沪教课标版八年级下册数学：22.6 三角形、梯形的中位线

梯形的中位线
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC
求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
A
D
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
AD ∥BC 即: AD ∥BE
M
N
∠DAN=∠E
∠AND=∠ENC DN=CN
△ADN ≌ △ECN
B
CE
AM=BM
MN ∥ BE 即： MN ∥ BC
D
简要分析：
E
G
F
B
C
根据题意可知：AD=AB=DC=
1 2
BC，所以要求
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。
设AD=AB=DC=x，则BC=2x.
∵ EF=
12（AD+BC），∴15=
3 2
x，
∴x=10，
∴梯形周长为50㎝.
小结：
A
连结三角形两边中点的
线段叫做三角形的中位线。
D
E
三角形中位线定理：
AN =EN AD=CE
1
MN= BE
即：MN= 1 (BC+CE)
2
2
MN= 1 (AD＋BC) 2
梯形的中位线
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于
两底和的一半
A
D
∵AD ∥BC AM＝MB,DN＝NC
M
N
∴ MN ∥ BC MN＝1（BC＋AD）
B
C
（梯形的中位线平行于两底，
并且等于2 两底和的一半）
4
2
4
解 得 ： x=60
1 10+ x
2
∴ 其它四根横木的长度分别为
30cm , 40cm , 50cm , 60cm
x
1 15+ x
4 3 5+ x 4
??
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
三角形的中位线平行于第三边，
B
C 并且等于它的一半。
用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段
途
的2倍或1/2
小结
1.从梯形中位线公式EF=
1 2
(BC+AD)可以看
出,当AD变为一点时,其长度为0,这时公式变为
EF=
1 2
(BC+0)=
1 2
BC,这就是三角形中位线公
式,从这一点又体现了这两个定理的联系.
2.梯形中位线定理是梯形的一个重要性质,它 也象三角形中位线定理那样,在同一个题设中 有两个结论,应用时视具体要求选用结论.
A
D
证明： AC⊥BD ∠AOD= 90 °
o
M
N
AD ∥BC ∠ADO= ∠ 1
∠ADO= 30°
∠1= 30 °
1
B
C
1
AO= AD
2
AO+CO=
1
(AD+BC)
即：
AC=
1
(AD+BC)
同理： CO= 1 BC
2
2
MN是梯形ABCD的中位线
2
1
MN= (AD+BC)
2
AC＝MN
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
DE ∥AC
CE＝AD
MN是梯形ABCD的中位线
o
M
N
1
B
CE
1
AC= (AD+BC)
2
AC＝MN
1
MN= (AD+BC)
2
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横
木共200cm，其中最上端的横木长为20cm，
求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离
相等）
1
1
3
20
20+15+ x+10+ x+5+ x+x=200
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
证明：过点D作DE ∥AC交BC延长于点E
A
D
DE ∥AC ∠BDE= ∠ AOD
∠BDE=90 °
AC⊥BD
∠BDE= 90 °
∠1=30 °
DE= 1BE 即：DE= 1 (CE+BC)
2
2
AD ∥BC 即：AD ∥CE
DE＝AC
三角形中位线和 A 梯形中位线
D
E
B
F
C
巩固练习
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
思考：
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是什么？
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
AED
AED
E
F
A
B
F
C
不是中位线
B
C
不是中位线
D
C 是F中位线
梯形的中位线
一堆粗细均匀的钢管，堆成三层， 上层为3根，中层为5根，下层为7根
这三层钢管之 间有何关系呢?
2、梯形中位线定理
A
D
E
F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
平行四边形
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
矩形
思考：
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
正方形
平行四边形
菱形
思考：
（7）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
梯形的中位线
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横 木共200cm，其中最上端的横木长为20cm， 求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离 相等）
??
1、梯形中位线：
梯形两腰中
点的连线叫做梯 形的中位线。
A E
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点CBaidu Nhomakorabea线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
E
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
证：AC＝MN
梯形的中位线
一、填空：
1、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC 中位线EF分别交BD、AC于点M、N，
若AD＝4cm，BC＝8cm，则EF＝ 6 cm，EM＝ 2 cm，MN＝ 2 cm
A4 D
E
F
MN
B
8
C
A 8D
2、已知：梯形上底为8,中位线为10, M
高为6，下底＝12 面积＝ 60
B
10 N 6
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什 么?
答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长也 相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形而 不是梯形.
如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位
线，且EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC.
求梯形的周长.
A