 2+ β x+γ1 )d x α1 33β122= 3 (x 2 - x 0 ) + 2 (x 2 - x 0 ) + γ1 (x 2 -x 0)x 2 - x 0 22=6[(α1 x 0 +β1 x 0 +γ1) + (α1 x 2 +β1 x 2 +γ1 ) +α1( x 0 + x 2) +2β1( x 0 + x 2) +4γ1 ] x 2 -x 0= 6 ( y 0 + y 2 + 4 y 1 ) = b - a 6n( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) .最末第二步的得来是利用了 x 0 + x 2 = 2 x 1 .同样地,在[x 2i - 2 , x 2i ]上用p i ( x)=αi x +βi x +γi 替代曲线y = f( x),将得到x2 ix2 i - 2xf ( x ) d x ≈ 2ix 2 i - 2p i ( x ) d x = b - a( y 2 i -2 6 n + 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) . 最后,按i =1,2,, n 把这些近似式相加 ,得到 b n x n∫f( x )d x = ∑∫2i f(x)d x ≈b - a ∑(y 2 i - 2+ 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) ,a i =1 即x 2 i -26n i =1 1b1111262第十章 定积分的应用∫f ( x ) d x ≈b- a[ y 0 + y 2 n + 4( y 1 + y 3 ++ y 2 n - 1 ) + a6n2( y 2 + y 4 ++ y 2 n - 2 )].(3)这就是抛物线法公式, 也称为辛普森( Simpson) 公式 .1 作为例子,我们计算定积分∫d x的近似值.0 1 + x 2将区间[0 , 1 ] 十等分, 各分点上被积函数的值列表如下( 取七位小数) :1)用矩形法公式(1 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x11 + x2≈ 10 ( y 0 + y 1 + + y 9 ) = 0 .809 9( 或110 ( y 1 + y 2 ++ y 1 0 ) = 0 .760 0).2)用梯形法公式(2 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x1 y 0y 1 01 + x2≈10 2 + y 1 +y 2 + + y 9 + 2= 0 .785 0.3)用抛物线法公式(3 ) 去计算: ( 取七位小数)∫d x11 + x2≈ 30 [ y 0 + y 1 0 + 4( y 1 + y 3 ++ y 9 ) + 2 ( y 2 + y 4 ++ y 8 )]= 0 .785 398 2 .用准确值①∫d xπ1 + x2= arctg 1= 4 = 0 .785 39816与上述近似值相比较,矩形法的结果只有一位有效数字是准确的,梯形法的结果 有三位有效数字是准确的,抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的.可见公式(3)明显地优于公式(2),更优于公式(1).关于定积分近似计算的误差估计, 在《数值分析》一类课程中必有详述, 这里 不再讨论 .①这里用一个很容易求得准确值的定积分作为近似计算的例子,主要的理由就是有准确值可以与近似值相比较.实际使用中不会有这样的事.212∑12∑i* §6 定积分的近似计算263 习题1 .分别用梯形法和抛物线法近似计算∫d x(将积分区间十等分) .1 xπ2 .用抛物线法近似计算∫s in x d x(分别将积分区间二等分、四等分、六等分) .0x3 . 图10 - 27 所示为河道某一截面图.试由测得数据用抛物线法求截面面积.图10 - 274 . 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:(1) 按积分平均1b f ( t ) d t 求这一天的平均气温, 其中定积分值由三种近似法分别计算; b -∫a a12 12( 2) 若按算术平均1i= 1 C i - 1 或1 Ci= 1求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系?简述理由.。
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第10章 定积分的应用
10.1 复习笔记
一、平面图形的面积
由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为
()b b
a
a
A f x dx ydx ==⎰⎰
如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为
()b b
a
a
A f x dx y dx ==⎰⎰
一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线
,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为
21[()()]b
a
A f x f x dx =⎰－
图10-1
二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设
为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），
称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．
图10-2 图10-3
对[a，b]作分割
过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）
于是
由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为
2．旋转体的体积
a b上的连续函数，Ω是由平面图形
设f是[,]
≤≤≤≤
0|||f(x)|,a
y x b
绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为
2()[()],[,]A x f x x a b π=∈
得到旋转体Ω的体积公式为
2
=[()]b
a
V f x dx
π⎰
三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义
①如果存在有限极限
s
s T T =→0
||||lim
即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有
|s |T s ε-<
则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．
②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．
③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'
()x t 与'
()y t 不同时为零,即'
'
()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．
（2）定理
设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程
(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）
给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为
'2'2[()][()]s x t y t dt βα
=+⎰ （10-2）
（3）性质
设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．
2．曲率 （1）定义
如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称
||
K s
α-
∆=∆
为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限
|
||lim ||lim |00ds
d s s K s t ααα
=∆∆=∆∆=→∆→∆
则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．
图10-4
（2）计算公式
设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程
（10-1）
给出，则曲率的计算公式为
2
32
2
)
(||''''''''y x y x y x K +-=
若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为
2
''3'2
||(1+y )
y K =
四、旋转曲面的面积
1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]
y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为
2(b
a
S f x π=⎰
2．如果光滑曲线C 由参数方程
(),(),[,]x x t
y y t t αβ==∈
给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为
2(S y t β
α
π=⎰
五、定积分的近似计算 1．梯形法公式
121()(...)
22
b
n n a
y y b a f x dx y y y n --=+++++⎰
2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）
021*******()[4(...y )2(...)]
6b
n n n a
b a
f x dx y y y y y y y n
---≈+++++++++⎰
10.2 课后习题详解
§1 平面图形的面积
1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．
解：该平面图形如图
10-1
所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为
图10-1
2．求由曲线
与直线
所围图形的面积．
解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。